初中数学点和圆直线和圆的位置关系解答题专题训练含答案

初中数学点和圆直线和圆的位置关系解答题专题训练含答案
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、解答题（共15题）
1、如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，．
（ 1 ）求证：平分；
（ 2 ）若，求的值．
2、如图，PA 是以AC 为直径的☉ O 的切线，切点为A ，过点A 作AB ⊥ OP ，交☉ O 于点B ．
（ 1 ）求证：PB 是☉ O 的切线；
（ 2 ）若AB ＝ 6 ，，求PO 的长．
3、如图，是的直径，点A 为圆上一点（不与C ，D 点重合），经过A 作的切线，与的延长线交于点P ，点M 为上一点，连接并延长，与交于点F ，E 为上一点，且，连接并延长，与交于点B ，连接．
（ 1 ）求证：．
（ 2 ）若，求的长．
（ 3 ）如果，求的长．
4、如图，为的直径，C 为上一点，弦的延长线与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，，连接．
（ 1 ）求的度数；
（ 2 ）若，求的长．
5、如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90° ，点E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙ O 与AB 边交于点D ，连接DE ．
（ 1 ）判断直线DE 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；
（ 2 ）若CD ＝ 3 ，DE ＝，求⊙ O 的直径．
6、如图，内接于，，是的直径，交于点E ，过点D 作
，交的延长线于点F ，连接．
（ 1 ）求证：是的切线；
（ 2 ）已知，，求的长．
7、如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点．
（ 1 ）求证：；
（ 2 ）求证：直线是的切线．
8、如图，AC 是⊙ O 的直径，BC ，BD 是⊙ O 的弦，M 为BC 的中点，OM 与BD 交于点F ，过点D 作，交BC 的延长线于点E ，且CD 平分．
（ 1 ）求证：DE 是⊙ O 的切线；
（ 2 ）求证：；
（ 3 ）若，，求BF 的长．
9、如图，△ ABC 内接于⊙ O ，AB 是⊙ O 的直径，过⊙ O 外一点D 作，DG 交线段AC 于点G ，交AB 于点E ，交⊙ O 于点F ，连接DB ，CF ，∠ A ＝∠ D ．
（ 1 ）求证：BD 与⊙ O 相切；
（ 2 ）若AE ＝OE ，CF 平分∠ ACB ，BD ＝ 12 ，求DE 的长．
10、如图，AB 是⊙ O 的直径，点D 在⊙ O 上，且∠ AOD ＝90° ，点C 是⊙ O 外一点，分别连接CA ，CB 、CD ，CA 交⊙ O 于点M ，交OD 于点N ，CB 的延长线交⊙ O 于点E ，连接AD ，ME ，且∠ ACD ＝∠ E ．
（ 1 ）求证：CD 是⊙ O 的切线；
（ 2 ）连接DM ，若⊙ O 的半径为 6 ，tan E ＝，求DM 的长．
11、如图，在中，，以为直径的交于点D ，于点E ，直线于点F ，交的延长线于点H ．
（ 1 ）求证：是的切线；
（ 2 ）当时，求的值．
12、如图，内接于是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点．
（ 1 ）求证：是的切线；
（ 2 ）若，求的半径及的值；
13、如图，在中，，与，分别相切于点E ，F ，平分，连接．
（ 1 ）求证：是的切线；
（ 2 ）若，的半径是 1 ，求图中阴影部分的面积．
14、如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，．
（ 1 ）求证：是的切线；
（ 2 ）若，，求图中阴影部分面积．
15、如图，在中，，为边上一点，以为圆心，长为半径的与边相切于点，交于点．
（ 1 ）求证：；
（ 2 ）连接，若，，求线段的长．
============参考答案============
一、解答题
1、（ 1 ）见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）连接OE ，根据切线的定义可得，结合∠ C =90° ，可得，即，进而说明即可证明结论；
（ 2 ）先证可得，再得，最后运用三角函数解答即可．【详解】
（ 1 ）证明：连接，
∵ 是的切线，
∴ ，即，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分．
（ 2 ）∵是的直径，
