EM算法

EM算法
EM算法--应用到三个模型：高斯混合模型
，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型
判别模型求的是条件概率p(y|x)，
生成模型求的是联合概率p(x,y)
.即= p(x|y) ? p(y)
常见的判别模型有线性回归、对数回归、线性判别分析、支持向量机、boosting、条件随机场、神经网络等。

常见的生产模型有隐马尔科夫模型、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型、LDA、Restricted
Boltzmann Machine等。

所以这里说的高斯混合模型，朴素贝叶斯模型都是求p(x,y)联合概率的。

(下面推导会见原因)套路小结：凡是生产模型，目的都是求出联合概率表达式，然后对联合概率表达式里的各个参数再进行估计，求出其表达式。

下面的EM算法，GMM等三个模型都是做这同一件事：设法求出联合概率，然后对出现的参数进行估计。

一、EM算法：
作用是进行参数估计。

应用：（因为是无监督，所以一般应用在聚类上，也用在HMM参数估计上）所以凡是有EM算法的，一定是无监督学习.因为EM是对参数聚集
给定训练样本是高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 样例独立，
我们想要知道每个样例隐含的类别z，使是p(x,z)最大，（即如果将样本
x(i)看作观察值，
参数估计问题，）
故p(x,z)最大似然估计是：
高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
所以可见用到EM算法的模型（高斯混合模型，朴素贝叶斯模型）都是求p(x,y)联合概率，为生成模型。

对上面公式，直接求θ一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。

EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。

竟然不能直接最大化?(θ)，我们可建立?的下界（E步），再优化下界（M步），见下图第三步，取的就是下界
解释上式：
对于每一个样例i，让Qi表示该样例隐含变量z
的某种分布，Qi满足的条件是（如果z 是连续性的，那么Qi是概率密度函数（因子分析模型就是如此），需要将求和符号换成积分符号即：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">因子分析模型是如此，这个会用在EM算法的M步求。

比如要将班上学生聚类，假设隐藏变量z是身高，那么就是连续的高斯分布。

上总式第1到第2步是分子分母同乘一个数，
第2到3步是：用了jasen不等式：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> （凸函数图形上表示反为凹函数，记住。

）
如图：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 。

因为第2步log是凹函数
>=
E[f(x)].这样就完成了第3步（详情见对应讲义。

）
至此推导完上面3步公式，下面所有模型都是对上面第3步公式进行参数估计的！！！
下面对第三步的Q(z)进行推导：
高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">（见讲义）
所以Q(Z)最终表示：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">，其中z只受参数θ影响。

所以EM算法：
高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
（承上启下：在m步中，最终是对参数θ进行估计，而这一步具体到高斯混合模型，则θ有三个参数：mu,phi,sigma代替，即高斯混合模型要推导三个参数，下面会讲）
至此，这就是EM算法所有推导，EM算法推导也只能推导这些步，具体再将这些公式推导下去，就要结合模型了。

总结：
如果将样本看作观察值，潜在类别看作是隐藏变量，
那么聚类问题也就是参数估计问题，只不过聚类问题中参数分为隐含类别变量和其他参数。

对应到EM上，E步估计隐含变量，M步估计其他参数，交替将极值推向最大。

例子：在Mitchell的Machine
Learning书中也举了一个EM应用的例子，将班上学生的身高都放在一起，
身高的高斯分布组成。

因此变成了如何估计每个样例是男生还是女生，然后在确定男女生情
况下，如何估计均值和方差，里面也给出了公式。

二、混合高斯模型：
将EM算法融到高斯混合模型，将上面EM算法的E步、M步的公式再具体推导下去。

整个模型简单描述为：
对于每个样例高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">，我们先从k个类别中按多项式分布抽取一个高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">，
然后根据高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">所对应的
k 个多值高斯分布中的一个，生成样例高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">，整个过程称作混合高斯模型。

（即对样例x，最终目的是生成样例x。

（？？）即对样例x，从k个类别抽取一个z,从根据z生成x。

）
特别地，混合高斯模型的（1）隐含类别标签高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> ，被认为满足多项式分布，即高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
(这里高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">只受?参数（即phi）影响)
（2）样例高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">被认为满足高斯分布，即高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模
Σ分别为样例x的均值和协方差)
类型
所以上面（1）（2）可知混合高斯模型中，这里的高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">仍是隐含随机变量。

模型细化多了三个变量?，μ和Σ。

(即是phi,mu,sigma). 其中?j就是样本类别中高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> =
j的比率。

