数学选修2-1北师大版：第一章 常用逻辑用语 §4 4.1~4.2

§4逻辑联结词“且”“或”“非”
4．1逻辑联结词“且”
4．2逻辑联结词“或”
学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假．
知识点一“且”
思考观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？
答案命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题．
梳理(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p且q”．
(2)当p，q都是真命题时，p且q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p 且q是假命题．
将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘制为命题“p且q”的真值表如下：
命题“p且q”的真值表可简单归纳为“同真则真”．
知识点二“或”
思考观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？
答案命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．
梳理(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“p或q”．
(2)当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是真命题；当p，q两个命题都是假命题
时，p或q是假命题．
将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下：
命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．
1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(×)
2．“p且q为假命题”是“p为假命题”的充分条件．(×)
3．当p，q都为假命题时，p且q才为假命题．(×)
4．若p：sin x≥2，q：任意x∈R，x2－x＋1＞0，则p或q为假命题．(×)
类型一含有“且”“或”命题的构成
命题角度1简单命题与复合命题的区分
例1指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
考点“且”“或”的概念
题点把命题写成“p且q”或“p或q”的形式
解(1)是p且q形式命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p或q形式命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p或q形式命题．
其中p：2>2，q：2＝2.
反思与感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题． 跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题． 考点 “且”的概念
题点 把命题写成“p 且q ”的形式 答案 p 且q
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p 且q ”“p 或q ”形式的命题． (1)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边相等；
(2)p ：－1是方程x 2＋4x ＋3＝0的解，q ：－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解． 考点 “且”“或”的概念
题点 把命题写成“p 且q ”或“p 或q ”的形式 解 (1)p 或q ：梯形有一组对边平行或有一组对边相等． p 且q ：梯形有一组对边平行且有一组对边相等． (2)p 或q ：－1或－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解． p 且q ：－1和－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解．
反思与感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p ，q 构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p ，q 中的条件或结论合并．
跟踪训练2 指出下列命题的形式及构成它的简单命题． (1)96是48与16的倍数；
(2)不等式x 2－x －2＞0的解集是{x |x ＜－1或x ＞2}． 考点 “且”“或”的概念
题点 把命题写成“p 且q ”或“p 或q ”的形式
解 (1)p 且q ：p ：96是48的倍数；q ：96是16的倍数． (2)p 或q ：p ：不等式x 2－x －2＞0的解集是{x |x ＜－1}， q ：不等式x 2－x －2＞0的解集是{x |x ＞2}．
类型二 “p 且q ”和“p 或q ”形式命题的真假判断 例3 分别指出“p 或q ”“p 且q ”的真假．
(1)p ：函数y ＝sin x 是奇函数；q ：函数y ＝sin x 在R 上单调递增； (2)p ：直线x ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切；q ：直线x ＝1
2与圆x 2＋y 2＝1相交．
考点 “p 且q ”和“p 或q ”形式命题真假性判断
题点 判断“p 且q ”和“p 或q ”形式命题的真假 解 (1)∵p 真，q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假． (2)∵p 真，q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真．
反思与感悟 形如p 或q ，p 且q 命题的真假根据真值表判定．
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”形式的命题的真假． (1)p ：3是无理数，q ：π不是无理数； (2)p ：集合A ＝A ，q ：A ∪A ＝A ；
(3)p ：函数y ＝x 2＋3x ＋4的图像与x 轴有公共点，q ：方程x 2＋3x －4＝0没有实数根． 考点 “p 且q ”和“p 或q ”形式命题真假性判断 题点 判断“p 且q ”和“p 或q ”形式命题的真假 解 (1)∵p 真，q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假． (2)∵p 真，q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真． (3)∵p 假，q 假，∴“p 或q ”为假，“p 且q ”为假． 类型三 已知复合命题的真假求参数范围
例4 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围． 考点 “p 或q ”“p 且q ”形式命题真假性的判断
题点 由“p 或q ”“p 且q ”形式命题的真假求参数的取值范围 解 因为p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ＝m 2
－4＞0，m ＞0，所以m ＞2.
因为q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根， 所以Δ＜0，即16(m －2)2－16＜0， 所以16(m 2－4m ＋3)＜0，所以1＜m ＜3. 因为p 或q 为真，p 且q 为假，
所以p 为真，q 为假或者p 为假，q 为真．
即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩
⎪⎨⎪⎧
m ≤2，1＜m ＜3， 解得m ≥3或1＜m ≤2.
所以m 的取值范围为{m |m ≥3或1＜m ≤2}． 引申探究
本例中若将“p 且q 为假”改为“p 且q 为真”，求实数m 的取值范围． 解 同例得当p 为真命题时，m ＞2，当q 为真命题时， 1＜m ＜3.
