2024-2025学年东北三省六校高一数学上学期9月考试卷附答案解析

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2024-2025学年东北三省六校高一数学上学期9月考试卷
一、单选题(本大题共8小题)
1.已知集合2{|40}A x x =-<、集合2430{|}B x x x =-+<,则A B ⋃=()
A .{|21}x x -<<
B .{|23}x x -<<
C .{|12}
x x <<D .{|13}x x <<2.“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的()
A .必要不充分条件
B .充分不必要条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
3.设()227M a a =-+,()()23N a a =--,则M 与N 的大小关系是()A .M N >B .M N =C .M N <D .无法确定4.不等式|1||2|3x x -+-≤的最小整数解为()A .2-B .1-C .0
D .2
5.已知集合{|||2}A x x =<,11B x x ⎧⎫
=<⎨⎬⎩⎭
,a A B ∈⋂,则a 的值可以是(

A .3
B .3
-C .
13
D .13
-6.已知||1y ≤且21x y +=,则222163x x y ++的最小值为()
A .
277
B .
192
C .13
D .3
7.关于x 的不等式0ax b +>的解集为()2-∞,,那么不等式0ax b x b a ++->的解集为()
A .(13)-,
B .(1)(3)-∞-⋃+∞,
,C .[09),
D .(19),
8.设正实数a 、b 、c 满足2240a ab b c -+-=,则当c
ab 取得最小值时,236a b c
+-的最大值为()
A .1
B .2
C .3
D .4
二、多选题(本大题共3小题)
9.下列命题中是真命题的是()A .“1x >”是“21x >”的充分不必要条件
B .命题“0x ∀≥,都有210x -+≥”的否定是“00x ∃>,使得2
010x -+<”
C .不等式
3
021
x x -≥+成立的一个充分不必要条件是1x <-或4x >D .当3a =-时,方程组23210
6x y a x y a
-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解
10.下列说法中,正确的有()
A .1
y x x
=+
的最小值是2
B .
y 的最小值是2
C .若a ,b ,c ∈R ,则222a b c ab ac bc
++++≥D .若a ,b ,(0,)c ∈+∞,则()()()8a b b c a c abc
+++≥11.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为M ,则下列说法正确的是()
A .若M =∅,则0a <且240
b a
c -≤B .若
a b c
a b c ''='
=,则关于x 的不等式20a x b x c ''+'+>的解集也为M C .若{|12}M x x =-<<,则关于x 的不等式21()12()a x b x c ax ++-+<的解集为{|0,N x x =<或3}x >D .若
00,{|M x x x x =≠为常数},且a b <,则
34a b c
b a
++-的最小值为5+三、填空题(本大题共3小题)
12.命题“若2a b <,则a <<的否定为
.(用文字表达)
13.若关于x 的不等式()2
23
1
0+>-++x x a a x a 的解集为()(),14,-⋃+∞a ,则实数a 的值为

14.已知p :216600x x -+->;q 0
>;r :关于x 的不等式22320x ax a -+<(a ∈R ),若r 是p 的必要不充分条件,且r 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围为.
四、解答题(本大题共5小题)
15.已知集合{|215}A x x =-≤-≤,集合{|121}B x m x m =+≤≤-(m ∈R ).(1)若A B ⋂=∅,求实数m 的取值范围;
(2)设命题p :x A ∈;命题q :x B ∈,若命题p 是命题q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.
16.已知命题{}:620p x x
x ∃∈≤≤∣,2x a <,命题:q x ∀∈R ,220x x a +->.(1)若命题p 和命题q ⌝有且只有一个为假命题,求实数a 的取值范围;(2)若命题p 和命题q 至少有一个为真命题,求实数a 的取值范围.
17.已知实数a 、b 满足:229410a b ab ++=.(1)求ab 和3a b +的最大值;(2)求229a b +的最小值和最大值.18.根据要求完成下列问题:
(1)已知a b ∈R 、,集合2{|320}A x x x =-+=、集合2(1)0{|}B x x ax a -+==-、集合
2{|20}C x x bx =-+=,则同时满足B
A 且C A ⊆的实数a 、b 是否存在?若存在,求出a 、b 的
值;若不存在,请说明理由;
(2)已知m n ∈R 、,命题p :1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根,不等式2
1253n n x x --≥-对
任意实数[]1,1m ∈-恒成立;命题q :不等式2210nx x +->有解;若命题p 是真命题,命题q 是假命题,求实数n 的取值范围.19.根据要求完成下列问题:(1)若0a b >>、0c d <<、||||b c >.①求证:0b c +>;
②求证:22
()()b c a d
a c
b d ++<--;
③在(2)中的不等式中,能否找到一个代数式,满足
2()b c a c +<-所求式2
()a d
b d +<-?若能,请直接
写出该代数式;若不能,请说明理由.
