自动控制原理第2章
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' ' & & Tmω + ω = K g ug + K g ug K c' M c'
显然，转速ω 既与输入量 ug有关，也与干扰 M有关。 有关， 有关。 显然， c
′ (iT + K1K2 K3 Km Ktτ ) Tm = m
′ KKKK τ Kg = 1 2 3 m
(i + K1K2 K3 Km Kt )
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的复数域数学模型
线性定常系统的微分方程式一般表达式为： 线性定常系统的微分方程式一般表达式为：
d nc(t ) d n1c(t ) dc(t ) a0 + a1 +…+ an1 + anc(t ) n n1 dt dt dt d mr(t ) d m1r(t ) dr(t ) = b0 + b1 +…+ bm1 + bmr(t ) m m1 dt dt dt 在零初始条件时，对上式进行拉氏变换， 在零初始条件时，对上式进行拉氏变换，得：
(i + K1K2 K3 Km Kt )
Kg =
K1K2 K3 Km
(i + K1K2 K3 Km Kt )
′ K KC = C
(i + K1K2 K3 Km Kt )
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2.2 控制系统的复数域数学模型
1.传递函数的定义和性质 1.传递函数的定义和性质 传递函数：是在零初始条件下， 传递函数：是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 换与输入量的拉氏变换之比。 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在 是指输入量是在t≥0时才作用于系统， t≥0时才作用于系统 t=0时 系统输入量x 以及其各阶导数均为零； t=0时，系统输入量xr以及其各阶导数均为零； 是指输入量加于系统之前， 二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即输出量x 及其各阶导数在t=0 t=0时的 工作状态，即输出量xc及其各阶导数在t=0时的 值也为零。 值也为零。
Hale Waihona Puke [a0sn + a1sn1 +… …+ an1s + an ]C(s) = [b0sm + b1sm1 +… …+ bm1s + bm ]R(s)
描述该线性定常系统的传递函数为： 描述该线性定常系统的传递函数为：
…+ bm1s + bm C(s) b0sm + b1sm1 +… G(s) = = R(s) a0sn + a1sn1 +… …+ an1s + an
控制系统的时域数学模型
例：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。 编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
R2
R2
R1
ug
R1
ue+
+
ωm
功率 2 放大器
ω Mc
负载
u1
C
u
ua
R1
uf
解：速度控制系统方块图： 速度控制系统方块图：
测速发电机
ug ue
-
运放Ⅰ
u1
运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc
电动机
ω
uf
测速
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控制系统的时域数学模型
例3 如图所示为一机械位移相同。当外力f(t)作用于系统时，系 如图所示为一机械位移相同。当外力f(t)作用于系统时 作用于系统时， 统将产生运动。试写出外力f(t)与位移 (t)之间的微分方程 与位移x 之间的微分方程。 统将产生运动。试写出外力f(t)与位移x1(t)之间的微分方程。 解：
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引言
建模方法： 建模方法： 解析法（机理分析法）：根据系统工作所依据的 解析法（机理分析法）：根据系统工作所依据的 ）： 物理定律列写运动方程。 物理定律列写运动方程。 实验法（系统辨识法）： ）：给系统施加某种测试信 实验法（系统辨识法）：给系统施加某种测试信 记录输出响应， 号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统 的输入输出特性。 的输入输出特性。
2
L ＋ ur(t) － R i C － ＋ uc(t)
d uc ( t ) duc ( t ) LC + RC + uc ( t ) = ur ( t ) 2 dt dt
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控制系统的时域数学模型
机械系统
例2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示， f(t)作用于系统时 系统将产生运动。试写出外力f(t)与质量块 f(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力f(t)与质量块 作用于系统时， 的位移x(t)之间的微分方程 之间的微分方程。 的位移x(t)之间的微分方程。 解: 弹簧的弹力：方向与运动方向相反， 弹簧的弹力：方向与运动方向相反， f(t) 大小与位移成比例， 大小与位移成比例，K是弹性系数 阻尼器的阻尼力： 阻尼器的阻尼力：方向与运动方向相 大小与运动速度成比例， 反，大小与运动速度成比例，f是阻尼 m d 2 x(t ) f dx(t ) 1 x(t ) = f (t ) 系数 2 + K dt + K dt K f m d 2 xc f dxc 1 xr + + xc = 2 K dt K dt K K m x(t)
