常微分方程-王高雄-第三版参考答案

习题1.2 1．
dx
dy
=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：
y
dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2
+c y=e
2
x +e c =cex
2
另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex 2
,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2
x .
2. y 2
dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy
2
y
dy dy=-11+x dx 两边积分: -
y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|
)1(|ln 1
+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=
|
)1(|ln 1
+x c
3．dx dy =y
x xy y 3
21++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3
1
x x +
y y 2
1+dy=31x
x +dx 两边积分：x(1+x 2
)(1+y 2
)=cx 2
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：
y
y −1dy=-x x 1
+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
dx dy =-y
x y x +−
令
x y =u 则dx dy =u+x dx
du
代入有： -1
1
2++u u du=x 1dx
ln(u 2
+1)x 2
=c-2arctgu 即 ln(y 2
+x 2
)=c-2arctg 2
x y
. 6. x
dx
dy
-y+22y x −=0 解：原方程为：
dx dy =x y +x x ||-2)(1x
y − 则令
x y =u dx dy =u+ x dx
du 2
11u − du=sgnx
x
1
dx arcsin
x
y
=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：
tgy dy =ctgx
dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=
x c cos 1=x
c
cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.
所以原方程的通解为sinycosx=c. 8
dx
dy +
y e x
y 32+=0
解：原方程为：dx dy =y
e y 2
e x
3
2 e
x
3-3e 2
y −=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：
dx dy =x
y ln x y
令x y =u ,则dx
dy =u+ x dx
du
u+ x
dx
du
=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln
x
y
=cy. 10.
dx
dy =e y
x − 解：原方程为：
dx
dy =e x e y
− e y
=ce x
11
dx
dy =(x+y)2
解：令x+y=u,则
dx dy =dx
du -1 dx du -1=u 2
2
11
u
+du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c
12.
dx dy =2)
(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx
du -1
dx du -1=21u
u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.
dx dy =1
212+−+−y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2
-y)-dx 2
+x=c xy-y 2
+y-x 2-x=c
14:
dx dy =2
5
−−+−y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(
21y 2+2y)-d(2
1x 2
+5x)=0
y 2+4y+x 2
+10x-2xy=c.
15: dx
dy =(x+1) 2+(4y+1) 2
+8xy 1+ 解：原方程为：dx
dy =（x+4y）2
+3
令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4
1
41dx du -41=u 2
+3 dx du =4 u 2
+13 u=2
3
tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=3
2
(x+4y+1).
16:证明方程
y x dx
dy
=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y (1+x 2
y 2
)dx=xdy
2） y x dx dy =2
222x -2 y x 2y
+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dx
du 则dx dy =x 1dx du -2x u
，有：
u x dx
du
=f(u)+1
)
1)((1
+u f u du=x 1dx
所以原方程可化为变量分离方程。

1） 令xy=u 则
dx dy =x 1dx du -2x u (1) 原方程可化为：dx dy =x
y [1+（xy）2
] (2)
将1代入2式有：x 1dx du -2x u =x
u (1+u 2
)
u=
22+u +cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y 则与x 轴，y 轴交点分别为：
x= x 0 -
'
y y y= y 0 - x 0 y’ 则 x=2 x 0 = x 0 -
'
y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =
4
π。

解：由题意得：y’=
x y y 1dy=x
1
dx
ln|y|=ln|xc| y=cx. α =
4
π
则y=tg αx 所以 c=1 y=x.
19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。

证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx 则：y=kx 2
+c 即为所求。

常微分方程习题2.1 1.
xy dx
dy
2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得
把即两边同时积分得：e e x
x y c y x x c y c y xdx dy y
2
2
,11,0,ln ,21
2
=====+==
,0)1(.22
=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x
y c y x y x c y c y x y dy dx x y
++=
====++=+=+≠=+−
1ln 11
,11,001ln 1,11ln 0,1112
3
y
xy dx dy x y 32
1++
=
解：原式可化为：
x
x y
x x y x y
x
y
y
x
y
c c c c x dx
x dy y y
x y
dx
dy 2
22
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 2
1ln 1ln 2
1
11,0111=++
=++
≠++−=+
+=+
≠+
•
+
=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得
显然
10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0
)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 0
7ln sgn arcsin
ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2
11
11,11,,,0
)()(:5332
2
2
2
2
22
2
22
2
c dx dy dx dy x
y
cy u
d u
u dx x x y u dx x
y
dy x y ydx dy y x x c dy y
y y
y
dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x
y
c x x u dx x
x du x
dx
du dx
du
x u dx dy ux y u x y y dx dy x
c x arctgu dx
x du u u u dx du x u dx
du x
u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e
e x y u
u x
y x u u x y
x
y
y x x
x
+===+=+−===−•−=−−+−=−=+−===−=+•=+•=•
=−−=+===−+=+−=++
=++−++=++===+−==−++−+−−
两边积分解：变量分离：。

代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得
两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。

