高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制习题课件新人教A必修4
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1.1.2 弧 度 制
要点 1 角度制 将圆周的3160作为 1 度的角，记作 1°，这种用度作单位来度 量角的单位制叫角度制． 要点 2 弧度制 将长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度的角，记作 1 rad.这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．
要点 3 角度、弧度的换算 设一个角的弧度数为 α，角度为 n°，则α ＝1π80α°，n° ＝1n80π . 要点 4 弧长公式 l＝|α|·r． 要点 5 扇形面积公式 S＝12lr＝12|α |r2(其中 r 是圆的半径，α 是圆心角的弧度数，l 是弧长)．
(2)如题图②中以 OB 为终边的角 225°，可看成是－135°， 化为弧度，即－34π，而 135°＝135×1π80＝3π4 ，
∴{θ|2kπ－3π4 <θ<2kπ＋3π4 ，k∈Z}． (3)如题图③，∵30°＝π6 ，210°＝7π6 ，
∴{θ|2kπ＋π6 <θ<2kπ＋π2 ，k∈Z}∪{θ|2kπ＋7π6 <θ<2k
思考题 4 如下图所示：
(1)分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【答案】 (1)终边在 OA 上的角的集合为 {α |α ＝3π4 ＋2kπ ，k∈Z}． 终边在 OB 上的角的集合为 {β |β ＝－π6 ＋2kπ ，k∈Z}． (2){α|－π6 ＋2kπ ≤α ≤3π4 ＋2kπ ，k∈Z}．
(2)不论是以“弧度”还是“度”为单位的角的大小都是一 个与半径大小无关的定值．
思考题 1 下列命题中，假命题是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的3610，1
rad
的角是周角的 1 2π
C．1 rad 的角比 1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【答案】 D
题型二 角度制与弧度制的互化 例 2 将下列角转化为另一种形式表示： (1)－300°； (2)85π .
【解析】 (1)－300°＝－300×1π80＝－53π； (2)85π＝85×180°＝288°.
探究 2 解决这一类问题的关键是角度制与弧度制的互化关 π 这个角的弧度数
系，π弧度＝180°，再由公式180°＝ 这个角的度数 得：度数 ×1π80＝弧度数，弧度数×18π0°＝度数．
19 (1) 3 π
；(2)－315°；(3)－154π
；(4)323π
.
【解析】 (1)139π＝π3 ＋6π，是第一象限角． π
(2)－315°＝45°－360°＝ 4 －2π，是第一象限角． (3)－154π＝－4π＋π4 ，是第一象限角． (4)323π＝10π＋2π3 ，是第二象限角．
探究 3 在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先 将它化为 2kπ＋α(k∈Z，α∈[0，2π))的形式，再根据 α 角终边 所在的位置进行判断．
③用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形
π 式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如 45°＝ 4 弧度，不必 写成 45°≈0.785 弧度．
④角度制和弧度制表示角时不能混用．如 α＝2kπ＋30°，k π
∈Z；β＝k·90°＋ 4 ，k∈Z，都不正确．
2．在公式|α|＝lr中，比值rl是否与圆的半径 r 有关？ 答：无关.
课时学案
题型一 弧度制概念 例 1 下列四个命题中，不正确的一个是( ) A．半圆所对的圆心角是 π rad B．周角的大小是 2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度
【答案】 D
探究 1 (1)弧度制是以“弧度”为单位度量角，角度制是以 “度”为单位度量角；是度量角的两种方法．
题型四 弧长、扇形面积公式的应用 例 5 (1)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形的 圆心角的弧度数． (2)已知一扇形的圆心角为 108°，半径等于 30 cm，求扇形 的面积． (3)已知一扇形的周长为 16 cm，当它的半径和圆心角取何值 时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
思考题 3 把下列角化成 2kπ ＋α，k∈Z，0≤α <2π 的形
式，并判断该角是第几象限角？ (1)143π ；(2)－1 104°. 【解析】 (1)143π＝2π＋5π 4 ，第三象限角． (2)－1 104°＝－1 104×1π80＝－9125π＝－8π＋2185π，第四象
限角．
例 4 用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴， 终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图所示)．
π＋3π2 ，k∈Z}＝{θ|2kπ＋π6 <θ<2kπ＋π2 ，k∈Z}∪{θ|(2k＋
π
π
π
π
1)π＋ 6 <θ<(2k＋1)π＋ 2 ，k∈Z}＝{θ|kπ＋ 6 <θ<kπ＋ 2 ，
k∈Z}．
探究 4 角度制与弧度制之间换算的实质是 180°＝π(弧 度)．但要注意，用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常 略去不写．
思考题 2 在下列表格中填上相应的角度或弧度数．
角度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180°
弧度
π
5π
6
12
Байду номын сангаас
3π 2
2π
【答案】 角度：30° 75° 270° 360°
弧度：0
π 4
π 3
π 2
3π 4
5π 6
π
题型三 用弧度制表示终边相同的角
例 3 将下列各角化成 0 到 2π 的角加上 2kπ (k∈Z)的形式， 并指出它们所在的象限．
1．对弧度制概念的理解？
答：①无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是 一个与“半径”大小无关的定值，仅仅是为了能使概念描述更具体 的一个“过渡量”而已．
②用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写， 这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应该把它理解为名数， 如 sin2 是指 sin(2 弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以 度为单位表示角时，度就不能省去．
【思路分析】 首先可以利用弧度制与角度制间的关系将有
关角化为弧度数，同时在表示所给角的范围时还要注意正角和负 角之间的转化．
【解析】 (1)如题图①中以 OB 为终边的角 330°，可看成 为－30°，化为弧度，即－π6 ，而 75°＝75×1π80＝51π2 .
