题型六 新定义题
中考数学压轴题之新定义经典题型
中考数学压轴题之新定义经典题型【01】.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于O 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ¢，满足2CP CP r ¢+=，则称P ¢为点P 关于C 的反称点，下图为点P 及其关于C 的反称点P ¢的示意图。
的示意图。
(1)(1)当当O 的半径为1时。
时。
①分别判断点(2,1)M ，3(,0)2N ，(1(1,,3)T 关于O 的反称点是否存在，若存在？在？求其坐标；求其坐标；②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于O 的反称点P ¢存在，且点P ¢不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围； (2)(2)当当C 的圆心在x 轴上，轴上，半径为半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，轴，y y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的反称点P ¢在C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。
的横坐标的取值范围。
yPOCx1 1【02】.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且12x x ¹，12y y ¹，若,P Q 为某个矩形的两个顶点，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P Q ，的“相关矩形”的“相关矩形”..下图为点,P Q 的“相关矩形”的示意图意图. .（1）已知点A 的坐标为()10，，①若点B 的坐标为()31，，求点,A B 的“相关矩形”的面积；的“相关矩形”的面积；②点C 在直线3x =上，若点,A C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；式；（2）O ⊙的半径为2，点M 的坐标为(),3m .若在O ⊙上存在一点N ，使得点,M N的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围的取值范围. .【03】对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线的相邻线. . （1）当⊙O 的半径为1时，时， ○1分别判断在点D （，14），E （0，-3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有____________________；；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程相邻线，并说明你的作图过程. .○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围；范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．范围．21备用图1备用图2 图1【04】定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个）是否为这个最小值函数图象上的点；图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是的面积，其面积是 ； ②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆为半径作圆. . 在此圆上找一点P ，使22PA PB +的值最小，直接写出此最小值的值最小，直接写出此最小值. .【05】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”． （1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是；是；②线段11A B AB P ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为的坐标为_________________________________________________________；； （2）如图2，已知点()13C ，，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为32，圆心E 在直线343l y x =-+：上，且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围；（3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT D 的“阴影点”，直接写出NQT D 的周长的最小值．的周长的最小值．图1 图2 图3yxB A OyxCOD yx11O【06】给出如下规定：在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），以及两个无公共点的图形1W 和2W ，若在图形1W 和2W 上分别存在点M （1x ，1y ）和N （2x ，2y ），使得P 是线段MN 的中点，则称点M 和N 被点P “关联”，并称点P 为图形1W 和2W 的一个“中位点”，此时P ，M ，N 三个点的坐标满足122x x x +=，122y yy +=．（1）已知点(0,1),(4,1),(3,1),(3,2)A B C D --，连接AB ，CD ．①对于线段AB 和线段CD ，若点A 和C 被点P “关联”，则点P 的坐标为____________________；； ②线段AB 和线段CD 的一个“中位点”是1(2,)2Q -，求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标；“关联”的两个点的坐标；（2）如图1，已知点R （－（－2,02,02,0）和抛物线）和抛物线1W ：22y x x =-，对于抛物线1W 上的每一个点M ，在抛物线2W 上都存在点N ，使得点N 和M 被点R “关联”，请在图1中画出符合条件的抛物线2W ；（3）正方形EFGH 的顶点分别是(4,1),(4,1),(2,1),(2,1)E F G H ------，⊙T 的圆心为(3,0)T ，半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．并直接写出该图形的面积．图1 图2R【06】在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足，则称为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限距点的示意图．的示意图． （1）当⊙O 的半径为1时．时．①分别判断点M ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（的坐标为（2,02,02,0）），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上的边上..若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；取值范围；（2）保持（）保持（11）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E的方向的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,01,0）），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答一个作答. .温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.问题1问题2若点P 关于⊙C 的限距点存在，且随点P 的运动所形成的路径长为，则r 的最小值为的最小值为______________________________．． 若点P 关于⊙C 的限距点不存在，则r 的取值范围为的取值范围为________. ________.xOy P ¢2r PP r ¢££P ¢P¢(3,4)5(,0)2(1,2)P ¢P ¢P ¢P ¢r p P¢【07】对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为零为零..例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.（1）分别判断函数1y x =-，1y x=，2y x =有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；其不变长度；（2）函数22y x bx =-.①若其不变长度为零，求b 的值；的值；②若13b ££，求其不变长度q 的取值范围；的取值范围；（3）记函数22()y x x x m =-³的图象为1G ，将1G 沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2G .函数G 的图象由 1G 和2G 两部分组成，若其不变长度q 满足03q ££，则m 的取值范围为的取值范围为 . .【08】P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把P A PB ×的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”．（1）⊙O 的半径为5，OP = 3．①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________________；； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．的取值范围．（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（，请参考（11）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围的“幂值”或“幂值”的取值范围________________________；； （3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，若在直线33y x b =+上存在点P ，使得点P 关于⊙O 的“幂值”为1313，，请写出b 的取值范围的取值范围________________________．．图1POBAO备用图备用图【09】在平面直角坐标系xOy 中，中，图形图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=xl ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W 为△OAB ，则=xl ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ££的图象，其中0a b £<．当该图形．当该图形满足1£=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．的取值范围．x yO BA 1234123x y O 1231234图1【10】.在平面直角坐标系xOy 中，对图形W 给出如下定义：若图形W 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形ABCD 的坐标角度是9090°．°．°．（1）已知点)3,0(-A ，)1,1(--B ，在点)0,2(C ，)0,1(-D ，)2,2(-E 中，选一点，使得以该点及点A ，B 为顶点的三角形的坐标角度为9090°，则满足条件°，则满足条件的点为的点为 ； （2）将函数2ax y =)31(££a 的图象在直线1=y 下方的部分沿直线1=y 向上翻折，求所得图形坐标角度m 的取值范围；的取值范围；（3）记某个圆的半径为r ，圆心到原点的距离为l ，且)1(3-=r l ，若该圆的，若该圆的坐标角度°££°9060m ．直接写出满足条件的r 的取值范围．的取值范围． O xy D C B A –1–2–312312345。
中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题(含答案)
中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题（含答案）题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大． 其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)， 例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”． 【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B 【解析】根据题意a ⊗b ＝1a －b 2，则 x ⊗(－2)＝1x －（－2）2＝1x －4，又∵x ⊗(－2)＝2x －4－1，∴1x －4＝2x －4－1，解得x ＝5，经检验x ＝5是原方程的根，∴原方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是x ＝5. 2. B 【解析】当x ＋3≥－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝x ＋3，此时x ≥－1，∴y ≥2；当x ＋3＜－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝－x ＋1，此时x ＜－1，∴y ＞2.综上y 的最小值为2.3. B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确． 4. C 【解析】∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，若a @b ＝0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝0，∴(a ＋b )2＝(a －b )2, ∴a ＋b ＝±(a －b )，∴a ＝0或b ＝0，∴①正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，∴a @(b ＋c )＝[a ＋(b ＋c )]2－[a －(b ＋c )]2＝[a ＋(b ＋c )＋a －(b ＋c )][a ＋(b ＋c )－(a －b －c )]＝4ab ＋4ac ，∵a @b ＋a @c ＝(a ＋b )2－(a －b )2＋(a ＋c )2－(a －c )2＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＋a 2＋2ac ＋c 2－ a 2＋2ac －c 2＝4ab ＋4ac ，∴a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ，∴②正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝ a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＝4ab ，当a ＝b ＝0时，满足a @b ＝a 2＋5b 2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c ，则2c ＝2a ＋2b ，b ＝c －a ，a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ＝4a (c －a )＝－4(a －12c )2＋c 2，∴当a ＝12c 时，4ab 有最大值是c 2，即a ＝b 时，a @b 的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32. 