信号与系统离散时间信号与系统时域分析

7
？ 时域离散信号的三种表示方法：
#1 用集合符号表示序列
数的集合用集合符号{·}表示。时域离散信号是一个有序的数的集合，可表
示成集合: x(n)= {xn, n= ? , －2, －1, 0, 1, 2, ? }
例 一个有限长序列可表示为 x(n)={1, 2, 3, 4, 3, 2, 1; n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
u(n)
?
?1 ??0
n? 0 n? 0
类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。 δ(n)与u(n)之间的关系为：
? (n) ? u(n) ? u(n ? 1)
?
n? k ? m n
u(n) ? ? ? (n ? k) ???? ? ? (m)
k?0
m ???
图6.1.3 单位阶跃序列
12
3． 矩形序列RN(n)
正弦序列 复指数序列
T=2π 周期信号
16
7．周期序列
若对所有n存在一个最小的正整数N，使下 面等式成立：
x(n) ? x(n ? N ), ? ? ? n ? ? （1.2.11） 则序列x(n) 为周期性序列，周期为N。
例如：
如图6.1.6所示
x(n) ? sin( π n) ? = π/4 N取整
第6章 离散时间信号与系统的时域分析
1
6.1
时域离散信号——序列
6.2
序列的卷积和
6.3
线性移不变系统
6.4
离散时间系统的时域分析法
6.5
离散相关
2
信号
时域连续信号 模拟信号
时域离散信号 序列
数字信号
自变量
连续 离散 离散
函数值
连续 连续 离散
3
例如： xa (t) ? 0.9 sin( 50π t) ，这是一个模拟信号，若对它按照 时间采样间隔 T=0.005s进行等间隔采样，便得时域离散信号 x(n)，即
? 由 y ( n ) ? ? x ( m ) h ( n ? m ) ? x ( n ) ? h ( n ) 式，计算卷积的基本运算 m ? ?? 是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。若两个 序列的长度分别为N和M，则卷积结果的长度为N＋M－1。详见例题
34
例6.3.4 已知x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n) 。
m ? ??
（6.3.7）
? y(n)
?
T
? ?
?
x(m)? (n ? m)??
?m? ??
?
线性系统叠加性质
?
y(n) ? ? x(m)T ?? (n ? m)? m? ??
质性变不时
符号“*”代表卷积运算。
33
计算卷积的三种方法
?图解法 ?解析法 ?利用MATLAB语言的工具箱函数计算法
? 图解法 ?
存在量化误差
系统
6
6.1 时域离散信号——序列
实际中
模拟信号 等间隔 时域离散信号
采样
假设模拟信号为xa (t)，以采样间隔T对它进行等间隔采样， 得到：
x(n) ? xa (t) t? nT ＝xa (nT ) - ? ? n ? ?
时域离散信号 取整数 n ? ? ,0,1,2,3,?
x(n) ? {? , xa (? T ), xa (0), xa (T ), xa (2T ),? }
其波形如图6.1.7所示：
20
x(n) ? ? 2? (n ? 2) ? 0.5? (n ? 1) ? 2? (n) ? ? (n ? 1) ? 1.5? (n ? 2) ? ? (n ? 4) ? 2? (n ? 5) ? ? (n ? 6)
图6.1.7 用单位采样序列移位加权和表示序列
21
6.1.2序列的运算
则要N=(2π/Ω0)k。式中，k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的
正整数。满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。
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具体正弦序列 的三种情况
?当2π/Ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/Ω0为周期的周期序
列。例： sin(πn / 8) 。
?2π/Ω0非整数，是一个有理数时，设2π/Ω0=P/Q，式中P、Q是
?1 0 ? n ? N ? 1 RN (n) ? ??0 其它n
N——矩形序列长度。 当N=4时，R4(n)波形如图6.1.4所示。
RN (n) ? u(n) ? u(n ? N )
图6.1.4 矩形序列
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4． 实指数序列 x(n)=anu(n) a为实数
如果|a|<1, x(n)的幅度随n的增 大而减小，称x(n)为收敛序列； 如果|a|>1，则称为发散序列。
序列的简单运算 有加法、乘法、移位、翻转及尺度变换。
1． 加法和乘法 同序号的序列值逐项对应
相加和相乘，如图6.1.8所示。
图6.1.8 序列的加法和乘法
22
2． 移位、翻转及尺度变换
23
图6.1.9 序列的移位、翻转 和尺度变换
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3． 差分
x(n)的一阶前向差分为 ? x(n) ? x(n ? 1) ? x(n) x(n)的一阶后向差分为 ? x(n) ? x(n) ? x(n ? 1)
设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输 入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n) 表示，即
y1(n) ? T ?x1(n)?, y2 (n) ? T ?x2 (n)?
