《解析》山东省菏泽市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析

山东省菏泽市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）
1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）
A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
2．（5分）直线l的倾斜角为60°，和直线l平行且经过点（﹣3，2）的直线方程是（）
A．y=+2 B．y=+2 C．y=﹣2 D．y=﹣2
3．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）
A．α内所有的直线都与a异面B．α内不存在与a平行的直线
C．α内所有的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点
4．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（）
A．f（x）= B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=e x D．f（x）=ln（x+1）
5．（5分）过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）
A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+1=0或3x﹣2y=0
C．x+y﹣5=0 D．x+y﹣5=0或3x﹣2y=0
6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．
7．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则以下描述正确的是（）
A．函数f（x）的定义域为
C．此函数在定义域内既不是增函数也不是减函数
D．对于任意的y∈内的根，取区间的中点为x0=2，那么下一个有根的区间是．12．（5分）若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为．
13．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是．
14．（5分）若直线mx﹣（m+2）y+2=0与3x﹣my﹣1=0互相垂直，则点（m，1）到y轴的距离为．
15．（5分）已知函数f（x）=（其中e=2.71718…），有下列命题：
①f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；
②对任意x∈R，都有f（2x）=f（x）•g（x）；
③f（x）有零点，g（x）无零点．
其中正确的命题是．（填上所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，满分75分）
16．（12分）已知函数f（x）=的定义域为集合A．
（1）集合A；
（2）若集合B={x∈N*|x＜3}，求A∩B并写出它的所有子集．
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线2x﹣y﹣4=0与直线y=x﹣1的交点为M，过点A（0，3）作直线l，使得点M到直线l的距离为1．求直线l的方程．
18．（12分）已知函数f（x）=
（1）求f（）+f（﹣）﹣f（﹣）+f（）+f（log23）的值；
（2）画出函数f（x）的图象，根据图象指出f（x）在区间上的单调区间及值域．
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=，CC1=1，M为线段AB的中点．
（1）求异面直线DD1与MC1所成的角；
（2）求直线MC1与平面BB1C1C所成的角．
20．（13分）已知函数f（x）=a x﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（，2），
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x+）﹣1，求：函数g（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数F（x）=g（2x）﹣mg（x﹣1），求F（x）在的最小值h（m）．
21．（14分）如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，且AE=1，又平面BCD⊥平面ABC，且BD=CD，BD⊥CD．
（1）求证：AE∥平面BCD；
（2）求证：平面BDE⊥平面CDE．
山东省菏泽市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）
1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）
A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：直接利用交集运算求得答案．
解答：解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，
∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．
故选：C．
点评：本题考查交集及其运算，是基础的计算题．
2．（5分）直线l的倾斜角为60°，和直线l平行且经过点（﹣3，2）的直线方程是（）A．y=+2 B．y=+2 C．y=﹣2 D．y=﹣2
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题：直线与圆．
分析：由题意可得斜率等于tan60°，根据点斜式求得直线的方程，再化斜截式方程即可．解答：解：∵一条直线l的倾斜角为60˚，故斜率等于tan60°=，
和直线l平行且经过点（﹣3，2）的直线方程是：y﹣2=（x+3），即y=+2．
故选：A．
点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，用点斜式求直线方程，属于基础题．