dx1(t ) 列写机械系统的微分方程式， 注意： 1 + 1 df (t ) + 1 f (t ) 注意：列写机械系统的微分方程式， = dt K1 K2 dt f 关键是要选择合适的质点作受力分
f(t) K1 K2 x1 x2 x3 f 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
析dxc (t ) 1 ，然后利用有关定律求解微分方 1 dxr (t ) 1 xr (t ) = + + 程。 dt f K1 K2 dt
例1 试求如图所示RLC无源网络的传递函数Uc(S)/Ur(S) 试求如图所示RLC无源网络的传递函数Uc(S)/Ur(S) RLC无源网络的传递函数 方法一：由前面例题可知描述 ＋ 方法一：由前面例题可知描述 网络输入输出关系的微分方程： 网络输入输出关系的微分方程：u (t)
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引言
数学模型:描述系统输入、 数学模型:描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式。 之间关系的数学表达式。 时域模型—— 时域模型——微分方程 差分方程 状态方程 复域模型—— 复域模型——传递函数 结构图 信号流图 频域模型—— ——频率特性 频域模型——频率特性
R2 k2 = R1
τ = R1C
& 电动机环节： Tmω m + ω m = k m ua kc M c 电动机环节：
'
见书例2 见书例2-2
齿轮系： 齿轮系：
1 ω = ωm i
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控制系统的时域数学模型
（2）消去中间变量：推出 ω ~ ug ( Mc )之间的关系： 消去中间变量： 之间的关系：
dωm2 (t ) dωm (t ) 1 T T +T + ωm (t ) = ua (t ) a m m 2 dt dt Ce
Ra La
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控制系统的时域数学模型
2.控制系统微分方程的建立 2.控制系统微分方程的建立
线性系统微分方程的编写步骤： 线性系统微分方程的编写步骤： ⑴ 确定系统和各元部件的输入量和输出量。 确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵ 对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物 对系统中每一个元件列写出与其输入、 理的方程。 理的方程。 ⑶ 对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 对上述方程进行适当的简化， 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。 ⑷ 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序， 件的方程中消去中间变量， 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。 系的微分方程。 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
C(s)
传递函数与微分方程有相通性 微分方程 传递函数
d dt
s
d dt
传递函数 微分方程
s
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控制系统的复数域数学模型
传递函数与s 传递函数与s平面上一定的零极点图相对应
(iss+ zi )Π (τ 22 +22+ k2ξkks +sω k 1) s k s ξ ω τ k +2 ) ( Πτ + 1) k =1 K Π=1 K GGs ) ) = υ υ ×= 1 n ( (s= × i ni n2 n 1 ss ( T ss+ p j ) (T l22 +22+ l2ξl l + lω l2 1) Π ( j + 1)Π ( s s ξ ω T + ) Π Π
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的复数域数学模型
传递函数的性质 传递函数是复变量s 传递函数是复变量s的有理真分式函数 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数， 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入 量的形式无关， 量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息
R(s)
G(s)
华中科技大学文华学院机电学部
自动控制理论
讲授人：范 娟
研究自动控制系统的方法与目的
实际控制系统 系 统 建 模 实际系统的组成框图 系统的 应用
组成
框的
系统的
系统
系统
系统
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第2 章
自动控制系统的数学模型
引言 2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图 本章小结
其它系统
控制系统的时域数学模型
例4 试列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程。 试列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程 的微分方程。 解: 电枢控制直流电动机的工作实 ωm 质：将输入的电能转换为机械 ia M 能，也就是由输入的电枢电压 ua 在电枢回路中产生电枢电流， 在电枢回路中产生电枢电流， 再由电流与激磁磁通相互作用 产生电磁转矩，从而拖动负载 产生电磁转矩，) R J dω (t ) L Jm dωm2 (t u (t ) a m + a m + ωm (t ) = a 运动。 运动。 C mCe dt 2 CmCe dt Ce