(2)设x y ∈R 、,求证:||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥.
参考答案
1.【答案】B
【分析】化简集合,A B ,结合并集运算即可求解.
【详解】∵{|(2)(2)0}{|22}A x x x x x =+-<=-<<,{|(1)(3)0}{|13}B x x x x x =--<=<<,∴{|23}A B x x ⋃=-<<.
故选B.
2.【答案】A
【分析】通过特例说明充分性不成立,根据不等式的性质说明必要性是成立的.
【详解】可令9a =,6c =,7b d ==,则满足a c b d +>+,但“a b >且c d >”不成立,所以“a c b d +>+”不是“a b >且c d >”的充分条件;
根据不等式的性质:由a b >且c d >,可得:a c b d +>+.所以“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要条件.故选A.
3.【答案】A
【分析】利用作差法解出M N -的结果,然后与0进行比较,即可得到答案【详解】因为()227M a a =-+,()()23N a a =--,
所以()()2
2
2
2
132********M N a a a a a a a ⎛
⎫-=-+--+=++=++> ⎪⎝
⎭,
所以M N >.
故选A.
4.【答案】C
【分析】分段去绝对值符号求出x 的取值范围即可得解.
【详解】原不等式可化为2123x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩或12
123x x x <<⎧⎨--+≤⎩或1123
x x x ≤⎧⎨-+-+≤⎩,
解得03x ≤≤,所以所求最小整数解是0.故选C.
5.【答案】D
【分析】求得集合,A B ,得到A B ⋂,结合a A B ∈⋂和选项,即可求解.
【详解】由题意,集合{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<,11{|0B x x x x ⎧⎫
=<=<⎨⎬⎩⎭
或1}x >,
所以{|20A B x x ⋂=-<<或12}x <<,因为a A B ∈⋂,结合选项可得1
3
A B -∈⋂.
故选D.
6.【答案】D
【分析】由||1y ≤且21x y +=得01x ≤≤,令22()2163(21)f x x x x =++-+,根据二次函数求最值即可.【详解】因为||1y ≤且21x y +=,所以11y -≤≤,21y x =-+,所以1211x -≤-+≤,所以01x ≤≤,
则令22
2119()2163(21)14()77
f x x x x x =++-+=++,
当01x ≤≤时,()f x 单调递增,
所以当0x =时,()f x 取得最小值为2119
14(0)377
⨯++=,
即222163x x y ++的最小值为3,当且仅当0x =,1y =时取最小值.
故选D.
7.【答案】C
【分析】由题可得0,2b
a a
<-
=,可得30x -<解之即求.【详解】∵关于x 的不等式0ax b +>的解集为()2-∞,
,∴0,2b
a a
<-=,
∴0ax b a +->可化为230ax a ->,即30x --<
∴3)0<,
3<,解得09x ≤<.故选C.
8.【答案】D
【分析】根据给定条件,利用基本不等式求出c
ab
取最小值时,,a b c 的关系,再利用二次函数求出最大值.
【详解】依题意,由2
2
4c a ab b =-+,得2244113c a ab b a b ab ab b a -+==+-≥-=,
当且仅当4a b b a
=,即2a b =时等号成立,则26c b =,因此
222236236141
()(2)4426a b c b b b b b b +-=+-=-+=--+≤,当且仅当12
b =时取等号,所以当13
1,,22a b c ==
=时,236a b c
+-取得最大值4.故选D.
9.【答案】ACD
【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可.
【详解】对A ,“1x >”可以推出“21x >”,而“21x >”推出1x >或者1x <-,所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件,故A 正确;
对B ,命题“0x ∀≥,都有210x -+≥”的否定是“00x ∃≥,使得2
010x -+<”,故B 错误;
对C ,不等式
3021x x -≥+成立,即3x ≥或12
x <-,所以不等式3
021x x -≥+成立的一个充分不必要条件是1x <-或4x >,故C 正确;
对D ,当3a =-时,方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩等价于3210
3210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩
,即两条直线重合,所以方程组有
无穷多解,故D 正确.