7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )，∴MB ＝MG . 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD、OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵BECF＝53，∴BEBG＝53，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，∴BEBG＝AEAF＝53.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴AF＋EF＋AE3＝3k＋4k＋5k3＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22.(2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2，又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切．(3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ， 当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25，∴这两条直线之间的距离为2 5.12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠DAP ＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD′， ∴∠DAP ＝∠D′AO.∵∠D ＝∠D′，AD ＝AD′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°，∴△AOP 是等边三角形． 选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠EAP ＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∠E ′AO ＝∠PAO －∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∴∠EAP ＝∠E′AO(ASA )． ∵∠E ＝∠E′，AE ＝AE′， ∴△EAP ≌△E ′AO ， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°， ∴△AOP 是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC ，AD ′，CD ′. ∵AE ′＝AB ，∠E′＝∠B ＝180°×（5－2）5＝108°，E ′D ′＝BC ，∴△AE ′D ′≌△ABC(SAS )，∴AD ′＝AC ，∠AD ′E ′＝∠ACB ， ∴∠AD ′C ＝∠ACD′， ∴∠OD ′C ＝∠OCD′， ∴OC ＝OD′，∴BC －OC ＝E′D′－OD′，即BO ＝E′O. ∵AB ＝AE′，∠B ＝∠E′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°， 在△OAB 和△OAD′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OABA ＝D′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D′AO ， 由(1)知∠D′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ，∵∠EAB＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可证得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，AO＝AP，且∠PAO ＝60°，故△AOP是等边三角形．(5)60°－180°n(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB＝180°（n－2）n－60°2，化简得∠OAB＝60°－180°n(n≥3)．13. 解：(1)由题意得n＝1，∴抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y＝mx＋1，得m＝－1，∴m＝－1，n＝1.(2)由题意设“路线”L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点Q的坐标在y＝6x和y＝2x－4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝6hk＝2h－4，解得h＝－1或3，∴顶点Q的坐标为(－1，－6)或(3，2)，∴y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，又∵“路线”L过P(0，－4)，代入解得a＝2(顶点为(－1，－6))，a＝－23(顶点为(3，2))，∴y＝2(x＋1)2－6或y＝－23(x－3)2＋2，即y＝2x2＋4x－4或y＝－23x2＋4x－4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k2－2k＋12a，4ak－（3k2－2k＋1）24a)，设带线l：y＝px＋k，代入顶点坐标得p＝3k2－2k＋12，11 ∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ， 令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k 3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y 轴于点(0，k)， ∵k ≥12＞0， ∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0， ∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k ＋3， 令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2，∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2，故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。
题型六-新定义阅读理解题
题型六新定义阅读理解题1. (2016重庆B卷)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝pq.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝3 4.(1)如果一个正整数a是另外—个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18.那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．2. (2017重庆A卷)对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123.对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213 ＋321＋132 ＝666，666÷111＝6，所以，F(123) ＝6.(1)计算：F(243)，F(617)；(2)若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数)，规定：k＝F（s）F（t）.当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．3. (2015重庆A卷)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”．再如22，545，3883 ，345543，…，都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x(1≤x≤4，x 为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．4. (2017张家界)阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi(a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i＝7＋2i；(1＋i)×(2－i)＝1×2－i＋2×i－i2＝2＋(－1＋2)i＋1＝3＋i；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：i3＝________，i4＝________；(2)计算：(1＋i)×(3－4i)；(3)计算：i＋i2＋i3＋ (i2017)5. (2018原创)若整数m是8的倍数，那么称整数m为“发达数”．例如，因为16是8的倍数，所以16是“发达数”．(1)已知整数m等于某个奇数的平方减1，求证：m是“发达数”．(2)已知两位正整数t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，其中x，y为自然数)，交换其个位上的数字和十位上的数字得到新数s，如果s加上t的和是“发达数”，求所有符合条件的两位正整数t.6. (2017重庆南开模拟)若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b.定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a ＝11，b＝13，那么K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；(2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．7. (2017重庆一外一模)若一个三位数t＝abc(其中a，b，c不全相等且都不为0)，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为T(t)．例如，357的差数T(357)＝753－357＝396. (1)已知一个三位数a1b(其中a＞b＞1)的差数T(a1b)＝792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数．(2)若一个三位数ab2(其中a、b都不为0)能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数2ab被4除余1，再将新数的个位数字移到百位得到另一个新数b2a 被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”．例如：因为612＝4×153，261＝4×65＋1，126＝4×31＋2，所以612是4的一个闺蜜数．求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T(t)的最大值．8. (2017重庆八中一模)一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等，若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132.(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等(a≠0, b≠0)．若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．9. (2017重庆大渡口区模拟)我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除．若一个整数既能被2整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除．数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数abcd(千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d)是“吉祥数”．请解答下面几个问题：(1)已知785x是“吉祥数”，则x＝________.(2)若正整数abcd是“吉祥数”，试说明：d＋4(a＋b＋c)能被2整除．(3)小明完成第(2)问后认为：四位正整数abcd是“吉祥数”，那么d＋4(a＋b＋c)也能被6整除．你认为他说得对吗？请说明理由．10. —个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：123的第—位“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”．(1)若四位数123k是一个“精巧数”，求k的值；(2)若一个三位“精巧数”2ab各位数字之和为—个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”．11. (2017重庆巴蜀模拟)阅读材料：欢喜数——若一个四位数的前2位数是后2位数的2倍，则称该数为“欢喜数”，如1005、2211等都是欢喜数；半和数——一个数，若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的2倍，则称该数为“半和数”，如132等都是半和数；平方差数——一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数”．根据上面的材料，回答下列问题：(1)证明所有的三位“半和数”均能被11整除；(2)若一个四位正整数abbc是欢喜数，bmc既是半和数又是平方差数，求m的值．12. 一个三位自然数m，将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m′(m′可以与m相同)，记m′＝abc，在m′所有的可能情况中，当|a ＋2b－c|最小时，我们称此时的m′是m的“幸福美满数”，并规定K(m)＝a2＋2b2－c2.例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3＋2×8－1|＝18，|8＋2×1－3|＝7，|1＋2×3－8|＝1，1＜7＜18，所以138是318的“幸福美满数”，K(318)＝12＋2×32－82＝－45.(1)若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n(1≤n≤9，n为自然数)，个位上的数字为0，求证：K(t)＝0；(2)设三位自然数s＝100＋10x＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数)，且x＜y.交换其个位与十位上的数字得到新数s′，若19s＋8s′＝3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K(s)的最大值．13. (2018原创)如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们把这样的自然数叫循环数，被重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环数的阶数，例如：252525，它由“25”依次重复出现组成，所以252525是循环数．