高考数学一轮总复习 7.47 排列与组合的综合应用题课件 理

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2．现有12件商品摆放在货架(huò jià)上，摆成上层4件下层8 件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对 顺序不变，则不同调整方法的种数是
()
C
A．420 C．840
B．560 D．20 160
【解析】从下层8件中取2件，有C82种取法，放到上层 时，若这两件相邻，有A51A22种放法，若这两件不相 邻，有A52处放法，所以(suǒyǐ)不同调整方法的种数是 C82(A51A22＋A52)＝840.故选C.
【点评】综合应用(yìngyòng)排列与组合知识求解的问题的 策略通常是“先选后排”和“边选边排”两种方法．
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三、数字型排列组合问题
例3(1)若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4
个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( D )
A．60 种
B．63 种
C．65 种
(7)直接分配问题．甲选 1 本有 C61 种方法，乙从余 下 5 本中选 1 本有 C51 种方法，余下 4 本留给丙有 C44 种方法，共有 C61C51C44＝30 种．
【点评】这是一个分组问题，解决此类问题的关键是正确 判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除 以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序 (shùnxù)有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组 数的阶乘数．
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①上午选E实验的同学下午(xiàwǔ)选D实验，另三位同学对A， B，C实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有N1＝ 1×2＝2种；②上午选E实验的同学下午(xiàwǔ)选A，B，C实 验之一，另外三位从剩下的两项和D一共三项中选，但必须与 上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式有： N2＝C31·3＝9种．于是，不同的安排方式共有N＝24×(2＋9) ＝264种．故选D.
D．66 种
【解析】从1，2，3，…，9这9个整数(zhěngshù)中同时取4个 不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个奇数， 即C54＝5种取法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即 C52C42＝60种取法；第三类是取四个偶数，即C44＝1.故有5 ＋60＋1＝66种取法．故选D.
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四、几何型排列组合问题 例4(1)编号为 A，B，C，D，E 的五个小球放在如 图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球， 且 A 球不能放在 1，2 号，B 球必须放在与 A 球相邻的 盒子中，不同的放法有_3_0__种．
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【解析】根据A球所在位置分三类：
(2)只用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个 数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样 (zhèyàng)的四位C数共有( )
A．6个
B．9个
C．18个 D．36个
【解析】对于1、2、3三个数组成一个四位数，其中必有一个数 要重复，从三个中选(zhòng xuǎn)一个有C31种，这样重复的数 有2个，利用插空法知共有A33种，因此共有3A33＝18个这样的 四位数．
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排， 共3A22A22＝12个，
算上个位偶数字(shùzì)的排法，共计3×(24＋12)＝108 个．
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【点评】有关由若干个数字组成满足某条件的数的问题 通常应用“特殊元素先排法”或“减去法”，思考这类问题 时应注意数字“0”是否参与、组成的数是多少位数、数字 使用时是否可以(kěyǐ)重复这三个基本方面．
(3)辩证地看待“元素(yuán sù)”与“位置”．排列、组合问 题中的元素(yuán sù)与位置，没有严格的界定标准，哪些 事物看成元素(yuán sù)或位置，要视具体情况而定．有时 “元素(yuán sù)选位置”，问题解决得简捷；有时“位置选 元素(yuán sù)”，效果会更好．
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①若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余 下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理 (yuánlǐ)得，此时有A33＝6种不同的放法；
②若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余 下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理 (yuánlǐ)得，此时有A33＝6种不同的放法；
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(2)某人从{O，P，Q，R}中选2个不同字母，从{0，2，5，6，8} 中选3个不同数字组成(zǔ chénɡ)车牌号，要求前三位是数字， 后两位是字母，且数字0不能排在首位，O，Q不能同时选，字 母O和数字0要求不能相邻，那么满足要求的车牌号有( )
A．528个 C．456个
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(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应有 C62C42C22 种方法，但是这里出现了重复．不妨记 6 本书为 A，B， C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三 步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C62C42C22 种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD， EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)共 A33 种情 况，而这 A33 种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序不同，因 此只能作为一种分法，故分配方式有C62CA4323C22＝15 种．
(4)有序均匀分组问题．在第(3)题基础上再分配给 3
个人，共有分配方式C62AC3423C22·A33＝C62C42C22＝90 种． (5)无序部分均匀分组问题．共有C64CA2212C11＝15 种．
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(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分 配给 3 个人，共有分配方式C64AC2212C11·A33＝90 种．
第47讲 排列(páiliè)与组合的综合 应用题
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【学习目标】 1．进一步理解排列、组合的概念，了解计数原理的思 想(sīxiǎng)，熟练掌握排列、组合计算公式． 2．提升综合应用排列组合的知识解决一些简单的应用 问题的思维能力和分类讨论的数学思想(sīxiǎng)．
