湖北省恩施州巴东一中高中数学(人教A版)选修2-3教案：3.1回归分析的基本思想及其初步应用第3课时

§3.1回归剖析的基本思想及其初步（3）
【学情剖析】：
教课对象是高二理科学生，学生已经学会成立回归模型的基本步骤，并有查验回归方程的拟合精准度
的方法，并能解决一些实质问题。

两个变量不呈线性关系，不可以直接利用线性回归方程成立两个变量的
关系，经过研究使学生领会对回归模型的选择，非线性模型能够经过变换转变为线性回归模型，让学生直
观的察看、思虑，借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系，并经过回归剖析领会不
一样模型拟合数据的成效。

【教课目的】：
（1 ）知识与技能：认识回归模型的选择；进一步理解非线性模型经过变换转变为线性回归模型；领
会不一样模型拟合数据的成效。

（2 ）过程与方法：从实例出发，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回
归剖析的必需性，经过学习有关指数，用有关指数来刻画回归的成效，从而概括出
回归剖析的一般步骤，并对详细问题进行回归剖析，用于解决实质问题。

（3 ）情感态度与价值观：任何事物都是相对的，但又有必定的规律性，我们只需从实质出发，
不停研究事物的内在联系，就会找出此中的规律性，形成解决实质问题的
方法和能力。

【教课要点】：
1.加深领会有些非线性模型经过变换能够转变为线性回归模型；
2.认识在解决问题的过程中找寻更好的模型的方法。

【教课难点】：
1.认识常用函数的图像特色，选择不一样的模型建模；
2.经过比较有关指数对不一样的模型进行比较。

【教课过程设计】：
教课环节教课活动设计企图一、复习引问题一：你能回想一下成立回归模型的基本步骤？复习成立线性入师：提出问题，指引学生回想成立回归模型的基本步骤（选变量、画散点回归模型的基本步图、选模型、预计参数、剖析与展望）骤
生：回想、表达成立回归模型的基本步骤
二、研究新问题二：察看例 2 的图 1． 1-6中的散点图，红铃虫的产卵数y 与温度 x指引学生依据知的图像特色：跟着自变量的增添，因变量也随之增添。

这些点能够除了可散点图判断两个变以看作是落在指数函数模型上，还能够以为它是落在什么函数的模型上？量的关系，使学生师：指引学生察看散点图的特色，并指引学生研究红铃虫的产卵数y认识不是任何两个与温度 x 还可能是什么关系。

（二次函数模型）变量都必定是只有生：议论、回想一些常有函数图像的特色，判断红铃虫的产卵数y 与一种关系。

温度 x 的可能关系
样本点还能够看作是散布在二次函数曲线y c1 x2c2的四周。

产卵数 y/ 个产卵数与温度的关系350
300
250
200
150
100
50
0温度
202224262830323436
问题三：对模型y c1 x 2c2能否有方法求参数c1和 c2的最小二乘估计？
师：从简单的模型下手，逐渐指引学生思虑把本来两个变量的非线性
关系转变为此外两个变量的线性关系
生：察看模型，研究变换的方法并发布自己的建议。

最后给出详细的
方法。

令 t x2，成立y与 t 之间的线性回归方程y c1t c2
问题四：经过变换后这个模型都转变为线性回归模型，你怎样获得这几个
线性回归模型的参数预计？
师：提出问题，指引学生疏组议论，启迪学生把原变量的观察数据转
变为新变量的数据，而后让学生给出每种线性回归模型的参数预计。

生：以组为单位进行数据变换，求参数的最小二乘预计（能够用计算
器）
解答过程以下：
令 b c1， a c2，即 y a bt
剖析 y 与t之间的关系，经过画散点图（以下列图），
变换后样本点的散点图
y
350
300
250
200
150
100
50
0t=x^2
4005006007008009001000110012001300
可看到 y 与t的散点图其实不散布在一条直线的四周，即不宜用线性回
让学生知道有时因变量与自变量的非线性关系经过变换后能够转变为两个新变量间的线性关系
使学生进一步领会把因变量与自变量的非线性关系经过变换后转变为此外两个变量的线性关系的方法。