它是2阶6位循环数；再如：11是1阶2位循环数，789789789是3阶9位循环数，345634563456是4阶12位循环数….(1)请你直接写出3个2阶6位循环数，猜想任意一个2阶6位循环数能否被7整除，并说明理由；(2)已知一个能被13整除的2阶4位循环数，设循环节为xy，(0<x<5)，求y与x 之间的函数关系．14. (2018原创)若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t＝100(x ＋y)＋10y＋x，则称实数t为“加成数”．将t的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数h，规定q＝t－h，f(m)＝q9.例如：321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h＝213，∴q＝321－213＝108，f(m)＝1089＝12.(1)当f(m)最小时，求此时对应的“加成数”t的值；(2)若f(m)是24的倍数，则称f(m)是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”．15. (2017重庆渝中区校级二模)对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后(包括本身)，得到一个新的三位数abc(a≤c)，在所有重新排列的三位数中，当|a＋c－2b|最小时，称此时的abc为t的“最优组合”，并规定F(t)＝|a－b|－|b －c|，例如：124重新排序后为：142、214，因为|1＋4－4|＝1，|1＋2－8|＝5，|2＋4－2|＝4，所以124为124的“最优组合”，此时F(124)＝－1.(1)三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F(t)＝0(2)一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能被1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m＝200＋10x＋y(0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数)，m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F(m)的最大值．16. (2018原创)如果两个实数a ，b ，使得a 2＋b 与a ＋b 2都是有理数，我们则称(a ，b )是“完美数对”．如：(12)2＋13＝14＋13＝712，12＋(13)2＝12＋19＝1118，因为712，1118是有理数，所以(12，13)是“完美数对”；(2)2＋1＝3，2＋12＝1＋2，因为1＋2为无理数，所以(2，1)不是“完美数对”．(1)请判断(12＋2，12－2)是否是“完美数对”，并说明理由；(2)若(a ，b )是“完美数对”，且a ＋b ＝2，证明：a ，b 都是有理数．17. 1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明．根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分：m＝a＋b＋c(a、b、c均为质数，且a≥b≥c)，在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分．并规定：P(m)＝a－c.例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2>3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P(9)＝0.(1)由上述条件，可得：P(11)＝________；若P(n)＝1，则n＝________；若P(n)＝0，证明n必定能被3整除；(2)t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y(1≤x≤y≤9，x、y为整数)．若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P(t)的最大值．18. 对于一个大于100的整数，若将它的后两位之前的数移到个位之后，重新得到一个新数，称之为原数的“兄弟数”. 比如：2017的兄弟数为1720, 168的兄弟数为681.根据以上阅读材料，回答下列问题．(1)求证：—个三位数与其兄弟数之差一定能被9整除；(2)已知一个六位数的兄弟数恰好是原六位数的4倍，求满足条件的原六位数．19. (2017重庆南开模拟)一个自然数m，若将其数字重新排列可得—个新的自然数n，如果m＝3n，我们称m是一个“希望数”，例如：3105＝3×1035，71253＝3×23751，371250＝3×123750.(1)请说明41不是希望数，并证明任意两位数都不可能是“希望数”；(2)一个四位“希望数”M记为abcd，已知abcd＝3·cbad，且c＝2，请求出这个四位“希望数”．20. (2017重庆西大附中月考)一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”．例如：132，选择百位数字1和十位效字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13＋31＋12＋21＋32＋23＝132，所以132是“公主数”．—个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”．(1)判断123是不是“公主数”？请说明理由．(2)证明：当一个“伯伯数”xyz是“公主数”时，则z＝2x.(3)若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”．21. (2018原创)若实数a 可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a ＝1n －1n ＋1，那么我们称a 为第n 个“1阶倒差数”，例如12＝1－12，∴12是第1个“1阶倒差数”，16＝12－13，∴16是第2个“1阶倒差数”．同理，若b ＝1n －1n ＋2，那么，我们称b 为第n 个“2阶倒差数”．(1)判断132是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”；(2)若c ，d 均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且1d －1c ＝22，求c ，d 的值．22. (2017重庆八中二模)若在一个两位正整数N 的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N 的“诚勤数”，如34的“诚勤数”为324；若将—个两位正整数M 加2后得到一个新数，我们称这个新数为M 的“立达数”，如34的“立达数”为36.(1)求证：对任意一个两位正整数A ，其“诚勤数”与”立达数”之差能被6整除；(2)若一个两位正整数B 的“立达数”的各位数字之和是B 的各位数字之和的一半，求B 的值．23. (2017重庆南岸区二模)若一个两位正整数m 的个位数为8，则称m 为“好数”．(1)求证：对任意“好数”m ，m 2－64一定为20的倍数；(2)若m＝p2－q2，且p，q为正整数，则称数对(p，q)为“友好数对”．规定：H(m)＝qp.例如68＝182－162，称数对(18，16)为“友好数对”，则H(68)＝1618＝89.求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值．24. (2018原创)定义，对于一个多位自然数a，若其从左向右各个数位上的数恰好是前一数位数字加1，我们称自然数a是“格调数”．例如，12，123，1234等都是“格调数”．根据数的特点，我们可以发现，最小的“格调数”是12，最大的“格调数”是123456789.而如果一个“格调数”有七位时，第一位上的数字最大只能是3，这样的“格调数”是3456789.(1)已知四位“格调数”m和n，若m－n＝3333，求m的值；(2)规定：任意一个能被18整除的数，称为“发财数”．对于任意一个三位“格调数”t＝100a＋10(a＋1)＋(a＋2)，交换其个位和百位上的数字，得到新的三位数k，令q＝k－t，猜想q是否为“发财数”，请说明理由．25. (2017重庆一中一模)人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系，若两个不同的自然数的所有真因数(即除了自身以外的正因数)之和相等，我们称这两个数为“亲和数”．例如：18的正因数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和为1＋2＋3＋6＋9＝21；51的正因数有1、3、17、51，它的真因数之和为1＋3＋17＝21，所以称18和51为“亲和数”．数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头(首位与末位)都是1的数为“两头蛇数”．例如：121、1351等．(1)8的真因数之和为________；求证：一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的3倍的差，能被7整除；(2)一个百位上的数为4的五位“两头蛇数”能被16的“亲和数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位“两头蛇数”．26. (2018原创)依次排列的几个数，如：a，b，c，…，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，并将所得的差写在这两个数之间，从而产生一个新数串：a，b－a，b，c－b，c，…，我们称这样的一次操作为“差变增数列”．例如，对于依次排列的两个数，1，2，做一次“差变增数列”所得数串为1，1，2；再做一次“差变增数列”所得数串为1，0，1，1，2.(1)已知依次排列的3个数：2，8，7，做一次“差变增数列”，所得新数串所有数字的和是________；做m次“差变增数列”后，所得新数串所有数字的和为________(用含m的代数式表示)；(2)若依次排列的3个数：x，8，y；其中，0≤x<y≤9，且x，y均为整数，做100次“差变增数列”后所得数串的所有数字和为216，求x和y的值．27. (2017重庆江北区一模)一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x＝1＋4，y＝2＋3，因为x＝y，所以1423是“和平数”．(1)直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是________；(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”．求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．28. (2017重庆南岸区一模)对任意一个正整数m，如果m＝k(k＋1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如，56＝7×(7＋1)，则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．(1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；(2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为D(p，q)，其中p＞q，D(p，q)＞0.例如，20＝4×5，6＝2×3，则D(20，6)＝20－6＝14.若“矩数”P的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当D(p，q)＝30时，求st的最大值．29. (2017重庆一外二模)若一个多位自然数t＝abc…fg的各数位上的数字满足b－a＝c－b＝…＝g－f＝k(k≠0)，则称该数为“k”类自然数，把自然数t各数位上的数字从左往右数，所有奇数位上的数字之和的平方减去所有偶数位上的数字之和的平方，记为F(t)．例如：135是一个“2”类自然数．F(135)＝(1＋5)2－32＝274321是一个“－1”类自然数．F(4321)＝(4＋2)2－(3＋1)2＝20(1)证明：任意一个三位“k”类自然数与它百位上的数字之和一定能被4整除；(2)如果—个四位自然数，交换其个位数字与千位数字得到的新数减去原数所得的差能够被18整除，则称这个数为“成年数”．若一个“k”类自然数t是“成年数”，求F(t)的最小值．30. 阅读下列材料解决问题：两个多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“调和数”．例如：37与82，它们各数位上的数字和分别为3＋7，8＋2，∵3＋7＝8＋2＝10，∴37与82互为“调和数”；又如：123与51，它们各数位上的数字和分别为1＋2＋3，5＋1，∵1＋2＋3＝5＋1＝6，∴123与51互为“调和数”．(1)若两个三位数a43、2bc(0≤b≤a≤9，0≤c≤9且a、b、c为整数)互为“调和数”，且这两个三位数之和是17的倍数，求这两个“调和数”；(2)若A、B是两个不相等的两位数，A＝xy，B＝mn，A、B互为“调和数”，且A 与B之和是B与A之差的3倍，求证：y＝－x＋9.答案1. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当q＝p时，p·q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1；(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的吉祥数为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57＝3×19，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，则F(13)＝113，F(24)＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝319，F(68)＝417，F(79)＝179，∵57>23>417>319>223>113>179，∴“吉祥数”中F (t )的最大值为F (35)＝57.2. 解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9，F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14；(2)∵s ，t 都是相异数．∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6，∵F (s )＋F (t )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18，∴x ＋y ＝7，∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数．∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1，∵s 是相异数，∴x ≠2，x ≠3，∵t 是相异数，∴y ≠1，y ≠5，∴满足条件的有⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2，∴⎩⎨⎧F （s ）＝6F （t ）＝12或⎩⎨⎧F （s ）＝9F （t ）＝9或⎩⎨⎧F （s ）＝10F （t ）＝8， ∴k ＝F （s ）F （t ）＝612＝12或k ＝F （s ）F （t ）＝99＝1或k ＝F （s ）F （t ）＝108＝54， ∵12＜1＜54，∴k 的最大值为54.3. 解：(1)1331，2442，1001；猜想：任意一个四位“和谐数”能被11整除．