《解析》青海师大二附中2015-2016学年高二下学期4月月考数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年青海师大二附中高二（下）4月月考数学试卷（理
科）
一、选择题：（第小题5分，共60分．）
1．i是虚数单位，复数=（）
A．1﹣i B．﹣1+i C． +i D．﹣+i
2．i是虚数单位，在复平面上复数对应的点到原点的距离是（）
A． B． C． D．
3．若|z+3+4i|≤2，则|z|的最大值是（）
A．3 B．7 C．9 D．5
4．若，则ω4+ω2+1等于（）
A．1 B．0 C． D．
5．已知直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3），则实数b的值为（）
A．1 B．﹣3 C．3 D．﹣1
6．函数y=xlnx的单调递减区间是（）
A．（e﹣1，+∞）B．（﹣∞，e﹣1）C．（0，e﹣1）D．（e，+∞）
7．已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
8．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）
9．若在区间（a，b）内有f′（x）＞0且f（a）≥0，则在（a，b）内有（）
A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）=0 D．不能确定
10．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
12．函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在[﹣3，3]上有最小值3，那么在[﹣3，3]上f（x）的最大值是．
14．（2﹣|1﹣x|）dx=．
15．曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．
16．曲线y=x3+3x2+6x﹣10的切线中，斜率最小的切线方程是．
三、解答题：
17．求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．
18．（1）画出f（x）=x3﹣6x2+9x的草图．
（2）当方程x3﹣6x2+9x+a=0有个2实根时，求a的取值范围．
19．已知函数f（x）=x3+bx2+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．
20．函数f（x）=x3﹣（a+1）x+a，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程．
（Ⅱ）若F（x）=f（x）﹣g（x）单调递增，求a的范围．
21．已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，求a的值以及切线方程；（2）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．
22．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
2015-2016学年青海师大二附中高二（下）4月月考数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（第小题5分，共60分．）
1．i是虚数单位，复数=（）
A．1﹣i B．﹣1+i C． +i D．﹣+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．
【解答】解：复数==，
故选A．
2．i是虚数单位，在复平面上复数对应的点到原点的距离是（）
A． B． C． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．
【解答】解：∵=，
∴复数对应的点的坐标为（），到原点的距离为．
故选：D．
3．若|z+3+4i|≤2，则|z|的最大值是（）
A．3 B．7 C．9 D．5
【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】由于|z+3+4i|≥|z|﹣|3+4i|，结合条件可得|z|﹣|3+4i|≤2，|z|≤|3+4i|+2，从而求得|z|的最大值．
【解答】解：∵|z+3+4i|≤2，|z+3+4i|≥|z|﹣|3+4i|，
∴|z|﹣|3+4i|≤2，|z|≤|3+4i|+2=7，
故|z|的最大值是7．
故选B．
4．若，则ω4+ω2+1等于（）
A．1 B．0 C． D．
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】复数1的立方根的性质，1=ω3ω2+ω+1=0可得结果．
【解答】解：可得ω3=1，ω2+ω+1=0，∴ω4+ω2+1=ω+ω2+1=0
故选B．
5．已知直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3），则实数b的值为（）
A．1 B．﹣3 C．3 D．﹣1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】利用导数的几何意义可得：f′（1）=3+a=2，又3=1+a+b，联立解出即可得出．
【解答】解：y=f（x）=x3+ax+b，f′（x）=3x2+a，
由题意可得：f′（1）=3+a=2，3=1+a+b，
联立解得：a=﹣1，b=3．
故选：C．
6．函数y=xlnx的单调递减区间是（）
A．（e﹣1，+∞）B．（﹣∞，e﹣1）C．（0，e﹣1）D．（e，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出该函数的导函数，由导数小于0列出不等式，解此不等式求得正实数x的取值范围即为所求．
【解答】解：函数y=xlnx的导数为y′=（x）′lnx+x•（lnx）′=lnx+1，
由lnx+1＜0 得，0＜x＜，故函数y=xlnx 的减区间为（0，），
故选C．
7．已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】求出函数f（x）的导函数，根据已知条件，令导函数的判别式大于0，求出m的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值
f′（x）=3x2+2mx+m+6
∴△=4m2﹣12（m+6）＞0
解得m＜﹣3或m＞6
故选B
8．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（）=﹣3•+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
9．若在区间（a，b）内有f′（x）＞0且f（a）≥0，则在（a，b）内有（）