3．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）
A．α内所有的直线都与a异面B．α内不存在与a平行的直线
C．α内所有的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据空间线面关系，直线a与平面α不平行，包含两种位置关系；一是直线a在平面内，另一个是直线a与α相交；由此解答．
解答：解：因为直线a与平面α不平行，所以直线a在平面内，或者直线a于α相交，所以直线a与平面α至少有一个交点；
故选D．
点评：本题考查了空间线面关系；在空间，直线与平面有：相交、平行或者在平面内，其中直线与平面不平行包括直线与平面相交和在平面内．
4．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（）
A．f（x）= B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=e x D．f（x）=ln（x+1）
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：综合题．
分析：根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+∞）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断．
解答：解：∵对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），
∴函数在（0，+∞）上是减函数；
A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A正确；
B、由于f（x）=（x﹣1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，
在（1，+∞）上是增函数，故B不对；
C、由于e＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C不对；
D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D不对；
故选A．
点评：本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用．
5．（5分）过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）
A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+1=0或3x﹣2y=0
C．x+y﹣5=0 D．x+y﹣5=0或3x﹣2y=0
考点：直线的截距式方程．
专题：直线与圆．
分析：利用截距相等，推出直线过原点，或者直线的斜率为﹣1，求解即可．
解答：解：过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线，
则直线满足直线过原点，或者直线的斜率为﹣1，
所求直线方程为：x+y﹣5=0或3x﹣2y=0．
故选：D．
点评：本题考查直线方程的求法，直线的夹角相等是解题的关键，容易疏忽过原点的情况．
6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）
A．B．C．D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：作图题．
分析：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．
解答：解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，
∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，
故选D．
点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．
7．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则以下描述正确的是（）
A．函数f（x）的定义域为
C．此函数在定义域内既不是增函数也不是减函数
D．对于任意的y∈
考点：命题的真假判断与应用．
专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．
分析：有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：
①由α∥β，利用线面垂直的判定可得l⊥β，又m⊂β，利用线面垂直的性质可得l⊥m，即可判断出正误；
②若l∥m，m⊂β，利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，即可判断出正误；
③若α⊥β，则l∥m或异面直线，即可判断出正误；
④若l⊥m，则α∥β或相交，即可判断出正误．
解答：解：有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，∴l⊥β，又m⊂β，则l⊥m，正确；
②若l∥m，m⊂β，则α⊥β，正确；
③若α⊥β，则l∥m或异面直线，不正确；
④若l⊥m，则α∥β或相交，因此不正确．
其中，正确命题个数为2．
故选：B．
点评：本题考查了空间位置关系及其判定，考查了推理能力，属于中档题．
二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）
11．（5分）用“二分法”求方程2x+3x﹣7=0在区间内的根，取区间的中点为x0=2，那么下一个有根的区间是（1，2）．
考点：二分法求方程的近似解．
专题：计算题．
分析：方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由f（2）＞0，f（1）＜0 知，f（x）零点所在的区间为（1，2）．
解答：解：设f（x）=2x+3x﹣7，
f（1）=2+3﹣7＜0，f（3）=10＞0，
f（2）=3＞0，