理由：设一个四位“和谐数”记为xyyx ，用十进制表示为： 1000x ＋100y ＋10y ＋x ＝1001x ＋110y ＝11(91x ＋10y )， ∵x 、y 是0～9之间的整数，∴11(91x ＋10y )能被11整除；∴任意一个四位“和谐数”能被11整除；(2)设这个三位的“和谐数”为xyx ，用十进制表示为： 100x ＋10y ＋x ＝101x ＋10y ，∵它是11的倍数，∴101x ＋10y 11为整数，∵101x ＋10y 11＝99x ＋11y ＋2x －y 11＝9x ＋y ＋2x －y 11，x ，y 是0～9之间的整数，∴2x －y 11是整数．又∵1≤x ≤4，0≤y ≤9，∴2≤2x ≤8，－9≤－y ≤0，∴－7≤2x －y ≤8，∵要使2x －y 11是整数，则2x －y 只能是0，∴2x －y ＝0，即y ＝2x ，∴y 与x 之间的函数关系式是y ＝2x (1≤x ≤4，x 为自然数)．4. 解：(1)－i ；1；【解法提示】∵i 2＝－1，∴i 3＝i 2·i ＝－i ，i 4＝i 2·i 2＝(－1)×(－1)＝1.(2)原式＝3－4i ＋3i －4i 2＝3－i ＋4＝7－i ；(3)根据题意可得i ＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，i 5＝i ，i 6＝－1，…，i 2016＝1，i 2017＝i ，∵i＋i2＋i3＋i4＝0，2016÷4＝504，∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2017＝i2017＝i.5.解：(1)设这个奇数为2n＋1，n为任意整数，由题意知m＝(2n＋1)2－1＝4n2＋4n＋1－1＝4n(n＋1)，4n（n＋1）8＝n（n＋1）2，是整数，即4n(n＋1)是8的倍数，∴m是“发达数”；(2)由题意知s＝10y＋x，∴s＋t＝10y＋x＋10x＋y＝11x＋11y＝11(x＋y)，又∵1≤x≤y≤9，∴2≤x＋y≤18，要使11(x＋y)是发达数，则x＋y是发达数，∴x＋y＝8或x＋y＝16，当x＋y＝8时，x＝1，y＝7，t＝17，x＝2，y＝6，t＝26，x＝3，y＝5，t＝35，x＝4，y＝4，t＝44，当x＋y＝16时，x＝7，y＝9，t＝79，x ＝8，y ＝8，t ＝88，故所有符合条件的两位正整数t 有17，26，35，44，79，88.6. 解：(1)6不是尼尔数，39是尼尔数．证明：设P 表示的数为3m ，则a ＝(3m －1)，b ＝(3m ＋1)，K ＝(3m －1)2＋(3m ＋1)2－(3m －1)(3m ＋1)＝9m 2＋3，∵m 为整数，∴m 2为整数，∴9m 2＋3被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2.∴K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，∴m 12－m 22＝21，∵m 1，m 2都是整数，∴m 1＋m 2＝7，m 1－m 2＝3，∴⎩⎨⎧m 1＝5m 2＝2， ∴⎩⎨⎧K 1＝228K 2＝39. 7. 解：(1)∵一个三位数a 1b (其中a ＞b ＞1)的差数T (a 1b )＝792，∴a ＝9，∵三位数a1b(其中a＞b＞1)的各数位上的数字之和为一个完全平方数，∴1＋a＋b＝n2，10<1＋a＋b≤19，∴n＝4，∴b＝16－9－1＝6，∴这个三位数是916；(2)∵一个三位数ab2(其中a、b都不为0)能被4整除，∴b＝1或3或5或7或9，∵将新数个位数字移到百位得到另一个新数b2a被4除余2并且a＜5，∴a＝2，∴所有小于500的4的“闺蜜数”t是212，232，252，272，292，T(t)的最大值是922－229＝693.8. (1)证明：设M＝xyz(x≠y≠z≠0)，则M的友谊数是yxz，∴xyz－yxz＝(100x＋10y＋z)－(100y＋10x＋z)＝90x－90y＝90(x－y)＝15×6(x －y)，∵6(x－y)是整数，∴xyz－yxz能被15整除．故M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)解：由团结数定义可知，N 的团结数为：(20＋a )＋(20＋b )＋(10a ＋2)＋(10a ＋b )＋(10b ＋2)＋(10b ＋a )＝22a ＋22b ＋44，∵N 的团结数与N 之差为24，∴(22a ＋22b ＋44)－(200＋10a ＋b )＝24，即a ＝15－74b ，∵a 、b 为整数，1≤a ≤9，1≤b ≤9，a ≠b ，∴⎩⎨⎧a ＝8b ＝4或⎩⎨⎧a ＝1b ＝8， ∴N ＝284或218.9. 解：(1)4；(2)∵正整数abcd 能被6整除，∴d 能被2整除．设d ＝2k ( k 为自然数)，则d ＋4(a ＋b ＋c )＝2k ＋4(a ＋b ＋c )＝2[k ＋2(a ＋b ＋c )]．∴d ＋4(a ＋b ＋c )能被2整除；(3)小明的说法正确．理由如下：∵四位正整数abcd能被6整除，∴a＋b＋c＋d能被3整除．设a＋b＋c＋d＝3m(m为自然数)，则d＋4(a＋b＋c)＝(a＋b＋c＋d)＋3(a＋b＋c)＝3m＋3(a＋b＋c)．∴d＋4(a＋b＋c)既能被2整除，也能被3整除，∴也能被6整除．10.解：(1)根据精巧数的定义，得123k能被4整除，则1230＋k能被4整除，∵1230＋k＝1228＋(2＋k)，∴2＋k能被4整除，又∵0≤k≤9，且k为整数，∴k＝2或6；(2)∵2ab是“精巧数”，∴a为偶数，且2＋a＋b是3的倍数，∵a＜10，b＜10，∴2＋a＋b＜22，∵2ab各位数字之和为一个完全平方数，∴2＋a＋b＝32＝9，∴当a＝0时，b＝7，当a＝2时，b＝5，当a＝4时，b＝3，当a＝6时，b＝1，∴所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261.11. (1)证明：设三位数abc是一个半和数，则a＋b＋c＝2b，∴a＋c＝b.∵这个三位数为100a＋10b＋c＝100a＋10(a＋c)＋c＝110a＋11c＝11(10a＋c)，且10a＋c为整数，∴这个三位数是11的倍数，能被11整除．(2)解：∵四位数abbc是欢喜数，∴10a＋b＝2(10b＋c)，∴10a－19b－2c＝0①.∵bmc是半和数，∴b＋c＝m.∵bmc是平方差数，∴m＝b2－c2＝(b＋c)(b－c)，∴b －c ＝1，∴b ＝1＋c ②，②代入①得a ＝21c ＋1910，∵a 是1～9的正整数，∴c ＝1，∴b ＝2，∴m ＝2＋1＝3.12. (1)证明：由题意得，t 按上述方法可得新数：n 0n ，nn 0，∵|n ＋2×0－n |＝0，|n ＋2n －0|＝3n ，0＜3n ，∴n 0n 是t 的“幸福美满数”，K (t )＝n 2＋2×02－n 2＝0；(2)解：s ＝100＋10x ＋y ，s ′＝100＋10y ＋x ，19s ＋8s ′＝3888，即19(100＋10x ＋y )＋8(100＋10y ＋x )＝3888.得到2x ＋y ＝12，∵x ＜y ，且均为自然数，∴⎩⎨⎧x ＝2y ＝8或⎩⎨⎧x ＝3y ＝6， ∴“梦想成真数”为128或136，通过计算，K (128)＝－55，K (136)＝－17或－25，又∵－55<－25＜－17，∴K(s)的最大值为－17.13.解：(1)依照2阶6位循环数的定义，可任意写出3个2阶6位循环数：131313；272727；868686.任意一个2阶6位循环数能被7整除，理由如下：结合数字的特点可得知：2阶6位循环数为任意的一个两位数×10101得出的．∵10101÷7 ＝1443.∴任意一个2阶6位循环数能被7整除；(2)结合(1)的规律可知：2阶4位循环数为任意的一个两位数×101得出的．∵101为质数．∴xy为13的倍数，又∵0＜x＜5，∴y＝3x.∵当x＝4时，y＝3×4＝12，当x＝5时，y＝3×5＝15均不符合题意．∴0<x<4，且x为整数，∴y与x之间的函数关系为y＝3x(x＝1，2，3)．14.解：(1)根据题意知t＝100(x＋y)＋10y＋x，∴h＝100y＋10x＋x＋y，∴q＝t－h＝(100x＋100y＋10y＋x)－(100y＋10x＋x＋y)＝90x＋9y，∴f(m)＝q9＝90x＋9y9＝10x＋y.∵0不能在百位，∴t的十位和百位均不可以为0，∴x的最小值为0，y的最小值为1，∴f(m)的最小值为1，此时“加成数”t为110；(2)∵f(m)是24的倍数，∴10x＋y＝24n(n＝1，2，3，…)，∵0≤x≤8，1≤y≤9，且1≤x＋y≤9，∴当n＝1时，10x＋y＝24，x＝2，y＝4，当n＝3时，10x＋y＝72，x＝7，y＝2；综上，这样的“节气数”有2个，分别为24，72.15. (1)证明：∵三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，∴重新排序后，其中两个数位上数字的和是另一个数位上的数字的2倍，∴a＋c－2b＝0，∴F(t)＝0；(2)解：∵m＝200＋10x＋y是“善雅数”，∴x为偶数，且2＋x＋y是3的倍数，∵x<10，y<10，∴2＋x＋y<30，∵m的各位数字之和为一个完全平方数，∴2＋x＋y＝32＝9，∴当x＝0时，y＝7，当x＝2时，y＝5，当x＝4时，y＝3，当x＝6时，y＝1，∴所有符合条件的“善雅数”有：207，225，243，261，∴所有符合条件的“善雅数”中F(m)的最大值是|2－3|－|3－4|＝0.16. (1)解：是．理由如下：∵(12＋2)2＋(12－2)＝14＋2＋2＋12－2＝114，是有理数；(12＋2)＋(12－2)2＝12＋2＋14－2＋2＝114，是有理数．∴(12＋2，12－2)是“完美数对”；(2)证明：∵(a ，b )是“完美数对”，∴a 2＋b 与a ＋b 2都是有理数，∴(a 2＋b )－(a ＋b 2)＝(a －b )(a ＋b －1)是有理数．设t ＝(a －b )(a ＋b －1)＝(a －b )×(2－1)＝a －b ，∴t ＝a －b 是有理数．解⎩⎨⎧a ＋b ＝2a －b ＝t ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋t 2b ＝1－t 2， ∵t 是有理数，∴a ，b 都是有理数．17. 解：(1)2；8；证明：假设P (n )的质数为a ，b ，c ，由P (n )＝0可知，a ＝b ＝c ，∴P (n )＝a ＋a ＋a ＝3a ，∴3a÷3＝a，为整数，∴若P(n)＝0，n必定能被3整除；(2)(x＋y)×8＋10x＋y＝99，∴2x＋y＝11；∵1≤x≤y≤9，∴期盼数：35，27，19，35＝11＋11＋13；27＝7＋7＋13；19＝7＋7＋5；P(35)＝2，P(27)＝6，P(19)＝2，∴P(t)max＝6.18. (1)证明：设原来的三位数为：100a＋10b＋c，其兄弟数为：100b＋10c＋a，则(100a＋10b＋c)－(100b＋10c＋a)＝99a－90b－9c＝9(11a－10b－c)，∵(11a－10b－c)为整数，∴一个三位数与其兄弟数之差一定可以被9整除．(2)解：设这个六位数的前4位是M，后2位是N，则这个数可表示为：(100M＋N)，其兄弟数可表示为：(10000N＋M)，∴4×(100M＋N)＝10000N＋M，∴化简得19M＝476N，∴N一定是19的倍数，∵N是2位数，∴满足条件的N＝19，38，57，76，95；又∵M是4位数，∴N＝19，38都不满足条件，舍去；∴N＝57，76，95，相应的：M＝1428，1904，2380，∴满足条件的六位数有三个142857，190476，238095.19. (1)证明：∵3×14＝42≠41，∴41不是希望数．假设存在两位数是希望数，记为ab，∴ab＝3ba.∵3b为一位数，且b是3a的个位数，∴b＝1，2，3.当b＝1时，a＝7，3×17＝51≠71；当b＝2时，a＝4，3×24＝72≠42；当b＝3时，a＝1，3×31＝93≠13.综上可知：假设不成立，即任意两位数都不可能是“希望数”；(2)解：∵abcd＝3·cbad，∴3d的个位是d，∴d＝0或5.当d＝0时，∵3a的个位是c，c＝2，∴a＝4，此时3c＝6＞4，不合适；当d＝5时，∵3a的个位＋1是c，c＝2，∴a＝7，又∵abcd＝3·cbad，∴3b＋2＝10＋b，解得：b＝4.∴这个四位“希望数”为7425.20. (1)解：123的百位与十位数字组成的数为12，21，百位与个位数字组成的数为13，31, 十位与个位数字组成的数为23，32，则各数和为12＋21＋13＋31＋23＋32＝132≠123，显然不是公主数；(2)证明：∵xyz是一个公主数，∴(10x＋y＋10y＋x)＋(10x＋z＋10z＋x)＋(10y＋z＋10z＋y) ＝100x＋10y＋z，∴78x＝12y＋21z①；∵xyz是一个伯伯数，∴y＝x＋z②，代入①得66x＝33z，∴z＝2x；(3)解：设这个伯伯数为xyz，则y＝x＋z，∴100x＋10y＋z＝110x＋11z.∵110x＋11z＋132＝11(10x＋z＋12)，∵能被13整除，∴10x＋z＋12是13的倍数．当10x＋z＋12＝26时，x＝1，z＝4，y＝5，这个数为154；当10x ＋z ＋12＝39时，x ＝2，z ＝7，y ＝9，这个数为297；当10x ＋z ＋12＝52时，x ＝4，z ＝0，y ＝4，这个数为440；当10x ＋z ＋12＝65时，x ＝5，z ＝3，y ＝8，这个数为583；当10x ＋z ＋12＝78时，x ＝6，z ＝6，y ＝12，不符合；当10x ＋z ＋12＝91时，x ＝7，z ＝9，y ＝16，不符合．故满足条件的数有154，297，440，583.21. 解：(1)132不是“1阶倒差数”，235；【解法提示】∵32＝1×32＝2×16＝4×8，不是两个连续自然数的积， ∴132不是“1阶倒差数”．第5个“2阶倒差数”为15－17＝235.(2)设m 是由两个连续奇数2x －1，2x ＋1组成的“2阶倒差数”，则m ＝12x －1－12x ＋1＝2x ＋1－（2x －1）（2x ＋1）（2x －1）＝24x 2－1. ∵c ，d 是两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，∴可设c ＝24y 2－1，d ＝24z 2－1，∵1d －1c ＝22，∴4z 2－12－4y 2－12＝22，即z 2－y 2＝11，∴(z ＋y )(z －y )＝11>0，∴z ＞y .∵11＝1×11，∴⎩⎨⎧z ＋y ＝11z －y ＝1，解得⎩⎨⎧y ＝5z ＝6， ∴c ＝24×52－1＝299，d ＝24×62－1＝2143. 22. (1)证明：设A ＝xy ，则其“诚勤数”为x 2y ，“立达数”为10x ＋y ＋2， ∴x 2y －(10x ＋y ＋2)＝100x ＋20＋y －10x －y －2＝90x ＋18＝6(15x ＋3)， ∵15x ＋3为整数，∴6(15x ＋3)能被6整除，即对任意一个两位正整数A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；(2)解：设B ＝10a ＋b ，1≤a ≤9，0≤b ≤9(13加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位)，B ＋2＝10a ＋b ＋2，则B 的“立达数”为10(a ＋1)＋(b ＋2－10)，a ＋1＋b ＋2－10＝12(a ＋b )，整理得：a ＋b ＝14，∵1≤a ≤9，0≤b ≤9，∴⎩⎨⎧a ＝8（舍）b ＝6、⎩⎨⎧a ＝6b ＝8，⎩⎨⎧a ＝9（舍）b ＝5、⎩⎨⎧a ＝5b ＝9，经检验：86和95不符合题意舍去，∴所求两位数为68或59.23. (1)证明：设m ＝10t ＋8，1≤t ≤9，且t 为整数．∴m 2－64＝(10t ＋8)2－64＝100t 2＋160t ＋64－64＝20(5t 2＋8t )．∵1≤t ≤9，t 为正整数，∴5t 2＋8t 是正整数．