高中物理选择性必修第一册 第1章 动量和动量守恒定律专题强化5 动量、动力学和能量观点在力学中的应用

动量、动力学和能量观点在力学中的应用
[学习目标] 1.进一步熟悉牛顿第二定律、动能定理、动量守恒定律、能量守恒定律等规律.2.灵活运用动力学观点、动量观点和能量观点解决力学问题．
一、力的三个作用效果与五个规律
作用效果对应规律公式表达三个基本观点力的瞬时
作用效果
牛顿第二定律F合＝ma动力学观点
力对空间积累效果
动能定理W
合＝ΔE k W合＝
1
2m v2
2－
1
2m v1
2
能量观点机械能守恒定律mgh1＋
1
2m v1
2＝mgh2＋
1
2m v2
2
力对时间积累效果
动量定理
F合t＝p′－p
I合＝Δp动量观点动量守恒定律m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
二、力学规律的选用原则
1．如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
2．研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
3．若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用两个守恒定律解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
4．在涉及相对位移问题时优先考虑利用能量守恒定律求解，根据系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量(即转化为系统内能的量)列方程．
5．在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化，这种问题由于作用时间极短，因此动量守恒定律一般能派上大用场．
如图1所示，较长的曲面与水平桌面平滑连接，将m 1、m 2之间的轻弹簧压缩后用细
线连接，置于水平桌面上，弹簧与两物体不拴连．现将细线烧断，弹簧将两物体弹开，m 2离开弹簧后从右边飞出，m 1冲上曲面．已知桌面高为h ，m 2平抛的水平射程为x ，m 1＝2m ，m 2＝m ，不计一切摩擦，重力加速度为g ，求：
图1
(1)m 2离开弹簧时的速度大小；
(2)m 1上升到曲面最高点时距桌面的高度H ； (3)弹簧的最大弹性势能． 答案 (1)x
g 2h (2)x 216h (3)3mgx 28h
解析 (1)对m 2平抛过程分析，有 h ＝1
2gt 2， x ＝v 2t 解得v 2＝x
g 2h
. (2)弹簧将两物体弹开的过程，m 1、m 2组成的系统动量守恒，取向左为正方向，由动量守恒定律有
m 1v 1－m 2v 2＝0 解得v 1＝
x
2
g 2h
对m 1冲上曲面过程，由机械能守恒定律有 m 1gH ＝1
2m 1v 12
解得H ＝x 2
16h
.
(3)弹簧的最大弹性势能为E p ＝12m 1v 12＋1
2m 2v 22
解得E p ＝3mgx 2
8h
.
(1)灵活选取系统.根据题目的特点可选取其中动量守恒或能量守恒的几个物体为研究对象，不
一定选所有的物体为研究对象.
(2)灵活选取物理过程.在综合题目中，物体运动常有几个不同的过程，根据题目的已知、未知条件灵活地选取物理过程来研究.列方程前要注意分析、判断所选过程动量、能量的守恒情况.
(2020·湖北曾都高二期中)如图2，光滑的水平地面上静止放置一辆小车A ，质量m A
＝5 kg ，上表面光滑，可视为质点的物块B 置于A 的最右端，B 的质量m B ＝3 kg.现对A 施加一个水平向右的恒力F ＝10 N ，A 运动一段时间后，小车左端固定的挡板与B 发生碰撞，碰撞时间极短，碰后A 、B 粘合在一起，共同在F 的作用下继续运动，碰撞后经时间t ＝0.8 s ，二者的速度达到v t ＝2 m/s.求：
图2
(1)A 开始运动时加速度a 的大小； (2)A 、B 碰撞后瞬间的共同速度v 的大小； (3)A 的上表面长度l .
答案 (1)2.0 m/s 2 (2)1 m/s (3)0.64 m
解析 (1)以A 为研究对象，由牛顿第二定律有F ＝m A a 代入数据解得a ＝F
m A
＝2.0 m/s 2
(2)A 、B 碰撞后一起在F 的作用下运动时间t 的过程中，由动量定理得 Ft ＝(m A ＋m B )v t －(m A ＋m B )v 代入数据解得v ＝1 m/s
(3)设A 、B 发生碰撞前，A 的速度为v A ， 对A 、B 发生碰撞的过程，由动量守恒定律有 m A v A ＝(m A ＋m B )v
A 从开始运动到与
B 发生碰撞前，由动能定理有 Fl ＝1
2
m A v A 2
代入数据可得l ＝0.64 m.
