浙江省高等职业技术教育招生考试数学真题

2015年浙江省高等职业技术教育招生考试
数学试卷
本试题卷共三大题．全卷共4页．满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．所有试题均需在答题纸上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分，在试卷和草稿纸上作答无效．
2．答题前，考试务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上．
4．在答题纸上作答，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．一、单项选择题(本大题共18小题，每小题2分，共36分)
在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

错涂、多涂或未涂均无分．
1．已知集合M＝{}
x|x2＋x＋3＝0，则下列结论正确的是( )
A．集合M中共有2个元素 B．集合M中共有2个相同元素
C．集合M中共有1个元素 D．集合M为空集
2．命题甲“a<b”是命题乙“a－b<0”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数f(x)＝lg（x－2）
x
的定义域是( )
4．下列函数在定义域上为单调递减的函数是( ) A ．f (x )＝(32)x
B ．f (x )＝ln x
C ．f (x )＝2－x
D ．f (x )＝sin x
5．已知角α＝π
4，将其终边绕着端点按顺时针方向旋转2周得到角β，则β＝( )
C ．－15π4
D ．－17π
4
6．已知直线x ＋y －4＝0与圆(x －2)2
＋(y ＋4)2
＝17，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离 C ．相交且不过圆心 D ．相交且过圆心
7．若β∈(0，π)，则方程x 2
＋y 2
sin β＝1所表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．椭圆或圆 8．在下列命题中，真命题的个数是( )
①a ∥α，b ⊥α?a ⊥b ②a ∥α，b ∥α?a ∥b ③a ⊥α，b ⊥α?a ∥b ④a ⊥b ，b ?α?a ⊥α A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
9．若cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝2
6，则cos2θ＝( )
10．在等比数列{}a n 中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n
－1，则a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n ＝( )
A ．(2n
－1)2
()2n －12
C ．4n
－1 ()4n
－1
11．下列计算结果不．正确的．．．是( ) A ．C 4
10－C 4
9＝C 3
9 B ．P 10
10＝P 9
10 C ．0！＝1 D ．C 58
＝P 5
88！
12．直线3x ＋y ＋2015＝0的倾斜角为( )
13．二次函数f (x )＝ax 2
＋4x －3的最大值为5，则f (3)＝( ) A ．2 B ．－2 D ．－9
2
14．已知sin α＝35，且α∈(π2，π)，则tan(α＋π
4)＝( )
A ．－7
B ．7
C ．－1
7
15．在△ABC 中，若三角之比A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( ) A ．1∶1∶4 B ．1∶1∶3 C ．1∶1∶2 D ．1∶1∶3
16．已知(x －2)(x ＋2)＋y 2＝0，则3xy 的最小值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－6 D. －62
17．下列各点中与点M (－1，0)关于点H (2，3)中心对称的是( ) A ．(0，1) B ．(5，6) C ．(－1，1) D ．(－5，6)
18．焦点在x 轴上，焦距为8的双曲线，其离心率e ＝2.则双曲线的标准方程为( ) －y 212＝1 －y 2
4＝1
－x 2
12＝1 －x 2
4
＝1
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
19．不等式||2x －7>7的解集为________．(用区间表示) 20．若tan α＝b a
(a ≠0)，则a cos2α＋b sin2α＝________． 21．已知AB →＝(0，－7)，则||
AB →－3BA →＝________．
22．当且仅当x ∈________时，三个数4，x －1，9成等比数列．
23．在“剪刀、石头、布”游戏中，两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率P ＝________．
24．二项式(3x 2
＋2x
3)12展开式的中间一项为________．
25．体对角线为3cm 的正方体，其体积V ＝________．
26．如图所示，在所给的直角坐标系中，半径为2，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为________．
第26题图
三、解答题(本大题共8小题，共60分)
解答应写出文字说明及演算步骤
27．(本题满分7分)平面内，过点A (－1，n ), B (n ，6)的直线与直线x ＋2y －1＝0垂直，求n 的值．
28．(本题满分7分)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－1， x ≥0
3－2x ， x <0，求值：
(1)f (－1
2); (2分)
(2)f (2－
; (3分) (3)f (t －1); (2分)
29.(本题满分7分)某班数学课外兴趣小组共有15人，9名男生，6名女生，其中1名为组长，现要选3人参加数学竞赛，分别求出满足下列各条件的不同选法数．
(1)要求组长必须参加； (2分)
(2)要求选出的3人中至少有1名女生； (2分)
(3)要求选出的3人中至少有1名女生和1名男生. (3分)
30．(本题满分9分)根据表中所给的数字填空格，要求每行的数成等差数列，每列的数成等比数列. 求：
(1)a, b, c的值； (3分)
(2)按要求填满其余各空格中的数； (3分)
(3)表格中各数之和．(3分)
31.(本题满分6分)已知f(x)＝3sin(ax－π)＋4cos(ax－3π)＋2(a≠0)的最小正周期
为2
3
.