另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：
则原方程化为：
解：令：。

两边积分得：变量分离，得：则令解：
.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000
)1()1(4===−==−+=−++=−=+≠===−++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y
y
dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
c
x y x arctg c
x arctgt dx dt dx dt dx dt
dx dy t y x dx
dy
c dx dy dx
dy t
t y x e e e e e x y
x
y
y
x +=++==++=+==+=+===+−)(,1
11
1
1,.
112
22)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，
12．2
)
(1
y x dx dy += 解
c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x +=+−++=−=++=−==+)(1
11122
2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则
令
变量分离，则方程可化为：令
则有令的解为解：方程组U
U dX dU X U X Y Y X Y
X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'
22,31,313
1
,31;012,0121
212.
132
−+−==−−=+=−==
−==+−=−−+−−−=
.
7)5(721
772
17)7(,71,1,52
5,
14)5(22
c x y x c
x t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +−=+−−+−=−−−−=−−===−−−+−=
+−代回变量两边积分变量分离原方程化为：则
解：令
15．1
8)14()1(22+++++=xy y x dx dy
原方程的解。

，是
，两边积分得分离变量，
，所以求导得，则关于令解：方程化为
c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx
dy
+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38
3232(9
414
9
4141412)14(1818161222222
16．2
252
622y
x xy x y dx dy +−= 解：，则原方程化为，，令u y x xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+−==+−=32
322332322232]2)[(32(2)( 126326322
2
22+−=+−=x
u x u x
xu x u dx du ，这是齐次方程，令
c
x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d
z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735372233222)2()3(023)2()3,
)2()31
12062312306)1.(..........1261263=+−=−===+−=+−=−−+≠−−−==−===−−+−−=+=+−+==的解为时。

故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。

或）方程的解。

即是（或，得当，，，，所以，则
17. y
y y x x xy x dx dy −+++=
3232332 解：原方程化为1
231
32;;;;;)123()132(2
2
22222222−+++=−+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(1
231
32;;;;;;;;;;;;,22−+++===u v u v dv du v x u y 则
方程组，，，）；令，的解为（111101230
132+=−=−⎩⎨
⎧=−+=++u Y v Z u v u v 则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++=
=+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（ 令)2.( (232223322)
，，，，，所以，，则有t
t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +−=++=++==
当
是原方程的解
或的解。

得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t −=−=±==−当
c x y x y dz z dt t
t t 522222
2)2(1
2223022+−=+=−+≠−两边积分的时，，分离变量得
另外
c x y x y x y x y 522222222)2(2+−=+−=−=原方程的解为，包含在其通解中，故，或
，这也就是方程的解。

，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程
c y x x y dx x du u u u u
x u u u u x y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dx
dy y x +==−−=
+−+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==−−==+=−+=
=+===4
ln 142241)22(1dx du u xy (2) 0.
x ,c
2
故原方程的解为原
也包含在此通解中。

0y ,c 2
即,c 2两边同时积分得：dx x
12u du 变量分离得：),(2u x 1dx du 则方程化为
u,xy 令1dx dy y x 时，方程化为0s xy 是原方程的解，当0y 或0x 当:(1)解程。

故此方程为此方程为变u)
(uf(u)x 11)(f(u)x u 1)y(f(u)dx du f(u),1dx du y 1得：y dx
du dx dy x 所以,dx dy dx dy x y 求导导得x 关于u,xy 证明：因为22).2()1(.1)(18.2
222
222
2
2
2
2
22
2
4
22
33
22
2
22222x
y x y x y x y
x u u u
u y x
19. 已知f(x)
∫≠=x
x f x dt x f 0
)(,0,1)(的一般表达式试求函数.
解：设f(x)=y, 则原方程化为∫=x
y dt x f 0
1
)( 两边求导得'1
2y y
y −= c
x y y c x dy y dx dx dy y +±==+−==
−21
;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入把c x y +±
=21∫=
x
y
dt x f 0
1
)( x
y c c x c c x c x dt c
t x
21,02)2(;;;;;;;;;;221
±
==+±=−+±+±=+±∫
所以得
20.求具有性质 x(t+s)=
)
()(1)
()(s x t x s x t x −+的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0 x(0)=
)0(1)0()0(x x x −+=)
0()0(1)0(2x x x − 若x(0)≠0 得x 2
=-1矛盾。

所以x(0)=0. x’(t)=)(1)(0(')
()(1[))
(1)((lim )()(lim 22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=Δ−Δ+Δ=Δ−Δ+)
))(1)(0(')
(2t x x dt t dx += dt x t x t dx )0(')
(1)(2
=+ 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]
习题2.2
求下列方程的解 1．
dx
dy
=x y sin + 解： y=e ∫
dx
(
∫
x sin e ∫−dx c dx +) =e x
[-21e x
−(x x cos sin +)+c] =c e x -2
1 (x x cos sin +)是原方程的解。

