量子力学第二章

C (P ,t)(21)1/2
iP x
(x,t)e dx
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态叠加原理复习
若 1,2, ,n 是体系的可能状态，则它们
的线性迭加态
c 11 c 22 c nn
也是体系的可能态
物理意义：处在Ψ态上的粒子体系，则仍部
分处在Ψ1、Ψ2…..Ψn上
与经典态叠加原理的区别：经典的叠加态和
德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复 函数 (r,t)来描述，函数 (r,t) — 称为波函数。
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
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i(PrEt)
P(r,t)Ae
de Broglie 波
★如果粒子处于随时间和位置变化的力场 U r,t 中 运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常 量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较 复杂的波描写，一般记为：(r,t)
d
可电能子处从在晶体P 表(r面,t)出、射P 后(，r ,t既) 可, 能等处状在态 ，P 按(r,态t)态迭，加也原
理，在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成 P
取各种可能值的平面波的线性叠加，即
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(r ,t) C (P )P (r ,t)
衍射图样正是这些平面波 叠加干涉的结果
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1.电子双缝衍射实验
1
1
P1
P
用缝到 1达表屏示B的粒状子态穿，过用上面 狭2
表示粒子通过下面狭缝到
达屏B的状态，再用 表
S•
D 2
2
示粒子穿过两个狭缝到达B 的状态，则有
P2
c11c22
其下两中个c1以缝及的c概2与率粒有子关通过上
由此，我们得到了量子力学中的态叠加原理：如
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§2.1 波函数的统计解释
1．微观粒子状态的描述
微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述 必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观 粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理 量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要 有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经 典物理中截然不同的物理图像。
若 1,2, ,n是粒子的可能状态，则粒子也
可处在它们的线性迭加态
c 11 c 22 c nn
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3．电子在晶体表面的衍射
电子沿垂直方向射到 单晶表面，出射后将以各
P
种可能的动量运动，出射
后的电子为自由电子，其
状态波函数为平面波。
P(r,t)(21)3/2ei(PrEt)
• 三个问题？
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
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描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
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2．波函数的统计解释
▲ 两种错误的看法
（1） 波由粒子组成 如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形
成的一种分布。
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单 个电子衍射实验。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长， 底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性 并不是许多电子聚集在一起时才有的现象，单个电 子就具有波动性。
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（2） 粒子由波组成
电子是波包 把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是也可以说，“ 电子既是粒 子也是波，它是粒子和波动二重性的统一。”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念 中的粒子。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
它表示粒子在t 时刻出现在 r 附近单位体积内的几
率
必须注意
（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设。
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒 子在空间各点处出现的几率，以后的讨论将进一步知 道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数完全 描写体系的量子状态（简称状态或态） （2）波函数一般用复函数表示。
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经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
电子源
衍射实验事实：
O
感
Q光
Q
屏
（1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒
性，长时间亦显示衍射图样;
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（2） 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
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2、波函数的基本性质 a、波函数通常用复数表示
b、波函数的统计解释：波函数自身没有直接的 物理意义；模平方与粒子在某一点出现的概率成 正比
c、波函数包含体系的所有物理量信息，这些物 理量的取值在量子力学中是以概率形式呈现的
3、概率密度与归一化
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粒子在任意时刻在空间某点附近单位体积内 出现的概率即c (r,t)2
以坐标 r 为自变量的波函数， 以动量 P 为自变量的函数，
坐标空间（坐标表象）波函 动量空间波函数，因为它反
数
映动量为p的态出现的概率
r,t2 给位出置tr 时处刻的粒几子率处在
C P,t 2给为出P t的时几刻率粒子动量
二者描写同一量子状态
一维情况下
(x,t)(21)1/2
iP x
C (P ,t)e dP
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设粒子状态由波函数 (r,t) 描述，波的强度是
(r,t)2 * (r,t)(r,t)
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的
几率
d W (r,t) C(r,t)2d
(r,t) d W d (r,t) C (r,t)2
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称为几率密度(概率密度)
