安徽省定远重点中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试卷(含答案)

（2）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) AB 方程为 y kx 1 ，代入曲线 C2 的方程得 x2 4kx 4 0 ，
函数.
为奇
（2 ） ，任取 x1 x2
∵ x1 x2 ，∴ x2 x1 0 ， ∵ x 0 时， 又 值域为 ，∴ f x2 x1 1 ，∴ 1 f x2 x1 0 ， ，∴ f x1 1 f x2 x1 0 ，∴ f x1 f x2 .
. PF QF
（1）求椭圆 M 的方程； （2）O 为坐标原点， A， B, C 是椭圆 M 上不同的三点， 并且 O 为 ABC 的重心， 试探究 ABC 的 面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
19. （本 题满分 12 分） 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 值 域 为 ， 且 对 任 意 ， 都 有
2 ） 3
三、解答题 (共 6 小题 ,共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 )
17.（本小题满分 10 分）
已知 （1 ） （2）若 ； 的平分线交 于点 ，且 的面积为 ，求 的长. 的内角 所对的边分别为 ， .
18. 本小题满分 12 分）
x2 y 2 3 7 1(a 3) 与 直 线 y 已知右焦点为 F 的椭圆 M : 2 相 交 于 P, Q 两 点 ， 且 7 a 3
椭圆 M 的方程为
x2 y 2 1． 4 3
（2）设直线 AB 方程为： y kx m ，
8km x2 y2 x1 x2 1 3 4k 2 由{ 4 得 3 4k 2 x2 8kmx 4m2 12 0 ， { 3 6m y1 y2 y kx m 3 4k 2
7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何
体的表面积为（ A.
）
99 2
B. 61 C. 62 D. 73
x 1
8. 设 不 等 式 组 { x y 0 表 示 的 平 面 区 域 为 M ， 若 直 线
x y 4
y kx 2 上存在 M 内的点，则实数 k 的取值范围是（
理科数学试题答案
1.B 2.D 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C 8.A 9.A 10.D 11.D 12.B
13. 33
18 14. 0， 7
15.
π 2
16. 10 17.(1) (2)
【解析】 （1）因为
，所以
.
于是， （2）由 设 ∴ ∵ 又 在 为 可得 .
3.当 n 4 时，执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为 （ A. 9 B. 15 C. 31 D. 63
4.等比数列 an 的前 n 项和为 S n ，且 4a1,2 a2, a3 成等差数列，若 a1 1 ， 则 S4 （ A. 15 5.若 sin A. ） B. 16 C. 18 D. 20 ）
AB 3 ，则定点 M 的 CD 4

π 5π π , 若对任意的实数 , , 都存在唯一的实数 0, m , 6 2 6
f 0 ,则实数 m 的最小值是___．
16.如图，为了测量河对岸 A 、 B 两点之间的距离，观察者找到一个点 C ，从点 C 可以观察到点 A 、
A. ） C. 1,3 D.
2,5
B.
, 1 3,
, 2 5,
）
9.已知 f x
1 2 x cosx ， f ' x 为 f x 的导函数，则 f ' x 的图像是（ 4
A.
B.
C.
D.
x 2 4, x a 10.已知函数 f x { x 2 ，若 f f x 0 存在四个互不相等的实数根，则实数 a 的取 3 1, x a
21. （本小题满分 12 分） 如图，在边长为 重合， ， 的菱形 .沿 中， 将 翻折到 .点 ， 分别在边 的位置，使平面 ， 上，点 与点 ， 不 平面 .
（1）求证： （2）当 与平面
平面
； 时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
所成的角为
22. （本小题满分 12 分） 已知 （1）讨论 （2）若 的单调性； 有三个不同的零点，求的取值范围. .
. .
∵ f x 值域为 0, ，∴ f 0 1 . ∵ f x 的定义域为 ，∴ x 的定义域为 .
1 1 f x 1 f x 1 f x x ， 又∵ f 0 f x f x ，∴ x 1 f x 1 1 f x 1 f x