2．
dt
dx +3x=e t
2 解：原方程可化为：
dt
dx =-3x+e t
2 所以：x=e ∫−dt
3 (
∫
e t 2 e
−
∫−dt 3c dt +)
=e
t
3− (
51e t
5+c) =c e t 3−+51e t
2 是原方程的解。

3．dt
ds
=-s t cos +21t 2sin
解：s=e ∫−tdt cos (t 2sin 2
1
∫e dt dt ∫3c + )
=e t sin −(
∫
+c dt te t t
sin cos sin ) = e t sin −(c e te t t +−sin sin sin )
=1sin sin −+−t ce t
是原方程的解。

4．
dx dy n x x e y n
x
=− ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n
x
+=
)(c dx e
x e e
y dx
x n
n x dx
x n
+∫∫=∫−
)(c e x x n += 是原方程的解.
5．
dx dy +1212
−−y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212
+−y x
x
∫
=−dx
x
x e
y 2
12(c dx e
dx
x x +∫
−2
21)
)
2
1
(ln 2+=x e
)(1
ln 2∫+−
−c dx e
x
x
=)1(12
x
ce x + 是原方程的解.
6． dx dy 2
3
4xy x x += 解：dx dy 2
3
4xy x x += =23y
x +x y
令
x y u = 则 ux y = dx dy =u dx
du
x + 因此：dx du x u +=2u x
21
u
dx du =
dx du u =2
c x u +=3
3
1 c x x u +=−33 （*）
将
x
y
u =带入 （*）中 得：3433cx x y =−是原方程的解.
33
3
2
()2
1()2
27.
(1)12(1)1
2
(),()(1)1(1)(())
1(1)
dx P x dx x P x dx
dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +−−=++=+++==++∫∫==+∫
∫++∫∫
P(x)dx
2
3
2
解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23
2
2
1
(1)()
2
11
,()(())
dy
y x c dy y dx x y dx x y dy y y
Q y y y e
y
Q y dy c −+++==+=∫∫
==∫
∫+∫∫2
243P(y)dy
P(y)dy
P(y)dy 1)dx+c)
=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。

8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为： x=e e 23
31
*)
2
2
y dy c y
y cy
y ++∫ =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

()()()19.
,1
),()(())01a dx P x dx a
x P x dx P x dx a a dy ay x a dx x x
a x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a −+=++==
∫∫==∫∫+==∫为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x (dx+c) x x 当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 时，方程01a a a
≠a 的通解为
y=cx+xln/x/-1 当 ，时，方程的通解为
x 1
y=cx +- 1-
33
31()()()310.11(),()1(())
(*)dx P x dx x P x dx P x dx
dy
x
y x dx dy y x dx x P x Q x x x e e x
e e Q x dx c x x dx c c
x
c
x
−−+==−+=−=∫∫==∫∫++++
∫∫33解：方程的通解为： y=1 =x
x =4x 方程的通解为：　y=4 ()
()
()
2
23333
23
3232332311.
2()2()()2,()2(())((2)p x xdx
x
p x p x x dy
xy x y dx xy x y dx
xy x y dx
xy x dx
y z dz
xz x dx
P x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e
x −−−−−+==−+=−+=−−+==−−+==−∫
∫
==∫
∫+−∫∫2
3-2
x dy
解：两边除以y dy dy 令方程的通解为： z= =e 2
2
2
)
1
1)1,0x x dx c ce y ce y +++++==2
2
=x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。

2221
211
1()()2
2
2ln 1
12.(ln 2)424
ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())ln 1(())(P x dx
P x dx dx
dx
x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x x y dy x y y dx x x dy x y dx x x y z
dz x z dx x x
x P x Q x x x
z e e Q x dx c x z e e
dx c x x −−−−−−
−=++
=−
=−=−==−==−
∫∫=+∫∫=−
+=∫∫解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())ln 1424
ln 1
:()1,424
x
dx c x x c x x c x y x −+=
++++=∫方程的通解为且y=0也是解。

13
222(2)2122xydy y x dx dy y x y dx xy x y
=−−==−
这是n=-1时的伯努利方程。

两边同除以
1
y
， 212
dy y y dx x =− 令
2y z =
2dz dy y dx dx
= 22211dz y z
dx x x
=−=− P(x)=
2
x
Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式
22
()dx dx
x x z e e dx c −∫∫=−+∫
=2x x c +
22y x x c =+
14 2
3y dy e x dx x
+= 两边同乘以y
e 22
()3y y
y
dy e xe e dx x
+= 令y e z =
y dz dy e dx dx
= 22
2233dz z xz z z dx x x x +==+ 这是n=2时的伯努利方程。

两边同除以2
z
22
131dz z dx xz x =+ 令1
T z
= 21dT dz dx z dx =− 231
dT T dx x x
−=+
P（x）=3x − Q(x)=21
x
−
由一阶线性方程的求解公式
3321()dx dx x x
T e e dx c x
−−∫∫=+∫
=32
1()2
x x c −−+ =1
312x cx −−−
+ 131
()12z x cx −−−+=
131
()12y e x cx −−−+=
231
2
y y x e ce x −+= 2312
y
x x e c −+= 15
33
1
dy dx xy x y =+
33dx
yx y x dy
=+
这是n=3时的伯努利方程。