故选ACD.
10.【答案】CD
【分析】利用不等式的性质及基本不等式逐项分析即得.【详解】对于A ,当0x <时,1
0y x x
=+<,故A 错误;对于B
,2y =≥
,当且仅当=,即21x =-时取等号,显然不可能,故B 错误;
对于C ,由222222222a b ab b c bc a c ac ⎧+≥⎪+≥⎨⎪+≥⎩
,可得()
222
2222a b c ab ac bc ++≥++,即222a b c ab ac bc ++++≥,故C
正确;
对于D ,由a ,b ,(0,)c ∈+∞
,可知a b b c a c +≥+≥+≥,所以
()()()8a b b c a c abc +++≥,故D 正确.
故选CD.
11.【答案】ACD
【分析】A 项,利用二次函数的图象可知A 正确;B 项,令(0)b c
a t t
b
c '='
=
=≠,当0t <时,不等式20a x b x c ''+'+>的解集不为M ,B 不正确;C 项,根据M 求出b =-a ,2c a =-,代入所求不等
式求出解集,可知C 正确;D 项,根据M 得到0a >且2
40b ac ∆=-=,将24b c a
=代入34a b c b a ++-,
然后换元利用基本不等式可求出最小值可得.
【详解】A 选项,若M =∅,即一元二次不等式20ax bx c ++>无解,则一元二次不等式20ax bx c ++≤恒成立,∴0a <且240b ac -≤,故A 正确;B 选项,令
a b c t a b c '=='='(0t ≠),则a a t '=,b
b t '=,
c c t
'=,∴20a x b x c ''+'+>可化为2
1()0ax bx c t
++>,
当0t <时,2
1()0ax bx c t
++>可化为20ax bx c ++<,其解集不等于M ,故B 错误;
C 选项,若{|12}M x x =-<<,
则0a <,且1-和2是一元二次方程20ax bx c ++=的两根,
12b
a ∴-+=-
,且12c a
-⨯=,b a ∴=-,2c a =-,∴关于x 的不等式21()12()a x b x c ax ++-+<可化为2(1)(1)22a x a x a ax +---<,
可化为2(3)0a x x -<,0a < ,230x x ∴->,解得0x <或3x >,
即不等式21()12()a x b x c ax ++-+<的解集为{|0,N x x =<或3}x >,故C 正确;D 选项,00|,{M x x x x =≠ 为常数},
0a ∴>且240b ac -=,2
334b a b a b c a b a b a ++
++∴=
--,0b a >> ,0b a ∴->,令0b a t -=>,则b a t =+

22
()33()5555b a t a b a a t a t a a b a t t a ++++++
∴==++≥=-,
当且仅当t =
,则(3(1,2
a b a c ==,且a 为正数时,等号成立,
34a b c
b a
++∴
-
的最小值为5+D 正确.
故选ACD.
12.【答案】若2a b <
,则a ≤
或a ≥.
【分析】运用命题的否定的定义(原命题的形式为“若p 则q ”,则命题的否定的形式为“若p 则
q ⌝
”)求解即可.
【详解】由题意知,命题的否定为:若2a b <
,则a ≤
a ≥
故答案为:若2a b <,则a ≤a ≥13.【答案】2
-【解析】不等式()223
1
0+>-++x x a a x a
可转化为不等式()()()210x x a x a +-->,然后结合题中条件可得1a <-,且24a =,解得a 即可.
【详解】不等式()22310+>-++x x a a x a 即()()
2
1
0x x a x a +>--等价于不等式()()223
10x x a a x a ⎡⎤+-++>⎣⎦
,即()()()210x x a x a +-->,令()()()2
10x x a x a
+--=,解得1x =-,x a =,2
x a
=,
因为不等式()223
1
0+>-++x x a a x a
的解集为()(),14,-⋃+∞a ,所以1a <-,且24a =,解得2a =-.故答案为:2-.
【思路导引】本题考查分式不等式的解法,考查逻辑思维能力和计算能力,考查转化思想.14.【答案】[5,6]
【解析】首先求出命题,p q 为真时的x 的范围,再分类讨论解不等式22320x ax a -+<,同时根据充分必要条件确定关于a 的不等关系,得出a 的范围.
