2019版高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明 11.2 数系的扩充与复数的引入习题教案 文

且z1＝z2，则λ的取值范围是( )
A.－1，1
B.－196，1
C.－196，7
D.196，7
解析 由复数相等的充要条件，可得
m＝2cosθ， 4－m2＝λ＋3sinθ，
化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－
又z＋3＝a＋3＋bi实部与虚部互为相反数，z＋
5 z
是实
数，根据题意有b1－a2＋5 b2＝0， a＋3＝－b，
因为b≠0，所以
a2＋b2＝5， a＝－b－3，
解得
a＝－1， b＝－2
或
a＝－2， b＝－1.
所以z＝－1－2i或z＝－2－i.
二、填空题 11．(2017·江苏高考)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z的模是____1_0___．
解析 解法一：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1 ＋3i，
∴|z|＝ －12＋32＝ 10. 解法二：|z|＝|1＋i||1＋2i| ＝ 2× 5＝ 10.
3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝
4
sinθ－83
2－
9 16
，因为sinθ∈[－1,1]，所以λ∈
－196，7
.故
选C.
9．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错
位共轭”复数，则复数
3 2
－
C．(2)(4)
D．(2)(3)
解析 对于(1)，由定义知当z＝0时，D(z)＝0，故(1)错 误，排除A；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互 为相反数，所以D( z )＝D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)， 两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部 与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错 误，排除B，D，故选C.
(1)对任意z∈C，都有D(z)>0； (2)若 z 是复数z的共轭复数，则D( z )＝D(z)恒成立； (3)若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，则z1＝z2；
(4)对任意z1，z2，z3∈C，结论D(z1，z3)≤D(z1，z2)＋
D(z2，z3)恒成立．
其中真命题为( )
A．(1)(2)(3)(4) B．(2)(3)(4)
三、解答题
15．(2017·徐汇区校级模拟)已知z是复数，z＋2i与
z 2－i
均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应点
在第一象限．
(1)求z的值；
(2)求实数a的取值范围．
解 (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)， 又z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＋2＝0，解得y＝－2. ∴2－z i＝x2－－2ii＝x2－－2ii22＋＋ii＝2x＋2＋5 x－4i， ∵2－z i为实数，∴x－5 4＝0，解得x＝4. ∴z＝4－2i.
解析 (1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i， ∵a∈R，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a＋1＝0，∴a＝－1.
14．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋
5 z
是实数；
②z＋3的实部与虚部互为相反数．则z＝_－__1_－__2_i或__－__2_－__i_.
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)， 则z＋5z＝a＋bi＋a＋5 bi ＝a1＋a2＋5 b2＋b1－a2＋5 b2i.
1 2
i的“错位共轭”复数为
()
A．－ 63－12i B．－ 23＋32i
C. 63＋12i
D. 23＋32i
解析

由(z－i)
23－12i＝1，可得z－i＝
1＝ 23－12i
23＋12
i，所以z＝ 23＋32i.故选D.
10．已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，z1，z2∈ C，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||，给出 下列命题：
课后作业夯关 11.2 数系的扩充与复数的引入
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一、选择题
1．(2018·湖南长沙四县联考)i是虚数单位，若复数z满
足zi＝－1＋i，则复数z的实部与虚部的和是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 复数z满足zi＝－1＋i，可得z＝
－1＋i i
＝
－1＋ii i·i
＝1＋i.故复数z的实部与虚部的和是1＋1＝2，故
解析
依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
3z 2
＋
－z 2
＝2a
＋bi，故2a＋bi＝15－－2 22ii＝1＋ 2i，
故a＝
1 2
，b＝
2 ，则在复平面内，复数z对应的点为
12，

2，位于第一象限．故选A.
8．(2018·新乡、许昌、平顶山调研3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并
∈R，则1a＋＋ai7i＝(
)
A．i B．1 C．－i D．－1 解析 ∵z为纯虚数，∴aa≠－0，2＝0， ∴a＝ 2，
∴
a＋i7 1＋ai
＝
2－i 1＋ 2i
＝
2－i1－ 1＋ 2i1－
2i 2i
＝－33i
＝－i.故选
C.
5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z满足z(1－i)＝|1－ i|＋i，则z的实部为( )
选C.
2．(2018·湖北优质高中联考)已知复数z＝1＋i(i是虚数
单位)，则2z－z2的共轭复数是(
)
A．－1＋3i B．1＋3i C．1－3i D．－1－3i
解析 2z－z2＝1＋2 i－(1＋i)2＝1＋21i－1－i i－2i＝1－i－ 2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i，故选B.
(2)∵复数(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝16－(a－2)2＋8(a－ 2)i＝(12＋4a－a2)＋(8a－16)i，
∴182a＋ －416a－>0a，2>0， 解得2<a<6， 即实数a的取值范围是(2,6)．
16．(2017·孝感期末)已知复数z＝(m－1)＋(2m＋1)i(m ∈R)．
3．(2017·河南洛阳模拟)设复数z满足 －z ＝|1－i|＋i(i为 虚数单位)，则复数z＝( )
A. 2－i B. 2＋i C．1 D．－1－2i 解析 复数z满足 －z ＝|1－i|＋i＝ 2 ＋i，则复数z＝ 2 －i.故选A.
4．(2018·广东测试)若z＝(a－ 2)＋ai为纯虚数，其中a
即实数m的取值范围是－12，1. 而|z|＝ m－12＋2m＋12 ＝
5m2＋2m＋2 ＝
5m＋512＋59， 当m＝－15∈－12，1时，|z|min＝
95＝3
5
5 .
1.故选B.
解法二：|z|＝22－ ＋ii＝||22－ ＋ii||＝ 55＝1.故选B.
7．(2017·河南百校联盟模拟)已知复数z的共轭复数为 －z ，若 32z＋－2z (1－2 2 i)＝5－ 2 i(i为虚数单位)，则在复 平面内，复数z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若
(1＋i)(1－bi)＝a，则ab的值为____2____． 解析 由(1＋i)(1－bi)＝a得1＋b＋(1－b)i＝a，则
b＋1＝a， 1－b＝0，
解得 ab＝ ＝21， ，
所以ab＝2.
13．(2016·北京高考)设a∈R.若复数(1＋i)(a＋i)在复平 面内对应的点位于实轴上，则a＝__－__1____.
解A.析22－由1 z(1B－. i2)＝－|11－Ci|＋．i1，得Dz.＝22＋12－＋1ii＝ 12－＋ii11＋＋ii＝ 22－1＋ 22＋1i，z的实部为 22－1，故选A.
6．(2017·安徽十校联考)若z＝22＋－ii，则|z|＝(
)
1 A.5
B．1
C．5
D．25
解析 解法一：z＝22－ ＋ii＝22－ ＋ii22－ －ii＝35－45i，故|z|＝
(1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的 取值范围及|z|的最小值． 解 (1)∵z＝(m－1)＋(2m＋1)i(m∈R)为纯虚数， ∴m－1＝0且2m＋1≠0，∴m＝1. (2)z在复平面内的对应点为(m－1,2m＋1)．
由题意得m2m－＋1<1>0，0， ∴－21<m<1，