浙江省杭州市七校2013-2014学年高二上学期期中联考数学试题

2013学年第一学期期中杭州地区七校联考 高二年级数学学科 试题（文理合卷）
命题审校人：淳安中学 富阳中学
考生须知：
1．本卷满分120分，考试时间100分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知过点(2,),(,6)P m Q m -的直线的倾斜角为45°，则m 的值为（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（ ▲ ）
B. 2
C. 4 D 3．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ） A.若//,//m n αα，则//m n B ．若//,m n m α⊥，则n α⊥
C ．若//,//m m αβ，则//αβ D. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥ 4. 在正方体1111ABC
D A B C D -中，异面直线1BA 与1CB 所成的角为（ ▲ ）
A.030
B. 045 C ．060 D. 090 5. 已知实数r 是常数，如果),(00y x M 是圆2
2
2
r y x =+外的一点，那么直线200r y y x x =+与圆2
2
2
r y x =+的位置关系是（ ▲ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 都有可能 6．设(1,2),(3,1)A B -，若直线y kx =与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（ ▲ ）
A. 1(,2)
(,)3-∞-+∞ B. 1(,)(2,)3-∞-+∞ C. 1
(2,)3
- D. 1
(,2)3
- 7．已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，异于点A 的两动点B 、C 分别
在1l 、2l 上，且BC=3，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的图形面积为（ ▲ ）
A ．6π B.9π C.
92π D. 94
π 8．已知圆C ：2
2
(3)(4)4x y -+-=，Q 是x 轴上的一点，QM QN 、分别切圆C 于M N 、
两点，且MN =，则直线MN 的斜率为（ ▲ ）
A ．0 B
C ．1 D
9. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线（ ▲ ）
A ．不存在
B ．有1条
C ．有2条
D ．有无数条
10．已知直线x +y +m =0与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A, B, O 是坐标原点， ||||AB OB OA ≥+,则实数m 的取值范围是（ ▲ ）
A ．[]2,2-
B ．(]
2,22)22,2[--⋃ C
．(
2⎤--⎦
D
．[2,
二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11. A(1,-2,1），B(2,2,2），点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|, 则点P 的坐标为 ▲ .
12．两条平行直线3430x y -+=与470ax y --=的距离为 ▲ .
13．经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是 ▲ .
14 若圆锥的侧面积为4π，底面积为2π，则该圆锥的母线长为 ▲ .
15．已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为 ▲
16．已知点A （2,0），
B (-是圆22
4x y +=上的定点，经过点B 的直
（第17题）
第15题
第9题
C
线与该圆交于另一点C ，当ABC ∆面积最大时，直线BC 的方程为 ▲ .
17.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，
底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，CC 1，P 是BC 1上一动点，则A 1P ＋PC 的最小值是 ▲ 。

三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）如图，直线l 过点P(0,1)，夹在两已知直线1:280l x y +-=和
2:3100l x y -+=之间的线段AB 恰被点P 平分.
（1）求直线l 的方程；
（2）设点D(0,m )，且AD//1l ，求：∆ABD 的面积.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°，G 为线段PC 的中点. （1）证明：PA//平面BGD ；
（2) 求直线DG 与平面PAC 所成的角的正切值.
A
B C D
M
20．（本小题满分14分）如图，在四面体A −BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD =2，BD =22．M 是AD 的中点.
（1）证明：平面ABC ⊥平面ADC ；
（2）若∠BDC= 60︒，求二面角C −BM −D 的大小．
21．（本小题满分14分）已知圆A
过点P ，且与圆B ：2
2
2
(2)(2)x y r ++-=(0)r >关于直线02=+-y x 对称. (1)求圆A 的方程；
(2)若HE 、HF 是圆A 的两条切线，E 、F 是切点，求HE HF 的最小值。

(3)过平面上一点),(00y x Q 向圆A 和圆B 各引一条切线,切点分别为C 、D ，设2QD
QC
=，求证：平面上存在一定点M 使得Q 到M 的距离为定值，并求出该定值.
学校 班级 姓 名 试场 座位号
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
……………………………………密……………………………………封……………………………………线……………………………………
2013学年第一学期期中杭州地区七校联考 高二数学学科 试题（文理合卷）答卷
一、选择题。

（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
二、填空题。

（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11． 12． 13． 14．
15． 16． 17．
三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）如图，直线l 过点P(0,1)，夹在两已知直线1:280l x y +-=和
2:3100l x y -+=之间的线段AB 恰被点P 平分.
（1）求直线l 的方程；
（2）设点D(0,m )，且AD//1l ，求：∆ABD 的面积.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°，G为线段PC的中点.
（1）证明：PA//平面BGD；
（2) 求直线DG与平面PAC所成的角的正切值.
C
20．（本小题满分14分）如图，在四面体A−BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=22．M 是AD的中点.
（1）证明：平面ABC⊥平面ADC；
（2）若∠BDC= 60︒，求二面角C−BM−D的大小．
A
B
C
D M
21．（本小题满分14分）已知圆A 过点P ，且与圆B ：2
2
2
(2)(2)x y r ++-=
(0)r >关于直线02=+-y x 对称.
(1)求圆A 的方程；
(2)若HE 、HF 是圆A 的两条切线，E 、F 是切点，求HE HF 的最小值。

