工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)

测量误差理论
一、中误差估值（也称中误差）：
Δi （i=1,2，…，n ) (6—8)
【例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为:
第一组 —3″、+3″、-1″、—3″、+4″、+2″、-1″、—4″； 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、—4″、0″、+3″、-1″. 试比较这两组观测值的精度，即求中误差。

解："2
2222219.28
41243133±=+++++++±=m
"222223.38
1
3046151±=+++++++±=m
由于m 1〈m 2，可见第一组观测值的精度比第二组高。

同时,通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大,因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。

另外，由以上分析可知,中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。

二、相对误差:观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即
m
S S
m K 1
=
=
(6-10) 三、误差传播定律
【例】 丈量某段斜距S =106。

28 m ，斜距的竖角038'︒=δ，斜距和竖角的中误差分别为cm 5m s ±=、"20m ±=δ，求斜距对应的平距D 及其中误差D m .
解：平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D
由于δcos ⋅=S D 是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分,化成线性函数，并用“∆”代替“d ”得
δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D
再根据（6—29)式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值
n m ] [
∆∆ ±
=
2"
"2
222"2
22
2
)(477
.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m S
D
=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ
因此，平距的中误差为：m D =±5 cm 。

则最终平距可表示为：D =105.113±0。

050 m 。

应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角度单位和长度单位，所以,应注意各项单位要统一。

例如，上例中的角值需要化为弧度。

综上所述，应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下： 列独立观测值函数式
对函数式进行全微分
写出中误差关系式
应用误差传播定律应特别注意两点：正确列出函数式;函数式中的各个观测值必须是独立观测值。

【例】 用长度为l =30 m 的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m =±5 mm ,求全长D 及其中误差m D 。

解：列独立观测值函数式
对函数式进行全微分 写出中误差关系式 则，全长的中误差为 m D =±mm 16105555222±=⨯±=+++ 如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式D=10l ，写出全长D 的中误差关系式并计算中误差m D =10·m =10·5=±50mm.答案错误,原因在于错误地列出了函数式。

【例】设有函数式Z=y 1+2y 2+1，而y 1=3x,y 2=2x+2,已知x 的中误差为m x ，求Z 的中误差。

解:若直接利用式（6-16）和（6-23）计算，则
函数Z 的中误差 x m m m m m m x x y y Z
5)2(4)3(42222
21
±=⋅+±=+±=
上面答案是错误的!这是因为y1和y2均是x 的函数，它们不是互相独立的观测值，因此,不能直接应用误差传播定律进行计算。

正确的做法是先将y 1和y 2代入函数式Z ，合并同类项后即为独立观测值，再应用误差传播定律，即
x
Z m m x x x Z 7571)22(23±=+=+++=
)
,,,(21n x x x f z =n n
dx x f dx x f dx x f dz ∂∂++∂∂+∂∂=
221122
2
22
2212
1n
x n x x m x f m x f m x f z m ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂±= 10
21dl dl dl dD +++= 10
21l l l D +++= 2
210
222110m m m m m l l l D ⋅±=+++±=
【例】 对某段距离进行了5次等精度观测,观测结果列于表6—3，试计算该段距离的最或然值及其中误差。

计算见表6-3.
表6－3 利用观测值的改正数计算观测值中误差
四、加权平均值及其中误差
【例】 已知观测值分别为L 1、L 2、L 3,其中误差分别为m 1=±1″、m 2=±2″、m 3=±3″，则它们的权分别为:
取μ=1时， 91,4
1,12
332
2
22
11=
=
=
===m p m p m p μ
μ
μ
取μ=4时， 9
4,1,423322
221
1====
==m p m
p m
p μμ
μ
取μ=36时，4,
9,
3623
322
22
11==
==
==
m p m p m p μ
μ
μ
【例】 水准测量中按测站数和水准测量距离定权。