f（x）零点所在的区间为（1，2）
∴方程2x+3x﹣7=0有根的区间是（1，2），
故答案为：（1，2）．
点评：本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数f（x）的零点，函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号．属基础题．
12．（5分）若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为．
考点：三点共线．
专题：计算题．
分析：由三点共线的性质可得AB和AC的斜率相等，由=，求得m 的值．
解答：解：由题意可得K AB=K AC，∴=，∴m=，
故答案为．
点评：本题考查三点共线的性质，当A、B、C三点共线时，AB和AC的斜率相等．
13．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是1：2．
考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据圆锥体的侧面展开图是半圆，球场底面半径r与母线长l的关系，再求它的底面面积与侧面积的比．
解答：解：设该圆锥体的底面半径为r，母线长为l，根据题意得；
2πr=πl，
∴l=2r；
所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是
πr2：πl2=r2：（2r）2=1：2．
故答案为1：2．
点评：本题考查了圆锥体的侧面积与底面积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．
14．（5分）若直线mx﹣（m+2）y+2=0与3x﹣my﹣1=0互相垂直，则点（m，1）到y轴的距离为0或5．
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
专题：直线与圆．
分析：由两直线互相垂直，利用系数之间的关系列式求解m的值，则点（m，1）到y轴的距离可求．
解答：解：设A1=m，B1=﹣（m+2），A2=3，B2=﹣m．
∵直线mx﹣（m+2）y+2=0与3x﹣my﹣1=0互相垂直，
∴A1A2+B1B2=0，即3m+×（﹣m）=0，
整理得，m2+5m=0，解得：m=﹣5或m=0．
则点（m，1）到y轴的距离为|m|，即为0或5．
故答案为：0或5．
点评：本题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，若两直线A1x+B1y+C1=0与
A2x+B2y+C2=0互相垂直，则A1A2+B1B2=0．此题是基础的计算题．
15．（5分）已知函数f（x）=（其中e=2.71718…），有下列命题：
①f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；
②对任意x∈R，都有f（2x）=f（x）•g（x）；
③f（x）有零点，g（x）无零点．
其中正确的命题是①③．（填上所有正确命题的序号）
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：直接由函数奇偶性的定义判断①正确；代值验证②错误；先判断函数单调性，g（x）有最小值；直接求出f（x）的零点，由单调性及奇偶性和最值说明g（x）无零点．
解答：解：f（﹣x）=（e﹣x﹣e x）=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数，
g（﹣x）=（e﹣x+e x）=g（x），故g（x）为偶函数，故命题①正确，
f（2x）=（e2x﹣e﹣2x）=（e x+e﹣x）（e x﹣e﹣x），
f（x）•g（x）=（e x﹣e﹣x）（e﹣x+e x）=（e x+e﹣x）（e x﹣e﹣x），故命题②不正确；
函数y=e x，y=﹣e﹣x在实数集上均为增函数，
∴f（x）在R上单调递增，
设x1＜x2＜0，
则g（x1）﹣g（x2）=（e x1+e﹣x1）﹣（e x2+e﹣x2）=，
∵x1＜x2＜0，
∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）．
g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
当x=0时，g（x）有最小值1，且函数是偶函数，
∴g（x）无零点，
由f（x）=0，即（e x﹣e﹣x）=0，得x=0，
∴f（x）有零点0，故命题③正确．
故答案为：①③．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，是中档题．
三、解答题（本大题共6小题，满分75分）
16．（12分）已知函数f（x）=的定义域为集合A．
（1）集合A；
（2）若集合B={x∈N*|x＜3}，求A∩B并写出它的所有子集．
考点：函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
专题：集合．
分析：（1）结合二次根式的性质得到不等式组，解出即可；（2）先求出B中的元素，从而求出A∩B的子集．
解答：解：（1）题意得，解之得：﹣3＜x≤4，
∴A={x|﹣3＜x≤4}；
（2）∵B={x∈N*|x＜3}，∴B={1，2}，
故A∩B={x|﹣3＜x≤4}∩{1，2}={1，2}，
它的所有子集分别为；Φ，{1}，{2}，{1，2}．
点评：本题考察了函数的定义域问题，考察集合的运算，是一道基础题．
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线2x﹣y﹣4=0与直线y=x﹣1的交点为M，过点A（0，3）作直线l，使得点M到直线l的距离为1．求直线l的方程．
考点：点到直线的距离公式．
专题：直线与圆．
分析：首先通过两直线方程求出交点M的坐标，然后利用点到直线的距离公式得到关于斜率k的等式求直线斜率．
解答：解：由解得点M（3，2），…（3分）
由题意可知，直线l的斜率必存在．
由于直线l过点A（0，3），故可设直线l的方程为y=kx+3．…（6分）
由题意，，解得，…..（10分）
故所求直线方程为y=3或3x+4y﹣12=0．…．（12分）
