2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习线段的定比分点与平移

线段的定比分点与平移
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点 （1）定义
设P 1,P 2是直线L 上的两点，点P 是L 上不同于P 1,P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使
21pp p p λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。

当点P 在线段21P P 上时，0>λ；当点P 在线段21P P 或21P P 的延长线上时，λ<0 （2）定比分点的坐标形式
⎪⎩
⎪⎨⎧++=++=λ
λλλ11212
1y y y x x x ,其中P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2), P (x,y) （3）中点坐标公式
当λ=1时，分点P 为线段21P P 的中点，即有⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=2221
21y y y x x x 2、平移
（1）图形平移的定义
设F 是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F ’，我们把这一过程叫做图形的平移。

（2）平移公式
设P(x,y)是图形F 上任意一点，它在平移后图形上的对应点P ’(x ’,y ’’)，且'
PP 的坐标为(h,k)，
则有⎩⎨⎧+=+=k
y y h x x ''，这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新
坐标与原坐标间的关系。

二、题型剖析
[定比分点坐标公式]
例1.已知点)2,5(),4,1(B A --，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P ，点的坐
标以及A 、B 分21P P 所成的比λ。

解：设),(111y x P 、),(222y x P ，
则B P AP 112
1
=P AP 222=
∴13522115
2111=+-=+⨯+-=x
23282
112
2141-=+-=+⨯+-=y ，即)2,1(1-P
339215212==+⨯+-=x ，02
12242=+⨯+-=y ，即)0,3(2P
由211AP P λ=，得：111311λλ+⨯+=
-，∴2
1
1-=λ；
由221BP P λ=，得：2
213
15λλ+⨯+=
，∴22-=λ；
思维点拨:定比是根据PB AP λ=求得的,必须搞清起点、分点、终点。

顺序不可搞错。

练习一（变式一）在ABC ∆中，已知顶点A 的坐标为(3,1)，AB 的中点为D(2,4)，ABC ∆的重心为G(3,4)，求顶点B 、C 的坐标。

利用中点坐标公式，及重心坐标公式易得B(1,7)、C(5,4). 练习二（变式二）
在ABC ∆中， A(4,1)，B(7,5)，C(-4,7)， 求CA 平分线AT 的长。

答案=3
2
10 [平移公式]
例2、（1）把点A(3,5)按向量()5,4=a 平移，求平移后对应点A ’
的坐标。

（2）把函数2
2x y =的图象按向量()2,2-=a 平移得F ’
，求F ’
的函数解析式。

(考例3)
解：（1）设A ’
(x,y)，根据平移坐标公式得，得⎩⎨⎧+=+=5
543''y x 得A ’
(7,10)
（2）设P (x,y)为F 上的任意一点，它在F ’
上的对应点P ’(x ’,y ’
)，则⎩⎨⎧-=+=22''y y x x ，即⎩⎨⎧+=-=2
2
'
'y y x x 代入2
2x y =中，得到()
2
''222-=+x y 即()
2222
''--=x y
所以F ’
的函数解析式为6822
+-=x x y
思维点拨：正确选择平移公式，强化代入转移去思想。

练习三（变式3）
若直线x+2y+m=0，按向量()2,1--=平移后与圆C ：0422
2
=-++y x y x 相切，则实数m
的值等于（D ）
A 、3或13
B 、3或-13
C 、-3或7
D 、-3或-13 简解：平移后的直线方程x+2y+m+5=0，由几何意义得5
5
415+++-=m 得m=-3或-13
[利用平移研究函数的性质]
例3．是否存在这样的平移，使抛物线：2
x y -=平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与x 轴的两个交点构成的三角形面积为1，若不存在，说明理由；若存在，求出函数的解析式。

解：假设存在这样的平移),(k h =，由平移公式⎩⎨⎧+='+='k y y h x x 即⎩⎨⎧-'=-'=k
y y h x x 代入2
x y -=得
2)(h x k y -'-=-'，即平称后的抛物线为k h x y +--=2)(，顶点为),(k h 。

由已知它过原点得：2
h k = ①。

令0=y ，求得k h x ±
=。

因此它在x 轴上截得的弦长
为k 2。

据题意：122
1
=⋅⋅k k ，∴1=k 代入① 得1±=h 。

故存在这样的平移)1,1(=或)1,1(-=
当)1,1(=a 时，平移后解析式为1)1(2+--=x y ； 当)1,1(-=a 时，平移后解析式1)1(2++-=x y
思维点拨：确定平移向量一般是配方法和待定系数法，此题采用待定系数法。

例4．设函数21)(--=
x x x f 。

（1）试根据函数x
y 1
=的图象 (1) 作出)(x f 的图象，并写出变换过程； （2）)(x f 的图象是中心对称图形吗？
（3）写出)(x f 的单调区间。

解：令21--=
x x y ，化简得211-+=x y ， 即2
1
1-=-x y 。

又令
⎩
⎨
⎧-='-='12y y x x 得x y '='1，由平移公式知，由21
)(--=x x x f 的图象按向量)1,2(--=平移，可得x y 1=
的图象，反之，由x
y 1
=的图象按向量)1,2(=-=a b 平移，可得到21)(--=x x x f
的
图象，即：将x
y 1
=的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，便得到21)(--=
x x x f 的图象。

（2）由图知，)(x f 的图象是中心对称图形，其对称中心为)1,2(。

（1） 单调减区间为)2,(-∞和),2(+∞。

【思维点拨】利用平移可将函数化简为一些基本函数，便于研究函数的性质。

一．课堂小结：
（1） 定比分点坐标公式时，一定要分清起点、终点和分点，在学习中不仅学会利用结
论解决问题，也要注意该公式的推导过程，从中可得到一些启迪，为今后的学习打下思想方法的基础。

（2） 使用平移公式时，要注意：点的平移时，给定平移向量由旧标求新标用公式
⎩⎨⎧+='+='k y y h x x ；由新标求旧标用公式⎩⎨
⎧-'=-'=k
y y h
x x 。

图形平移时，给定平称向量，由旧解析式求新解析式，用式子⎩⎨
⎧-'=-'=k
y y h
x x 代入旧式整理得到；由新解析式求旧解析式，用公式⎩
⎨⎧+='+='k y y h
x x 代入新式整理得到。

（3）直角坐标系中通过坐标平移，曲线方程的次数不变。

曲线的形状大小不变，变化的
只是曲线和坐标点的相互位置关系与曲线方程的形式。

某些曲线方程可以通过化简给我们的研究曲线带来方便。

四、作业：P210----ex7.8-- ex7.8。