设在A 、B 两点间进行水准测量,共设置了n 个测站，各测站的高差分别为h 1、h 2、┅、h n ,则A 、B 点间的高差h AB 为
h AB =h 1+h 2+┅+h n （6-38）
若每个测站的高差中误差为m 站，则根据误差传播定律可得h AB 的中误差为
n m m AB h 站= （6—39)
若设每测站的水准距离相等,均为s ,则A 、B 间的水准测量距离S AB =n ·s ,由式(6—39）可得h AB 的中误差
AB AB h S s
m s S m m AB ⋅==站
站
(6-40) 设s
m 站=
μ,则式(6—40)变为AB h S m AB ⋅=μ。

当S AB =1 km 时,AB h m =m 公里=μ，可见μ为
每公里水准测量高差的中误差。

因此,式（6-40）变为
AB h S m m AB ⋅=公里 （6—41）
由式（6-39）和（6-41）可得：水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，与距离的平方根成正比。

可见，在水准测量中，测站数越少或距离越短,则观测高差的精度越高。

若取c 个测站的观测高差中误差为单位权中误差μ,根据权定义式(6—37)和式（6—39），可得观测高差h AB 的权为
n c
n
m c m m P AB
AB h
h =
=
=
22站站2
2
μ
（6—42）
若取c 公里观测高差的中误差为单位权中误差m 公里，根据定义权公式(6-37）和式(6—41）,可得观测高差h AB 的权为
AB
h
h c m c m m P AB
AB S S AB
22=
=
=
公里公里22
μ
（6—43）
由（6—42）和(6—43）式可知：水准测量高差的权与测站数成反比,与水准路线的长度成反比.所以，通过测站数和水准测量距离就可以确定观测高差的权,而不需要利用中误差来定权. 【例】 在相同的观测条件下,对某一未知量分别用不同的次数n 1、n 2、┅、n n 进行n 批观测，
得相应的算术平均值为L 1、L 2、┅、L n ,求 L 1、L 2 、┅、L n 的权。

解:设各观测值的中误差分别为m 1、m 2、┅、m n ，且观测一次的中误差均为m ，则
n
n
n m n m
n m
m
m
m
=
=
=
,,,2
2
1
1
因此，相应的权为i i
i i n n m m p m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===2
22μμμ,再令m c 2μ=，则i i n c p ⋅=,若取c=1,则
i i n p = （6-44）
可见，在相同的观测条件下,算术平均值的权与观测次数成正比（或相等）。

设n 个不等精度观测值L 1、L 2、…、L n ，相应的权分别为P 1、P 2、…、P n ，则最或然值(称为加权平均值）为
]
[]
[212211p pL p p p L p L p L p x n n n =++++++=
（6—45）
可以看出，当各观测值为等精度时，则权P 1=P 2=…=P n =1，上式就与算术平均值计算式（6-31）相同。

下面根据式(6-45）推算加权平均值的中误差。

设观测值L 1、L 2、…、L n 的中误差分别为m 1、m 2、…、m n ,则根据误差传播定律可得加权平均值的中误差为
[]
[]
[]
2
2
2
22
2
2
22
1
2
21
n
n x m P P m P P m P P M +
++
±
= (6-46） 由权定义式（6-37）,有i
i
p m 2
2μ=
，代入式(6-46)可得
[][][][]]
[)(n 212
2
2
2
2
2
2
2
2
1
P P P P P P P P P P P M n
x μμμμμ±
=+++⋅±
=+
++
±
= （6-47)
实际计算时，上式中的单位权中误差μ可用观测值的改正数来计算，其计算公式为
[]
1-±
=n PVV μ
（6—4
8）
将式（6—48）代入式（6—47)，可得加权平均值的中误差计算公式
[]
[]
[])
1(-±
=±
=n P Pvv P M x μ
(6—50）
【例】 如图6—3所示，从已知水准点A 、B 、C 经三条水准路线，测得E 点的观测高程H i 及水准路线长度S i （见表6—4),求E 点的加权平均值及其中误差. 各条水准路线权: i
i S p 1
= （由式6-43可得) 加权平均值： )m (469.527]
[]
H [==
p p x
加权平均值中误差：)(84.8)
1]([]
[M x mm n p pvv ±=-±
=
则E 点高程： H E =527。

