福建省2019届高三质量检查测试数学(文)试题 含解析

2019年福建省高考数学模拟试卷（文科）（3月份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则＝（）
A. {0}
B. {2，3}
C. {1，2，3}
D. {0，1，2，3} 【答案】B
【解析】
【分析】
可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【详解】解：；
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。

2.若z为纯虚数，且满足，则a＝（）
A. ﹣2
B. ﹣1
C. 1
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0列方程即可得解．
【详解】解：由，得，
∴，
∵z为纯虚数，∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.等差数列的前项和为，且，，则（）
A. 82
B. 97
C. 100
D. 115
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出公差，再根据等差数列的求和公式，求得，即可求解，得到答案.
【详解】因为等差数列的前n项和为，且，所以，解得，
又由，所以，解得，
所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地至少有一门被选中的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.
【详解】设两门至少有一门被选中，则两门都没有选中}，包含1个基本事件，
则，所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
5.执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图，进行模拟运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，模拟程序框图，可得：
，满足判断条件；
，满足判断条件；
，满足判断条件，
，不满足判断条件，
输出结果，故选B.
【点睛】本题主要考查了循环结构程序框图的识别与计算结果的输出问题，其中解答中利用模拟程序的运算，逐次求解判断是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
6.已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据双曲线的焦点坐标，求得a和b的关系，由焦点到渐近线的距离得，解得a和b，问题得解．
【详解】解：设双曲线的方程为：，其渐近线方程为：
依题意可知，
解得，
∴双曲线C的渐近线方程为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，属基础题．
7.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得平移后的解析式，再令2x kπ，求得结论．【详解】将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin（2x），
令2x kπ，求得x，k∈Z，故函数的对称中心为（，0），k∈Z，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
8.已知，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数与幂函数的单调性进行大小比较，即可得到答案.
【详解】由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，
可得，所以，
又由，所以，
又由，所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了指数函数与幂函数的单调性的应用，其中解答中合理应用指数函数与幂函数的单调性进行大小比较是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
9.在正方体中，O为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，连接，找出异面直线与所成角，解三角形即可．
【详解】解：如图，
连接，则，
∴即为异面直线与所成角，
设正方体棱长为2，则，
由余弦定理可得：
即异面直线与所成角的余弦值为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查转化能力及计算能力，还考查了余弦定理，是中档题．
10.设椭圆的两焦点分别为,以为圆心,为半径的圆与交于两点.若为直角三角形,则的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图所示，△PF1F2为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．
【详解】如图所示，
∵△PF1F2为直角三角形，
∴∠PF1F2＝90°，
∴|PF1|＝2c，|PF2＝2c，
则2c+2c＝2a，
解得e1．
故选：A．
【点睛】本题考查了椭圆与圆的定义及其性质的应用，考查了数形结合思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.已知函数，且，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，求出函数的定义域，进而分析可得为奇函数且在上为增函数，据此可得原不等式等价于，即，解不等式组即可。

【详解】解：根据题意，函数，
有，解可得，即函数的定义域为，
又，则函数为奇函数，
分析易得，在上为增函数，
，
则有，解得：，
即a的取值范围为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，还考查了函数定义域知识及奇函数判断，考查计算能力及转化能力，属于中档题。

12.数列中，，且，则数列前2019项和为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可得，化为：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂项求和法即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
整理得：，
∴，又
∴，
可得：．
则数列前2019项和为：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量与的夹角为，||＝||＝1，且⊥（λ），则实数_____.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据条件即可得出，由即可得出，进行数量积的运算即可求出λ．
【详解】∵向量与的夹角为，||＝||＝1，且；
∴；
∴λ＝2．
故答案为：2．
【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．
14.若满足约束条件，则的最小值为_____．
【答案】.
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．
【详解】解：作出不等式组对应的平面区域，
由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，
直线的截距最小，此时z最小，
由，得
此时．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，利用图象平移求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题。