A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）=0 D．不能确定
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】利用导函数的符号，判断出函数f（x）在区间（a，b）内的单调性，利用单调性判断出函数值的大小．
【解答】解：∵在区间（a，b）内有f′（x）＞0
∴f（x）在区间（a，b）内递增
x∈（a，b）
∴f（x）＞f（a）
∵f（a）≥0
∴f（x）＞0
故选A．
10．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点．从而问题得解．
【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，
只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，
故函数只有1个极小值点，
故选：A．
11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f （x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x ＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．
【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，
∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．
∴F（x）在当x＜0时为增函数．
∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．
故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．
已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．
构造如图的F（x）的图象，可知
F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故选D
12．函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．
【解答】解：∵是偶函数，排除A，
当x=2时，，排除C，
当时，，排除B、C，
故选D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在[﹣3，3]上有最小值3，那么在[﹣3，3]上f（x）的最大值是57．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在[﹣3，3]上分三种情况讨论得函数的极值，然后比较取最大值即可．
【解答】解析：f′（x）=3x2+6x，令f′（x）=0，得3x（x+2）=0⇒x=0，x=﹣2．
（i）当0≤x≤3，或﹣3≤x≤﹣2时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
（ii）当﹣2＜x＜0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（﹣3）或f（0）⇒
f（﹣3）=（﹣3）3+3×（﹣3）2+a=a，f（0）=a，则a=3，
∴f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（﹣2）或f（3），
f（﹣2）=（﹣2）3+3×（﹣2）2+3=7，f（3）=33+3×32+3=57，则最大值为57．
故答案为：57．
14．（2﹣|1﹣x|）dx=3．
【考点】定积分．
【分析】将（0，2）区间分为（0，1）和（1，2），分别化简2﹣|1﹣x|，转化成=∫01（1+x）dx+∫12（3﹣x）dx，求解即可．
【解答】解：=∫01（1+x）dx+∫12（3﹣x）dx
=（x+x2）|01+（3x﹣）|12
=（1+﹣0）+（6﹣2﹣3+）
=3
故答案为：3
15．曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．
【考点】导数的几何意义；直线的点斜式方程．
【分析】先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．
【解答】解：∵y=x3+x，∴y'=x2+1∴f'（1）=2
在点（1，）处的切线为：y=2x﹣与坐标轴的交点为：（0，），（，0）
S=，
故答案为：．
16．曲线y=x3+3x2+6x﹣10的切线中，斜率最小的切线方程是3x﹣y﹣11=0．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先对函数f（x）进行求导，然后求出导函数的最小值，其最小值即为斜率最小的切线方程的斜率，进而可求得切点的坐标，最后根据点斜式可得到切线方程．
【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+6x﹣10∴f'（x）=3x2+6x+6=3（x+1）2+3
∵当x=﹣1时，f'（x）取到最小值3
∴f（x）=x3+3x2+6x﹣10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3
∵f（﹣1）=﹣1+3﹣6﹣10=﹣14
∴切点坐标为（﹣1，﹣14）
∴切线方程为：y+14=3（x+1），即3x﹣y﹣11=0
故答案为：3x﹣y﹣11=0．
三、解答题：
17．求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．
【考点】定积分的简单应用．
【分析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解．
【解答】解：联立，解得x1=1，x2=2
∴S=∫01（x2+2﹣3x）d x+∫12（3x﹣x2﹣2）d x=+=1
18．（1）画出f（x）=x3﹣6x2+9x的草图．
（2）当方程x3﹣6x2+9x+a=0有个2实根时，求a的取值范围．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）求导数得到f′（x）=3（x﹣1）（x﹣3），根据导数符号便可判断f（x）的单调性，并判断f（x）过原点，f（1）=4，f（3）=0，这样便可画出f（x）的草图；
（2）可设g（x）=x3﹣6x2+9x+a，从而g（x）是由f（x）向上或向下平移|a|个单位得到，这样根据题意即可得出g（x）有两个零点，根据上面画出的草图便可观察出a的取值，从而得出a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）；