(1)求a的值； (4分)
(2)求f(x)的值域. (2分)
32．(本题满分7分)在△ABC中，若BC＝1，∠B＝
π
3
，S△ABC＝
3
2
，求角C.
33.(本题满分7分)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AD1C把正方体分成两部分. 求：
(1)直线C1B与平面AD1C所成的角； (2分)
(2)平面C1D与平面AD1C所成二面角的平面角的余弦值； (3分)
(3)两部分中体积大的部分的体积．(2分)
第33题图
34.(本题满分10分)已知抛物线x2＝4y，斜率为k的直线L, 过其焦点F且与抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)求直线L的一般式方程； (3分)
(2)求△AOB的面积S；(4分)
(3)由(2)判断，当直线斜率k为何值时△AOB的面积S有最大值；当直线斜率k为何值时△AOB的面积S有最小值．(3分)
第34题图
2015年浙江省高等职业技术教育招生考试
数学试卷参考答案及评分标准
一、单项选择题(本大题共18小题，每小题2分，共36分)
1.【答案】 D 【解析】 x 2
＋x ＋3＝0，其中Δ＝1－4×1×3＝－11<0从而方程无解，即集合M 为空集．∴答案选D.
2.【答案】 C 【解析】 一方面，由a <b 得a －b <0；另一方面，由a －b <0可得a <b ，故甲是乙的充分且必要条件．∴答案选C.
3.【答案】 A 【解析】 由⎩⎪⎨⎪
⎧x ≠0，lg （x －2）≥0，x －2>0.
得x ≥3，答案选A.
4.【答案】 C 【解析】 A ，B 为单调递增函数，D 项中sin x 为周期函数．∴答案选C.
5.【答案】 C 【解析】 由题意β＝α－2×2π＝π4－4π＝－15
4π，答案选C.
6.【答案】 B 【解析】 圆心到直线的距离d ＝||
2－4－412
＋1
2
＝32>17＝半径，∴
直线与圆相离，故选B.
7.【答案】 D 【解析】 ∵β∈(0，π)，∴sin β∈(0，1]，当sin β＝1时，得
x 2＋y 2＝1它表示圆；当sin β≠1时，由sin β>0∴此时它表示的是椭圆．答案选D.
8.【答案】 C 【解析】 ②a ，b 有可能相交，④a 有可能在α内，①③正确．答案选C.
9.【答案】 A 【解析】 ∵cos(
π4－θ)cos(π4＋θ)＝(cos π4cos θ＋sin π4sin θ)·(cos π
4
cos θ－sin π4
sin θ)＝12
cos 2θ－12
sin 2θ＝12
(cos 2θ－sin 2θ)＝12
cos2θ＝
26
，∴cos2θ＝
2
3
.故答案选A. 10.【答案】 D 【解析】 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1（1－q n ）1－q
＝2n
－1，∴q ＝2，a 1＝1，
又a 21＋a 22＋…＋a 2n 是以a 21＝1为首项，q 2＝4为公比的等比数列，∴a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝13()4n －1，
故选D.
11.【答案】 D 【解析】 C 58
＝P 5
8P 55＝P 5
8
5！
，∴答案选D.
12.【答案】 C 【解析】 直线3x ＋y ＋2015＝0转化为y ＝－3x －2015，k ＝tan
θ
＝－3，∴θ＝arctan(－3)＝2π
3
.