两边同除以3
x
3
32
1dx y y x dy x
=+ 令2
x z −=
32dz dx x dy dy
−=−
3222dz y
y dy x
=−−=322yz y −− P(y)=-2y Q(y)=32y − 由一阶线性方程的求解公式 223(2)ydy
ydy
z e y e dy c −−−∫
∫=−+∫
=2
2
3(2)y
y e y e dy c −−+∫
=2
21y y ce
−−++
2
22(1)1y x y ce −−++= 2
2
2
22(1)y y y x e y ce e −−++= 2
2222(1)y e x x y cx −+=
16 y=x
e +
()x
y t dt ∫
()x dy
e y x dx =+ x dy
y e dx
=+ P(x)=1 Q(x)=x
e 由一阶线性方程的求解公式
11()dx dx
x y e e e dx c −∫∫=+∫
=(
)x x x
e e e
dx c −+∫
=()x e x c +
()()x
x x x e x c e e x c dx +=++∫
c=1 y=()x e x c +
17 设函数ϕ(t)于−∞<t<+∞上连续，'
ϕ(0)存在且满足关系式ϕ(t+s)=ϕ(t)ϕ(s)
试求此函数。

令t=s=0 得ϕ(0+0)=ϕ(0)ϕ(0) 即ϕ(0)=2(0)ϕ 故(0)0ϕ=或(0)1ϕ= （1） 当(0)0ϕ=时 ()(0)()(0)t t t ϕϕϕϕ=+= 即()0t ϕ=
(t ∀∈−∞,+∞)
(2) 当(0)1ϕ=时 '
()()
()lim
t t t t t t
ϕϕϕΔ→+Δ−=
Δ=
()()()
lim
t t t t t
ϕϕϕΔ→Δ−Δ
=
()(()1)
lim
t t t t
ϕϕΔ→Δ−Δ=
(0)(0)
()lim
t t t t
ϕϕϕΔ→Δ+−Δ
='(0)()t ϕϕ
于是
'(0)()d t dt ϕ
ϕϕ= 变量分离得
'(0)d dt ϕϕϕ
= 积分 '(0)t ce ϕϕ= 由于(0)1ϕ=，即t=0时1ϕ= 1=0ce ⇒c=1
故'
(0)()t t e ϕϕ=
20.试证：
（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解； （2）若()y y x =
是
（2.3）的非零解，而()y y x =:
是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+:
，其中c 为任意常数.
（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：
()()dy
P x y Q x dx =+ （2.28） ()dy
P x y dx
= （2.3）
（1）
设1y ，2y 是（2.28）的任意两个解 则
1
1()()dy P x y Q x dx =+ （1） 2
2()()dy P x y Q x dx
=+ （2） （1）-（2）得
()
1212()()d y y P x y y dx
−=−
即
12y y y =−是满足方程（2.3）
所以，命题成立。

（2） 由题意得：
()
()dy x P x y dx
= （3） ()
()()()d y x P x y x Q x dx =+:
: （4） 1）先证y cy y =+:
是（2.28）的一个解。

于是 ()()34c ×+ 得
()()()cdy d y
cP x y P x y Q x dx dx
+=++:
: ()
()()()d cy y P x cy y Q x dx
+=++::
故y cy y =+:
是（2.28）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成cy y +:
的形式 设1y 是(2.28)的一个解 则
1
1()()dy P x y Q x dx
=+ （4’） 于是 （4’）-（4）得
11()
()()d y y P x y y dx
−=−:
:
从而
()1P x dx
y y ce cy ∫
−==:
即 1
y y cy =+:
所以，命题成立。

（3）
设3y ，4y 是（2.3）的任意两个解 则
3
3()dy P x y dx = （5） 4
4()dy P x y dx
= （6） 于是（5）c ×得 3
3()cdy cP x y dx
=
即 33()
()()d cy P x cy dx
= 其中c 为任意常数
也就是3y cy =满足方程（2.3） （5）±（6）得
3
4
34()()dy dy P x y P x y dx dx ±=± 即 3434()
()()d y y P x y y dx ±=±
也就是34y y y =±满足方程（2.3）
所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。

（5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；
（6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；
解：设(,)p x y 为曲线上的任一点，则过p 点曲线的切线方程为
'()Y y y X x −=− 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(,0),(0,')'y
x y xy y −− 即 横截距为 'y
x y −，
纵截距为 'y xy −。

由题意得：
（5） 2'y xy x −=
方程变形为 2
dy x y x dx =− 1
dy y x dx x =− 于是 11
()(())dx dx x x y e x e dx c −∫∫=−+∫ ln ln (())x x e x e dx c −=−+∫ 1(())x x x dx c −=−+∫ 1
(())x x dx c x =−+∫g
()x x c =−+
2x cx =−+
所以，方程的通解为2y x cx =−+。