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(3)研究性学习小组(xiǎozǔ)有4名同学要在同一天的上、下 午到实验室做A，B，C，D，E五个操作实验，每位同学上、 下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D实验，下午 不能做E实验，则不同的安排方式共有
()
D
A．144种
B．192种
C．216种
D．264种
【解析】根据题意得，上午要做的实验是A，B，C，E，下 午要做的实验是A，B，C，D，且上午做了A，B，C实验的 同学下午不再做相同的实验，先安排上午，从4位同学中任选 一人做E实验，其余(qíyú)三人分别做A，B，C实验，有 C41A33＝24种安排方式．再安排下午，分两类：
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3．解答组合应用题的总体思路为：
(1)整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集 等于全集，以保证分类的不遗漏，任何两类的交集等于空 集，以保证分类的不重复，计算结果时用分类计数原理．
(2)局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步， 分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要 独立，以保证分步的不重复，计算结果时用分步计数原 理．
③若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号 盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E，有 A33＝6种不同的放法，根据分步计数原理(yuánlǐ)得，此 时有A31A33＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数 原理(yuánlǐ)得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．
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B．504个 C
D．288个
【解析(jiě xī)】(1)不选数字0有(2C21＋1)C43A33A22＝ 240个，(2)选数字0不选字母O有C32C42C21A22A22＝144 个，(3)选数字0也选字母O有C21C42C21(A22＋1)＝72个， 所以共有240＋144＋72＝456个．
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【基础检测】
1．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门课
程由于上课(shàng kè)时间相同，至多选一门，学校规定，
每位同学选修三门课程，则每位同学不同的选修方案种数
是( ) A．120
B
B．98
C．63
D．56
【解析】分两类：第一类，A，B，C三门课都不选，有C73＝ 35种方案，第二类，A，B，C中选一门(yī mén)，剩余7门课 中选两门，有C31C72＝63种方案，故共有35＋63＝98种方 案．
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3．从0，1，2，3中任取三个数字，组成无重复(chóngfù)
数字的三位数中，偶数的个数是1_0___(用数字回答)．
【解析】考虑三位数“没0”和“有0”两种情况． (1)没0：2必填个位，A22种填法； (2)有0：0填个位，A32种填法；0填十位，2必填个位， A21种填法．所以，偶数(ǒu shù)的个数一共有A22＋ A32＋A21＝10个．
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(3)由1、2、3、4、5、6组成没有(méi yǒu)重复数字且1、3
都不与5相邻的六位偶数的个数是( C)
A．72
B．96
wk.baidu.com
C．108
D．144
【解析】先选一个偶数字(shùzì)排个位，有3种排法，
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，共有 3A32A22＝24个，
(2)如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可 供栽种(zāizhòng)，每个花池内只能种同种颜色的花卉， 相邻两池的花色不同，则栽种(zāizhòng)方D案的种数为 ()
一、分组分配问题
例1按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不
同的分配方式？ (1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，
一人得 3 本； (3)平均分成三份，每份 2 本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本； (5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每
人得 1 本； (7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本．
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【解析】(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C61种 选法；再从余下的5本中选2本有C52种选法；最后余 下3本全选有C33种选法，故分配方式有C61C52C33 ＝60种． (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同(bù tónɡ)的三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配， 分配方式有C61C52C33A33＝360种．
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二、有特殊条件的排列问题 例2(1)在制作飞机的某一零件时，要先后实施 6 道 工序．工序 A 只能出现在第一步或最后一步，工序 B 和 C 实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有 ( C) A．34 种 B．48 种 C．96 种 D．108 种
【解析】由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工 序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列 (páiliè)共有2A44种编排方法．故实施顺序的编排方法共有 2×2A44＝96种．故选C.
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【知识(zhī shi)要点】 1．求解排列与组合的综合应用题，通常有三条途径： (1)以元素为分析对象，先满足特殊元素的要求，再考虑其他 元素，即优元法； (2)以位置为分析对象，即先满足特殊位置的要求，再考虑其 他位置，即优位法．这两种方法都是直接法； (3)先不考虑附加条件，计算出所有排列数或组合数，再减去 不符合要求的排列数或组合数，即间接法． 2．解决排列与组合应用题常用的方法有： 直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法与 位置分析法；插空法与捆绑法等．
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4．已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三 个集合中各取一个元素(yuán sù)，构成空间直角坐标系中 点的坐标，则确定不同点的个数为____． 33
【解析】若不考虑(kǎolǜ)限定条件，确定的点的个数 为C11C21C31A33＝36，但集合B、C中有相同元素1， 由5，1，1三个数确定的相同的点有三个．故所求的 个数为36－3＝33.