因为p 或q 为真，p 且q 为真，所以p ，q 均为真命题，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＞2，1＜m ＜3，解得2＜m ＜3，所以m 的取值范围为(2,3)． 反思与感悟 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤 (1)分别求出命题p ，q 为真时对应的参数集合A ，B ； (2)讨论p ，q 的真假；
(3)由p ，q 的真假转化为相应的集合的运算； (4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．
跟踪训练4 已知p ：(x ＋2)(x －3)≤0，q ：|x ＋1|≥2，若“p 且q ”为真，则实数x 的取值范围是________．
考点 “p 且q ”形式命题真假性的判断
题点 由“p 且q ”形式命题的真假求参数的取值范围 答案 [1,3]
解析 由(x ＋2)(x －3)≤0，解得－2≤x ≤3. 由|x ＋1|≥2，解得x ≥1或x ≤－3.
∵“p 且q ”为真，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－2≤x ≤3，x ≥1或x ≤－3，
解得1≤x ≤3，则实数x 的取值范围是[1,3]．
1．已知p ：2＋3＝5，q ：5＜4，则下列判断正确的是( ) A ．p 为假命题 B ．q 为真命题 C ．p 或q 为真命题
D ．p 且q 为真命题
考点 “p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假 答案 C
解析 由题意，知p 为真命题，q 为假命题．
2．由下列各组命题构成的新命题“p 或q ”“p 且q ”都为真命题的是( ) A ．p ：4＋4＝9，q ：7＞4
B ．p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }
C ．p ：15是质数，q ：8是12的约数
D ．p ：2是偶数，q ：2不是质数
考点 “p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断
题点 判断“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假 答案 B
3．已知命题p ，q ，若p 为真命题，则( ) A ．p 且q 必为真 B ．p 且q 必为假 C ．p 或q 必为真
D ．p 或q 必为假
考点 “p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假 答案 C
解析 p 或q ，一真则真，故必有p 或q 为真．
4．已知p ：函数y ＝sin x 的最小正周期为π
2，q ：函数y ＝sin2x 的图像关于直线x ＝π对称，
则p 且q 是________命题．(填“真”或“假”) 考点 “p 且q ”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 且q ”形式命题的真假 答案 假
解析 由题意，知命题p 为假命题，命题q 也是假命题，故p 且q 是假命题．
5．已知命题p ：函数f (x )＝(x ＋m )(x ＋4)为偶函数；命题q ：方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数m 的取值范围． 考点 “p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断
题点 由“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围
解 若命题p 为真，则由f (x )＝x 2＋(m ＋4)x ＋4m ，得m ＋4＝0，解得m ＝－4. 设g (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，其图像开口向上，
若命题q 为真，则g (2)<0，即22＋(2m －1)×2＋4－2m <0，解得m <－3. 由p 且q 为假，p 或q 为真，得p 假q 真或p 真q 假． 若p 假q 真，则m <－3且m ≠－4； 若p 真q 假，则m 无解．
所以实数m 的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．
1．判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论． 2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假．
一、选择题
1．“p 且q 是真命题”是“p 或q 是真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
考点 “p 或q ”“p 且q ”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 或q ”“p 且q ”形式命题的真假 答案 A
解析 p 且q 是真命题⇒p 是真命题，且q 是真命题⇒p 或q 是真命题；p 或q 是真命题⇏p 且q 是真命题．
2．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a ＞0且a ≠1)的图像必过定点(－1,1)，命题q ：如果函数y ＝f (x )的图像关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图像关于原点对称，则有( ) A ．“p 且q ”为真 B ．“p 或q ”为假 C ．p 真q 假
D ．p 假q 真
考点 “p 或q ”“p 且q ”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 或q ”“p 且q ”形式命题的真假 答案 C
解析 由命题p 知，ax ＋2a ＝a ，解得x ＝－1，故过定点(－1,1)，而命题q 为假命题． 3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对
称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．q 为真 C ．p 且q 为假
D ．p 或q 为真
考点 “p 且q ”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 且q ”形式命题的真假 答案 C
解析 函数y ＝sin2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π
2不是y ＝cos x 的对称轴，
命题q 为假命题，故p 且q 为假．故选C.
4．p ：方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根，q ：函数f (x )＝(a 2－a )x 是增函数，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >0B ．a ≥0C ．a >1D ．a ≥1
考点 “p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断
题点 由“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围 答案 B
解析 ∵方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根， ∴Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1. ∵函数f (x )＝(a 2－a )x 是增函数， ∴a 2－a >0，解得a <0或a >1.
∵p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，∴p ，q 中一真一假． ①当p 真q 假时，得0≤a ≤1； ②当p 假q 真时，得a >1.
由①②，得所求实数a 的取值范围是a ≥0.
5．命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则( ) A ．p 真q 假 B ．p 且q 为真 C ．p 或q 为假
D ．p 假q 真
考点 “p 或q ”“p 且q ”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 或q ”“p 且q ”形式命题的真假 答案 D
解析 命题p 假，命题q 真．
6．命题p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在曲线y ＝－x 2上，则使“p 且q ”为真命题的一个点P 的坐标是( ) A ．(0，－3) B ．(1,2) C ．(1，－1)
D ．(－1,1)
考点 “p 且q ”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 且q ”形式命题的真假 答案 C
解析 点P (x ，y )满足⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －3，y ＝－x 2
， 解得P (1，－1)或P (－3，－9)，故选C. 7．已知p ：x 2－2x －3＜0；q ：1
x －2
＜1，若p 且q 为真，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－1,3) C ．(3，＋∞)
D ．(－∞，2)
考点 “p 且q ”形式命题真假性的判断 题点 由“p 且q ”形式命题的真假求参数的值
解析 由命题p ，得－1＜x ＜3， 当q 为真命题时，得x ＜2或x ＞3，
因为p 且q 为真命题，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
－1＜x ＜3，
x ＜2或x ＞3，即－1＜x ＜2.