∴ ，
又∵ ，，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ，即．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
2、（ 1 ）见解析；（ 2 ）
【解析】
（ 1 ）连接OB ，根据切线的性质和垂径定理得到∠ POA ＝∠ POB ，然后根据证明△ PAO △ PBO ，然后根据全等三角形的性质即可证明；
（ 2 ）根据垂径定理得到DA ＝DB ＝ 3 ，然后根据余弦的定义得到PA ＝ 5 ，进而应用
勾股定理即可求解，然后对继续应用余弦的定义得到，即可最终求解PO 的长．
【详解】
（ 1 ）证明：连接OB ，
∵ PA 是以AC 为直径的☉ O 的切线，切点为A ，
∴∠ PAO ＝，
∵ OA ＝OB ，AB ⊥ OP ，
∴∠ POA ＝∠ POB ，
又OP ＝OP ，
∴△ PAO △ PBO ，
∴∠ PBO ＝∠PAO ＝，
即OB ⊥ PB ，
∴ PB 是☉ O 的切线；
（ 2 ）解：设OP 与AB 交于点D ．
，
∵ AB ⊥ OP ，AB ＝ 6 ，
∴ DA ＝DB ＝ 3 ，∠PDA ＝∠ PDB ＝，
∵ ，
∴ PA ＝ 5 ，∴PD ＝，
在Rt △ APD 和Rt △ APO 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，余弦的定义，关键是通过余弦的定义建立等量关系进行求解．
3、（ 1 ）见解析；（ 2 ）PA = ；（ 3 ）AC ．
【分析】
（ 1 ）连接AF ，由切线的性质、圆周角定理和等量代换得出∠ MAC =∠ F ，由等腰三角形的性质得出∠ MAE =∠ MEA ，由三角形的外角性质证出∠ BAC =∠ BAF ，即可得出结论；（ 2 ）连接AD ，由切线的性质、圆周角定理和等量代换得出∠ MAC =∠ D ，由∠ P =∠ P ，证出△ PAC ∽△ PDC ，利用相似三角形的性质即可得出结果；
（ 2 ）由，设OA = x ，则OP =3 x ，求得OA = r =2 ，OP ，DP =8 ，由△PAC ∽△ PDA ，以及勾股定理即可求解．
【详解】
（ 1 ）证明：连接AF ，如图 1 所示：
∵ PA 是⊙ O 的切线，
∴∠ MAC =∠ F ，
∵ MA = ME ，
∴∠ MAE =∠ MEA ，
∵∠ MAE =∠ MAC +∠ BAC ，∠ MEA =∠ F +∠ BAF ，∴∠ BAC =∠ BAF ，
∴ ；
（ 2 ）解：连接AD ，如图 2 所示：
∵ PA 是⊙ O 的切线，
∴∠ MAC =∠ D ，
∵∠ P =∠ P ，
∴△ PAC ∽△ PDA ，
∴ ，
∴ PA 2 = PC • PD =7 ，
∴ PA = ；
（ 3 ）连接OA ，
∵ PA 是⊙ O 的切线，
∴ OA ⊥ PA ，
∵ ，即，
设OA = x ，则OP =3 x ，
由勾股定理：，即，解得：( 负值已舍) ，
∴ OA = r =2 ，OP =3 ，
∴ DP = DO + OP =2+6=8 ，
由（ 2 ）得△PAC ∽△ PDA ，
∴ ，即，
设AD = m ，则AC = ，
∵ CD 是⊙ O 的直径，
∴∠ DAC =90 ，
∴ ，即，
解得：( 负值已舍) ，
∴ AC =
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、弦切角定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及锐角三角函数等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解题的关键．
4、（ 1 ）55°；（ 2 ）．
【分析】
（ 1 ）连接OC ，如图，利用切线的性质得到OC ⊥ CD ，则判断OC ∥ AE ，所以∠ DAC =∠ OCA ，然后利用∠ OCA =∠ OAC 得到∠ OAB 的度数，即可求解；
（ 2 ）利用（1 ）的结论先求得∠AEO ∠ EAO 70° ，再平行线的性质求得∠COE =70° ，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】
解：（ 1 ）连接OC ，如图，
∵ CD 是⊙ O 的切线，
∴ OC ⊥ CD ，
∵ AE ⊥ CD ，
∴ OC ∥ AE ，
∴∠ DAC =∠ OCA ，
∵ OA = OC ，∠ CAD =35° ，
∴∠ OAC =∠ OCA =∠ CAD =35° ，
∵ AB 为⊙ O 的直径，
∴∠ ACB =90° ，
∴∠ B =90°-∠ OAC =55° ；
（ 2 ）连接OE ，OC ，如图，