1．(动力学和动量观点的综合应用)(多选)如图3所示，一平台到地面的高度为h ＝0.45 m ，质量为M ＝0.3 kg 的木块放在平台的右端，木块与平台间的动摩擦因数为μ＝0.2.地面上有一质量为m ＝0.1 kg 的玩具青蛙，距平台右侧的水平距离为x ＝1.2 m ，旋紧发条后释放，让玩具青蛙斜向上跳起，当玩具青蛙到达木块的位置时速度恰好沿水平方向，玩具青蛙立即抱住木
块并和木块一起滑行．已知木块和玩具青蛙均可视为质点，玩具青蛙抱住木块过程时间极短，不计空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2，则下列说法正确的是( )
图3
A ．玩具青蛙在空中运动的时间为0.3 s
B ．玩具青蛙在平台上运动的时间为2 s
C ．玩具青蛙起跳时的速度大小为3 m/s
D ．木块开始滑动时的速度大小为1 m/s 答案 AD
解析 由h ＝1
2gt 12得玩具青蛙在空中运动的时间为t 1＝0.3 s ，A 项正确；玩具青蛙离开地面
时的水平速度和竖直速度分别为v x ＝x
t 1＝4 m/s ，v y ＝gt 1＝3 m/s ，则玩具青蛙起跳时的速度大
小为v 0＝v x 2＋v y 2＝5 m/s ，C 项错误；由动量守恒定律得m v x ＝(M ＋m )v ，解得木块开始滑动时的速度大小为v ＝1 m/s ，D 项正确；对木块及玩具青蛙，由动量定理得：－μ( M ＋m )gt 2＝0－(M ＋m )v ，解得玩具青蛙在平台上运动的时间为t 2＝0.5 s ，B 项错误．
2．(力学三大观点的综合运用)(2021·忻州一中月考)如图4所示，一水平轻弹簧右端固定在粗糙水平面右侧的竖直墙壁上，质量为M ＝2 kg 的物块静止在水平面上的P 点，质量为m ＝1 kg 的小球用长l ＝0.9 m 的轻绳悬挂在P 点正上方的O 点．现将小球拉至轻绳与竖直方向成60°角位置，静止释放．小球到达最低点时恰好与物块发生弹性正碰．碰后物块向右运动并压缩弹簧，之后物块被弹回，刚好能回到P 点．设小球与物块只碰撞一次，不计空气阻力，物块和小球均可视为质点，重力加速度取g ＝10 m/s 2.求：
图4
(1)小球第一次摆到最低点与物块碰撞前瞬间对轻绳的拉力大小； (2)弹簧的最大弹性势能E p . 答案 (1)20 N (2)2 J
解析 (1)小球静止释放，由机械能守恒定律：mgl (1－cos 60°)＝12m v 02
小球在最低点由牛顿第二定律得：F T －mg ＝m v 02
l
又由牛顿第三定律有小球对轻绳的拉力F T ′＝F T 解得：F T ′＝20 N.
(2)小球与物块发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律得：m v 0＝m v 0′＋M v 1 12m v 02＝12m v 0′2＋1
2
M v 12 物块从P 点运动到最右端，由能量守恒定律得：1
2M v 12＝E p ＋Q
小球反弹后回到P 点的过程，又有：E p ＝Q 联立解得：E p ＝2 J.