469±0.009 （m ）
图6—3 不等精度水准路线
表6—4 不等精度高程计算表
观测路线 E 点观测高程 H i （m ） 观测路线长度 S i (km ）
观测高程权
i p 观测值的改正数
i i H x v -= （mm ）
PVV
1 527。

459 4.5 0。

2
2 10 22。

00 2 527。

484 3.2 0。

31 -15 69.75 3
527。

458
4。

0
0.25
11
30。

25
五、思考题习题：
1.观测条件主要由那些因素构成？
2。

观测误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的？试举例说明。

3.在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数有误差，试判断误差的性质及符号:
(1)视准轴与水准管轴不平行；(2）仪器下沉；（3)读数不准确;(4)水准尺下沉；(5）水准尺倾斜. 4。

何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？
5.偶然误差的统计规律是什么？偶然误差的概率分布曲线能说明哪些问题?
6.已知两段距离的长度及其中误差分别为:300。

465 m ±4.5 cm 及660。

894 m ±4。

5 cm,试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的相对中误差是否相等？
7.在三角形ABC 中，已测出,'3'0060,'4'0030±︒=∠±︒=∠B A
求C ∠的值及其中误差。

8．两个等精度观测角度之和的中误差为"10±，问每个角的观测值中误差是多少？
9。

以相同精度观测某角5次，观测值分别为39°40.5’、39°40.8′、39°40。

9′、39°40。

8′、39°40.6′，试计算该角的最或然值及其中误差。

10。

丈量两段直线得 D 1=164。

86m ，D 2=131.34m,其中误差分别为m m m m D D 03.0,04.021
±=±=，求:（1）
每段直线的相对中误差;（2）两段直线之和的相对中误差；（3）两段直线之差的相对中误差.
11。

在水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为mm 2±，假定视线平均长为50m ，容许误差为中误差的两倍，求测段长为S km 的水准路线往返测高差的容许闭合差应为多少？ 12。

水准测量从点A 到点B,如附图所示。

已知A 、B 点高程分别为m H m H B A 533.48,145.50==。

观测高差及其水准测量距离分别为：
;
2,527.0;3,127.2;2,131.2;4,134.244332211km S m h km S m h km S m h km S m h =+==-==-==-= 求C 点的最或然高程及其中误差. 附图
13.等精度观测了12个三角形的所有内角，求得每个三角形的闭合差ω见附表，试计算测角中误差。

附表
三角形编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12 闭合差ω（ ”）
3.2
—1。

6
1.4
-2.5
0。

7
2.3
-3.1
2。

5
—1。

8
-0。

9 2。

7
—2。

2
参考答案： 7。

'5'0090±︒=∠C 8．7。

071” 9．'1.0'7.4039±︒
10．670
159241
4378141211
11．
)(25
4
mm S 12。

48.012±0。

002（m ）
13。

ω为真误差，可得三角形内角和的中误差2.2]
[''±=±
=n M ωω，则测角中误差3.13
''±=±=M m 。

六、追加练习：
1。

对某基线丈量六次,其结果为：L1＝246.535m,L2＝246.548m，L3＝246。

520m，
L4＝246.529m，L5＝246。

550m，L6＝246。

537m。

试求:（1）算术平均值; 246。

5365m
（2)每次丈量结果的中误差；11.36mm
(3)算术平均值的中误差和基线相对误差.4.6mm,1/53000
2。

观测BM1至BM2间的高差时，共设25个测站，每测站观测高差中误差均为±3mm，问:（1)两水准点间高差中误差多少？(2)若使其高差中误差不大于±12mm，应设置几个测站？16站
3。

在等精度观测条件下，对某三角形进行四次观测，其三内角之和分别为：179º59′59″，180º00′08″，179º59′56″，180º00′02″.
试求：（1)三角形内角和的观测中误差?4.6秒
（2）每个内角的观测中误差？2。

66秒。