由（ 1 ）得∠EAO =∠ OAC +∠ CAD =70° ，
∵ OA = OE ，
∴∠ AEO ∠ EAO 70° ，
∵ OC ∥ AE ，
∴∠ COE =∠ AEO =70° ，
∴ AB =2 ，则OC = OE =1 ，
∴ 的长为．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．5、（ 1 ）相切，理由见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）连接DO ，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠ BDC ＝90° ，E 为BC 的中点得到DE ＝CE ＝BE ，则利用等腰三角形的性质得∠ EDC ＝∠ ECD ，∠ ODC ＝∠ OCD ，由于∠ OCD ＋∠ DCE ＝∠ ACB ＝90° ，所以∠EDC ＋∠ ODC ＝90° ，即∠EDO ＝90° ，于是根据切线的判定定理即可得到DE 与⊙ O 相切；
（ 2 ）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解 : （1 ）证明：连接DO ，如图，
∵∠ BDC ＝90° ，E 为BC 的中点，
∴ DE ＝CE ＝BE ，
∴∠ EDC ＝∠ ECD ，
又∵ OD ＝OC ，
∴∠ ODC ＝∠ OCD ，
而∠ OCD ＋∠DCE ＝∠ ACB ＝90° ，
∴∠ EDC ＋∠ ODC ＝90° ，即∠EDO ＝90° ，
∴ DE ⊥ OD ，
∴ DE 与⊙ O 相切；
（ 2 ）由（1 ）得，∠CDB ＝90° ，
∵ CE ＝EB ，
∴ DE ＝BC ，
∴ BC ＝ 5 ，
∴ BD ＝＝＝ 4 ，
∵∠ BCA ＝∠ BDC ＝90° ，∠B ＝∠ B ，
∴△ BCA ∽△ BDC ，
∴ ＝，
∴ ＝，
∴ AC ＝，
∴⊙ O 直径的长为．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．
6、（ 1 ）见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）由题意根据圆周角定理得出，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；
（ 2 ）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出
，继而运用相似比即可求出的长．
【详解】
解：（ 1 ）证明：∵是的直径
∴ （直径所对的圆周角是直角）
即
∵
∴ （等边对等角）
∵
∴ （同弧或等弧所对的圆周角相等）
∴
∵ ，
∴
∴ 即
∴
又∵ 是的直径
∴ 是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
（ 2 ）解：∵，
∴
∵ ，
∴ （两个角分别相等的两个三角形相似）
∴ ，
∴
∴ ．
【点睛】
本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7、（ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析
【分析】
（ 1 ）根据题意，通过，即可证明；（ 2 ）连接，通过证明OD 是的中位线得到，进而根据题意可知，即可证得直线是的切线．
【详解】
（ 1 ）证明：∵，，
∴ ，
∴ ，
∵ 为的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，，，
∴ ；
（ 2 ）证明：连接，
∵ 是边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ 是的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 直线是的切线．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定及切线的判定，熟练掌握圆及三角形的相关综合应用方法是解决本题的关键．
8、（ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析；（ 3 ）
【分析】
（ 1 ）连接OD ，AD ，根据直径所对的圆周角为直角得出∠ ADC =90° ，再综合角平分线的定义以及圆的基本性质，推出∠CDE =∠ ADO ，从而推出∠ ADC =∠ ODE ，即可得证；
（ 2 ）在（1 ）的基础之上，结合同弧所对的圆周角相等，即可得证；
（ 3 ）由tan∠CDE = ，求出CE =4 ，BE =9 ，即可得BC =5 ，由M 为BC 的中点，可得OM ⊥ BC ，BM = ，Rt △ BFM 中，根据，求出，再用勾股定理即得答案，