(3)过平面上一点),(00y x Q 向圆A 和圆B 各引一条切线,切点分别为C 、D ，设2QD QC
=，求证：
平面上存在一定点M 使得Q 到M 的距离为定值，并求出该定值.
C
2013学年第一学期期中杭州地区七校联考
高二年级数学学科参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
11．()0,0,3 12．2 13．2
2
(2)4x y ++= 14．
15．1 16．1x =- 17
三、解答题（本大题共4小题，共52分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. （本小题满分12分）
解：（1）点B 在直线1l 上，可设(,82)B a a -，又P （0,1）是AB 的中点， (,26)A a a ∴--
点A 在直线2l 上，
3(26)100a a ∴---+=
解得4a =，即(4,0)B ———————————————（4分） 故直线l 的方程是440x y +-= ————————————（6
分）
（2）由（1）知(4,2)A -，又1//AD l ，则22,640
AD m
k m -==-∴=---——（8分）
点A 到直线1l 的距离d =， ||AD =
=—————（10分）
11||28.22ABD S AD d ∆∴=
⋅=⋅= ——————（12分）
19.（本小题满分12分）
解: (1)证明：设点O 为AC 、BD 的交点，由AB=BC,AD=CD ，得BD 是线段AC 的中垂线，所以O 为AC 的中点， 连结OG 又因为G 为PC 的中点，所以//OG PA ——————————（3分） 又因为PA BGD OG ⊄⊂平面，平面BGD 所以PA//面BGD —————————————（6分） (2)PA ABCD BD ABCD ⊥⊂平面，平面
BD PA ∴⊥,又由(1)知=BD AC PA AC A ⊥，
BD PAC ∴⊥平面,所以DG 与面PAC 所成的角是DGO ∠.（8分）
由 (1)知
:12OG PA =
=
，ABC ∆在中
AC =
，所以1
2
OC AC =
= 在直角OCD ∆
中，2OD == 在直角OGD ∆中，
tan OD DGO OG ∠=
= 所以直线DG 与面APC
.——————（12分） 20. （本小题满分14分） 解:（1）AD BCD BC BCD ⊥⊂平面，平面 BC AD ∴⊥
又
,BC CD AD CD D ⊥= BC ACD ∴⊥平面————（4分）
又
BC ABC ⊂平面 ABC ADC ∴⊥平面平面———（6分）
（2）作CG ⊥BD 于点G ，作GH ⊥BM 于点HG ，连接CH.————（8
,AD BCD CG BCD ⊥⊂平面平面 CG AD ∴⊥
又,CG BD AD BD D ⊥= CG ABD ∴⊥平面
又BM ABD BM CG ⊂∴⊥平面， 又
,BM GH CG GH G ⊥=
BM CGH ∴⊥平面
CH CGH BM CH ⊂∴⊥平面
所以∠CHG 为二面角的平面角.———————（10分） 在Rt △BCD 中，
CD =BD cos 60︒CG =CD sin 60︒=，BG =BC sin 60︒= 在Rt △BDM 中，HG =BG ⋅DM BM =
B
D
在Rt △CHG 中，tan ∠CHG
=CG
HG ==
所以60CHG ∠=︒即二面角C-BM-D 的大小为60︒.——————（14分）
21.（本小题满分14分）
解: （1）设圆A 的圆心A （a ，b ），由题意得：21122220
22
b a a b -⎧
=-⎪⎪+⎨
-+⎪-+=⎪⎩解得00a b =⎧⎨=⎩, 设圆A 的方程为2
2
2
x y r +=
，将点P 代入得r ＝2 ∴圆A 的方程为：2
2
4x y +=——————（4分） （2）设2EHF θ∠=，HA t =，
则2
2
2
cos 2cos 2(4)(12sin
)HE HF
HE HF HF HA θθθ===--
22
22432(4)(12)12
12t t t t =--⋅
=+-≥
当且仅当2232
t t =即t =∴HE HF 的最小值为12-————（9分）
（3）由（1）得圆A 的方程为：2
2
4x y +=，圆B
：2
2
(
2)(2)4x y ++-=，由题设得
2QD QC =，即=，
22220000(2)(2)44(4)x y x y ++--=+-∴化简得：22
00003344200x y x y +-+-=
22002268()()3
39x y -++=
∴存在定点M(22
,33
-)使得Q 到M .
——————（14分）。