线性系统一定满足叠加定理：
T ?x1(n) ? x2 (n)?? y1 (n) ? y2 (n) （6.3.2）
T ?ax 1 ( n ) ?? ay 1 ( n )
其波形如图6.1.5所示。
图6.1.5 实指数序列
14
5．正弦序列
x(n) ? A sin( ? 0n ? ? )
? 0 ——数字域频率(也称数字频率)，单位：rad
2?
?0? N
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6．复指数 序列
x(n) ? e(? ? j? 0 )n
? 0 ——数字域频率
设σ=0，用极坐标和实部虚部 表示为：
x(n) ? e j? 0n
x(n) ? cos(? 0n) ? jsin( ? 0n)
由于n取整数，故有：
e ? e j( ? 0 ? 2 πM )n
j? 0n
cos[(? 0 ? 2πM )n] ? cos(? 0n)
sin[( ? 0 ? 2πM )n] ? sin(? 0n) M取整数
数字域频率中
单位脉冲响应即系统对于δ(n)的零状态响应。用公式表示为
h(n) ? T ?? (n)? （6.3.6）
h(n)和模拟系统中的单位冲激响应h(t)相类似，都代表系统的时域特征。
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设系统输入x(n)，表示成单位脉冲
序列移位加权和为
?
x(n) ? ? x(m)? (n ? m) m? ??
输出
?
y(n) ? ? x(m)h(n ? m) ? x(n) ? h(n)
? ? x(n ? 1) ? ? x(n)
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6.3 线性移不变系统
图6.3.1 时域离散系统
y(n) ? T ?x(n)? （6.3.1）
在时域离散系统中，最重要 和最常用的是线性时不变系统， 这是因为很多物理过程都可用这 类系统表征，且便于分析、设计 与实现。
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6.3.1 线性系统
系统的输入、输出之间满足线 叠加原理的系统称为线性系统。
x(n) ? xa (t) t? nT ＝0.9sin(50π nT )
={ ? ， 0.0， 0.6364， 0.9， 0.6364， 0.0， -0.6364， 0.9， -0.6364 ，? }
时域离散信号是 时间离散化 的模拟信号
4
若用四位二进制数表示该时域离散信号，便得到相应的数字信
号x［n］，即
y(n) ? T ?x(n)?
?
y(n ? n0 ) ? T ?x(n ? n0 )??? （1.3.5）
n0为任意整数。
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例6.3.2 检查y(n)=ax(n)+b所代表的系统是否是移不变系统，式中a和b是
常数。
解
y(n) ? ax(n) ? b
y(n ? n0 ) ? ax(n ? n0 ) ? b
也可简单地表示为 x(n)＝{1, 2, 3, 4, 3, 2, 1}
注： 集合中有下划线的元素表示n=0时刻的采样值。
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#2 用公式表示序列 例如： x(n)=a|n| 0<a<1, －∞<n<∞
#3 用图形表示序列
例如, 时域离散信号x(n)=sin(πn/5)，n=－5, －4, ? , 0, ? , 4, 5,
? x［n］={
，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，
? 1.101，1.111，1.101， }
模拟信号
幅度、 时间均离散化
时域离散信号 幅度离散化
十、二进制转换
数字信号 十进制
二进制
整数—除2取余
小数—乘2取整
5
模拟信号
模拟系统
信号
时域离散信号 时域离散系统
&
数字信号
数字系统
?