1．(多选)如图1所示，水平轻质弹簧的一端固定在墙上，另一端与质量为m 的物体A 相连，A 放在光滑水平面上，有一质量与A 相同的物体B ，从离水平面高h 处由静止开始沿固定光滑曲面滑下，与A 相碰后一起将弹簧压缩，弹簧恢复原长后某时刻B 与A 分开且沿原曲面上升．下列说法正确的是(重力加速度为g )( )
图1
A ．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为mgh
B ．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为mgh
2
C ．B 与A 分开后能达到的最大高度为h
4
D ．B 与A 分开后能达到的最大高度不能计算 答案 BC
解析 根据机械能守恒定律可得B 刚到达水平面的速度v 0＝2gh ，根据动量守恒定律可得A 与B 碰撞后的速度为v ＝12v 0，所以弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为E pm ＝1
2×2m v 2＝
1
2
mgh ，故A 错误，B 正确；当弹簧再次恢复原长时，A 与B 分开，B 以大小为v 的速度向左沿曲面上滑，根据机械能守恒定律可得mgh ′＝12m v 2，解得B 能达到的最大高度为h ′＝1
4h ，
故C 正确，D 错误．
2．(多选)如图2甲，光滑水平面上放着长木板B ，质量为m ＝2 kg 的木块A 以速度v 0＝2 m/s 滑上原来静止的长木板B 的上表面，由于A 、B 之间存在摩擦，之后木块A 与长木板B 的速度随时间变化情况如图乙所示，重力加速度g ＝10 m/s 2，则下列说法正确的是( )
图2
A ．木块A 与长木板
B 之间的动摩擦因数为0.1 B ．长木板的质量M ＝2 kg
C ．长木板B 的长度至少为2 m
D ．木块A 与长木板B 组成的系统损失的机械能为4 J 答案 AB
解析 由题图可知，木块A 先做匀减速运动，长木板B 先做匀加速运动，最后一起做匀速运动，共同速度v ＝1 m/s ，取向右为正方向，根据动量守恒定律得m v 0＝(m ＋M )v ，解得M ＝m ＝2 kg ，故B 正确；由题图可知，长木板B 匀加速运动的加速度为a B ＝Δv Δt ＝1
1 m/s 2＝1 m/s 2，
对长木板B ，根据牛顿第二定律得μmg ＝Ma B ，解得μ＝0.1，故A 正确；由题图可知前1 s 内长木板B 的位移为x B ＝1
2×1×1 m ＝0.5 m ，木块A 的位移为x A ＝2＋12×1 m ＝1.5 m ，所以
长木板B 的最小长度为L ＝x A －x B ＝1 m ，故C 错误；木块A 与长木板B 组成的系统损失的机械能为ΔE ＝12m v 02－1
2
(m ＋M )v 2＝2 J ，故D 错误．
3.(2020·广东省实验中学、广雅中学、佛山一中高二下期末)如图3所示，一质量为M B ＝6 kg 的木板B 静止于光滑的水平面上，物块A 的质量M A ＝6 kg ，停在B 的左端，一质量为m ＝ 1 kg 的小球用长为l ＝0.8 m 的轻绳悬挂在固定点O 上．将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与A 发生碰撞后反弹，反弹所能达到的最大高度h ＝0.2 m ，物块A 与小球均可视为质点，A 、B 达到共同速度后A 还在木板上，不计空气阻力，g 取10 m/s 2.
图3
(1)小球和物块A 碰后瞬间物块A 的速度大小； (2)A 、B 组成的系统因摩擦损失的机械能． 答案 (1)1 m/s (2)1.5 J
解析 (1)对于小球，在运动的过程中机械能守恒，
则有mgl ＝1
2m v 12，得v 1＝2gl ＝4 m/s ，
mgh ＝1
2
m v 1′2，得v 1′＝2gh ＝2 m/s
小球与物块A 碰撞过程中，系统的动量守恒，以向右为正方向，则有：m v 1＝－m v 1′＋M A v A ， 解得v A ＝1 m/s
(2)物块A 与木板B 相互作用过程中： M A v A ＝(M A ＋M B )v 共，解得v 共＝0.5 m/s. A 、B 组成的系统因摩擦而损失的机械能 ΔE ＝12M A v A 2－1
2(M A ＋M B )v 共2
代入数据，解得ΔE ＝1.5 J
4．如图4所示，光滑的水平面上有一质量M ＝9 kg 的木板，其右端恰好和1
4光滑固定的圆弧
轨道AB 的底端等高对接(木板的水平上表面与圆弧轨道相切)，木板右端放有一质量m 0＝2 kg 的物体C (可视为质点)，已知圆弧轨道半径R ＝0.9 m ，现将一质量m ＝4 kg 的小滑块(可视为质点)，在轨道顶端A 点由静止释放，滑块滑到B 端后冲上木板，并与木板右端的物体C 粘在一起沿木板向左滑行，最后恰好不从木板左端滑出，已知滑块和物体C 与木板上表面间的动摩擦因数均为μ＝0.2，取g ＝10 m/s 2.求：
图4
(1)滑块到达圆弧的B 端时，轨道对它的支持力大小； (2)木板的长度l .
答案 (1)120 N (2)1.2 m
解析 (1)滑块从A 端下滑到B 端，由机械能守恒定律得 mgR ＝1
2m v 02
解得v 0＝3 2 m/s
在B 点，由牛顿第二定律得 F N －mg ＝m v 02
R
解得轨道对滑块的支持力F N ＝120 N.