（6）'2x y
y xy +−=
方程变形为 22dy
y x
x dx =− 11
22dy
y dx x =− 于是 11
()221(())2dx dx
x x y e e dx c −∫∫=−+∫ 1
1
ln ln 221(())2x x
e e dx c −=−+∫ 1
12
21(())2x x dx c −=−+∫ 1
1
221
(())2x x dx c −=−+∫g 11
22()x x c =−+ 1
2x cx =−+ 所以，方程的通解为1
2y x cx =−+。

22．求解下列方程。

（1）0')1(2=+−−xy y x 解：11
11
'22−−−−=x y x xy y )11(12122∫+∫−−∫=−−−c e x e y dx
x x
dx x x =]/1/1
11[/1/2
12221
2c dx x x x +−−−−∫ =]/1/[/1/2
3221
2c x dx
x +−−−∫
=c x x +−/1/2
（2） '3sin cos sin 0y x x y x −−=
2sin sin cos cos dy y x
dx x x x =+
P(x)=1sin cos x x Q(x)=2sin cos x
x 由一阶线性方程的求解公式
1
1
2sin cos sin cos sin ()cos dx dx
x x x x x y e e dx c x −∫∫=+∫ =sin (sin )cos x
xdx c x +∫ =sin (cos )cos x
x c x −+
=sin tgxc x −
习题2.3
1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1. 0)2()(2=−++dy y x dx y x 解： 1=∂∂y M ，x N
∂∂=1 . 则x N
y M ∂∂=∂∂
所以此方程是恰当方程。

凑微分，0)(22=++−xdy ydx ydy dx x 得 ：C y xy x =−+2331
2． 0)4()3(2=−−−dy x y dx x y 解： 1=∂∂y M ，1=∂∂x N
. 则x N
y M
∂∂=∂∂ .
所以此方程为恰当方程。

凑微分，0432=−−+ydy dx x xdy ydx
得 C y xy x =+−232 3． 0])(1
[]1
)([22
22=−−+−−dy y x x y dx x y x y
解： 3422)(2)()1)((2)(2y x xy
y x y x y y x y y M −=−−−−−=∂∂
3422)(2)()
(2)(2y x xy y x y x x y x x x N −=−−−−−=∂∂ 则y N
x M ∂∂
=∂∂ . 因此此方程是恰当方程。

x y x y x u 1
)(22−−=∂∂ （1）
22
)(1y x x y y u −−=∂∂ （2）
对（1）做x 的积分，则)(1
)(22
y dx x dx y x y u ϕ+−−=∫∫ =−−−y x y 2
)(ln y x ϕ+ （3）
对（3）做y 的积分，则dy y d y x y y x y y u
)
()(2)()1(22ϕ+−−+−−−=∂∂ =dy y d y x y xy )()(222
ϕ+−+− =22
)(1y x x y −− 则11)(21)(2)(1
)
(22
22222
−=−+−−=−−−−−=y y x y xy x y y x xy y y x x y dy y d ϕ
y y dy y y −=−=∫ln )11
()(ϕ
y
x xy
x y
y x y xy
y x y y y x y x y u −−=−−+−=−+−−−=ln ln ln ln 2
22 故此方程的通解为C y x xy
x y
=−+ln
4、 0)2(3)23(22232=+++dy y y x dx x xy
解： xy y M
12=∂∂，xy x N
12=∂∂ .
x N
y M ∂∂=∂∂ .
则此方程为恰当方程。

凑微分，036462232=+++dy y ydy x dx x dx xy
0)()()(33422=++x d x d y x d
得 ：C y y x x =++32243 5.(y 1sin y x -2x y cos x y +1)dx+(x 1 cos x y -2y x sin y x +21
y )dy=0 解： M=y 1sin y x -2x y cos x y +1 N=x 1 cos x y -2y x sin y x +21
y
y M ∂∂=-21
y sin y x -3y x cos y x -21x cos x y +3x y sin x y
x N
∂∂=-21y sin y x -3y x cos y x -21x cos x y +3x y sin x y
所以，y M ∂∂=x N
∂∂，故原方程为恰当方程 因为y 1sin y x dx-2x y cos x y dx+dx+x 1 cos x y dy-2y x sin y x dy+21
y dy=0 d(-cos y x )+d (sin x y )+dx+d(-y 1
)=0 所以，d(sin x y -cos y x +x -y 1
)=0
故所求的解为sin x y -cos y x +x -y 1
=C
求下列方程的解：
6．2x(y 2x e -1)dx+2x e dy=0 解：y M ∂∂= 2x 2
x e , x N
∂∂=2x 2x e
所以，y M ∂∂=x N
∂∂，故原方程为恰当方程
又2xy 2x e dx-2xdx+2x e dy=0
所以，d(y 2x e -x 2)=0
故所求的解为y 2x e -x 2=C
7.(e x +3y 2)dx+2xydy=0
解：e x dx+3y 2dx+2xydy=0
e x x 2dx+3x 2y 2dx+2x 3ydy=0
所以，d e x ( x 2-2x+2)+d( x 3y 2)=0
即d [e x ( x 2-2x+2)+ x 3y 2]=0
故方程的解为e x ( x 2-2x+2)+ x 3y 2=C
8. 2xydx+( x 2+1)dy=0
解：2xydx+ x 2dy+dy=0
d( x 2y)+dy=0
即d(x 2y+y)=0
故方程的解为x 2y+y=C
9、()dx y x xdy ydx 22+=−
解：两边同除以 22y x + 得dx y x xdy
ydx =+−22 即，dx y x arctg d =⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛ 故方程的通解为c x y x tg +=⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛arg
10、()03=+−dy y x ydx
解：方程可化为：ydy y xdy
ydx =−2 即， ydy y x d =⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛ 故方程的通解为：c y y x
+=221
即：()c y y x +=22
同时，y=0也是方程的解。