13.【答案】 C 【解析】 函数f (x )的最大值为4×a ×（－3）－4
2
4×a ＝5，解得a ＝
－12，即f (x )＝－12x 2＋4x －3∴f (3)＝9
2
.答案选C. 14.【答案】 D 【解析】 ∵sin α＝35，且α∈(π2，π)∴cos α＝－4
5，tan α＝
－34，tan(α＋π4)＝tan α＋tan
π
41－tan α·tan
π4
＝1
7
.答案选D. 15.【答案】 B 【解析】 ∵三角之比A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，且A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝B ＝π6，C ＝2π
3
.故sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3.答案选B.
16.【答案】 C 【解析】 ∵4＝(x －2)(x ＋2)＋y 2
＝x 2
＋y 2
≥2||xy ，即2||xy ≤4，
3||xy ≤6，得3xy ≤－6或3xy ≥6，故3xy 的最小值为－6，答案选C.
17.【答案】 B 【解析】 设P (x ，y )与点M (－1，0)关于点H (2，3)中心对称，则
x －1
2
＝2，
y ＋0
2
＝3.∴x ＝5，y ＝6.答案选B.
18.【答案】 A 【解析】 ∵双曲线的焦距为8，∴c ＝4，又离心率为e ＝c a
＝2，∴a ＝2，即得b 2
＝c 2
－a 2
＝12，故双曲线的标准方程为x 24－y 2
12
＝1，答案选A.
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
19.【答案】 (－∞，0)∪(7，＋∞) 【解析】 ∵||2x －7>7∴2x －7>7或2x －7<－7，即x <0或x >7，故解集为(－∞，0)∪(7，＋∞)
20.【答案】 a 【解析】 ∵tan α＝b a
，∴sin α＝
b a 2
＋b
2
，cos α＝a a 2
＋b
2
，代
入即可解得a cos2α＋b sin2α＝a (cos 2
α－sin 2
α)＋2b sin αcos α＝a .
21.【答案】 28 【解析】 ∵BA →＝－AB →＝(0，7)，∴||
AB →－3BA →＝||（0，－28）＝28.
22.【答案】
{}－5，7
【解析】 ∵三个数4，x －1，9成等比数列，∴有(x －1)
2
＝4×9＝36，解得x ＝－5或x ＝7.
23.【答案】 2
9 【解析】 两个人分别出“石头”与“剪刀”有两种可能，且各自
出“石头”与“剪刀”的概率为13，P ＝2×13×13＝2
9
.
24.【答案】 26C 6
12x －5
【解析】 ∵展开式的中间一项为第7项，∴中间一项为26C 6
12
x －5.
25.【答案】 3错误!cm 3
【解析】 设正方体的边长为a ，∵体对角线为3cm ，∴(错误!
a )2＋a 2＝32，得a ＝3，∴体积V ＝3错误!cm 3.
26.【答案】 (x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝4 【解析】 因为圆与第三象限的x ，y 轴相切，所以圆心为(－2，－2)，半径为2，故圆的标准方程为(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝4.