∴m 2－64一定为20的倍数；(2)解：∵m ＝p 2－q 2，p ，q 为正整数，∴10t ＋8＝(p ＋q )(p －q )，当t ＝1时，18＝1×18＝2×9＝3×6，没有满足条件的p ，q .当t ＝2时，28＝1×28＝2×14＝4×7.其中满足条件的p ，q 的数对有(8，6)，即28＝82－62，∴H (28)＝68＝34.当t ＝3时，38＝1×38＝2×19，没有满足条件的p ，q . 当t ＝4时，48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8.满足条件的p ，q 的数对为⎩⎨⎧p －q ＝2p ＋q ＝24或⎩⎨⎧p －q ＝4p ＋q ＝12或⎩⎨⎧p －q ＝6p ＋q ＝8，解得⎩⎨⎧p ＝13q ＝11或⎩⎨⎧p ＝8q ＝4或⎩⎨⎧p ＝7q ＝1. 即48＝132－112＝82－42＝72－12.∴H (48)＝1113或H (48)＝48＝12或H (48)＝17.∵1113＞34＞12＞17，∴H (m )的最大值为1113.24. 解：(1)∵m ，n 都是四位“格调数”，则设m ＝a (a ＋1)(a ＋2)(a ＋3)，n ＝b (b ＋1)(b ＋2)(b ＋3)， 即m ＝1000a ＋100(a ＋1)＋10(a ＋2)＋(a ＋3)＝1111a ＋123， n ＝1000b ＋100(b ＋1)＋10(b ＋2)＋(b ＋3)＝1111b ＋123， ∴m －n ＝1111a ＋123－(1111b ＋123)＝1111(a －b )＝3333， ∴a －b ＝3，即a ＝b ＋3.∵m是四位“格调数”，∴1≤a≤6，∴1≤b＋3≤6，∴1≤b≤3，∴b为1，2或3，则a为4，5或6，∴m为4567，5678或6789；(2)q是“发财数”．∵t＝100a＋10(a＋1)＋(a＋2)＝111a＋12，∴k＝100(a＋2)＋10(a＋1)＋a＝111a＋210，∴q＝k－t＝(111a＋210)－(111a＋12)＝210－12＝198，∵198÷18＝11，∴198是18的整倍数，即198是“发财数”，∴q是“发财数”．25. 解：(1)7；证明：设这个四位“两头蛇数”为1ab1，由题意得：1ab1－3ab＝1001＋100a＋10b－30a－3b＝1001＋70a＋7b＝7(143＋10a＋b)∵a 、b 为整数，∴143＋10a ＋b 为整数，∴一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的三倍能被7整除；(2)∵16的真因数有：1，2，4，8.∴1＋2＋4＋8＝15，∵15＝1＋3＋11，∴16的“亲和数”为33.设这个五位“两头蛇数”为1x 4y 1，由题意得：1x4y133为整数， ∴315＋30x ＋10x ＋10y ＋633为整数， ∴10x ＋10y ＋6＝66，∴x ＋y ＝6，∵0≤x ≤9，0≤y ≤9，且为整数，x ＜y∴⎩⎨⎧x ＝0y ＝6或⎩⎨⎧x ＝1y ＝5或⎩⎨⎧x ＝2y ＝4. ∴这个五位“两头蛇数”为10461或11451或12441.26.解：(1)22；17＋5m.【解法提示】将3个数：2，8，7，做一次“差变增数列”，得到的数字为2，6，8，－1，7，所有数字的和为2＋6＋8＋(－1)＋7 ＝22；∵将数串a，b，c做一次“差变增数列”得到a，b－a，b，c－b，c，所有数字和的增加量M＝(a＋b－a＋b＋c－b＋c)－(a＋b＋c)＝c－a，∴将一个数串每做一次“差变增数列”，所有数字的和的增加量相同，均为原数最后一个数与第一个数的差∵数串2，8，7中，7－2＝5.∴每做一次“差变增数列”，所有数字的和增加5，∴做m次“差变增数列”后，所得数字的和为2＋8＋7＋5m，即17 ＋5m. (2)∵数串：x，8，y，∴做100次“差变增数列”，所得数字的和为x＋8＋y＋100(y－x)＝－99x＋101y＋8，根据题意得－99x＋101y＋8 ＝216，即y＝208＋99x101，∵y是整数，∴208＋99x是101的正整数倍，当208＋99x＝101时，x无正整数解；。
新定义题型(学生版)
大题新定义题型继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。
2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。
新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
题型一：集合的新定义问题题型二：函数与导数的新定义问题题型三：复数与不等式的新定义问题题型四：三角函数的新定义问题题型五：平面向量的新定义问题题型六：数列的新定义问题题型七：立体几何的新定义问题题型八：平面解析几何的新定义问题题型九：概率统计的新定义问题题型十：高等数学背景下的新定义问题题型一：集合的新定义问题1(2024·广东·惠州一中校联考模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S n=1,2,3,⋯,2n(n∈N*,n≥4)，对于集合S n的非空子集B，若S n中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合S n的“期待子集”.(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合S n的“期待子集”.集合新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.1(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知集合M =1,2,3,⋯,n n ∈N * ，若集合A =a 1,a 2,⋯,a m ⊆M m ∈N * ，且对任意的b ∈M ，存在a i ，a j ∈A 1≤i ≤j ≤m ，使得b =λ1a i +λ2a j (其中λ1,λ2∈-1,0,1 )，则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．(1)分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①A =1,5 ，M =1,2,3,4,5 ；②A =2,3 ，M =1,2,3,4,5,6 ．(2)若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：m m +1 ≥n ；(3)若集合A 为集合M =1,2,3,⋯,19 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A ．2(2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试)设m 为正整数，集合A ⊆α∣α=t 1,t 2,⋯,t m ,t j ∈-1,1 ,j =1,2,⋯,m . 任取集合A 中的2n +1n ∈N *个元素(可以重复)α1=α1.1,α1.2,⋅⋅⋅,α1.m ，α2=α2.1,α2.2,⋅⋅⋅,α2.m ,⋅⋅⋅，α2n +1=α2n +1.1,α2n +1.2,⋅⋅⋅,α2n +1.m ，M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 =y 1,y 2,⋅⋅⋅,y m ，其中y j =α1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jα1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jj =1,2,⋅⋅⋅,m .(1)若α1=1,-1,-1,-1 ,α2=-1,1,1,-1 ,α3=-1,-1,-1,1 ,α4=1,1,-1,1 ，α5=-1,-1,-1,1 ，直接写出M α1,α2,α3 ,M α1,α2,α3,α4,α5 ；(2)对于α，β，γ∈A ，证明：M α,⋯,αk 个 ,β,⋯,βk 个,γ=M α,β,γ ；(3)对于某个正整数n ，若集合A 满足：对于A 中任意2n +1个元素α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1，都有M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 ∈A ，则称集合A 具有性质P n . 证明：若∃n 0∈N *，集合A 具有性质P n 0 ，则∀n ∈N *，集合A 都具有性质P n .题型二：函数与导数的新定义问题1(2024·陕西安康·高三校联考阶段练习)记函数f x 的导函数为f x ，f x 的导函数为f x ，设D 是f x 的定义域的子集，若在区间D 上f x ≤0，则称f x 在D 上是“凸函数”.已知函数f x =a sin x -x 2.(1)若f x 在0,π2上为“凸函数”，求a 的取值范围；(2)若a =2，判断g x =f x +1在区间0,π 上的零点个数.函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。
初一数学—‘新定义’题型专题训练
初一数学—‘新定义’题型专题训练-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初一数学—‘新定义’题型专题训练1．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示．例如f （x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如x＝﹣1时多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7．（1）已知g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，分别求出g（﹣1）和g（﹣2）值．（2）已知h（x）＝ax3+2x2﹣x﹣14，h（）＝a，求a的值．2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|＝3解：当x≥0时，方程可化为：x+2x＝3解得x＝1，符合题意．当x＜0时，方程可化为：x﹣2x＝3解得x＝﹣3，符合题意．所以，原方程的解为：x＝1或x＝﹣3．仿照上面解法，解方程：x+3|x﹣1|＝7．3．试验与探究：我们知道分数写为小数即0.，反之，无限循环小数0.写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.为例进行讨论：设0.＝x，由0.＝0.7777…，可知，10x﹣x＝7.77…﹣0.777…＝7，即10x﹣x＝7，解方程得，于是得0.＝．请仿照上述例题完成下列各题：（1）请你把无限循环小数0.写成分数，即0.＝．（2）你能化无限循环小数0.为分数吗？请仿照上述例子求解之．4．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2，＝（﹣1）×6﹣3×5＝﹣21．按照这个规定，解答下列问题：（1）计算的值；（2）计算：当5x2+y＝7时，的值；（3）若＝0.5，求x的值．5．如图所示，将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字形框框出5个数．探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数的和用含x的整式表示为，这说明被十字框框中的五个奇数的和一定是正整数p（p＞1）的倍数，这个正整数p是．探究规律二：落在十字框中间且位于第二列的一组奇数是15，27，39…，则这一组数可以用整式表示为12m+3 （m为正整数），同样，落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为；（用含m的式子表示）运用规律（1）被十字框框中的五个奇数的和可能是625吗？若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由．（2）请问（1）中的十字框中间的奇数落在第几行第几列？6．【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；线段AB的中点M表示的数为．【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣40和20，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）运动开始前，A、B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数为．（2）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？（3）当t为多少时，线段AB的中点M表示的数为﹣5？并直接写出在这一运动过程中点M的运动方向和运动速度．7．某县“贡江新区”位于贡江南岸，由长征出发地体验区、文教体育综合区、贡江新城三大板块组成，与贡江北岸老城区相呼应，构建成“一江两岸”的城市新格局．为建设市民河堤漫步休闲通道，贡江新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下：甲：12x+8（20﹣x）＝180；乙：+＝20．根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义．甲：x表示，20﹣x表示；乙：x表示，180﹣x表示．（2）请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B 两工程队分别整治河堤的长度．写出完整的解答过程．8．我们知道：|a|表示数轴上，数a的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“|a|＝|a﹣0|”，进而提出这样的问题：数轴上，数a的点到数1点的距离，是不是可以表示为|a﹣1|小明的想法是否正确呢让我们一起来探究吧!步骤一：实验与操作：（1）已知点A、B在数轴上分别表示a、b．填写表格a 3 ﹣5 5 ﹣10 ﹣5.5 …b7 0 ﹣1 2 ﹣1.5 …A、B两点之间的距离4 5 …步骤二：观察与猜想：（2）观察上表：猜想A、B两点之间的距离可以表示为（用a、b的代数式表示）步骤三：理解与应用：（3）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动．运动到3秒时，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度之比是3：2（速度单位：1个单位长度/秒）．①求两个动点运动的速度；②A、B两动点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置；③若A、B两动点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A、B两动点之间相距4个单位长度．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）由题意得：g（﹣1）＝﹣2（﹣1）2﹣3×（﹣1）+1＝2；g（﹣2）＝﹣2（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝﹣1．（2）由题意得：a+﹣﹣14＝a，解得：a＝﹣16．2．【解答】解：当x＜1时，方程可化为：3﹣2x＝7解得x＝﹣2，符合题意．当x≥1时，方程可化为：x+3x﹣3＝7，解得x＝，符合题意．所以，原方程的解为：x＝﹣2或x＝．3．【解答】解：（1）设0.＝x，由0.＝0.5555…，可知，10x﹣x＝5.55…﹣0.555…＝5，即10x﹣x＝5，解方程得，于是得：0.＝；（2）设0.＝x，由0.＝0.73737373…，可知，100x﹣x＝73.73…﹣0.7373＝73，即100x﹣x＝73，解方程得，于是得0.＝．4．