【详解】
（ 1 ）如图，连接OD ，AD ，
∵ AC 为直径，
∴∠ ADC =90° ，
∵ CD 平分∠ ACE ，
∴∠ ACD =∠ ECD ，
∵ DE ⊥ BC ，
∴∠ DEC =90° ，
∴∠ CAD =∠ CDE ，
∵∠ CAD =∠ ADO ，
∴∠ ADO =∠ CDE ，
∴∠ ADO +∠ ODC =∠ ODC +∠ CDE ，
即：∠ ADC =∠ ODE ，
∴∠ ODE =90° ，
∵ OD 为半径，
∴ DE 是⊙ O 的切线；
（ 2 ）如（1 ）图，可得∠CDE =∠ CAD ，
根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ CAD =∠ DBE ，
∴∠ CDE =∠ DBE ；
（ 3 ）解：Rt △ CDE 中，DE =6 ，tan∠CDE = ，∴ ，
∴ CE =4 ，
由（ 2 ）知∠CDE =∠ DBE ，
Rt △ BDE 中，DE =6 ，tan∠DBE = ，
∴ ，
∴ BE =9 ，
∴ BC = BE - CE =5 ，
∵ M 为BC 的中点，
∴ OM ⊥ BC ，，
Rt △ BFM 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线、圆周角定理、解直角三角形及勾股定理等知识，解题的关键是熟练应用圆的性质，转化相关角及线段．
9、（ 1 ）见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）如图1 ，延长至，证明，即可根据切线的判定可得与相切；
（ 2 ）如图2 ，连接，先根据圆周角定理证明，再证明，列比例式可得，即的半径为 4 ，根据勾股定理可得的长．
【详解】
（ 1 ）证明：如图1 ，延长至，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
∴ AB ⊥ BD ，
与相切；
（ 2 ）解：如图2 ，连接，
平分，
，
，
∴∠ AOF ＝∠ BOF ＝90° ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第 2 问关键是证明．
10、（ 1 ）见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）根据圆周角定理和等量代换可得∠BAC ＝∠ ACD ，进而得出AB ∥ CD ，由∠ AOD ＝90° 可得OD ⊥ CD ，从而得出结论；
（ 2 ）由tanE ＝，可得tan ∠ ACD ＝tan ∠ OAN ＝tanE ＝，在直角三角形中由锐角三角函数可求出ON 、DN 、CD ，由勾股定理求出CN ，由三角形的面积公式求出DF ，再根据圆周角定理可求出∠ AMD ＝45° ，进而根据等腰直角三角形的边角关系求出DM 即可．
【详解】
解：（ 1 ）∵∠ACD ＝∠ E ，∠ E ＝∠ BAC ，
∴∠ BAC ＝∠ ACD ，
∴ AB ∥ CD ，
∴∠ ODC ＝∠ AOD ＝90° ，
即OD ⊥ CD ，
∴ CD 是⊙ O 的切线；
（ 2 ）过点D 作DF ⊥ AC 于F ，
∵⊙ O 的半径为 6 ，tanE ＝＝tan ∠ ACD ＝tan ∠ OAN ，
∴ ON ＝OA ＝×6 ＝ 2 ，
∴ DN ＝OD ﹣ON ＝ 6 ﹣ 2 ＝ 4 ，
∴ CD ＝ 3 DN ＝ 12 ，
在Rt △ CDN 中，
CN ＝＝＝ 4 ，
由三角形的面积公式可得，
CN • DF ＝DN • CD ，
即 4 DF ＝4×12 ，
∴ DF ＝，
又∵∠ AMD ＝∠ AOD ＝×90° ＝45°，
∴ 在Rt △ DFM 中，
DM ＝DF ＝× ＝．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理，掌握锐角三角函数以及勾股定理是解决问题的前提．
11、（ 1 ）见详解；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）连接OE ，先证明∠ C =∠ OEB ，可得OE ∥ AC ，从而得HF ⊥ OE ，进而即可得到答案；
（ 2 ）连接AE ，由，可得AB =18 ，AE = ，再证明，设HA = x ，则HE = x ，OH = x -9 ，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】
（ 1 ）证明：连接OE ，
∵ ，
∴∠ C =∠ ABC ，
∵ OB = OE ，
∴∠ ABC =∠ OEB ，
∴∠ C =∠ OEB ，
∴ OE ∥ AC ，