【详解】由216600x x -+->解得:610x <<,由
>解得:1x >,(1)当0a >,由22320x ax a -+<解得:02a x a <<<,
若r 是p 的必要不充分条件,则(6,10)(,2)a a ⊆,则56a ≤≤①,且r 是q 的充分不必要条件,则(,2)(1,)a a ⊆+∞,则1a ≥②,由①②得:56a ≤≤;
(2)当0a <时,由22320x ax a -+<解得:20a x a <<<,若r 是p 的必要不充分条件,(6,10)(2,)a a ⊆不成立,(2,)(1,)a a ⊆+∞也不成立,不存在a 值,
(3)当0a =时,由22320x ax a -+<解得:r 为∅,(6,10)⊆∅不成立,不存在a 值,综上,56a ≤≤为所求.故答案为:[5,6].
【方法总结】本题考查由充分必要条件求参数取值范围,解题方法是:利用充分必要条件确定集合的包含关系,然后得出结论.
15.【答案】(1)()(),25,-∞⋃+∞;
(2)7,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦.
【分析】(1)分B =∅、B ≠∅讨论,根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解;(2)根据充分不必要条件分B =∅、B ≠∅讨论,即可求解.【详解】(1)由题意可知{|215}{|16}A x x x x =-≤-≤=-≤≤,又A B ⋂=∅,当B =∅时,121m m +>-,解得2m <,
当B ≠∅时,121m m +≤-,16m +>或211m -<-,解得5m >,综上所述,实数m 的取值范围为()(),25,-∞⋃+∞;
(2)因为命题p 是命题q 的必要不充分条件,所以集合B 是集合A 的真子集,当B =∅时,121m m +>-,解得2m <,
当B ≠∅时,12111216
m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩(等号不能同时成立),解得7
22m ≤≤,
综上所述,实数m 的取值范围为7,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦.
16.【答案】(1)[]1,3-;(2)()(),13,-∞-⋃+∞.
【分析】(1)首先求出命题p 、q 为真时参数的取值范围,再分类讨论,分别计算可得;
(2)首先求出命题p 和命题q 都为假命题时参数的取值范围,再取其补集即可得解.
【详解】(1)若命题p 为真命题,即命{}620x x
x ∃∈≤≤∣,2x a <,所以62a <,所以3a >,若命题q 为真命题,即x ∀∈R ,220x x a +->,所以2240a ∆=+<,解得1a <-,
因为命题p 和命题q ⌝有且只有一个为假命题,
当命题p 为假,命题q ⌝为真时3
1a a ≤⎧⎨≥-⎩,解得13a -≤≤;
当命题p 为真,命题q ⌝为假时3
1a a >⎧⎨<-⎩
,所以a ∈∅;
所以[]1,3a ∈-;
(2)若命题p 和命题q 都为假命题,则3
1a a ≤⎧⎨≥-⎩
,即13a -≤≤;
因为命题p 和命题q 至少有一个为真命题,所以3a >或1a <-,即()(),13,a ∈-∞-⋃+∞.17.【答案】
(1)1,(2)最小值为6,最大值为30.
【分析】(1)使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解;(2)使用基本不等式,注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解.【详解】(1)∵229410a b ab ++=,∴229104a b ab +=-,∵2296a b ab +≥,∴1046ab ab -≥,∴1ab ≤,
当且仅当3
a =
,b =
a =
,b =ab 的最大值为1,
∵229410a b ab ++=,∴2(3)102a b ab +-=,
∵2
2223(3)23()3326a b a b ab a b ++=⨯⨯≤⨯=
,∴2
2
(3)(3)106
a b a b ++-≤,∴2(3)12a b +≤,
∴3a b +≤3
3
a =
,b 3a b +的最大值为(2)∵22
9410a b ab ++=,∴221094
a b ab --=,
∵2
2
96a b ab +≥,∴22
22
109964
a b a b --+≥⨯,即2296a b +≥,
当且仅当a =
b =a =、b =229a b +的最小值为6,
又22
96a b ab +≥-,∴2222109964
a b a b --+≥-⨯,即22930a b +≤,
当且仅当3a =,b =153
a =,
b =∴229a b +的最大值为30.
18.【答案】(1)存在,2a =、3b =或2a =、
b -<<;
(2)(],1-∞-.
【分析】(1)由题意可得:{}1,2A =,根据真子集关系求实数a 的取值范围,根据子集关系求实数b 的取值范围,进而得解;
(2)对于命题p :根据韦达定理求得12max ||3x x -=,进而结合恒成立问题求实数n 的取值范围;对于命题q :根据二次不等式分类讨论求解,进而得解.