?
? ? y(n) ? x(m)h(n ? m) ? R4 (m)R4 (n ? m)
m ? ??
m ? ??
图解步骤
? 将h(n) 用h(m) 表示，并将波形翻转，得到h(－m)
? 将h( －m)移位n， 得到h(n －m) ，n>0 , 序列右移；n<0，序列左移。如n=1，得到
h(1-m)
? 将h(m) 和h(n －m)相乘后，再相加, 得到y(n) 的一个值。对所有的n重复这种计算,
（6.3.3）
y(n) ? T ?ax1(n) ? bx2 (n)?? ay1 (n) ? by2 (n)（6.3.4）
（6.3.2）式表征线性系统的可加性； （6.3.3）式表征线性系统的比例性或齐次性
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例6.3.1 证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数）所代表的系统是非线性系统。
y1 ( n) ? T ?x1 (n )?? ax 1 ( n) ? b y 2 ( n) ? T ?x 2 (n )?? ax 2 (n ) ? b y (n) ? T ?x1 (n) ? x 2 (n )?? ax 1 (n) ? ax 2 (n ) ? b
互为素数的整数，取k=Q，那么N=P，则T=P。例：sin(4πn/5) 。
? 2π/Ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数。正弦序列不
是周期序列。例：sin(n/4) 。
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对于任意序列，可用单位采样序列的移位加权和表示，即
?
x(n) ? ? x(m)? (n ? m) m ? ??
例如
x(n) ? ? 2? (n ? 2) ? 0.5? (n ? 1) ? 2? (n) ? ? (n ? 1) ? 1.5? (n ? 2) ? ? (n ? 4) ? 2? (n ? 5) ? ? (n ? 6)
y(n) ? y1 (n) ? y2 (n)
因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明
y(n) ?
x(n) sin ??? 0 n ?
?
π ?? 4?
所代表的系统是线性系统。
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6.3.2 移不变系统
如果系统对输入信号的运算关系 T［·］在整个运算过程中不随时间变 化，或者说系统对于输入信号的响应 与信号加于系统的时间无关，则这种 系统称为移不变系统，用公式表示如 右：
图6.1.1就是它的图形表示。
9
Tips
为了醒目，常常在 每一条竖线的顶端 加一个小黑点。
图6.1.1 x(n)=sin(πn/5)的波形图
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6.1.1常用的典型序列
1． 单位采样序列δ(n)
?
(n)
?
?1 ??0
n? 0 n? 0
图6.1.2 单位采样序列和单位冲激信号
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2． 单位阶跃序列u(n)
最后得到卷积结果。
该系统不是移不变系统。物理概念上可理解为该系统是一个放大器，
其放大量是n，它随n变化，因此是一个时变系统。
同理
y(n) ?
x(n) sin??? 0n ?
?
π ?? 所代表的系统也是时变系统。
4?
31
6.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系
设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种 条件下的系统输出为系统的单位脉冲响应，用h(n)表示。
即：
4
x(n)
?
sin
? ??
π 4
(n
?
8)???
T=8
图6.1.6 正弦序列
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设一般正弦序列可表示为
x(n) ? A sin(? 0n ? ? )
那么
x(n ? N ) ? A sin(? 0 (n ? N ) ? ? )? 0 ? A sin(? 0n ? ? 0 N ? ? )
若要
x(n ? N ) ? x(n)
y(n ? n0 ) ? T ?x(n ? n0 )?
因此该系统是移不变系统。
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例6.3.3 检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是移不变系统。
y(n) ? nx(n)
y(n ? n0 ) ? (n ? n0 )x(n ? n0 )
T ?x(n ? n0 )?? nx(n ? n0 ) y(n ? n0 ) ? T ?x(n ? n0 )?