3.2.3直线的一般式方程

思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程? 所有的直线方程是否都是二元一次方程？
讲授新课
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
y y1 k ( x x1 )
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
课堂小结
点斜式 斜率和一点坐标 斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
两点坐标 截距式
x y 1 a b
直线方程的一般式与特殊式的互化。
课堂抢答
⒈根据下列条件写出直线的方程，并且 化成一般式：
讲授新课
注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
①按含x项、含y项、常数项顺序排列； ②x项的系数为正； ③x，y的系数和常数项一般不出现分数；
无特别说明时，最好将所求直线方程的结 果写成一般式。
课堂练习
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角
4 的正切值是 ， 3
则直线l的点斜式方程是y-0=(-4/3)(x+4) ___________ y=(-4/3)x-16/3 直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
讲授新课
例2 把直线 化成斜截式，求
出直线的斜率以及它在y轴上的截距。
3 解：将直线的一般式方程化为斜截式： y x 3 ， 5
3 它的斜率为： ，它在y轴上的截距是3 5
讲授新课
求直线的一般式方程 Ax By C 0(在A, B都不为零时)
的斜率和截距的方法：
A k＝－ （1）直线的斜率 ______________ B
例5.A是直线L:y=3x上在第一象限内的一点， B(3,2)，直线AB交x轴正半轴于点C，当△AOC 的面积为28/3时，求直线AB的方程。
6x+5y-28=0
讲授新课
1.直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则( D ) (A) A· B>0,B· C>0 (B) A· B>0,B· C<0


m 2 2m 3 2 2 (2)由题意得 1 m 2 m 3 ( 2 m m 1) 0 2 2m m 3
4 解得 m 1或m 3
讲授新课
例4.已知直线(a-2)y=x+a2-6a+8不过第二象限， 求a的取值范围。1：设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
（2）将l的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴欲使l不经过第二象限，
(a 1) 0 当且仅当 a 2 0
讲授新课
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线为：
(1)平行于x轴
(2)平行于y轴
A=0
B=0
A=0 且
(3)与x轴重合
(4)与y轴重合 (5) 过原点
B=0 且C=0
C=0
讲授新课
例1：设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
(C) A· B<0,B· C>0
(D) A· B<0,B· C<0
2、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为450， 则m的值是 （ ）B （A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3 3、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则 -6 m的值是__________
讲授新课
直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程:
Ax+By+C=0 (A,B不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式
讲授新课
例1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般 式： 4 1.过点A(6,-4),斜率为- ; 3 4 y+4=- (x-6)4x+3y-12=0 3 2.经过点P(3,-2),Q(5,-4); y+2 x-3 = x+y-1=0 -4+2 5-3 3 3.在x轴,y轴上的截距分别是 ,-3; 2 x y 1 2x-y-3=0 3 3 2
不垂直于x,y轴 的直线
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线
x轴上截距a y轴上截距b
（x0 , y0） 过点 与x轴垂直的直线可表示成 x x0，
（x0 , y0） 与y轴垂直的直线可表示成 y y0。 过点
复习引入
1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方 y-1=2(x-2) 程是____________ 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程 是___________ y=1 3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的 x=2 方程是_________
①斜率是 – 0.5，经过点A（8，-2）； y+2= - 0.5（x-8），x+2y-4=0，
②经过点B（4，2），平行于X轴；
y=2，y-2=0
课堂抢答
⒈根据下列条件写出直线的方程，并且化 成一般式： ③在x轴和y轴上的截距分别是3/2，- 3；
④经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）； y 2 x 3 , x y 1 0 2 2
3.2.3 直线的一般式方程
复习引入
名称
点斜式 斜截式 两点式 截距式
已知条件
(x0,y0) , k k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)
标准方程
适用范围
y-y0=k(x-x0) 有斜率的直线 y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b
有斜率的直线
C2 12 由三角形面积为6得 A B
3
y x
C C O ∴A=±C/4 ∴方程为 x y C 0 4 3 所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0
讲授新课
例3：设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1） y=2m-6根据下列条件确定m的值（1）l在x轴上的 截距是-3；（2）斜率是-1。 解：（1）由题意得 5 2 m 2m 3 3 2m 6 解得 m 3或m 3 5 2 而当m 3时, m 2m 3 0 m 3, m 3
（2）直线在y轴上的截距b
C C b y 令x=0，解出 值，则__________ B B (3) 直线与x轴的截距a C C a x A 令y=0，解出 _________ 值，则__________ A
课堂练习
若已知直线：x–2y+6=0 ，求它在斜截 式、截距式及在两坐标轴上的截距并作图．
x y 1,2 x y 3 3 3 2
课堂抢答
2已知直线Ax+By+C=0 ①当B≠0时，斜率是多少？当B=0呢？
答：B≠0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；
②系数取什么值时，方程表示通过原 点的直线？
答：C=0时，表示直线过原点。
课堂抢答
⒊求下列直线的斜率和在y轴上的 截距，并画出图形： ①k= - 3，B=5； ①3x+y-5=0 ②x/4 －y/5 =1 ②k=5/4，b= -5 ； ③k= -1/2，b=0； ③x+2y=0 ④7x－6y+4=0 ④k=7/6，b=2/3 ⑤2y－7=0 ⑤k=0，b=7/2。
(a 1) 0 或 a 2 0
，∴ a
-1
综上所述，a的取值范围是(-,-1] ．
讲授新课
例2：求过点（0，3）并且与坐标轴围 成三角形 面积是6的直线方程。 解：设直线为Ax+By+C=0， ∵直线过点（0，3）代入直线方程 得3B= -C， B= －C/3 又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
bx ay ( ab) 0
上述四式都可以写成Ax+By+C=0形式
讲授新课
思考2：对于任意一个二元一次方程 Ax By C 0 （A，B不同时为零） 能否表示一条直线？
解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的 截距都为零，当然相等，此时a=2,方程为3x+y=0.若 a 即l不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，
2
，
a-2 a - 2 ，即 a+1=1, ∴a=0 , l 的方程为 x+y+2=0. 有 a 1
所以， l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0
A C B0 时,方程变为 y=- xB B C A 表示过点(0,- ),斜率为- 的直线 B B C （A 0) B=0 时,方程变为 x=A 表示垂直于x轴的一条直线
讲授新课
结论:
(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二
元一次方程
(2)任一关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.