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣40+42＝2；（2）根据题中的新定义得：原式＝﹣3x2﹣3y﹣2x2+2y+2＝﹣5x2﹣y+2，把5x2+y＝7代入得：原式＝﹣7+2＝﹣5；（3）已知等式整理得：﹣3x﹣6﹣6x+2＝0.5，移项合并得：﹣9x＝4.5，解得：x＝﹣0.5．5．【解答】解：探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数中其它四个数分别为x﹣12、x﹣2、x+2、x+12，∴框中五个奇数的和为x﹣12+x﹣2+x+x+2+x+12＝5x，∴这个正整数p是5．故答案为：5x；5．探究规律二：∵落在十字框中间且位于第二列的数为12m+3，∴落在十字框中间且位于第三列的数为12m+3+12＝12m+15．故答案为：12m+15．（1）假设能，根据题意得：5x＝625，解得：x＝125，∴假设成立，其它四个数为：x﹣12＝113，x﹣2＝123，x+2＝127，x+12＝137．∴这五个数分别为113、123、125、127、137．（2）∵125＝2×63﹣1，∴125为该数表的第63个数．又∵63＝6×10+3，∴（1）中的十字框中间的奇数落在第11行第3列．6．【解答】解：（1）根据题意可知，运动开始前，A、B两点的距离AB＝|﹣40﹣20|＝60；线段AB的中点M所表示的数为：；（2）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，则点A运动x秒后所在位置的点表示的数为﹣40+3x；点B运动x秒后所在位置的点表示的数为20﹣2x；根据题意，得：﹣40+3x＝20﹣2x解得x＝12，∴它们按上述方式运动，A、B两点经过12秒会相遇，相遇点所表示的数是：﹣40+3x＝﹣40+3×12＝﹣4；答：A、B两点经过12秒会相遇，相遇点所表示的数是﹣4．（3）根据题意，得：，解得t＝10，∵t＝0时，中点M表示的数为﹣10；t＝10时，中点M表示的数为﹣5；∴中点M的运动方向向右，运动速度为．答：经过10秒，线段AB的中点M表示的数是﹣5．M点的运动方向向右，运动速度为每秒个单位长度．故答案为：（1）60，﹣10．7．【解答】解：（1）由题意得，第一个方程为12x+8（20﹣x）＝180，x表示A工程队用的时间，20﹣x表示B工程队用的时间；第二个方程为+＝20，x表示A工程队整治河堤的米数，180﹣x表示B 工程队整治河堤的米数；故答案为：A工程队用的时间，20﹣x表示B工程队用的时间；A工程队整治河堤的米数，B工程队整治河堤的米数；（2）设A工程队用的时间为x天，根据题意，得12x+8（20﹣x）＝180，解得：x＝5，12x＝12×5＝60，8（20﹣x）＝8×（20﹣5）＝120，答：A工程队整治河堤60数，B工程队整治河堤120米．8．【解答】解：（1）5﹣（﹣1）＝6；2﹣（﹣10）＝12；﹣1.5﹣（﹣5.5）＝4；依次为6，12，4；（2）A、B两点之间的距离可以表示为|a﹣b|（也可以表示为|b﹣a|）；故答案为：|a﹣b|；（3）①设动点A、B的速度是3x，2x，可得：9x+6x＝15，解得：x＝1，答：动点A运动的速度为3个单位长度/秒，动点B运动的速度为2个单位长度/秒；②因为动点A运动的速度为3个单位长度/秒，动点B运动的速度为2个单位长度/秒，所以点A为﹣9．点B为6，如图：③设经过t秒后，A，B两动点之间相距4个单位长度．显然，动点A、B同时向左运动或者同时仍按原方向运动都不符合题意．所以：（I）当动点A、B同时向右运动时，动点A、B对应的数分别是﹣9+3t、6+2t，根据题意得：|（﹣9+3t）﹣（6+2t）|＝4，即t＝19或t＝11（II）当动点A向右运动，动点B向左运动时，动点A、B对应的数分别是﹣9+3t、6﹣2t，根据题意得：|（﹣9+3t）﹣（6﹣2t）|＝4，即答：经过11秒或19秒或秒或秒后，A、B两动点之间相距4个单位长度．。
(完整版)中考新定义问题
新定义问题考点一：学习探究类问题根据探索对象不同，探索性题型一般可分为条件探索型和结论探索型两类。
1•条件探索型条件探索型的基本特征是给出命题的结论，要求我们探索结论成立的条件，其一般的解法是从所给的结论出发，执果索因，寻求结论成立时应具备的条件，进而给予解答，思维方式是变换思维方向，逆向思维。
2•结论探索型结论探索型一般可分为猜想型，判断型和是否存在型。
（1）猜想型猜想型需探索的结论要依据题设条件从简单情况或特殊情况入手进行归纳，大胆猜想得出，然后再进行论证。
（2）判断型判断型是指在某些题设条件下，判断数学对象是否具有某种性质，解题时通常先假设被探索的数学性质存在，并将其构造出来，再利用题设条件和数学结论将其肯定或否定。
（3）是否存在型这类问题的特征是在题设条件下判断数学对象是否存在或成立，即在是与否之间做出选择，解法步骤是先假设数学对象成立，以此为前提进行运算或推理。
若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明。
考点二：新定义问题1 •新定义①函数类新定义②距离类新定义③几何类新定义④与圆有关的新定义2 •考察的数学思想解答题一般考查学生综合运用初中三年级所学知识点的能力，常寓数形结合思想、类比思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等于题型当中。
3 •常考题型①高中或大学数学知识的下放②初中数学知识的改编③完全新定义考点一：学习探究类问题1.已知/ MAN=13°，正方形ABCD绕点A旋转.（1 ）当正方形ABCD旋转到/ MAN勺外部（顶点A除外）时，AM AN分别与正方形ABCD勺边CB CD的延长线交于点M N,连接MN①如图1，若BM=DN则线段MN与BM+Df之间的数量关系是______________ ;②如图2，若B佯DN请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（2）如图3,当正方形ABCD旋转到/ MAN的内部（顶点A除外）时，AM AN分别与直线BD 交于点M, N,探究：以线段BM MN DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由.BC DA2>CC图I图3DABCcBC图图32.【问题探究】(1)如图1,锐角△ ABC 中，分别以AB AC 为边向外作等腰厶 ABE 和等腰△ ACD 使AE=ABAD=AC / BA 匡/CAD 连接BD CE 试猜想BD 与 CE 的大小关系，并说明理由.【深入探究】(2) 如图 2,四边形 ABCD 中, AB=7cm, BC=3cm,Z AB(=Z ACD / ADC 45o ,求 BD 的长. (3) 如图3,在⑵ 的条件下，当△ ACD&线段AC 的左侧时，求 BD 的长.聖25题團3. ( 1)问题如图1,在四边形 ABCD 中，点P 为AB 上一点，/ DPC M A=Z B=90 , 求证：AD ・BC=AP ・ BP. 探究如图2,在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当/DPC M A=Z B=0时，上述结论是否依然 成立？说明理由. (3)应用请利用(1) (2)获得的经验解决问题：如图3,在厶ABD 中，AB=6 AD=BD=5点P 以每秒1个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边 AB 向点B 运动，且满足/ DPC M A,设点 P 的运动时间为t (秒)，当以D 为圆心，以DC 为 半径的圆与AB 相切时，求t 的值.4. 理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15 °的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路 思路一 如图1，•在Rt △ AB (中, Z C=90，/ ABC=30，延•长CB 至点D,使BD=BA 连接 AD 设 AC=1,则 BD=BA=2 BC 近.tan D=ta n15、计馬=⑵扁 舀—品、=2-思路二利用科普书上的和(差)角正切公式：tan (a±B)1+ tan CL t an B •假设a =60°,3 =45° 代入差角正切公式：tan15 ° =tan (60°- 45°)-=2--思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考) . (1) 类比：求出 (2) 应用：如图 ,C 两点间距离为 tan&CT -龙出4区9l+tanGO* tan45e(3)拓展：如图 tan75 ° 的值； 2,某电视塔建在一座小山上，山高 BC 为30米，在地平面上有一点 A ,测得A60米，从A 测得电视塔的视角(Z CAD 为45°，求这座电视塔 CD 勺高度；1 y=" 3，直线 x - 1与双曲线 4y —交于A , B 两点，与y 轴交于点C ,将直线AB 绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由.5. 已知直线m// n,点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P 为线段CD的中点.(1) __________________________________________________ 操作发现：直线I丄m, I丄n,垂足分别为A、B,当点A与点C重合时(如图①所示)，连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量关系：_______________________________________________________ .(2)猜想证明：在图①的情况下，把直线I向上平移到如图②的位置，试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. —|(3)延伸探究：在图②的情况下，把直线I绕点A旋转，使得/ APB=90。
专题05新定义问题中考题型训练(原卷版)
专题5 新定义问题中考题型训练1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．5．（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．6．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．9．（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN 与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG 是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•德州）教材呈现以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．概念理解（1）根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：；（2）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称，△F AC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB，FC相交于点G．请写出图中的“筝形”：；（写出一个即可）应用拓展（3）如图2，在（2）的条件下，连接EF，分别交AB，AC于点M，H，连接BH．①求证：∠BAC＝∠FEG；②求证：∠AHB＝90°．1．（2023•叙州区校级模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．﹣2B．C．﹣2或2D．22．（2023•苏州模拟）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为．3．（2022•西湖区一模）已知y1，y2均为关于x的函数，当x＝a时，函数值分别为A1，A2，若对于实数a，当0＜a＜1时，都有﹣1＜A1﹣A2＜1，则称y1，y2为亲函数，则以下函数y1和y2是亲函数的是（）A．y1＝x2+1，y2＝B．y1＝x2+1，y2＝2x﹣1C．y1＝x2﹣1，y2＝D．y1＝x2﹣1，y2＝2x﹣14．（2022•平桂区一模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是（）A．8B．7C．6D．55．（2022•威县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为A（8，0），C（0，6）．把横，纵坐标均为偶数的点称为偶点．（1）矩形OABC（不包含边界）内的偶点的个数为．（2）若双曲线L：y＝上（x＞0）将矩形OABC（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，则k的整数值有个．6．（2022•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为．7．（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为．8．（2022•武侯区校级模拟）对于给定△ABC内（包含边界）的点P，若点P到△ABC其中两边的距离相等，我们称点P为△ABC的“等距点”，这段距离的最大值称为△ABC的“特征距离”．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），动点M（m，3），连接OM，AM．则△OAM的“特征距离”的最大值为．9．（2022•金牛区模拟）射线AB绕点A逆时针旋转a°，射线BA绕点B顺时针旋转b°，0°＜a＜90°，0°＜b＜90°，旋转后的两条射线交点为C，如果将逆时针方向旋转记为“+”，顺时针方向旋转记为“﹣”，则称（a，﹣b）为点C关于线段AB的“双角坐标”，如图1，已知△ABC，点C关于线段AB的“双角坐标”为（50，﹣60），点C关于线段BA的“双角坐标”为（﹣60，50）．如图2，直线AB：y＝x+交x轴、y轴于点A、B，若点D关于线段AB的“双角坐标”为（﹣m，n），y轴上一点E关于线段AB 的“双角坐标”为（﹣n，m），AE与BD交点为F，若△ADE与△ADF相似，则点F在该平面直角坐标系内的坐标是．10．（2022•长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“优美三角形”．（1）如图2，在△ABC中，BC＝AB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．①求证：直线CA与⊙O相切；②若⊙O的直径为2，求线段AB的长；（3）已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积．11．（2023•定远县校级一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点D，请你在图1中找出满足条件的点D，保留画图痕迹（找出2个即可）（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，对角线AC平分∠DAB．请问AC 是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若AC＝，求AD•AB的值．（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D＝∠ACB＝90°时，将△ADC以A为位似中心，位似比为：缩小得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长．12．（2022•开福区校级一模）我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交线段OA于点F，交⊙O于点E，连接BE交AC于点G．试判断△AED和△ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求∠BED的余弦值．。