2 1 2
m 1m1
m2 m
j = 1 =1 j
ll= 1 =1
式中： 式中：
放大系数 pj 分母多项式的根， 分母多项式的根，称为系统的极点 或增益
K
称为根轨迹增益或传递系数 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
zi
分子多项式的根，称为系统的零点 分子多项式的根，
控制系统的复数域数学模型
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的时域数学模型
（1）各环节微分方程： 各环节微分方程： 运放Ⅰ 运放Ⅰ： u1 = k1 ( ug u f ) = k1 ue
R2 k1 = R1
& 运放Ⅱ 运放Ⅱ：u2 = k 2 (τ u1 + u1 )
功率放大： 功率放大：ua = k 3 u2 反馈环节： u f = k f ω 反馈环节：
控制系统的时域数学模型
电学系统
例1 试求如图所示RLC无源网络的微分方程 试求如图所示RLC RLC无源网络的微分方程 解：设回路电流为i(t)，由希 设回路电流为 ， 尔霍夫定律可列回路方程， 尔霍夫定律可列回路方程，并 消去中间变量i(t)， 消去中间变量 ，得描述网 络输入输出关系的微分方程： 络输入输出关系的微分方程：
输入
黑 盒
输出
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2.1 控制系统的时域数学模型
1.线性元件的微分方程 1.线性元件的微分方程
微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型， 微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型， 最基本模型 又称之为控制系统时域内的运动方程。 又称之为控制系统时域内的运动方程。 用解析法建立系统微分方程的步骤： 用解析法建立系统微分方程的步骤： 确定系统中各元件的输入量和输出量； （1）确定系统中各元件的输入量和输出量； 根据各元件所遵循物理、化学、生物等定律（机理）， （2）根据各元件所遵循物理、化学、生物等定律（机理）， 列出各自的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素， 列出各自的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素， 适当简化； 适当简化； 消去中间变量，把微分方程整理成输入输出关系式。 （3）消去中间变量，把微分方程整理成输入输出关系式。 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
显然，转速ω 既与输入量 ug有关，也与干扰 M有关。 有关， 有关。 显然， c
′ (iT + K1K2 K3 Km Ktτ ) Tm = m
′ KKKK τ Kg = 1 2 3 m
(i + K1K2 K3 Km Kt )
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控制系统的复数域数学模型
线性定常系统的微分方程式一般表达式为： 线性定常系统的微分方程式一般表达式为：
d nc(t ) d n1c(t ) dc(t ) a0 + a1 +…+ an1 + anc(t ) n n1 dt dt dt d mr(t ) d m1r(t ) dr(t ) = b0 + b1 +…+ bm1 + bmr(t ) m m1 dt dt dt 在零初始条件时，对上式进行拉氏变换， 在零初始条件时，对上式进行拉氏变换，得：
(i + K1K2 K3 Km Kt )
Kg =
K1K2 K3 Km
(i + K1K2 K3 Km Kt )
′ K KC = C
(i + K1K2 K3 Km Kt )
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2.2 控制系统的复数域数学模型
1.传递函数的定义和性质 1.传递函数的定义和性质 传递函数：是在零初始条件下， 传递函数：是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 换与输入量的拉氏变换之比。 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在 是指输入量是在t≥0时才作用于系统， t≥0时才作用于系统 t=0时 系统输入量x 以及其各阶导数均为零； t=0时，系统输入量xr以及其各阶导数均为零； 是指输入量加于系统之前， 二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即输出量x 及其各阶导数在t=0 t=0时的 工作状态，即输出量xc及其各阶导数在t=0时的 值也为零。 值也为零。
Hale Waihona Puke [a0sn + a1sn1 +… …+ an1s + an ]C(s) = [b0sm + b1sm1 +… …+ bm1s + bm ]R(s)
描述该线性定常系统的传递函数为： 描述该线性定常系统的传递函数为：
…+ bm1s + bm C(s) b0sm + b1sm1 +… G(s) = = R(s) a0sn + a1sn1 +… …+ an1s + an
控制系统的时域数学模型
例：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。 编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