11、()01=+−−xdy dx xy y
解：方程可化为：()dx xy xdy ydx +=+1
()()dx xy xy d +=1 即：()
dx xy xy d =+1 故方程的通解为：c x xy +=+1ln
12、()02=−−xdy dx x y 解：方程可化为：dx x xdy
ydx =−2
dx x y d =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− 故方程的通解为 ：x c x y
−= 即：()x c x y −=
13、()02=++xdy dx y x
解：这里x N y x M =+=,2 ，x N
y M ∂∂≠∂∂
x N x N
y M 1=∂∂−∂∂ 方程有积分因子x e dx
x =∫=1
µ
两边乘以µ得：方程()022=++dy x dx y x x 是恰当方程
故方程的通解为：()()c
dy
dx xy x y x dx xy x =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+∂∂−++∫∫∫22222
c y x x =+33
3
即：c y x x =+23
3 14、()()[]()0cos sin cos =+++++dy y x x dx y x y x x
解：这里()()()y x x N y x y x x M
+=+++=cos ,sin cos 因为()()y x x y x x
N y M +−+=∂∂=∂∂sin cos 故方程的通解为：
()()[]()()()[]c dy dx y x y x x y y x x dx y x y x x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++∂∂−+++++∫∫∫sin cos cos sin cos 即：()c y x x =+sin
15、()()o dy x x x y dx x x x y =+++cos sin sin cos
解：这里x x x y N x x x y M
cos sin ,sin cos +=−= x N y M ∂∂≠∂∂ 1=−∂∂−∂∂M
x N y M 方程有积分因子：y dy e e =∫=µ 两边乘以µ得： 方程()()0cos sin sin cos =++−dy
x x x y e dx x x x y e y y 为恰当方程 故通解为 ：()()c dy dx x x x y e y N dx x x x y e y y =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−∂∂−+−∫∫∫sin cos sin cos 即：()c x e y x e y
y =+−cos 1sin 16、()()053243=+++xdy ydx y xdy ydx x
解：两边同乘以y x 2得：
()()0532*******=+++ydy x dx y x ydy x dx y x
()()05324=+y x d y x d
故方程的通解为：c y x y x =+532
4 17、试导出方程0),(),(=+dy Y X N dx Y X M 具有形为)(xy µ和)(y x +µ的积分因子的充要条件。