中考数学复习新定义题型专题训练
中考数学复习新定义题型专题训练典例精析：例1.我们把分子为1的分数叫做理想分数，如,,,111234任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如()=+;=+;=+;=1111111111236341245209 ；根据对上述式子的观察思考：如果理想分数111n a b=+（n 是不小于2的正整数），那么a b += (用含n 的点评：本题可以视为“规律性的题型中的定义”，主要是根据定义（本题是“理想分数”）计算推理发现规律，从实例规律迁移解决问题.2.若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是1112=--，1-的差倒数为()11112=--，现已知11x 3=-，2x 是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数，…，依次类推，则 2020x =.例2.我们把a b c d 称作二阶行列式，规定它的运算法则为a bad bc c d=-，比如：232534245=⨯-⨯=-，如果有23x01x->，则x 的取值范围为 . 分析：根据二阶行列式规定的运算法则可知：()2x 3x 10--⨯> ，解得：x 1>；∴故应填：x 1>.点评：本题可以视为“运算建模题型中定义”，主要是根据定义所规定的运算法则进行运算推理来解决问题；这类题可以串联起数学的多个知识点，是中考中出现频率比较高的一种题型.追踪练习：1.对于点(),x y 的一次操作变换()(),,1p x y x y x y =+-，且规定()()(),,n 1n 1p x y P P x y -=（n 为大于1的整数）；如()(),,1p 1231=-，()()()(),,(.),2111p 12P 12P 3124==-=，(),3p 12=((,))(,)(,)122P p 12p 2462==-，则(,)2019p 11-= （ ）A.(),100902-B.(),101002-C.(),100902D.()101002、2.对于正数x ，如果规定()1f x 1x =+，例如：()11f 4145==+，114f 14514⎛⎫== ⎪⎝⎭+;根据上面的规定计算()()()()111f 2019f 2018f 2f 1f f f 220182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的值为， ()()()()111f 2020f 2019f 2f 1f f f 220192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值二阶行列式运算法则”，计算填空：； ⑵.x 3x 2x 4x 3+---= ；⑶.2x x 26x 2x-=+，则x = .4.若定义()a,b ☆()m,n am bn =+ ，则⎛⋅ ⎝= .5.对于两个不相等的实数a,b，定义一种新的运算如下，)a b a b 0=+> ，如：32= ()654 的值.6.我们定义a b ad bc c d =-，比如：()121623661236-=-⨯-⨯=--=-；若x,y 均为点评：本题可以视为“探索题型中的新定义”，主要是根据定义计算推理论证，这类题一般要在定义的前提下进行匪类讨论，往往和存在性问题交融在一起.追踪练习：1.若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线成轴对称，则这两点就是互为镜面点， 这条直线叫镜面直线，如(),A 23）和(),B 32是以x y =为镜面直线的镜面点． ⑴.若(),M 41和(),N 14--是一对镜面点，则镜面直线为 .⑵.若以y =为镜面直线，则(),E 20-的镜面点为 ．2.如图，A,B 是⊙O 上的两个顶点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A,B 重合），我们称APB∠是⊙O 上关于点A,B 的滑动角.3.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内ABCD 的准内点．⑴.如图2,AFD ∠与DEC ∠的角平分线相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．⑵.分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）⑶.判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（ ）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）③若点P 是四边形ABCD 的准内点，则PA PB PC PD +=+或PA PC PB PD +=+（ ）.例4. 对于实数a b 、，定义运算某“*”：()()22a ab a b a b ab b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩*.例如42*，因为42>，所以2424428=-⨯=*.若12x x 、是一元二次方程2x 5x 60-+=的两个根，则*12x x = .分析：∵12x x 、是一元二次方程2x 5x 60-+=的两个根∴()()x 2x 30--= 解得：x 3= 或x 2=①.当12x 3,x 2== 时，1x *2x =23233-⨯=；②.当12x 2,x 3== 时，1x *2x =22333⨯-=-.故应填：3或3-. 点评：本题可以视为“开放题型中的新定义”，本题的结论是开放的，常常要根据条件分类讨论，结合对应的定义法则进行运算推理（实际上是同一名称多种形式），这类题容易漏解.追踪练习：1. 对实数a ☆b ()()-⎧>≠⎪=⎨≤≠⎪⎩b b a a b,a 0a a b,a 0 ；比如2☆3-==3128，计算[2☆()-4]× [()-4☆()-2]= .2.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()111P x ,y 和()222P x ,y 的“非常距离”，给出以下概念：若1212x x y y -≥- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12x x -；.若1212x x y y -<- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12y y -.例如：点()1P 1,2和()2P 3,5。
重庆市中考数学 第二部分 题型研究 题型六 新定义题针对演练-人教版初中九年级全册数学试题
题型六 新定义题针对演练1. (2016某某)设a ，b 是任意两个实数，规定a 与b 之间的一种运算“⊕”为：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b a （a >0）a －b （a ≤0）.例如：1⊕(－3)＝－31＝－3，(－3)⊕ 2＝(－3)－2＝－5，(x 2＋1)⊕(x －1)＝x －1x 2＋1.(因为x 2＋1>0) 参照上面材料，解答下列问题：(1)2⊕ 4＝________，(－2)⊕ 4＝________；(2)若x >12，且满足(2x －1)⊕(4x 2－1)＝(－4)⊕(1－4x )，求x 的值．2. 对于正整数n ，定义F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n <10f （n ），n ≥10，其中f (n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F (6)＝62＝36，F (123)＝f (123)＝12＋02＝1， .规定F 1(n )＝F (n )，F k ＋1(n )＝F (F k (n ))．例如：F 1(123)＝F (123)＝10，F 2(123)＝F (F 1(123))＝F (10)＝1.(1)求：F 2(4)和F 2015(4)；(2)若F3m(4)＝89，求正整数m的最小值．3. 如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2＝13－(－1)3，26＝33－13，所以2、26均为“麻辣数”．【立方差公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)】(1)请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；(2)求在不超过2016的自然数中，所有的“麻辣数”之和为多少？4. (2015某某A卷)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数1232＋22＝131，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此1232＋22＝131是一个“和谐数”．再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x(1≤x≤4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．5. (2016某某一中三模)当一个多位数为偶数位时，在其中间位插入一位数k(0≤k≤9)得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729＝729＋435×1000，4356729＝729＋6×1000＋435×10000.请阅读以上材料，解决下列问题．(1)若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足此条件的三位关联数；(2)对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m，得其关联数(0≤m≤9，且m为3的倍数)，试证明：所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除．6. (2016某某外国语学校二诊)定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如(3，6)为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被(3＋6)整除；又如(15，30，60)为三个数的祖冲之数组，因为(15×30)能被(15＋30)整除，(15×60)能被(15＋60)整除，(30×60)能被(30＋60)整除….(1)我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30，…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n(n－1)(n≥2，n为整数)组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想；(2)若(4a，5a，6a)是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a.____________________ __________ __________ __________ _______________ _____7. (2016某某南开阶段测试三)进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n (n ≤10)进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0～(n －1)进行记数，特点是逢n 进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：五进制数(234)5＝2×52＋3×5＋4＝69，记作(234)5＝69，七进制数(136)7＝1×72＋3×7＋6＝76，记作(136)7＝76.(1)请将以下两个数转化为十进制：(331)5＝________，(46)7＝________；(2)若一个正数可以用七进制表示为(abc )7，也可以用五进制表示为(cba )5，请求出这个数并用十进制表示．8. (2016某某实验外国语学校一诊)有一个n 位自然数abcd …gh 能被x 0整除，依次轮换个位数字得到的新数bcd …gha 能被(x 0＋1)整除，再依次轮换个位数字得到的新数cd …ghab 能被(x 0＋2)整除，按此规律轮换后，d …ghabc 能被(x 0＋3)整除，…，habc …g 能被(x 0＋n_____ _____－1)整除，则称这个n 位数abcd …gh 是x 0的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：32＋22＝134能被2整除，243能被3整除，432＋22＝13能被4整除，则称三位数32＋22＝134是2的一个“轮换数”． (1)若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”； (2)若三位自然数abc 是3的一个“轮换数”，其中a ＝2，求这个三位自然数abc .9. 把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…，如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如： 32＋22＝13→32＋22＝13→12＋02＝1， →12＋02＝1， 72＋02＝→72＋02＝42＋92＝97→42＋92＝97→92＋72＝130→12＋32＋02＝10→12＋02＝1， 所以32＋22＝13和72＋02＝都是“快乐数”．_____ _____ _____ __________ (1)写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；(2)若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”.10. 定义一种对于三位数abc (a 、b 、c 不完全相同)的“F 运算”：重排abc 的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)．例如abc ＝213时，则 213――→F 198(32＋22＝131－123＝198)――→F792(981－189＝792)． (1)579经过三次“F 运算”得________；(2)假设abc 中a ＞b ＞c ，则abc 经过一次“F 运算”得______(用代数式表示)；(3)猜想：任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个定值，请证明你的猜想．11. (2016大渡口区诊断性检测)若一个整数能表示成a 2＋b 2(a ，b 是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝22＋12.再如，M ＝x 2＋2xy ＋2y 2＝(x ＋y )2＋y 2(x ，y 是整数)，所以M 也是“完美数”． (1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；(2)已知S ＝x 2＋4y 2＋4x －12y ＋k (x ，y 是整数，k 是常数)，要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；(3)如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．12. (2016某某西大附中第九次月考)对于实数x ，y 我们定义一种新运算L (x ，y )＝ax ＋by (其中a ，b 均为非零常数)，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L (x ，y )，其中x ，y 叫做线性数的一个数对．