使学生熟习线性回归模型的参数预计的方法
得出红铃虫的产卵数 y 与温度 x 的模型
指引学生试试
归方程来拟合它，即不宜用二次曲线 y c1 x2c2
进行不一样模型的
比
来拟合 y 与x之间的关
较。

系，这个结论还能够用残差剖析获得。

为比较两个不一样模型的残差，需成立相应的回归模型，让学生用线性
回归模型拟合回归方程y a bt 。

编号1234567共计温度 x / °C21232527293235192
产卵数 y /个711212466115325569 t = x 2441529625729841102412255414
t i2194481 279841390625 531441 707281 1048576 1500625 4652870 t i y i30875819131251749655506 117760398125610918
t773.429y81.286
n
2n
t i4652870t i y i610918 i1i1
n
? b
x i z i n x z?
i10.367a? z bx-202.543
n
2
x i n z 2
i1
因此 y 0.367t 202.543
由于 t x2，即y对于x的二次回归方程为y 0.367x 2202.543 。

问题五：指数回归模型与二次回归模型中哪个能更好地刻画红铃虫的产卵
数 y 与温度 x 的关系？经过什么数听说明？
师：提出问题，指引学生回想评论线性回归模型拟合利害的标准（相
关指数、残差平方和），进一步指引学生商讨怎样进行不一样模型的比较，
介绍计算模型有关指导数和残差平方和的方法，说明一般在参数个数必定的条件下，有关指数越大或残差平方和越小说明模型拟合得越好。

生：议论，提出自己的想法，计算每个模型的有关指数，并进行模型
的比较。

指数函数模型的有关指数
编号1234567共计温度x / °C21232527293235192
产卵数 y /个711212466115325569 y对于x的指数回归方
程?0.272 x 3.843x27.429y81.286
?y e
6.511.219.233.15
7.1129.2292.154
8.374
y i
e?i y i y?i -74.3-70.3-60.3-57.3-15.333.7243.70 0.5-0.2 1.8-9.18.9-14.232.920.6257
e?i2y i y?i25518.44940.13634.43281.7233.71136.759396.7 78141.4 0.270.03 3.1083.7079.01200.321084.26 1450.68
n
e?i2n2n2
1450.6878141.4 y i ?y i y i y
i 1i 1i 1
n
? 2
y i 2y i
R1i 10.98
n
y i y 2
i 1
二次函数模型的有关指数
从有关指数的计算结果来看，指数函数模型的R2比二次函数模型的R2更靠近于1，因此指数函数模型的回归成效好。

再从残差图看：
从图中可看出指数函数模型的残差点比较平均地落在水平的带状域中，因此指数函数模型拟合精度较二次函数模型的高。

经过学生自己着手计算感觉，概括判断模型拟合成效的方法：
⑴能够经过变换后的散点图察看两个新变量之间能否存在线性回归
方程；
⑵经过残差剖析比较两种模型的拟合成效。

一般状况下，比较两个模型
的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，
而另一些样本点的状况则相反），故经过比较两个模型的残差的平方和的大
小来判断模型的拟合成效。

残差平方和越小的模型，拟合的成效越好。

三、练习某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得
到数据以下 :
x123510203050100200
y10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
查验每册书的成本费
y 与印刷册数倒数
1
之间能否拥有线性有关关
y 对 x 的回归方程。

x
系，若有，求出
剖析：此题是非线性回归剖析问题，不如设变量
u
1
，题意要求对
x
u 与 y 作有关性查验，假如它们拥有线性有关关系，就能够进一步求出 y
对 u 的回归直线方程，这时，再回代 1 ，就获得了 y 对 x 的回归曲线
u
x
方程。

解：第一作变量置换
u
1 10 对
，题目所给数据变为以下表所示的
x
数据：
u
1
0．5 0． 33 0． 2 0．1
0． 05 0． 03 0． 02 0． 01 0．005
y
10.15
5.52
4.08 2.85
2.11
1.62 1.41
1.30 1.21 1.15
而后作有关性查验。