点评：本题考查了点到直线的距离公式的运用；属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）=
（1）求f（）+f（﹣）﹣f（﹣）+f（）+f（log23）的值；
（2）画出函数f（x）的图象，根据图象指出f（x）在区间上的单调区间及值域．
考点：函数图象的作法；函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）分别代入并根据对数函数的运算性质计算化简即可
（2）画出函数的图象，由图象得到指出f（x）在区间上的单调区间及值域．
解答：解：（1）f（）+f（﹣）﹣f（﹣）+f（）+f（log23）
=log2（﹣3+3）+log2（﹣+3）﹣log2（﹣+3）++﹣1
=log2+log2（）﹣log2（）++3﹣1
=+log2（×）++2
=2+3
=5
（2）图象如图所示
由图象可知函数f（x）在，上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，值域为
点评：本题考查函数的值的求法，以及函数图象的画法和识别，属于基础题
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=，CC1=1，M为线段AB的中点．
（1）求异面直线DD1与MC1所成的角；
（2）求直线MC1与平面BB1C1C所成的角．
考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
专题：空间角．
分析：（1）说明∠MC1C就是异面直线DD1与MC1所成的角，连接MC，在△C1MC中求解即可．
（2）连接BC1，说明∠MC1B为直线MC1与平面BB1C1C所成的角，由△MC1B为Rt△．求解即可．
解答：解：（1）因为C1C∥D1D，所以∠MC1C就是异面直线
DD1与MC1所成的角，…（3分）
连接MC，则△C1MC为Rt△．易得MC=，MC1=2，
所以∠MC1C=60○．
即异面直线DD1与MC1所成的角为60°；…（6分）
（2）因为MB⊥平面B1C1CB，连接BC1，则∠MC1B为直线MC1与平面BB1C1C所成的角，…（9分）
由△MC1B为Rt△．易得BC1=，MC1=2，所以∠MC1B=30○，
即直线MC1与平面BB1C1C所成的角为30°；…（12分）
点评：本题考查直线与平面所成角，异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20．（13分）已知函数f（x）=a x﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（，2），
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x+）﹣1，求：函数g（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数F（x）=g（2x）﹣mg（x﹣1），求F（x）在的最小值h（m）．
考点：指数函数的图像与性质；函数解析式的求解及常用方法；指数函数综合题．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）代入即可求出实数a；
（Ⅱ）代入即可求出函数g（x）的解析式；
（Ⅲ）先化简F（x），再令t=，t∈，y=t2﹣2mt=（t﹣m）2﹣m2，分类讨论即可求出最小值
解答：解：（Ⅰ）由+1=2，解得a=，
（Ⅱ）∵g（x）=f（x+）﹣1，
∴g（x）=﹣1+1=（
（Ⅲ）∵F（x）=g（2x）﹣mg（x﹣1），
∴F（x）=﹣2m，
令t=，t∈，
∴y=t2﹣2mt=（t﹣m）2﹣m2，
①当m≤1时，y=t2﹣2mt在单调递增，
∴t=1时，y min=1﹣2m，
②当1＜m＜2时，∴当t=m时，y min=﹣m2，
③①当m≥2时，y=t2﹣2mt在单调递减，
∴t=2时，y min=4﹣4m，
综上所述h（m）=．
点评：本题考查了函数的解析式的求法以及利用函数的单调性求函数的最值的问题，属于基础题
21．（14分）如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，且AE=1，又平面BCD⊥平面ABC，且BD=CD，BD⊥CD．
（1）求证：AE∥平面BCD；
（2）求证：平面BDE⊥平面CDE．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）取BC的中点M，连接DM、AM，证明AE∥DM，通过直线与平面平行的判定定理证明AE∥平面BCD．
（2）证明DE∥AM，DE⊥CD．利用直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面BDE．然后证明平面BDE⊥平面CDE．
解答：证明：（1）取BC的中点M，连接DM、AM，
因为BD=CD，且BD⊥CD，BC=2，…（2分）
所以DM=1，DM⊥BC，AM⊥BC，…（3分）
又因为平面BCD⊥平面ABC，
所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，…（6分）
又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，…（7分）
所以AE∥平面BCD．…（8分）
（2）由（1）已证AE∥DM，又AE=1，DM=1，
所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM．…（10分）
由（1）已证AM⊥BC，又因为平面BCD⊥平面ABC，
所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．
又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD．…（12分）
因为BD⊥CD，BD∩DE=D，所以CD⊥平面BDE．
因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE．…（14分）
点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力．。