【详解】(1)因为{}{}|(1)(2)01,2
A x x x =--==,因为B
A ,则
B =∅或{}1B =或{}2B =,
若B =∅,则22Δ4(1)(2)0a a a =--=-<,此时a 的值不存在;
若{}1B =,则24(1)0
1(1)0a a a a ⎧--=⎨-+-=⎩,解得2a =;
若{}2B =,则224(1)0
22(1)0
a a a a ⎧--=⎨-+-=⎩,无解;
综上所述:2a =;
因为C A ⊆,则C =∅或{}1C =或{}2C =或{}1,2C =,
若C =∅,则280b ∆=-<,解得b -<<;
若{}1C =,则280
120b b ⎧-=⎨-+=⎩
,无解;
若{}2C =,则2280
2220
b b ⎧-=⎨-+=⎩,无解;
若{}1,2C =,则2120
2220b b -+=⎧⎨-+=⎩
,解得3b =;
综上所述,3b =或b -<<;
所以存在a ,b 的值,当2a =、3b =或2a =,b -<<时,满足B
A 、C A ⊆.
(2)因为1x 、2x 是方程220x mx --=的两个实根,则1212
2x x m
x x +=⎧⎨⋅=-⎩,
可得12||x x -==当[]1,1m ∈-时,12max ||3x x -=,
由不等式2
1253n n x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立可得:2533n n --≥,
即256(1)(6)0n n n n --=+-≥,解得1n ≤-或6n ≥,所以命题p 为真命题时,(][),16,n ∈-∞-⋃+∞,命题q :不等式2210nx x +->有解,当0n ≥时,原不等式一定有解,
当0n <时,只需440n +>,解得10n -<<,不等式2210nx x +->有解时1n >-,又命题q 是假命题,则(],1n ∈-∞-,
所以命题p 是真命题且命题q 是假命题时,实数n 的取值范围为(],1-∞-.19.【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;③能找到,
222
()()()b c a d a d
a c a c
b d +++<<---;
(2)证明见解析.
【分析】(1)①根据,b c 的符号去绝对值即可证不等式成立;②根据同向不等式相加和同向同
正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立;③在2
2
11
0()()a c b d <<--的两边同时乘以b c +得220()()b c a c b b d c <
--++<,在0a d b c +>+>的两边同时乘以21()b d -得22
0()()b d
b d b a d
c <--++<,即可证明
222
()()()b c b c a d
a c
b d b d +++<<---.
(2)证明充分性:如果0xy ≥,则有0xy =和0xy >两种情况,分别证明即可;证明必要性:若
||||||x y x y +=+且x y ∈R 、,则22||(||||)x y x y +=+,化简即可.
【详解】(1)①∵||||b c >,且0b >、0c <,
11∴b c >-,∴0b c +>;
②∵0c d <<,∴0c d ->->,
又∵0a b >>,∴0a c b d ->->,
∴22()()0a c b d ->->,∴221
1
0()()a c b d <<--,
∵a b >,d c >,
∴a d b c +>+,由(1)知0b c +>,
∴0a d b c +>+>,∴22()()b c a d
a c
b d ++
<--;
③∵0a d b c +>+>,221
1
0()()a c b d <<--,∴222()()()b c b c a d a c b d b d +++<<---或222()()()b c a d
a d
a c a c
b d +++<<---(只要写出其中一个即可);
(2)①充分性:如果0xy ≥,则有0xy =和0xy >两种情况,
当0xy =时,当0x =时,则||||x y y +=、||||||x y y +=,等式成立,当0y =时,则x y x +=、x y x +=,等式成立,
当0xy =时,等式成立,
当0xy >时,即0x >、0y >或0x <、0y <,
当0x >、0y >时,||x y x y +=+、||||x y x y +=+,等式成立,当0x <、0y <时,||x y x y +=--、x y x y +=--,等式成立,∴当0xy >时,等式成立,
∴当0xy >时,||||||x y x y +=+成立,
②必要性:若||||||x y x y +=+且x y ∈R 、,则22||(||||)x y x y +=+,即222222x xy y x x y y ++=+⋅+,则||xy xy =,故0xy ≥,综上所述,0xy ≥是等式||||||x y x y +=+成立的充要条件.。

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