∵ ，
∴ EF ⊥ OE ，即：HF ⊥ OE ，∴ 是的切线；
（ 2 ）连接AE ，
∵ AB 是的直径，
∴∠ AEB =90° ，即AE ⊥ BC ，
∵ ，
∴ AB=EB ÷ =6÷ =18 ，AE = ，
∴ OA = OE = ，
∵ OE ⊥ HF ，∠ AEB =90° ，
∴∠ HEB +∠ BEO =∠ AEO +∠ BEO ，即：∠ HEB =∠ AEO ，
∵ OA = OE ，
∴∠ AEO =∠ EAO ，
∴∠ HEB =∠ EAO ，
又∵∠ H =∠ H ，
∴ ，
∴ ，
设HA = x ，则HE = x ，OH = x -9 ，
∴ 在中，HE 2 + OE 2 = OH 2 ，即： ( x ) 2 +9 2 =( x -9) 2 ，解得：或x =0 （舍去），
∴ HE = × = ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定定理，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．
12、（ 1 ）见解析；（ 2 ）半径为 3 ，
【分析】
（ 1 ）证明是的半径，即证明，结合直径所对圆周角是、等腰△ OAC 和已知即可求解；
（ 2 ）由（1 ）中结论和可知，，再由CD 、CE 和平行线分线段成比例，即可找到BD 、OB 、BC 、OE 的关系，最后利用三边的勾股定理即可求解．
【详解】
（ 1 ）证明：如图，
，
，
，
是的直径，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
（ 2 ）
，即，
∴ 设，则，
，解得，，
．即的半径为 3 ，
，
在中，，
．
【点睛】
本题考查圆切线的证明、平行线分线段成比例、勾股定理和锐角三角函数，属于中档几何综合题，解题的关键在于直径所对圆周角是直角和方程思想．
13、（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）．
【分析】
（ 1 ）过点作于点，连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（ 2 ）设分别交于点，连接，先根据圆的切线的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后根据图中阴影部分的面积等于即可得．
【详解】
证明：（ 1 ）如图，过点作于点，连接，
与相切于点，
，
平分，
，
在和中，，
，
，
是的半径，
又，
是的切线；
（ 2 ）如图，设分别交于点，连接，
的半径是 1 ，
，
与相切于点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
则图中阴影部分的面积为．【点睛】
本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
14、（ 1 ）见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）连接，证明即可；
（ 2 ）由已知条件得出，利用特殊角锐角三角函数求出OD 、OG 的长度，再由扇形面积公式以及三角形面积公式求即可．
【详解】
. （ 1 ）证明：连接．
∵ ，．
∴ ．
∵ 是的半径，
∴ 是切线．
（ 2 ）解：∵是的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
在中，，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查切线的判定，锐角三角函数，扇形面积的计算等知识点，根据题意求出是解题关键．
15、（ 1 ）见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，题中已知，所以，切于点B ，同时切于点，即可求证；
（ 2 ）连接，可得，由（ 1 ）得，根据各个角之间的关系可得
，所以，依据正切定义可得，再根据三角形相似判别及性质，对应边成比例，即可得出答案．
【详解】
（ 1 ）证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ 经过半径的外端点，
∴ 切于点，
与边相切于点，
∴ ．
（ 2 ）解：连接，∵ 为的直径，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即，
∵ ，
∴ ，，
又∵ ，，
∴ ，
∴ ，
设，则，
∴ ，
∴ （舍去），．
即线段的长为．
【点睛】
题目主要考察切线长定理、圆内三角形基本性质、三角函数、相似三角形的判别及性质等知识点，难点在于对定理得熟练掌握理解和对这些知识点的融会贯通．。