R2
R2
R1
ug
R1
ue+
+
ωm
功率 2 放大器
ω Mc
负载
u1
C
u
ua
R1
uf
解：速度控制系统方块图： 速度控制系统方块图：
测速发电机
ug ue
-
运放Ⅰ
u1
运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc
电动机
ω
uf
测速
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控制系统的时域数学模型
例3 如图所示为一机械位移相同。当外力f(t)作用于系统时，系 如图所示为一机械位移相同。当外力f(t)作用于系统时 作用于系统时， 统将产生运动。试写出外力f(t)与位移 (t)之间的微分方程 与位移x 之间的微分方程。 统将产生运动。试写出外力f(t)与位移x1(t)之间的微分方程。 解：
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引言
建模方法： 建模方法： 解析法（机理分析法）：根据系统工作所依据的 解析法（机理分析法）：根据系统工作所依据的 ）： 物理定律列写运动方程。 物理定律列写运动方程。 实验法（系统辨识法）： ）：给系统施加某种测试信 实验法（系统辨识法）：给系统施加某种测试信 记录输出响应， 号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统 的输入输出特性。 的输入输出特性。
2
L ＋ ur(t) － R i C － ＋ uc(t)
d uc ( t ) duc ( t ) LC + RC + uc ( t ) = ur ( t ) 2 dt dt
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控制系统的时域数学模型
机械系统
例2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示， f(t)作用于系统时 系统将产生运动。试写出外力f(t)与质量块 f(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力f(t)与质量块 作用于系统时， 的位移x(t)之间的微分方程 之间的微分方程。 的位移x(t)之间的微分方程。 解: 弹簧的弹力：方向与运动方向相反， 弹簧的弹力：方向与运动方向相反， f(t) 大小与位移成比例， 大小与位移成比例，K是弹性系数 阻尼器的阻尼力： 阻尼器的阻尼力：方向与运动方向相 大小与运动速度成比例， 反，大小与运动速度成比例，f是阻尼 m d 2 x(t ) f dx(t ) 1 x(t ) = f (t ) 系数 2 + K dt + K dt K f m d 2 xc f dxc 1 xr + + xc = 2 K dt K dt K K m x(t)
dx1(t ) 列写机械系统的微分方程式， 注意： 1 + 1 df (t ) + 1 f (t ) 注意：列写机械系统的微分方程式， = dt K1 K2 dt f 关键是要选择合适的质点作受力分
f(t) K1 K2 x1 x2 x3 f 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
析dxc (t ) 1 ，然后利用有关定律求解微分方 1 dxr (t ) 1 xr (t ) = + + 程。 dt f K1 K2 dt
例1 试求如图所示RLC无源网络的传递函数Uc(S)/Ur(S) 试求如图所示RLC无源网络的传递函数Uc(S)/Ur(S) RLC无源网络的传递函数 方法一：由前面例题可知描述 ＋ 方法一：由前面例题可知描述 网络输入输出关系的微分方程： 网络输入输出关系的微分方程：u (t)
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引言
数学模型:描述系统输入、 数学模型:描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式。 之间关系的数学表达式。 时域模型—— 时域模型——微分方程 差分方程 状态方程 复域模型—— 复域模型——传递函数 结构图 信号流图 频域模型—— ——频率特性 频域模型——频率特性
R2 k2 = R1
τ = R1C
& 电动机环节： Tmω m + ω m = k m ua kc M c 电动机环节：
'
见书例2 见书例2-2
齿轮系： 齿轮系：
1 ω = ωm i
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控制系统的时域数学模型
（2）消去中间变量：推出 ω ~ ug ( Mc )之间的关系： 消去中间变量： 之间的关系：
dωm2 (t ) dωm (t ) 1 T T +T + ωm (t ) = ua (t ) a m m 2 dt dt Ce
Ra La
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控制系统的时域数学模型
2.控制系统微分方程的建立 2.控制系统微分方程的建立
线性系统微分方程的编写步骤： 线性系统微分方程的编写步骤： ⑴ 确定系统和各元部件的输入量和输出量。 确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵ 对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物 对系统中每一个元件列写出与其输入、 理的方程。 理的方程。 ⑶ 对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 对上述方程进行适当的简化， 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。 ⑷ 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序， 件的方程中消去中间变量， 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。 系的微分方程。 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