经计算得 r
0.9998 0.75 ，从而以为 u 与 y 之间拥有线性有关关
系，由公式得
a 1.125 ，
b 8.973 ，因此 ?
8.973u ，
y 1.125
最后回代 u
1
y 对 x 的回归曲线方程
? 1.125 8.973
，可获得
y
x
x
四、拓展与 思虑题： 假如两个变量是线性关系时利用最小二乘法获得了两个参数的估 使学生认识非
提升
计公式，例
2 中当模型不是线性回归模型时怎样预计模型中的参数？
线性回归模型也有
教师提出问题，并指出：最小二乘法的思想相同合用于非线性模型，
最小二乘预计，但
但不可以给出一致的公式，多半状况下用数值计算的方法。

不可以给出一致的公
生：研究非线性回归模型的最小二乘法，与前述两种模型进行比较， 式，多半状况下用
判断模型的拟合成效。

数值计算的方法。

五、小结
1． 重申要借助散点图的直观性、 联想已学过的基本函数图像、 以及知识间
让学生整理解
的联系，鼓舞学生在建模中勇敢试试；
决本例的思路，鼓 2． 用回归方程研究非线性回归问题的方法、步骤； 励学生研究成立更 3． 残差剖析的步骤、作用。

好的模型。

4． 梳理本节书的知识构造
问题背景剖析
散点图
线性有关系数
两个变量线性有关
两个变量非线性有关
最小二乘法
线性回归模型
有关指数 非线性回归模型
残差剖析
应用
练习与测试
1． 在两个变量
y 与 x 的回归模型中，分别选择了
4 个不一样模型， 它们的有关指数 R 2
以下，此中拟合成效
最好的模型是（
A ）
A ．模型 1 的有关指数 R 2 为 0.98
B ．模型 2 的有关指数 R 2
为 0.80
C ．模型 3 的有关指数 R 2 为 0.50
D ．模型 4 的有关指数 R 2
为 0.25
2． 已知两个变量的回归模型为
y 2 2 x ，则样本点的（ 1， 4.4 ）的残差是 _____________________
答案 :0.4
3． 残差平方和用数学符号表示为
___________________，它代表了随机偏差的效应； 解说变量的效应值称
为回归平方和， 能够用有关指数
R 2 来刻画回归的成效， 其计算公式是 ___________________ 。

明显， R 2
的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合成效越好。

n
2
n
y i
?
? 2
2
y i
答案 :
y i
； R 1
i
1。

y i
n
i 1
y i
y 2
i
1
4． 在研究硝酸纳的可溶性程度时，对不一样的温度观察它在水中的溶解度，得观察结果以下表所示：
温度（ x ）
0 10 20 50 70
溶解度（ y ） 66． 7
76． 0 85． 0 112． 3
128． 0
则由此获得的回归直线的斜率是
____________。

答案 :0.8809
x
． 已知线性有关的两变量
，
y 的三个样本点
（ ，
），（， ）， （ ， ），若用直线
AB 作为其
5
A 0 0
B 1 3
C 4
11
展望模型，则其有关指数
R 2 ________。

答案： y?
AB
3 x
， y
? ? 3 ?
12
7 ， y 1 0 ， y 2 ， y 3
? y 7 ， ? y
4 ， ? y 5
y 1 y 2 y 3
?
0 ， ? 0 ， ? 1 e 1 e 2 e 3
R 2
1
1 0.989
90
x ， y 的三个样本点
6． 已知线性有关的两变量
A （ 0， 0），
B （ 1， 3），
C （ 4， 11），若用直线 AB 作为其
展望模型，则点
C 的残差是 ________。

答案： y
x ， ?
， ?。

?
AB 3 12 1
y C
e C
7． 若一组观察值（ x 1
1
2 2
n n
i ii
i
恒为 0，则
， y ）、（ x ， y ）、 、（ x ， y ）之间知足
y =bx +a+e
(i =1、2. n)若 e
R 2
为
答案： 1。