μj是类别为j 的样本特征均值，Σj是类别为j
的样例的特征的协方差矩阵(Σj是一个矩阵！！)。

所以由上面（1）（2）合并得，最大似然估计p(x,
z)，对数化后如下：
高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
（对比一、EM算法里的总式：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">，只是参数θ由原化成三个?，μ和Σ）
注意第二步有两个迭加号。

第二个迭加号是z(i)=1
直到k个类别。

z只有k个类别。

所以混合高斯模型：
从EM算法步骤的高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 变成：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> （其中M步三个参数的右边公式在下面会进行推导。

这里直接先给出参数结果。

）1. E步：每个样例i的隐含类别z(i)为j的概率
可以通过条件概率计算得到。

即
高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">高斯混
（这里贝叶斯公式，分子是z=j一种类别情况，分母是z={1~k}k中类别的累加）
1）对上式的分子第一项：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">（由上面加黄色背景段文字可知）服从高斯分布：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">，
故高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> = 高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">。

（其中Σ即是高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">）2）对(E)式分子第二项高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">（又上面可知）
服从多项式分布：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
所以分子直接代入即可，所以高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 可以求得。

2.M步：先给出最终结果为:高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> ,推导如下：
下面对三个参数phi,mu,sigma(?，μ和Σ)分别进行求导:
（i）对μi
求导得(固定i，Σi):
高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
（ii）对i求导(固定μi，Σi）：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
因为?i是
隐性随机变量z的多项式分布概率值，又有约束条件高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
又由上面（M）步公式：
（iii）Σ的推导：
也类似，不过稍微复杂一些，毕竟是矩阵。

结果在之前的混合高斯模型中已经给出。

3.迭代：对上面E,M步进行迭代，最后一定会收敛（证明见讲义）
如图，最终收敛成2个类，这里的样例收敛于椭圆，原因是高斯分布的二维几何图形是一个椭圆，（具体几何图形见下面因子分析，有详解）
拓展：
混合高斯模型GMM与K-means比较：
相同点：都是可用于聚类的算法；都需要指定K值。

不同点：对GMM来说，引入了概率；GMM可以给出一个样本属于某类的概率是多少。

所以高斯混合模型既可以做聚类，也可做概率密度估计三、混合朴素贝叶斯模型
混合高斯的例子：文本聚类:
要对一系列的文本聚类成若干主题。

（用svm写文本分类是最好的）怎样在文本新闻问题用到EM算法呢?
----->混合朴素贝叶斯模型。

混合朴素贝叶斯模型有2个：多值伯努利事件模型（文本聚类就是用此）；多项式事件模型。

模型描述为：
因子分析模型"> ，
每个文本高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">属于(0,1)^n。

即每个文本是n维
0或1的向量。

故高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">=
{ wordj 是否出现在文本i 里}
我们要对高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">(值是0或1)
进行建模，高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">是隐
含随机变量，这里取两个值：2个聚类。

所以对混合贝叶斯模型，假设高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 服从参数有伯努利分布（两点分布），即：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 图中x换成即可）。

故每个文本按某概率属于聚类1或者聚类2
同高斯混合模型，混合贝叶斯模型的联合概率是：
又
由贝叶斯公式可知：
p(高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">|高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">)
= 高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">p(高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">| 高斯混合模型，混合朴素
贝叶斯模型，因子分析模型">)
（i）
1 |高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> =
0) = 高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
(ii)
把上面的z全部换成y,就得到常见的朴素贝叶斯公式：
高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 一般会前面两个等式右边的x=1，或省去=1，即写成i|y=1
= p(xi | y =1)
i|y=0
= p(xi | y =0) ,默认x取了1
其中p(y=1)表示类别1（例如类别1表示垃圾邮件）的在所有文本的概率。

这里xi表示一个单词，取值只有0或者1，表示出现在文本里或者没有出现。

EM算法步骤：
1.E步：
高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">这里三个参数phi,mu,sigma,改成高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">，高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">，与?j|z
将上面（i）（ii）式带入即可求得
2.M步：
高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">对比贝叶斯原公式：
高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
这里Wi表示文本来自于类1，分子Σ表示：类1且包含词j的文档个数，分布表示类1的文档总数。

所以全式表示：类1包含词j的比率。

EM算法不能做出绝对的假设0或者1，所以只能用Wi 表示，最终Wi的值会靠近0或1，在数值上与0或1无分别。

高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
= 高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
（分子的横斜是多余的，忽略）
全式表示：类0包含词j的比率
j|z
= 高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">
3.迭代上面12步骤，收敛，求出参数估计，带回联合概率，将联合概率排序，由联合概率最高值
，可得知哪个文本是输入哪个类了。