∴x＜1，或x＞3时，f′（x）＞0，1＜x＜3时，f′（x）＜0；
即f（x）在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，且f（0）=0，f （1）=4，f（3）=0；
∴f（x）的草图如下：
（2）设g（x）=x3﹣6x2+9x+a，则g（x）是f（x）沿y轴向上或向下平移|a|个单位得到；∵方程x3﹣6x2+9x+a=0有2个实根；
∴g（x）有两个零点；
根据上面的草图得，a=0，或a=﹣4；
∴a的取值范围为{﹣4，0}．
19．已知函数f（x）=x3+bx2+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．
【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求解析式，只需把a，b，d三个字母求出即可．已知点P（0，2）满足f（x），得到d，又点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0，可以得到f（﹣1）的值，并且得到f（x）在x=﹣1处的导数为6．
（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的图象经过P（0，2），∴d=2，
∴f（x）=x3+bx2+ax+2，f'（x）=3x2+2bx+a．
∵点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0
∴f'（x）|x=
﹣1=3x2+2bx+a|x=
﹣1
=3﹣2b+a=6①，
还可以得到，f（﹣1）=y=1，即点M（﹣1，1）满足f（x）方程，得到﹣1+b﹣a+2=1②由①、②联立得b=a=﹣3
故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．
（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．，令3x2﹣6x﹣3=0，即x2﹣2x﹣1=0．
解得．当；
当．
故f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）；单调减区间为（1﹣，1+）
20．函数f（x）=x3﹣（a+1）x+a，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程．
（Ⅱ）若F（x）=f（x）﹣g（x）单调递增，求a的范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）求出f（x）与g（x）在x=1处的导数值即两曲线在切点处的切线的斜率，利用两线垂直斜率之积为﹣1将两个值乘起来等于﹣1，求出a，将a的值代入f（x），求出f （1），g（1）；利用点斜式写出切线的方程．
（II）求出F′（x），令其大于等于0恒成立；分离出a，构造函数h（x），通过导数求出h （x）的最小值，令a小于等于最小值．
【解答】解：（I）f'（x）=3x2﹣（a+1），g'（x）=lnx+1
∴f'（1）=2﹣a g'（1）=1
∵两曲线在x=1处的切线互相垂直
∴（2﹣a）×1=﹣1
∴a=3
∴f'（1）=﹣1 f（1）=0
∴y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y﹣1=0，
同理，y=g（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0
（II）由F（x）=x3﹣（a+1）x+a﹣xlnx
得F'（x）=3x2﹣（a+1）﹣lnx﹣1=3x2﹣lnx﹣a﹣2
∵F（x）=f（x）﹣g（x）单调递增
∴F'（x）≥0恒成立
即a≤3x2﹣lnx﹣2
令h（x）=3x2﹣lnx﹣2
令h'（x）＞0得，
令h'（x）＜0得
∴
∴a的范围为
21．已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，求a的值以及切线方程；（2）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．
【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）先求函数f（x）的导数，再根据导数的几何意义列式求出a值，最后再根据直线的方程写出切线的方程即可．
（2）对函数求导，要讨论函数的单调性，只要讨论a的范围再判断f′（x）的符号即得．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣2ax﹣．…
由题设，f′（1）=﹣2a=﹣2，a=1，
此时f（1）=0，切线方程为y=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣2=0．…
（2）f′（x）=﹣，
令△=1﹣8a．
当a≥时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减．…
当0＜a＜时，△＞0，方程2ax2﹣x+1=0有两个不相等的正根x1，x2，
不妨设x1＜x2，
则当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，
这时f（x）不是单调函数．
综上，a的取值范围是[，+∞）．…
22．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率；
（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；
（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，则f'（1）=2+1=3．
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；
（Ⅱ）．
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，由f'（x）=0，得．
在区间上，f'（x）＞0，在区间上f'（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；
（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，
因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，
所以g（x）max=2…
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），
所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣．
2016年10月25日。