二、填空题
8．设p ：2x ＋y ＝3，q ：x －y ＝6，若p 且q 为真命题，则x ＝________，y ＝________. 考点 “p 且q ”形式命题真假性的判断 题点 由“p 且q ”形式命题的真假求参数的值 答案 3 －3
解析 若p 且q 为真命题，则p ，q 均为真命题，
所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝－3.
9．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 考点 “p 或q ”形式命题真假性的判断
题点 由“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围 答案 [1,2)
解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)， 即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，
由于命题是假命题，所以1≤x ＜2，即x ∈[1,2)．
10．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p 和q 有且仅有一个为真，则a 的取值范围为______________． 考点 “p 或q ”形式命题真假性的判断
题点 由“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围 答案 ⎝⎛⎦
⎤0，1
2∪[)1，＋∞ 解析 若p 真，则0<a <1，若p 假，则a ≥1或a ≤0.
若q 真，有⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，Δ＝1－4a 2<0，
即a >1
2. 若q 假，则a ≤1
2，又p 和q 有且仅有一个为真，
所以当p 真q 假时，0<a ≤1
2，
当p 假q 真时，a ≥1.
综上所述，a ∈⎝⎛⎦
⎤0，1
2∪[)1，＋∞.
11．判断下列复合命题的真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅. 考点 “p 且q ”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 且q ”形式命题的真假
解 (1)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”为真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.因为p 假q 假，所以“p 且q ”为假，故该命题为假命题． 12．已知p ：c 2＜c 和q ：对任意x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数c 的取值范围．
考点 “p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断
题点 由“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围 解 由不等式c 2＜c ，得0＜c ＜1. 由对任意x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0， 得(4c )2－4＜0，得－12＜c ＜12
.
由已知，得p 和q 必有一个为真、一个为假． 当p 真q 假时，12≤c ＜1；当q 真p 假时，－1
2＜c ≤0.
故实数c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭
⎫1
2，1 13．设p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；q ：设a ＝(2x 2＋x ，－1)，b ＝(1，ax ＋2)，不等式a ·b >0对任意x ∈(－∞，－1)恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．
考点 “p 或q ”“p 且q ”形式命题真假性的判断
题点 由“p 或q ”“p 且q ”形式命题的真假求参数的取值范围 解 若p 为真命题，则ax 2－4x ＋a >0对x ∈R 都成立，
当a ＝0时，f (x )＝lg(－4x )的定义域不为R ，不合题意，当a ≠0时．
则(－4)2
－4a 2
<0且a >0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
16－4a 2
<0，解得a >2. 若q 为真命题，则由a ·b >0对任意x ∈(－∞，－1)恒成立，知2x 2＋x －(ax ＋2)>0，即a >2x
－2x
＋1对任意x ∈(－∞，－1)恒成立，则a >⎝⎛⎭⎫2x －2x ＋1max . 令g (x )＝2x －2x
＋1，可知g (x )在(－∞，－1)上是增函数，当x ＝－1时取得最大值，g (x )max ＝1.故a ≥1.
又p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p ，q 中一个为真命题，另一个为假命题．
若p 真q 假，则⎩
⎪⎨⎪⎧ a >2，a <1，无解； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤2，a ≥1，则1≤a ≤2. 综上，实数a 的取值范围为[1,2]．
四、探究与拓展
14．命题p ：1是集合{x |x 2＜a }中的元素；命题q ：2是集合{x |x 2＜a }中的元素．若“p 且q ”是真命题，则a 的取值范围为________．
考点 “p 且q ”形式命题真假性的判断
题点 “p 且q ”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 (4，＋∞)
解析 由p 为真命题，得a ＞1，由q 为真命题，得a ＞4.因为p 且q 为真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞1，a ＞4，解得a ＞4.
15．已知p ：(x ＋1)(x －5)≤0，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．
(1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；
(2)若m ＝5，p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数x 的取值范围．
考点 “p 且q ”“p 或q ”形式命题真假性的判断
题点 由“p 且q ”“p 或q ”形式命题的真假求参数的取值范围
解 (1)由(x ＋1)(x －5)≤0，得－1≤x ≤5，
∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋m ≥5，1－m ≤－1， 解得m ≥4.
(2)当m ＝5时，q ：－4≤x ≤6.
根据已知，p ，q 一真一假，当p 真q 假时，
⎩
⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤5，x ＞6或x ＜－4，无解； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞5或x ＜－1，－4≤x ≤6，
解得－4≤x＜－1或5＜x≤6.
综上，实数x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6]．。