三、解答题(本大题共8小题，共60分)
27.【解】因为直线x ＋2y －1＝0的斜率K 1＝－1
2(1分)
所以由题意得过点A 、B 的直线斜率为2(2分) 由斜率公式得：2＝6－n
n －（－1）
(2分)
解得n ＝4
3
(2分)
28.【解】(1)∵－12<0，f (－12)＝3－2×(－1
2)＝4(2分)
(2)∵2－
＝2－12＝12＝22
>0(1分)
∴f (2－＝(2－2－1＝2－1
－1＝12－1＝－12
(2分)
(3)当t －1≥0时，即t ≥1时，f (t －1)＝(t －1)2
－1＝t 2－2t (1分) 当t －1<0时，即t <1时，f (t －1)＝3－2(t －1)＝5－2t (1分)
29.【解】(1)组长必须参加，只要从剩下的14人中任取2人即可完成事件，选法总数为
C 2
14＝
14×13
2×1
＝91种 (2分) (2)3人中至少有1名女生分为三类选法：1女2男，2女1男，3女0男，选法总数为： C 16C 2
9＋C 26C 1
9＋C 3
6＝216＋135＋20＝371种(2分)
(3)3人中至少有1名女生和1名男生分为2类选法：1女2男，2女1男，选法总数为：C 16C 2
9＋C 26C 19＝216＋135＝351 种(3分)
30.【解】(1)因为每列的数成等比数列，即 2，1，a 成等比数列，所以a ＝1
2(1分)
又因为每行的数成等差数列，即可求出第二列第五行的数字为3
2，同理可求出第二列第
四行的数字为34，依次可求得b ＝5
16
(1分)
c ＝3
16 (1分)
(2)
(答全对得3分，每行或每列答对得分)
(3)由(1)(2)可得：
第一行各数和为：116＋332＋18＋532＋316＝2032＝5
8，
第二行各数和为：18＋316＋14＋516＋38＝5
4，
同样的方法可分别求得第三行各数之和为5
2
，第四行各数之和为5，第五行各数之和为
10. 所以各数之和为 10＋5＋52＋54＋58＝115
8
(3分)
31.【解】(1)f (x )＝3sin(ax －π)＋4cos(ax －3π)＋2 ＝－3sin ax －4cos ax ＋2 ＝5sin(ax ＋β)＋2 (2分)
由题意有23＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
2πa (1分)
解得：a ＝±3π(1分)
(2)因为sin(ax ＋β)∈[－1，1](1分) 所以f (x )的值域为：f (x )∈[－3，7](1分)
32.【解】∵ S △ABC ＝1
2BC ×AB ×sin B ⇒AB ＝2(1分)
由余弦定理：AC 2
＝AB 2
＋BC 2
－2BC ×AB ×cos B (1分) ∴ AC ＝ 3 (1分) ∵BC 2
＋AC 2
＝AB 2(1分) ∴△ABC 是直角三角形 (1分) ∴ ∠C ＝90°(2分)
33.【解】(1)因为直线C 1B ∥AD 1，
且AD 1⊂平面AD 1C ，推知直线C 1B ∥平面AD 1C (1分) 所以直线C 1B 与平面AD 1C 所成的角为0°(1分)
(2)连接C 1D ，交C 1D 于E, 连接AE, 因为E 是对角线交点，三角形ACD 1是等边三角形，所以DE ⊥CD 1，AE ⊥CD 1，
所以∠AED 是平面C 1D 与平面AD 1C 所成二面角的平面角(1分) 在三角形ADE 中，DE ＝
22a ，AE ＝6
2
a ，
所以 cos ∠AED ＝DE AE
＝
22a 62
a ＝
3
3
. (2分) (3)设两部分中体积大的部分体积为V 1, 体积小的部分的体积为V 2, 正方体体积为V ，则有V ＝a 3
，V 2＝VA －D 1DC ＝a 3
6
(1分)
所以所求部分的体积V 1＝V －V 2＝a 3
－a 36＝56
a 3
(1分)
第33题图
34.【解】(1)由题意抛物线x 2
＝4y 的焦点F (0，1)，因为直线L 的斜率为k, 所以直线L 的方程为y －1＝kx 化为一般式即为：kx －y ＋1＝0(3分)
(2)联立方程得：⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＝4y ①kx －y ＋1＝0 ②， 将②代入①得：x 2
－4kx －4＝0，
x 1＋x 2＝4k ， x 1x 2＝－4,
||AB ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋k
2
（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2
＝1＋k
2
（4k ）2
＋16＝1＋k 2
16k 2
＋16
＝4(1＋k 2
) (2分)
又因为原点(0，0) 到直线kx －y ＋1＝0的距离为：d ＝
11＋k
2
(1分)
所以△AOB 的面积S ＝12d ||AB ＝12×11＋k 2
×4(1＋k 2)＝21＋k 2
(1分) (3)由(2)得x 2
－4kx －4＝0, Δ＝16k 2
＋16>0， ∴k ∈R (1分) 因为S ＝21＋k 2，所以无论k 取何值，面积S 无最大值(1分) k ＝0时，S ＝2为最小值 (1分)。