C(s)
传递函数与微分方程有相通性 微分方程 传递函数
d dt
s
d dt
传递函数 微分方程
s
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控制系统的复数域数学模型
传递函数与s 传递函数与s平面上一定的零极点图相对应
(iss+ zi )Π (τ 22 +22+ k2ξkks +sω k 1) s k s ξ ω τ k +2 ) ( Πτ + 1) k =1 K Π=1 K GGs ) ) = υ υ ×= 1 n ( (s= × i ni n2 n 1 ss ( T ss+ p j ) (T l22 +22+ l2ξl l + lω l2 1) Π ( j + 1)Π ( s s ξ ω T + ) Π Π
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控制系统的复数域数学模型
传递函数的性质 传递函数是复变量s 传递函数是复变量s的有理真分式函数 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数， 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入 量的形式无关， 量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息
R(s)
G(s)
华中科技大学文华学院机电学部
自动控制理论
讲授人：范 娟
研究自动控制系统的方法与目的
实际控制系统 系 统 建 模 实际系统的组成框图 系统的 应用
组成
框的
系统的
系统
系统
系统
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第2 章
自动控制系统的数学模型
引言 2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图 本章小结
其它系统
控制系统的时域数学模型
例4 试列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程。 试列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程 的微分方程。 解: 电枢控制直流电动机的工作实 ωm 质：将输入的电能转换为机械 ia M 能，也就是由输入的电枢电压 ua 在电枢回路中产生电枢电流， 在电枢回路中产生电枢电流， 再由电流与激磁磁通相互作用 产生电磁转矩，从而拖动负载 产生电磁转矩，) R J dω (t ) L Jm dωm2 (t u (t ) a m + a m + ωm (t ) = a 运动。 运动。 C mCe dt 2 CmCe dt Ce
2 1 2
m 1m1
m2 m
j = 1 =1 j
ll= 1 =1
式中： 式中：
放大系数 pj 分母多项式的根， 分母多项式的根，称为系统的极点 或增益
K
称为根轨迹增益或传递系数 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
zi
分子多项式的根，称为系统的零点 分子多项式的根，
控制系统的复数域数学模型
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控制系统的时域数学模型
（1）各环节微分方程： 各环节微分方程： 运放Ⅰ 运放Ⅰ： u1 = k1 ( ug u f ) = k1 ue
R2 k1 = R1
& 运放Ⅱ 运放Ⅱ：u2 = k 2 (τ u1 + u1 )
功率放大： 功率放大：ua = k 3 u2 反馈环节： u f = k f ω 反馈环节：
控制系统的时域数学模型
电学系统
例1 试求如图所示RLC无源网络的微分方程 试求如图所示RLC RLC无源网络的微分方程 解：设回路电流为i(t)，由希 设回路电流为 ， 尔霍夫定律可列回路方程， 尔霍夫定律可列回路方程，并 消去中间变量i(t)， 消去中间变量 ，得描述网 络输入输出关系的微分方程： 络输入输出关系的微分方程：
输入
黑 盒
输出
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2.1 控制系统的时域数学模型
1.线性元件的微分方程 1.线性元件的微分方程
微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型， 微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型， 最基本模型 又称之为控制系统时域内的运动方程。 又称之为控制系统时域内的运动方程。 用解析法建立系统微分方程的步骤： 用解析法建立系统微分方程的步骤： 确定系统中各元件的输入量和输出量； （1）确定系统中各元件的输入量和输出量； 根据各元件所遵循物理、化学、生物等定律（机理）， （2）根据各元件所遵循物理、化学、生物等定律（机理）， 列出各自的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素， 列出各自的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素， 适当简化； 适当简化； 消去中间变量，把微分方程整理成输入输出关系式。 （3）消去中间变量，把微分方程整理成输入输出关系式。 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论