(2)滑块滑上木板后，滑块与木板右端的物体C 发生碰撞，以向左为正方向，设碰撞后共同的
速度为v 1，则 m v 0＝(m ＋m 0)v 1 代入数据得v 1＝2 2 m/s
对滑块、物体C 以及木板，三者组成的系统沿水平方向的动量守恒，设末速度为v 2，由动量守恒定律有
(m ＋m 0)v 1＝(m ＋m 0＋M )v 2 由能量守恒定律得
μ(m ＋m 0)gl ＝12(m ＋m 0)v 12－1
2(M ＋m ＋m 0)v 22
解得l ＝1.2 m.
5.如图5所示，C 是放在光滑的水平面上的一块木板，木板的质量为3m ，在木板的上表面有两块质量均为m 的小木块A 和B ，它们与木板间的动摩擦因数均为μ.最初木板静止，A 、B 两木块同时以相向的水平初速度v 0和2v 0滑上长木板，木板足够长，A 、B 始终未滑离木板也未发生碰撞．重力加速度为g ，求：
图5
(1)此后运动过程中木块B 的最小速度是多少？
(2)木块A 从刚开始运动到A 、B 、C 速度刚好相等的过程中，木块A 发生的位移是多少？ 答案 见解析
解析 (1)由题知，B 向右减速，A 向左减速，此时C 静止不动；A 先减速到零后与C 一起反向向右加速，B 向右继续减速，三者共速时，B 的速度最小． 取向右为正方向，根据动量守恒定律有 m ·2v 0－m v 0＝5m v 解得B 的最小速度v ＝v 0
5
.
(2)A 向左减速的过程，根据动能定理有 －μmgx 1＝0－1
2m v 02
向左的位移为x 1＝v 02
2μg
A 、C 一起向右加速的过程，根据动能定理有 μmgx 2＝1
2×4m ⎝⎛⎭⎫v 052
向右的位移为x 2＝2v 02
25μg
取向右为正方向，整个过程A 发生的位移为 x ＝x 2－x 1＝－21v 02
50μg
即此过程中A 发生的位移向左，大小为21v 02
50μg
.
6.(2020·嘉祥县第一中学高二期中)如图6所示，小球A 质量为m ，系在细线的一端，细线的另一端固定在O 点，O 点到光滑水平面的距离为h .物块B 和C 的质量分别是4m 和2m ，物块B 、C 与轻弹簧接触不拴接，静止置于光滑的水平面上，且物块B 位于O 点正下方．现拉动小球A 使细线水平伸直，小球A 由静止释放，运动到最低点时与物块B 发生正碰(碰撞时间极短)，反弹后上升到最高点时与水平面的距离为h
9.小球A 与物块B 、C 均可视为质点，不
计空气阻力，重力加速度为g ，求碰撞过程：
图6
(1)物块B 受到的冲量大小； (2)碰后轻弹簧获得的最大弹性势能； (3)物块C 获得的最大速度的大小． 答案 (1)4m 32gh (2)427mgh (3)4
9
2gh
解析 (1)设小球A 运动到最低点与物块B 碰撞前的速度大小为v 1，取小球A 运动到最低点时的重力势能为零，
根据机械能守恒定律有mgh ＝1
2m v 12
解得v 1＝2gh
设碰撞后小球A 反弹的速度大小为v 1′， 根据机械能守恒定律有：12m v 1′2＝mg h
9
解得v 1′＝
2gh
3
设碰撞后物块B 的速度大小为v 2，取水平向右为正方向， 由动量守恒定律有m v 1＝－m v 1′＋4m v 2 解得v 2＝
2gh 3
由动量定理可得，碰撞过程物块B 受到的冲量大小为I ＝4m v 2＝4m 2gh
3
(2)碰撞后当物块B 与物块C 速度相等时轻弹簧的弹性势能最大， 根据动量守恒定律有4m v 2＝6m v 3
根据机械能守恒定律有E pm ＝12×4m v 22－1
2×6m v 32
解得E pm ＝
4
27
mgh (3)当压缩的弹簧恢复原长时，C 物块获得的速度最大，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 4m v 2＝4m v 2′＋2m v 3′
12×4m v 22＝12×4m v 2′2＋1
2×2m v 3′2 解得v 3′＝4
9
2gh。