（
）
A.
1, 2,3
B.
0,1, 2,3
C. x|x

7 2
D. x|0 x ）

7 2
2.复数
1 3 1 i （ i 为虚数单位）的虚部是（ 1 i 3 3 5 i A. B. C. i 2 2 2
D. ）
5 2
B.
,1 eln2
eln2,
C.
, eln2
x
D.
1 eln2, （
）
12.已知奇函数 f x 满足 f x f x 4 ，当 x 0,1 时， f x 4 ，则 f log 192 4 A.
∴ f x 为 上的增函数.
， ∵ f 3 4,16 f 3 f 3 f 6 . 又 为 上的增函数，∴ f x 16 x 6 .
故
的解集为
.
20.（1）曲线 C1 的方程
x2 y 2 1 ，曲线 C2 的方程为 x 2 4 y ； （2）最小值为 7 ． 3 4
3 ，且 , ，则 sin 2 （ 5 2 2
B.
24 25
12 25
C.
12 25
D.
24 25
6. 设 E ，
F 分 别 是 正 方 形 ABCD 的 边 AB ， BC 上 的 点 ， 且
） ．
1 2 AB ， BF BC ，如果 EF mAB nAC （ m ， n 为实数） ，则 m n 的值为（ 2 3 1 1 A. B. 0 C. D. 1 2 2 AE
.
的面积为 ，∴ .则 . ，∴ . .
，
的平分线，∴ .∴ 中,由余弦定理可得 ，∴
.
9 2
x2 y 2 1 (2) 18.(1) 4 3
ABC 的面积为定值
3 3 【解析】 （1）设 F c, 0 ， P t , ，则 Q t , ， 7 7
定远重点中学 2019 届高三上学期期末考试
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。请在答题卷上作答。 第I卷 （选择题 共 60 分）
一、选择题 (共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合 题目要求。 )
1.已知集合 A x N |2 x 7 0 ， B x|x 2 3x 4 0 ，则 A B
4 3
B.
4 3
C.
3 4
D.
3 8
第 II 卷（非选择题
共 90 分）
二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分 )
13.已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 4 2 ， 点 M 是棱 BC 的中点， 点 P 在底面 ABCD
内，点 Q 在线段 A1C1 上，若 PM 1，则 PQ 长度的最小值为_____.
2
2
2
4m2 12 4 1 k 2 8km 4 12k 2 9 3m 2 ， 2 2 2 3 4k 3 4k 3 4k
3m 1 k 2
（ d 是原点到 AB 距离的 3 倍得到） ，
2
2
点 C 到直线 AB 的距离 d
值范围为（ A. 2, ）


B. 6,


C. 2, 2 6,




D. 2, 6 3,


11.设函数 f x ae A.
x 1
1 e x ln x 1 存在零点 x0 ，且 x0 1 ，则实数 a 的取值范围是
， （Ⅰ）求 的值，并证明
. 为奇函数；
（Ⅱ）若
时，
，且
，证明
为
上的增函数，并解不等式
.
20. （本小题满分 12 分） 已知曲线 C1 上任意一点 M 到直线 l : y 4 的距离是它到点 F 0,1 距离 的 2 倍；曲线 C2 是以原点为顶点， F 为焦点的抛物线． （1）求 C1 , C2 的方程； （2）设过点 F 的直线与曲线 C2 相交于 A, B 两点，分别以 A, B 为切点引曲线 C2 的两条切线 l1 , l2 ， 设 l1 , l2 相交于点 P ，连接 PF 的直线交曲线 C1 于 C , D 两点，求 AD CB 的最小值．
14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O1 : x2 y 2 9 ，圆 O2 : x2 y 6 16 ，在圆 O2 内存在
2
一定点 M ，过 M 的直线 l 被圆 O1 ，圆 O2 截得的弦分别为 AB ， CD ，且 坐标为_______. 15.已知函数 f x sin x 使 f

t2 3 4 1 ，即 t 2 a 2 ，① 2 7 a 7
3 3 7 · 7 1 ，即 c 2 t 2 9 ，② PF QF ， 7 t c t c
4 9 由①②得 c 2 a 2 ， 7 7
又 a2 c2 3 ， a 2 4 ，
6m 8km ， , O 为重心， OC OA OB 2 2 3 4k 3 4k


8km 6 m 2 3 4k 3 4k 2 C 点在椭圆 E 上，故有 1 ， 4 3
可得 4m2 4k 2 3 ， 而 AB 1 k
SABC
6m 6m 1 9 AB · d 12k 2 9 3m2 12m2 3m2 ， 2 2 2 3 4k 4m 2
9 ， 2
当直线 AB 斜率不存在时， AB 3 ， d 3 ， S ABC
ABC 的面积为定值
9 ． 2
19.(1) f 0 1 ,见解析(2) 解集为 【解析】 （Ⅰ）解：令 ，得
B ；找到一个点 D ，从点可以观察到点 A 、 C ；找到一个点 E ，从点可以观察到点 B 、 C ；并测
量得到一些数据： CD 2 ， CE 2 3 ， D 45 ， ACD 105 ， ACB 48.19 ，
BCE 75 ， E 60 ， 则 A 、B 两点之间的距离为__________． （其中 cos48.19 取近似值
| y4| x 2 ( y 1) 2 2,曲线 C1 的方程
【解析】 （1）设 M ( x, y) ，则 方程为 x 2 2 py ( p 0) ，则
x2 y 2 1 ，设曲线 C2 的 3 4
p 1, p 2,曲线 C2 的方程为 x 2 4 y 2