解：若方程具有)(y x +
µ为积分因子，
x N y M ∂∂=∂∂)
()(µµ （)(y x +µ是连续可导）
x N
x N y M y M ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂µµ
µµ
)(x N
y M
x N y M ∂∂+∂∂−=∂∂−∂∂µµ
µ
)1( 令 y x z +=
dz d x z
dz d x µ
µ
µ
=∂∂⋅=∂∂，dz d y µ
µ=∂∂ .
)(y M
x N dz d N dz d M ∂∂−∂∂=−µµ
µ，
)()(y M
x N
dz d N M ∂∂−∂∂=−µµ ，
N M y
M
x N
d −∂∂−∂∂=µµ ， dz y x dz )(+=ϕ
方程有积分因子)(y x +µ的充要条件是：N M y
M
x N −∂∂−∂∂是y x +的函数，
此时，积分因子为∫=+dz z e y x )()(ϕµ .
)2( 令y x z ⋅=
dz d y x z dz d x µ
µµ=∂∂⋅=∂∂ ，dz d x y z dz d y µ
µµ⋅=∂∂⋅=∂∂
)(y M
x N dz d Ny dz d Mx ∂∂−∂∂=−µµµ
)()(y M
x N dz d Ny Mx ∂∂−∂∂=−µµ
Ny Mx y
M
x N d −∂∂−∂∂=µµ
此时的积分因子为∫=−∂∂−∂∂dz Ny Mx y M x N e
xy )(µ 18. 设),(y x f 及y
f ∂∂连续,试证方程0),(=−dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子. 证:必要性 若该方程为线性方程,则有)()(x Q y x P dx dy
+= ,
此方程有积分因子∫=−dx x P e x )()(µ,)(x µ只与x 有关 .
充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子)(x µ .
则0),()()(=−dx y x f x dy x µµ为恰当方程 , 从而dx x d y y x f x )()),()((µµ=∂−∂ ,)()
(x x
y f µµʹ−=∂∂ ,
)()()()()
()()()
(x Q y x P x Q y x x x Q dy x x f +=+ʹ−=+ʹ−=∫µµµµ . 其中)()
()(x x x P µµʹ−= .于是方程可化为0))()((=+−dx x Q y x P dy
即方程为一阶线性方程.
20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)≠g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0
有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1−
证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u 得：
uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则y uyf
∂∂=uf+uy y f ∂∂+yf y u
∂∂=)(g f xy f
−+)(g f xy y f y −∂∂-yf 222)()(g f y x y
g
xy
y f xy g f x −∂∂+∂∂+− =2)(g f xy y f gy y g yf −∂∂−∂∂=2)(g f x y
xy
xy f g y xy xy g f −∂∂∂∂−∂∂∂∂ =2)(g f xy
f
g xy g
f −∂∂−∂∂ 而x ux
g ∂∂=ug+ux x g ∂∂+xg x u ∂∂=)(g f xy g −+)(g f xy x g x −∂∂- xg 222)()(g f y x x g
xy
x
f xy
g f y −∂∂−∂∂+−
=
2)(g f xy x xy xy f xg x xy xy g xf
−∂∂∂∂−∂∂∂∂=2
)
(g f xy
f
g
xy g f −∂∂−∂∂ 故
y uyf ∂∂=x
uxg
∂∂，所以u 是方程得一个积分因子 21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系
x
N
y M ∂∂−
∂∂= Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x 和y 得连续函数，试证方程（2.43） 有积分因子u=exp(
∫dx x f )(+∫dy y g )()
证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
即证
x uN y uM ∂∂=
∂∂)()(⇔u y
M ∂∂+M y u ∂∂=u x N ∂∂+N x u
∂∂⇔ u(
y M ∂∂-x N ∂∂)=N x u
∂∂- M y u ∂∂⇔u(
y M ∂∂-x
N ∂∂)=Ne ∫∫+dy y g dx x f )()(f(x) -M e ∫
∫
+dy
y g dx x f )()(g(y)⇔u(
y M ∂∂-x
N
∂∂)=e ∫∫+dy y g dx x f )()((Nf(x)-Mg(y))
由已知条件上式恒成立，故原命题得证。

22、求出伯努利方程的积分因子. 解：已知伯努利方程为：
()();,o y y x Q y x P dx
dy
n ≠+= 两边同乘以
n y −，令n y z −=，
()()()(),11x Q n z x P n dx
dz
−+−=线性方程有积分因子： ()()()()dx
x P n dx x P n e e ∫=∫=−−−11µ，故原方程的积分因子为： ()()()()dx
x P n dx x P n e e ∫
=∫=−−−11µ，证毕！ 23、设()y x ,µ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的积分因子，从而求得可微函数()y x U ,，
使得
().Ndy Mdx dU +=µ试证
()y x ,~µ
也是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的积分因子的充要条件是()(),,~U y x µϕµ
=其中()t ϕ是t 的可微函数。

证明：若()u µϕµ=~，则()()()()()()
()()()N u M u y
M y u M u y M y M u y M µϕµϕµµϕµϕµµϕµʹ+∂∂=∂∂ʹ+∂∂=∂∂=∂∂~
又()()()()()()()()()()y M M u N u y M M u N u x N x N u x N ∂∂=
ʹ+∂∂=ʹ+∂∂=∂∂=∂∂µµϕµϕµµϕµϕµµϕµ
~~ 即µ
~为()()0,,=+dy y x N dx y x M 的一个积分因子。

24、设()()y x y x ,,,21
µµ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的两个积分因子，
且≠21µµ常数，求证c
=21µµ（任意常数）是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M
的通解。

证明：因为21,µµ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M
的积分因子
所以o Ndy Mdx i i =+µµ ()2,1=i 为恰当方程
即 ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=∂∂−∂∂x N y
M y M x N
i i i µµµ，2,1=i 下面只需证2
1
µµ的全微分沿方程恒为零
事实上：
0212122122211
222
22212122
222111221=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂−⎟⎟⎠⎞⎜
⎜⎝⎛∂∂−∂∂=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂−⎟⎟⎠⎞⎜
⎜⎝⎛∂∂+∂∂=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛x N y M x N y M N dx y M x N y M x N N dx dx y N M dx x dx y N M dx x dy y dx x dy y dx x d µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ
即当c ≠21µµ时，c =2
1µµ
是方程的解。