∴{θ|2kπ－π6 <θ<2kπ＋51π2 ，k∈Z}．
要点 1 角度制 将圆周的3160作为 1 度的角，记作 1°，这种用度作单位来度 量角的单位制叫角度制． 要点 2 弧度制 将长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度的角，记作 1 rad.这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．
要点 3 角度、弧度的换算 设一个角的弧度数为 α，角度为 n°，则α ＝1π80α°，n° ＝1n80π . 要点 4 弧长公式 l＝|α|·r． 要点 5 扇形面积公式 S＝12lr＝12|α |r2(其中 r 是圆的半径，α 是圆心角的弧度数，l 是弧长)．
(2)如题图②中以 OB 为终边的角 225°，可看成是－135°， 化为弧度，即－34π，而 135°＝135×1π80＝3π4 ，
∴{θ|2kπ－3π4 <θ<2kπ＋3π4 ，k∈Z}． (3)如题图③，∵30°＝π6 ，210°＝7π6 ，
∴{θ|2kπ＋π6 <θ<2kπ＋π2 ，k∈Z}∪{θ|2kπ＋7π6 <θ<2k
思考题 4 如下图所示：
(1)分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【答案】 (1)终边在 OA 上的角的集合为 {α |α ＝3π4 ＋2kπ ，k∈Z}． 终边在 OB 上的角的集合为 {β |β ＝－π6 ＋2kπ ，k∈Z}． (2){α|－π6 ＋2kπ ≤α ≤3π4 ＋2kπ ，k∈Z}．
(2)不论是以“弧度”还是“度”为单位的角的大小都是一 个与半径大小无关的定值．
思考题 1 下列命题中，假命题是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的3610，1
rad
的角是周角的 1 2π
C．1 rad 的角比 1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【答案】 D
题型二 角度制与弧度制的互化 例 2 将下列角转化为另一种形式表示： (1)－300°； (2)85π .
【解析】 (1)－300°＝－300×1π80＝－53π； (2)85π＝85×180°＝288°.
探究 2 解决这一类问题的关键是角度制与弧度制的互化关 π 这个角的弧度数
系，π弧度＝180°，再由公式180°＝ 这个角的度数 得：度数 ×1π80＝弧度数，弧度数×18π0°＝度数．
19 (1) 3 π
；(2)－315°；(3)－154π
；(4)323π
.
【解析】 (1)139π＝π3 ＋6π，是第一象限角． π
(2)－315°＝45°－360°＝ 4 －2π，是第一象限角． (3)－154π＝－4π＋π4 ，是第一象限角． (4)323π＝10π＋2π3 ，是第二象限角．
探究 3 在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先 将它化为 2kπ＋α(k∈Z，α∈[0，2π))的形式，再根据 α 角终边 所在的位置进行判断．
③用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形
π 式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如 45°＝ 4 弧度，不必 写成 45°≈0.785 弧度．
④角度制和弧度制表示角时不能混用．如 α＝2kπ＋30°，k π
∈Z；β＝k·90°＋ 4 ，k∈Z，都不正确．
2．在公式|α|＝lr中，比值rl是否与圆的半径 r 有关？ 答：无关.
课时学案
题型一 弧度制概念 例 1 下列四个命题中，不正确的一个是( ) A．半圆所对的圆心角是 π rad B．周角的大小是 2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度
【答案】 D
探究 1 (1)弧度制是以“弧度”为单位度量角，角度制是以 “度”为单位度量角；是度量角的两种方法．
题型四 弧长、扇形面积公式的应用 例 5 (1)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形的 圆心角的弧度数． (2)已知一扇形的圆心角为 108°，半径等于 30 cm，求扇形 的面积． (3)已知一扇形的周长为 16 cm，当它的半径和圆心角取何值 时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
思考题 3 把下列角化成 2kπ ＋α，k∈Z，0≤α <2π 的形
式，并判断该角是第几象限角？ (1)143π ；(2)－1 104°. 【解析】 (1)143π＝2π＋5π 4 ，第三象限角． (2)－1 104°＝－1 104×1π80＝－9125π＝－8π＋2185π，第四象
限角．
例 4 用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴， 终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图所示)．
π＋3π2 ，k∈Z}＝{θ|2kπ＋π6 <θ<2kπ＋π2 ，k∈Z}∪{θ|(2k＋
π
π
π
π
1)π＋ 6 <θ<(2k＋1)π＋ 2 ，k∈Z}＝{θ|kπ＋ 6 <θ<kπ＋ 2 ，
k∈Z}．
探究 4 角度制与弧度制之间换算的实质是 180°＝π(弧 度)．但要注意，用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常 略去不写．
思考题 2 在下列表格中填上相应的角度或弧度数．
角度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180°
弧度
π
5π
6
12
Байду номын сангаас
3π 2
2π
【答案】 角度：30° 75° 270° 360°
弧度：0
π 4
π 3
π 2
3π 4
5π 6
π
题型三 用弧度制表示终边相同的角
例 3 将下列各角化成 0 到 2π 的角加上 2kπ (k∈Z)的形式， 并指出它们所在的象限．
1．对弧度制概念的理解？
答：①无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是 一个与“半径”大小无关的定值，仅仅是为了能使概念描述更具体 的一个“过渡量”而已．
②用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写， 这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应该把它理解为名数， 如 sin2 是指 sin(2 弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以 度为单位表示角时，度就不能省去．
【思路分析】 首先可以利用弧度制与角度制间的关系将有
关角化为弧度数，同时在表示所给角的范围时还要注意正角和负 角之间的转化．
【解析】 (1)如题图①中以 OB 为终边的角 330°，可看成 为－30°，化为弧度，即－π6 ，而 75°＝75×1π80＝51π2 .
∴{θ|2kπ－π6 <θ<2kπ＋51π2 ，k∈Z}．