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学习要求
1.接受微观粒子运动状态的描述方式
波
函数及其统计解释。
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
SchrÖdinger方程。
4.掌握定态及其性质。
5.通过对三个实例的讨论,掌握定态SchrÖdinger 方程的求解。
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化波函数：
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设原波函数为 (r,t)，归一化波函数为
( r ,t) c( r ,t)
则有
(r,t)2d C 2
2
(r,t)d 1
其中 于是
C
1
(r,t) 2 d
称为归一化常数
(r,t)(r,t)2
(r,t)2
(r,t)2d
归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性。
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注意
（1）归一化后的波函数(r,t) 仍有一个模为一的因
子 e i 不定性（ δ为实函数）。
若 r,t 是归一化波函数，那末，r,tei 也是
归一化波函数，与前者描述同一几率波。
（2）只有当几率密度 (r,t)对空间绝对可积时，才
能按归一化条件 (r,t)2d1进行归一化。
波函数的归一化：通过在原波函数前乘上一个常 数因子，其模平方积分等于1.其物理意义表示粒 子在全空间出现的总概率为1.归一化因子
C
1
(r,t) 2 d
经过归一化后的波函数 (r,t)2就代表某一点的几
率密度
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§2.2 态叠加原理
在经典力学中，声波和光波等都遵从叠加 原理,叠加是波共有的属性。例如，光学中的 惠更斯原理就是典型的叠加原理的体现。微观 粒子类似于光的性质，具有波动性质。所以量 子力学中描述量子态的波函数也应该满足态叠 加原理。以下介绍量子力学中的态叠加原理。
P
考虑到电子动量的连续变化
(r ,t) C (P )P (r ,t)d3P (21)3/2
C (P)ei(P,rEt)d3P
1 C (P,t)eiPrd3P (2 )3/2
即
(r,t)(21)3/2
C (P ,t)eiP rd3P
（1）
该式是以
e
i
p.r
为谱系的傅里叶积分
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r,t 和 Cr,t 描述同一状态
这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅 增大一倍（原来的 2 倍）时，则相应的波动能 量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动 状态。
为消除波函数有任一常数因子的这种不确定
性，利用粒子在全空间出现的几率等于1的特性，
提出波函数的归一化条件，即通过乘一个常数 使波函数模的平方在全空间的总和为1，这样的 波函数模平方直接代表粒子的几率，称为归一
这类似于掷硬币的实验，可以一次性的掷大量的
硬币，也可以一次一次地在相同条件下投掷大量的硬 币，两种情况得到的结果相同，这表明量子体系的波 动行为具有统计的特性。亮条纹表明粒子出现的概率 大，暗条纹表明粒子在该处出现的概率小。若用波函 数描述粒子的行为，则它必须能够反映这种属性。
在光的衍射现象中，条纹的亮暗与光的强度成正2021/7/10 Nhomakorabea17
第一节 内容复习 1、量子体系状态的描述方法
经典力学的描述方法：用位置和动量作为变 量描述粒子的运动状态。只要物体在任一时刻 的位置确定，则物体的运动状态就确定了。其 特点是：用轨道的概念表示质点的运动特性。
量子力学的描述方法：由于微观粒子的波粒 二象性，无法确定粒子在某一时刻的精确位置， 不能用轨道的概念描述粒子的状态。用波函数 来描述量子体系的状态。
第二章 波函数与薛定谔方程
The wave function and Schrödinger Equation
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内容提要
本章内容主要包括:(1)微观粒子体系—量子 体系的描述方法，即用波函数来描述量子体系状 态，体系波函数一旦确定，意味着量子体系的一 切力学量信息都可以通过对波函数的解读来获得， 只是这些力学量取值在量子体系中通常以概率的 形式，而不是决定的形式体现。(2)介绍求解体 系波函数的方程—薛定谔方程；（3）应用薛定 谔方程求解几个简单力学体系的波函数
果 1 c以1及1 c22是2粒也子是的体可系能的态一，个则可其能线状性态叠加
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物理意义
如果粒子处在 1 以及 2 的线性叠加态c11c22
则它既处在 1 态也处在 2 态上 迭加态的概率:
2 c 1 21 2 c 2 22 2 c 1 c 21 2 c 1 c 2 12
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(r,t)
1
3
c(k,t)eik.rdk
(2)2
由此
c(r,t)
1
3
(r,t)eik.rdr
(2)2
C (P ,t) 1 (r,t)eiP ,rd3r
(2)3/2
（2）
对 (r,t)及 c(p ,t)作扼要比较说明
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(r,t)
C(P,t)
这也与实验结果相矛盾，这是因为若电子本身是一 个波包，则在单电子实验中就应该观察到双缝干涉 的实验现象，而实际上在一次性单电子实验中并不 能观察到干涉现象。
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实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如 一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小≈1 A0 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
叠加前的态有本质区别，而量子体系的叠加
态和叠加前的状态无本质区别，处在叠加态
的体系以概率的形式呈现单个状态
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比，即振幅的平方成正比，而从光是粒子的角度，
强度大的地方意味着光子在该处出现几率大。既然
量子力学中的态用波函数描述的，波函数的模的平
方就相应于波函数振幅的平方。所以，类似于光的
属性，其模的平方应该与粒子在空间某一位置出现
的2概021/率7/10成正比。
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波动观点
粒子观点
明纹处: 电子波强(x,y,z,t)2大 电子出现的概率大
暗纹处: 电子波强(x,y,z,t)2小 电子出现的概率小
可见，波函数模的平方 r,t 2与粒子 t时刻在 r
处附近出现的概率成正比。
1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：
波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方） 与粒子在该点出现的概率成比例。
注意：波函数本身没有直接的物理意义
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3．波函数的归一化条件
令
(r ,t) C (r ,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 1 和 r 2 处找到粒子的
相对几率是：
C(r1,t) 2 (r1,t) 2 C(r2,t) (r2,t)
可见， r,t 和 r,t 描述的是同一几率波，所
以波函数有一常数因子不定性。即