【九年级】2021年全国中考数学规律探索试题汇编

【九年级】2021年全国中考数学规律探索试题汇编
山
（2021•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（?1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点
O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第
三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点
P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心
对称；…照此规律重复下去，则点P2021的坐标为（0，?2）．
考点：中心对称；规律型：点的坐标．
专题：规律型．
分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2021的坐标．
解答：解：点P1（2，0），P2（?2，2），P3（0，?2），P4（2，2），P5（?2，0），P6（0，0），P7（2，0），
从而可得出6次一个循环，
∵ =503…3，
∴点P2021的坐标为（0，?2）．
故答案为：（0，?2）．
点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳
跃后点的坐标，总结出一般规律．
.（2021• 潍坊）当白色小正方形个数等于1,2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和
等于_____________.（用表示，是正整数）
（2021• 淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻
格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是.
－4abc6b－2…
（2021•湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是85 ．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：先根据第一行的第一列与第二列相差2，往后分别相差3，4，5，6，7，第二
行的第一列与第二列相差3，往后分别相差4，5，6，7，第三行的第一列与第二列相差4，往后分别相差5，6，7，8，由此得出第七行的第一列与第二列分别相差8，往后分别相，9，10，11，12，13，从而求出答案．
解答：解：第一行的第一列与第二列差个2，第二列与第三列差个3，第三列与第四
列差个4，…第六列与第七列差个7，
第二行的第一列与第二列差个3，第二列与第三列差个4，第三列与第四列差个5，…第五列与第六列差个7，
第三行的第一列与第二列差个4，第二列与第三列差个5，第三列与第四列差个6，第四列与第五列差个7，
…
第七行的第一列与第二列差个8，是30，第二列与第三列差个9，是39，第三列与第
四列差个10，是49，第四列与第五列差个11，是60，
第五列与第六列差个12，是72，第六列与第七列差个13，是85；
故答案为：85．
点评：此题考查了数字的变化类，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是得到每行中前一列
与后一列的关系．
（2021• 衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连结菱形
ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形
A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边
形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继
续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是▲ ；四边
形A2021B2021C2021D2021的周长是▲ .
（2021• 台州）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变
为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是。

（2021•深圳）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）
1! = 1，2! = 2×1，3! = 3×2×1，4! = 4×3×2×1，……，
那么计算： =_______。

（2021•珠海）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形
A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是．
考点：中点四边形．
专题：规律型．
分析：根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形
A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A6B6C6D6 的周长．
解答：解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形
A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形
A2B2C2D2面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，则周长是原来的；
…
以此类推：第六个正方形A6B6C6D6周长是原来的，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴周长为4，
∴第六个正方形A6B6C6D6周长是．
故答案为：．
点评：本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系．
2021•牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC 为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使
∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是（）n?1 ．
考点：菱形的性质．
专题：规律型．
分析：连接DB于AC相交于，根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AE，AG的长，
从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．
解答：解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴B= ，
∴A= ，
∴AC= ，
同理可得AE= AC=（）2，AG= AE=3 =（）3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n?1，
故答案为（）n?1．
点评：此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力．
（2021•绥化）如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依
次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2021个点在射线OC 上．考点：规律型：图形的变化类．
分析：根据规律得出每6个数为一周期．用2021除以3，根据余数来决定数2021在
哪条射线上．
解答：解：∵1在射线OA上，
2在射线OB上，
3在射线OC上，
4在射线OD上，
5在射线OE上，
6在射线OF上，
7在射线OA上，
…
每六个一循环，
2021÷6=335…3，
∴所描的第2021个点在射线和3所在射线一样，
∴所描的第2021个点在射线OC上．
故答案为：OC．
点评：此题主要考查了数字变化规律，根据数的循环和余数来决定数的位置是解题关键．
（2021兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（?3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2021的直角顶点的坐标为．
考点：规律型：点的坐标．
专题：规律型．
分析：根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2021除以3，根据商为671可知第2021个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．
解答：解：∵点A（?3，0）、B（0，4），
∴AB= =5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：
4+5+3=12，
∵2021÷3=671，
∴△2021的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵671×12=8052，
∴△2021的直角顶点的坐标为（8052，0）．
故答案为：（8052，0）．
点评：本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个
三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．
（2021•乌鲁木齐）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒
数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，
则第8行第3个数（从左往右数）为（）
A． B． C． D．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数得到莱布尼兹三角形，得到一个莱布尼
兹三角形，从而可求出第n（n≥3）行第3个数字，进而可得第8行第3个数．解答：解：将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数，得到莱布尼兹三角形，
杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是Cn?12，
则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是 = ，
则第8行第3个数（从左往右数）为 = ；
故选B．
点评：本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察、分析、归纳推理，得出各
数的关系，找出规律．
（2021•江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图
形中所有的个数为（用含n的代数式表示）．
【答案】 (n+1)2 .
【考点解剖】本题考查学生的观察概括能力，发现规律，列代数式．
【解题思路】找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子
表示．
【解答过程】略.
【方法规律】由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个数的平方.
【关键词】找规律连续奇数的和
（2021，河北）如图12，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x 轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；
……
如此进行下去，直至得C13．若P（37，）
在第13段抛物线C13上，则 =_________．
（2021•铜仁）如图，已知∠AOB=45°，A1、A2、A3、……在射线OA上，B1、B2、
B3、……在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，……AnBn⊥OA; A1B1⊥OB,……，
An+1Bn⊥OB（n=1，2，3，4，5，6……），若OA1=1，则A6B6的长是否 .
（2021•大兴安岭）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°.连结对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACEF,使∠FAC=60°.连结AE,再以AE为边作第三个菱形AEGH使
∠HAE=60°………按此规律所作的第n个菱形的边长是
（2021•红河）下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第20个图形中有 42 个实心圆．
（2021•重庆B）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为
A.51
B.70
C.76
D.81
山
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