15.如图某三棱锥的三视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，若该三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为_____．
【答案】.
【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体，可知该几何体为正三棱锥，且两两互相垂直，
，再由补形法求得正三棱锥外接球的半径，问题得解．
【详解】解：由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为正三棱锥，且两两互相垂直，
，
把该三棱锥补形为正方体，则正方体的对角线长为，
∴该三棱锥外接球的半径为，
外接球的表面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了由三视图求面积，关键是由三视图还原原几何体，考查了利用补形法求多面体外接球的表面积，是中档题．
16.已知函数，若函数恰有2个零点，则a的取值范围为_____．【答案】.
【解析】
【分析】
先利用导数判断单调性，并求最值，再作出其图象，然后对a讨论，结合图象进行分析、求解．
【详解】解：函数恰有2个零点，则函数和的图象有两个不同的交点．令，则，当时，，当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，且最大值为，
当时，易知不满足题意；
当时，满足题意；
当时，如图所示，由图象可知，．
综上可知，a 的取值范围为．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了分段函数的零点个数问题，考查了利用导数判断函数的单调性，还考查了分类思想及数形结合思想，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.
的
内角
的对边分别为
，且
．
（1）求A ； （2）若
，点D 在
边上，
，求
的面积．
【答案】（1）； （2）.
【解析】 【分析】
（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：
，结合范围，可得
，进而可求A 的值．
（2）在△ADC 中，由正弦定理可得，可得
，利用三角形内角和定理可求，
即可求得
，再利用三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】（1）∵
，
∴由正弦定理可得：，
∴可得：
，可得：
，
∵，
∴，可得：，
∵，
∴，
∴，可得：．
（2）∵，点D在边上，，
∴在中，由正弦定理，可得：，可得：，∴，可得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．
18.如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，且．
（1）求证：；
（2）求M到平面的距离．
【答案】（1）见解析；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）通过证明平面得出；
（2）利用相似比求出，根据计算M到平面的距离．【详解】（1）证明：连接，
∵平面，平面，
∴，
∵是等边三角形，∴，
又，
∴平面，又平面，
∴，又，，
∴平面，∵平面，
∴．
（2）解：∵．
∴，
∴，
∴，即，解得．
又，∴，
设的中点为D，连接，
∵，∴，
∴，
设M到平面的距离为d，则．
∴，即M到平面的距离为．
【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，还考查了转化思想及空间思维能力，考查了棱锥的体积计算及等体积法求点面距离，属于中档题．
19.“工资条里显红利，个税新政入民心”．随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得R（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．某IT从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁﹣35岁（2009年﹣2018年）之间各年的月平均收入y（单位：千元）的散点图：
注：年龄代码1﹣10分别对应年龄26﹣35岁
（1）由散点图知，可用回归模型拟合y与x的关系，试根据有关数据建立y关于x的回归方程；
（2）如果该IT从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴交的个人所得税．
附注：1．参考数据：，
，其中；取．2．参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
3．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：
【答案】（1）；
（2）2130元. 【解析】 【分析】
（1）利用已知求出y 关于t 的线性回归方程，从而得出y 关于x 的回归方程； （2）估计36岁时的收入和两种政策对应的个税，得出结论．
【详解】解：（1），
则．
∴．
y 关于x 的回归方程为：
（2）该从业者36岁时的月收入约为元，
若按旧个税政策，需缴纳个税为：，
若按新个税政策，需缴纳个税为：
，
．
∴他36岁时每个月少缴交的个人所得税2130元．
【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解及数据估计，考查计算能力，属于中档题．
20.设抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，的面积为. （1）求
的方程；（2）若，是上的两个动点，，试问：是否存在定点，使得？若存在，求的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）把代入抛物线方程可得：，解得．根据的面积为列方程，解得，问题得解．
（2）假设存在定点S ，使得．设，线段的中点为．由，可得，化为：．当轴时满足题意，因此点S必然在x 轴上．设直线的方程为：．与抛物线方程联立可得：．根据根与系数的关系、中点坐标公式可得．可得线段的垂直平分线方程，问题得解．
【详解】解：（1）把代入抛物线方程，可得：，解得．∵的面积为．
∴，解得．
∴E 的方程为：．
（2）假设存在定点S ，使得．
设，线段的中点为．
由抛物线定义可得：，
∵，
∴，整理得：．∴．
当轴时满足题意，因此点S必然在x轴上．
设直线的方程为：．
联立，化为：．
∴，
∴．
线段的垂直平分线方程为：，
令，可得：．
∴存在定点，使得．
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力、方程思想，属于难题．
21.已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）时，．令，当时，单调递增，且．即可得出的单调性．
（2）令．由
．．对a分类讨论，即可得出的单调性，极值与最值，问题得解．
【详解】（1）时，．
令，当时，单调递增，又．
当时，，，当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）令．由．
．
时，，函数在上单调递增．
当且时，，不满足恒成立。

时，令，可得，可得．
可得：时，函数取得极小值即最小值，
，
令．
，
当时，，当时，
可得时，函数取得极大值即最大值，而．
∴只有满足条件．
∴．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值、考查了方程与不等式的解法、分类讨论思想、等价转化思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一个题目计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.
（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；
（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；
（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．
【详解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C
的直角坐标方程为y2＝1，设点P的直角坐标为（x，y），因为P 的极坐标为（，），所以x＝ρcos θcos1，y＝ρsin θsin1，所以点P的直角坐标为（1，1）．（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，
因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，
则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t 2，
依题意，点M 对应的参数为，
所以|PM|＝||．
【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的图像与轴围成直角三角形,求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）分3段去绝对值解不等式组，再求并；
（2）将y＝f（x）去绝对值写出分段函数，根据其图象与x轴围成直角三角形，转化为（a﹣1）（a+1）＝﹣1或（a+1）（1﹣a）＝﹣1，可解得．
【详解】（1）当a＝2时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣|2x﹣3|＞1，
当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x﹣1+2x﹣3＞1，解得x＞5，因为x≤﹣1，所以此时原不等式无
解；
当﹣1时，原不等式可化为x+1+2x﹣3＞1，解得x＞1，所以1＜x；
当x时，原不等式可化x+1﹣2x+3＞1，解得x＜3，所以x＜3．
综上，原不等式的解集为{x|1＜x＜3}．
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，,
当时，要使得的图象与轴围成直角三角形，
则，解得，舍去；
当时，的图象与轴不能围成三角形，不符合题意，舍去；
当时，要使得的图象与轴围成直角三角形，
则，解得，因为，所以.
综上，所求的值为.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了数形结合思想及函数与方程思想的转化，属于中档题．。