证毕！
习题 2.4
求解下列方程 1、y y x ʹ+=ʹ13
解：令
t p y dx dy 1==ʹ=，则23311t t t t x +=⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛+=， 从而()
()c t t c dt t c t t d t c pdx y ++=++=++=+=
∫∫∫22
32312
23， 于是求得方程参数形式得通解为⎪⎩
⎪
⎨⎧++=+=c
t t y t t x 2232
2
3. 2、
()0133=ʹ−−ʹy x y
解：令tx p y dx dy ==ʹ=，则()()013
3=−−tx x tx ，即t
t t t x 1123−=−=，
从而c t t d t t t c pdx y +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−=+=
∫∫1122 ()
c dt t t t
+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
+−=
∫23
121
c dt t t t +⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛−−=∫24
12 c t
t t ++−=
1
215225， 于是求得方程参数形式得通解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++−=−=c t t t y t t x 121521252
.
3、
y e y y ʹʹ=2
解：令
p y dx
dy
=ʹ=，则p e p y 2=， 从而()
c e p
d p x p +=
∫21
()
c dp e p pe p
p p ++=
∫221 =
()
∫++c dp pe e
p p
2
()c e p p ++=1，
于是求得方程参数形式的通解为()⎪⎩⎪⎨⎧=++=p
p
e
y y c
e p x 21,
另外，y=0也是方程的解. 4、
()
a y y 212=ʹ+, a 为常数
解：令
ϕtg y dx
dy
=ʹ=，则ϕϕϕ22
2cos 2sec 212a a tg a y ==+=， 从而()
c a
d tg c dy p x +=+=
∫∫ϕϕ
2
cos 211 c a
c d a ++−=+−=∫∫
22cos 14cos 42ϕ
ϕϕ
()c a
++−=ϕϕ2sin 2，
于是求得方程参数形式的通解为()⎩⎨⎧=++−=ϕ
ϕϕ2
cos 22sin 2a y c a x .
5、=ʹ+22y x 1
解：令
t p y dx
dy
cos ==ʹ=，则t t x sin cos 12=−=， 从而()c t td y +=
∫sin cos
c dt t
c tdt ++=+=∫∫
22cos 1cos 2
c t t ++=
2sin 4
1
21， 于是求得方程参数形式的通解为⎪⎩
⎪
⎨⎧++==c t t y t
x 2sin 41
21sin . 6、()()2
221y y y ʹ−=−ʹ
解：令yt y =ʹ−
2，则11−=ʹ−yt y ，得t
t y 1
+=，
所以()
()
dt t dt t t t t dt t t t t t t d yt dy y dy dx 222222*********−=−−=−−=⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛+−⎟
⎠⎞⎜⎝⎛+=−=ʹ=−， 从而c t
c dt t x +=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=∫112，
于是求得方程参数形式的通解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t t y c t x 11， 因此方程的通解为c x c
x y −+−=1
.
习题2.5
2．
ydy x xdy ydx 2=−
解：两边同除以2x ，得：
ydy x xdy
ydx =−2
c y x y
d +−=221
即c y x y =+22
1
4．
xy
x y
dx dy −=
解：两边同除以x ，得
x
y x y dx
dy −
=1
令u x y
= 则dx
du
x u dx dy +=
即
dx du
x
u dx dy +=u
u −=1 得到
()2ln 2
1
1y c u −=，
即2
ln 21⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−=y c y x
另外0=y 也是方程的解。

6．
()01=−+xdy ydx xy
解：0=+−xydx xdy ydx
xdx y
xdy
ydx −=−2
得到c x y x d +−=⎟⎟⎠
⎞⎜
⎜⎝⎛2
21 即
c x y x =+2
2
1 另外0=y 也是方程的解。

8.32x
y x y dx dy += 解：令
u x
y
= 则：
21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2
1u x dx du x =
得到22x dx
u du =
故c x
u +−=−1
1
即
2
1
1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。

10． 2
1⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛+=dx dy dx dy x
解：令
p dx
dy
= 即p
p x 2
1+=
而
p dx dy
=故两边积分得到 c p p y +−=ln 2
1
2
因此原方程的解为p
p x 21+=，c p p y +−=ln 21
2。

12.x y xe dx dy e =⎟⎠
⎞
⎜
⎝⎛+−1 解：
y x xe dx
dy
+=+1 令 u y x =+
则 dx du dx dy =
+1 11−=−=u xe dx du dx dy 即xdx e
du
u =
c x e u +=−−22
1
故方程的解为 c x e y x =++2
2
1 14．
1++=y x dx
dy
解： 令u y x =++1
则dx du
dx dy =
+1 那么u dx du
dx dy =−=1
dx u du
=+1
求得： ()c x u +=+1
ln
故方程的解为()c x y x +=++1ln
或可写 为x ce y x =++1
16．()
y e dx
dy
x −=++211 解：令u e y =− 则u y ln −= ()
1211−=+−u dx
du
u x ()dx x du u u 11
121+−=−
c x u u ++=−`
11
12 即方程的解为()c x y x e y +=+
2。