2014年山东专升本(数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2014年山东专升本（数学）真题试卷(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 4. 综合题 5. 证明题
一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数y=的定义域为( )。

A．m(－∞，－2]∪[3，+∞)
B．[－3，6]
C．[－2，3]
D．[－3，－2]∪[3，6]
正确答案：D
解析：(用试探法解即可)
2．下列各组中，两个函数为同一函数的组是( )。

A．f(x)=lgx+lg(x+1)，g(x)=lg[x(x+1)]
B．y=f(x)，g(x)=f
C．f(x)=?1－x?+1，g(x)=
D．
正确答案：C
解析：(注意两方面，定义域和对应法则)
3．函数y=?xcos x?( )。

A．有界函数
B．偶函数
C．单调函数
D．周期函数
正确答案：B
解析：(简单判定即可选出答案)
4．直线x—1==z+8与直线的夹角为( )。

A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：(两直线的夹角即为两方向向量之间的夹角，取锐角)
5．下列结论正确的是( )。

A．若级数均收敛，则级数(an+bn)2收敛
B．若级数?anbn?收敛，则级数均收敛
C．若级数an发散，则an≥
D．若级数an收敛，an≥bn，则级数bn收敛
正确答案：A
解析：(对于选项A，因an2+bn2≥2?anbn?，且(an2+bn2)收敛，故?anbn?收敛，所以根据绝对收敛的性质，anbn也收敛，所以(an+bn)2收敛；选项B
无法推出；选项C的一个反例为；选项D必须为正项级数结论才正确，一个反例为an=)
二、填空题
6．函数y=[x]=n，n≤x＜n+1，n=0，±1，±2，……的值域为________．正确答案：{0，±1，±2，…} (或填写Z也可以，即全体整数的集合)
7．设则f(x)=________．
正确答案：
8．=________.
正确答案：0 (无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小)
9．曲线y=ln(1+ex)的渐近线为________．
正确答案：y=0，y=x
解析：因ln(1+e2)=0，故y=0为水平渐近线；又
k==1,b=[f(x)一kx]=[ln(1+ex)－x]=[ln(1+ex)－lnex]==0，故y=X为斜渐近线．
10．函数y=的间断点为________．
正确答案：x=kπ，x=kπ+.
三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。

11．设函数f(x)=，求f[f(x)]．
正确答案：由题意，当?x?＞1时，f(x)=一1，故f[f(x)]=f(一1)=1；当?x?≤1时，f(x)=1，故f[f(x)]=f(1)=1；综上，f[f(x)]=1，x∈R．
12．求
正确答案：=2012．13．求
正确答案：
14．求
正确答案：
15．若f(x)=在定义域上连续，试求常数
C．
正确答案：因f(x)在定义域上连续，故f(x)在x=c处必定连续，所以
f(x)=f(c)；又(x2+1)=c2+1，
且f(c)=c2+1，所以=c2+1，解之得c=2或c=一2(舍去)．注：c3+c一10=(c一2)(c2+2c+5)，c3+c+10=(c+2)(c2—2c+5)．
16．设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2012)，求f＇(0)．
正确答案：=2012!．注：本题也可使用函数乘积的导数公式推导求解．
17．设
正确答案：
18．设∫xf(x)dx=arctan x+C，求
正确答案：等式两边对x求导，得xf(x)=，则f(x)=，故dx=
∫x(1+x2)dx=∫(x+x3)dx=+
C．
19．若u=ln(x2+y)，求．
正确答案：
20．求xyln xdxdy．
正确答案：积分区域如下图所示．xylnxdxdy=∫12dx∫01xylnxdy=∫
12[xy]01dx=∫12(x一1)dx=.
综合题
21．求
正确答案：
22．在曲线=1(a＞0，b＞0，x＞0，y＞0)上求一点，使得曲线在该点处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小．
正确答案：设切点坐标为(x0，y0)，方程=1两边对x求导，得
．故斜率k=一．切线方程为y一y0=(x一x0)，令x=0得y=，令y=0得x=，故面积S=又
设f(x0)=则f(x0)最大时面积S即为最小，故令f＇(x0)==0，得x0=经验证此驻点为f(x0)的极大值
点，再根据题意，唯一的极大值点即为最大值点，此时y0=故所求切点为
证明题
23．若f(x)连续，且f(x)+2∫0xf(t)dt=x2，求f(x)．
正确答案：等式两边对x求导，得f＇(x)+2f(x)=2x，此为关于f(x)的一阶线性微分方程，P(x)=2，Q(x)=2x，故通解为f(x)=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]=e-∫2dx(∫2xe∫2dxdx+c)=e-2x(∫2xe2xdx+C)=e-2x(xe2x—
e2x+C)=x一+Ce-2x，原等式中，令x=O可得f(0)=0，代入上式可得C=.故f(x)=x 一e-2x．
24．一抛物线过(1，0)，(3，0)，证明：该抛物线与两坐标轴所围图形面积等于该抛物线与X轴所围图形面积．
正确答案：证明：由题意，可设抛物线的方程为y=a(x一1)(x一3)，a≠0，当a＞0时，抛物线开口向上，顶点(2，一a)在x轴下方，与y轴的交点为(0，3a)位于y轴正半轴，当a＜0时，抛物线开口向上，顶点(2，一a)在x轴上方，与y轴交点为(0，3a)位于y轴负半轴，但不论哪种情况，抛物线与两坐标轴同时围成的图形的面积S1=∫01?y?dx=∫01?a(x一1)(x一3)dx=∫01?a?(1一x)(3
一x)dx=抛物线与X轴所围图形的面积S2=∫13?y?dx=∫13?a(x一1)(x一3)?dx=∫13?a?(x一1)(3一x)=显然S1=S2，命题得证．。