若实数x ，y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对．(1)若L (x ，y )＝x ＋3y ，则L (2，1)＝________，L (32，12)＝________； (2)已知L (1，－2)＝－1，L (13，12)＝2. ①a ＝________，b ＝________；②若正格线性数L (m ，m －2)，求满足50<L (m ，m －2)<100的正格数对有多少个；③若正格线性数L (x ，y )＝76，求满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗？若有，请找出；若没有，请说明理由．13. (2016某某巴蜀二诊)古希腊的毕达哥拉斯学派由古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立，毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，如他们研究各种多边形数：记第n 个k 边形数N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n (n ≥1，k ≥3，k 、n 都为整数)， 如第1个三角形数N (1，3)＝3－22×12＋4－32×1＝1； 第2个三角形数N (2，3)＝3－22×22＋4－32×2＝3； 第3个四边形数N (3，4)＝4－22×32＋4－42×3＝9； 第4个四边形数N (4，4)＝4－22×42＋4－42×4＝16. (1)N (5，3)＝________，N (6，5)＝________；(2)若N (m ，6)比N (m ＋2，4)大10，求m 的值；(3)若记y ＝N (6，t )－N (t ，5)，试求出y 的最大值．题型六 新定义题针对演练1. 解：(1)2，－6.【解法提示】2⊕ 4＝42＝2，(－2)⊕ 4＝－2－4＝－6. (2)∵x ＞12， ∴2x －1＞0，∴(2x －1)⊕(4x 2－1)＝12142--x x ＝－4－(1－4x )， 即2x ＋1＝－5＋4x ，解得x ＝3.∴x 的值为3.2. 解：(1)F 2(4)＝F (F 1(4))＝F (F (4))＝F (16)＝12＋62＝37； F 1(4)＝F (4)＝16，F 2(4)＝37，F 3(4)＝58，F 4(4)＝89，F 5(4)＝145，F 6(4)＝26，F 7(4)＝40，F 8(4)＝16，通过观察发现，每进行7步运算是一个循环，2015÷7＝287……6，因此F 2015(4)＝F 6(4)＝26.(2)由(1)可知，每进行7步运算是一个循环，F 4(4)＝89＝F 11(4)＝F 18(4)＝F 4＋7i (4)，其中i ＝0，1，2，3，…，要求m 的最小值，则(4＋7i )为3的最小公倍数，因为3m >4，所以3m ＝18，所以m ＝6.3. 解：(1)98是麻辣数，169不是麻辣数，理由如下：设k 为整数，则2k ＋1，2k －1为两个连续奇数，设M 为麻辣数，则M ＝(2k ＋1)3－(2k －1)3＝24k 2＋2， ∵98＝53－33，故98是麻辣数；M ＝24k 2＋2为偶数，故169不是麻辣数． (2)同(1)令M ≤2016，则24k 2＋2≤2016， 解得k 2≤100712<84， 故k 2＝0，1，4，9，16，25，36，49，64，81， 故M 的和为24×(0＋1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64＋81)＋2×10＝6860.所以，在不超过2016的自然数中，所有的“麻辣数”之和为6860.4. 解：(1)1331，2442，1001.猜想：任意一个四位“和谐数”能被11整除．理由：设一个四位“和谐数”记为xyyx ，用十进制表示为：1000x ＋100y ＋10y ＋x ＝1001x ＋110y ＝11(91x ＋10y )，∵x 、y 是0～9之间的整数，∴11(91x ＋10y )能被11整除．∴任意一个四位“和谐数”能被11整除．(2)设这个三位“和谐数”为xyx ，用十进制表示为：100x ＋10y ＋x ＝101x ＋10y ，∵它是11的倍数， ∴1110101y x +为整数． 将这个式子变形：1110101y x +＝11291121199y x y x y x y x -++=-++， ∵x 、y 是0～9之间的整数， ∴112y x -应为整数． 又∵1≤x ≤4，0≤y ≤9，∴2≤2x ≤8，－9≤－y ≤0，∴－7≤2x －y ≤8， ∵要使112y x 是整数，则2x －y 只能是0， ∴2x －y ＝0，即y ＝2x ，∴y 与x 的函数关系式是y ＝2x (1≤x ≤4，x 为自然数)．5. (1)解：如：135，225，315，405.【解法提示】设原来的两位数为xy ，插入的数字为k .由题意得：9(10x ＋y )＝100x ＋10k ＋y ，化简得：4y －5x ＝5k ，当k ＝0时，4y －5x ＝0，则x ＝4，y ＝5；当k ＝1时，4y －5x ＝5，则x ＝3，y ＝5；当k ＝2时，4y －5x ＝10，则x ＝2时，y ＝5；_____ __________ ___ 当k ＝3时，4y －5x ＝15，则x ＝1，y ＝5.(2)证明：设一个位数为2n 位的多位数为ab ，中间插入数字m ，得其关联数(0≤m ≤9，且m 为3的倍数)为amb ，由题意得，amb －10ab ＝a ×10n ＋1＋m ×10n ＋b －10(a ×10n ＋b )＝m ×10n－9b ， ∵m 是3的倍数，∴m ×10n能被3整除， 又∵9b 能被3整除，∴m ×10n－9b 能被3整除， 故对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m (0≤m ≤9，且m 为3的倍数)，所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除．6. (1)证明：∵n ＋n (n －1)＝n ＋n 2－n ＝n 2， ∴n ·n (n －1)÷[n ＋n (n －1)]＝n －1，∵n ≥2，n 为整数，∴n －1是整数，∴n 和n (n －1)(n ≥2，n 为整数)组成的数组是两个数的祖冲之数组．(2)解：∵(4a ，5a ，6a )是三个数的祖冲之数组，∴可设⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅+=⋅+=⋅pa a a a n a a a a ma a a a )65(65)64(64)54(54，即⎪⎩⎪⎨⎧===pa n a ma 1130512920，∴920m ＝512n ＝1130p ，化简得：22p ＝25n ＝27m ；∵m 、n 、p 均为整数，∴m ＝22×25×i (i 为整数)，∴a ＝920×22×25i ＝25119i⨯⨯，∵a 是整数，∴i 为偶数，当i ＝2时，a ＝495，当i ＝4时，a ＝990，__________ _____ _____ __________ 当i ＝6时，a ＝1485，不是三位数，舍去，综上所述，满足条件的所有三位正整数a 为495和990.7. 解：(1)(331)5＝3×52＋3×5＋1＝91； (46)7＝4×7＋6＝34.(2)∵(abc )7＝a ×72＋b ×7＋c ，(cba)5＝c ×52＋b ×5＋a ， ∴25c ＋5b ＋a ＝49a ＋7b ＋c ，即24a ＋b ＝12c ，∵a 、b 、c 是0～6的整数，∴b ＝0，c ＝2a ，当a ＝1时，c ＝2，这个十进制的数为51；当a ＝2时，c ＝4，这个十进制的数为102；当a ＝3时，c ＝6，这个十进制的数为153.8. (1)证明：设此两位数为a 2a ，∵a 2a ＝10a ＋2a ＝12a 为6的倍数，轮换后2aa ＝20a ＋a ＝21a 为7的倍数，_____ _____ _____ _____∴a 2a 为6的一个轮换数．故这个两位自然数一定是“轮换数”．(2)解：∵此三位数为2bc ＝200＋10b ＋c ＝198＋9b ＋(2＋b ＋c )，为3的倍数， ∴(2＋b ＋c )为3的倍数，第一次轮换后：bc 2＝100b ＋10c ＋2＝100b ＋8c ＋(2c ＋2)，为4的倍数，∴(c ＋1)为2的倍数，即c 为奇数，第二次轮换后：c 2b ＝100c ＋20＋b ，为5的倍数，则b 为0或者5.当b ＝0时，2＋b ＋c ＝2＋c ，为3的倍数且c 为奇数，则c ＝1，或7，即三位数为201 或207；当b ＝5时，2＋b ＋c ＝7＋c 为3的倍数且c 为奇数，则c ＝5，即三位数为255.综上所述，这个三位自然数abc 为201，207或255.9. 解：(1)最小的两位“快乐数”是10; 19是“快乐数”. 证明：由题意可知，用反证法证明数字4经过若干次运算后都不会出现数字1即可． ∵4→16→37→58→89→145→42→20→4→16…→4出现两次，∴后面将重复出现，永远不会出现1，∴任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4.(2)设这个三位“快乐数”为abc，由题意知，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或100，所以a2＋b2＋c2＝10或100，又因为a、b、c为整数，且a≠0，所以a2＋b2＋c2＝12＋32＋02＝10或a2＋b2＋c2＝0＋62＋82＝100.(i)当a＝1，b＝3或0，c＝0或3时，这个三位“快乐数”为130，103；(ii)当a＝2时，b、c无解；(iii)当a＝3时，b＝1或0，c＝0或1时，这个三位“快乐数”为310，301；同理当a2＋b2＋c2＝100时，因为62＋82＝100, 所以这个三位“快乐数”的所有可能为680，608，806，860.综上所述，一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个.又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，经计算知只有310和860满足条件．10.解：(1)495.【解法提示】①975－579＝396；②963－369＝594；③954－459＝495.(2)99(a－c)．【解法提示】(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)＝100a＋10b＋c－100c－10b－a＝99a－99c＝99(a－c)．(3)证明：设这个三位数中三个数字为a，b，c，且a≥b≥c，a≥c＋1，则经过“F运算”_____ _____有abc－cba＝99(a－c)＝100(a－c－1)＋10×9＋(10＋c－a)，因此所得的三位数中必有一个9，而另外两个数字之和为9，共有990，981，972，963，954五种情况；以990为例得，990－099＝891，981－189＝792，972－279＝693，963－369＝594，954－459＝495，…，由此可知最后得到495时就会循环．∴任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个定值，这个定值为495.11.解：(1)0，1，2，4，8，9均可．∵29＝52＋22，∴29是“完美数”．(2)根据题意S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k＝(x2＋4x)＋(4y2－12y)＋k＝(x＋2)2－4＋(2y－3)2－9＋k＝(x＋2)2＋(2y－3)2＋(k－13)．要使S为“完美数”，则k－13＝0，即k＝13.(3)设m＝a2＋b2，n＝c2＋d2(a，b，c，d都是整数)，则mn＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＋b2c2－2abcd＋a2d2＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2， ∴mn 也是“完美数”．12. 解：(1)5；3.【解法提示】由新定义得，L(2，1)＝2＋3×1＝2＋3＝5；L(32，12)＝32＋3×12＝3. (2)①3；2. 【解法提示】由定义得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-2213112b a b a ，解得⎩⎨⎧==23b a . ②由新定义，得L (m ，m －2)＝3m ＋2(m －2)＝5m －4，∵50<L (m ，m －2)<100，∴⎩⎨⎧<->-100455045m m ，解得545<m <1045， ∵m 和m －2均为正整数，∴经计算可知满足50<L (m ，m －2)<100的正格数对共有10个． ③由L (x ，y )＝3x ＋2y ＝76，得y ＝2376x -， ∵x >0，y >0，即2376x ->0，解得x <763，又∵x ，y 均为正整数，∴x 为偶数，∴经计算可知共有12个满足条件的正格数对，若x ，y 满足问题②，则x －y ＝2，即x －2376x -＝2， 解得x ＝16，∴y ＝x －2＝14，∴在这些正格数对中，有满足问题②的数对，为⎩⎨⎧==1416y x .13. 解：(1)15；51.【解法提示】根据题意得，N (5，3)＝3－22×52＋4－32×5＝252＋52＝15； N (6，5)＝5－22×62＋4－52×6＝54－3＝51. (2)由题意得，6－22m 2＋4－62m ＝4－22(m ＋2)2＋4－42(m ＋2)＋10， 化简得m 2－5m －14＝0， 解方程得，m ＝7或m ＝－2(不合题意，舍去)，故m ＝7.(3)由题意得，y ＝22-t ×62＋24t -×6－5－22t 2－4－52t ＝－32t 2＋312t －24， 整理得y ＝－32(t －316)2＋38524， ∵a ＝－32<0，且t 是整数，∴当t ＝5时，y 有最大值，其最大值为16.。
中考数学新定义题型归纳总结
中考数学新定义题型归纳总结随着中考改革的不断深入，数学考试中的题型也在不断变化和创新。
其中，新定义题型在中考数学中占据了重要的位置。
本文将对中考数学新定义题型进行归纳总结，以帮助同学们更好地备战中考。
一、新定义题型的概念新定义题型是指在题目中给出一个新的概念或定义，要求学生根据该概念或定义进行推理、计算或论证的题型。
这种题型不仅考查学生对基本概念的掌握，还要求学生具备一定的逻辑思维能力和推理能力，能够灵活运用所学知识。
二、新定义题型的分类根据出题人的意图和难度程度，新定义题型可分为以下几种：1. 基本概念运用型：考查学生对基本概念的掌握和应用能力，如“用余角公式求三角函数值”。
2. 推理证明型：要求学生根据给出的概念或定义进行推理证明，如“证明正弦函数是奇函数”。
3. 综合应用型：要求学生综合运用多个概念或定义，进行推理和计算，如“已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2+3x+1，求g[f(-2)]”。
三、新定义题型的解题技巧1. 掌握基本概念：新定义题型中会涉及到各种数学概念和定义，学生要先掌握这些基本概念，理解其含义和特点，才能更好地应用到解题中。
2. 善于推理思维：新定义题型需要学生进行推理、计算和论证，要求学生运用数学知识进行推理思考，从而得到正确答案。
3. 熟练掌握定理和公式：新定义题型中常涉及到各种定理和公式，学生要熟练掌握它们的使用方法，能够灵活运用。
4. 注意思维上的转化：有些新定义题型需要学生进行思维上的转化，例如将一个复杂的问题转化为简单的问题进行求解。
四、新定义题型的应试策略1. 先读清题目中的定义和条件，理解题目的意思，把握核心思想。
2. 根据题目要求，选择合适的方法进行求解，不要死板地套公式或定理。
3. 计算过程要清晰，逻辑要严密，注意符号和单位的使用。
4. 若遇到困难或不会做的题目，可放弃暂时跳过，等做完其他题目之后再来解决。
总之，新定义题型不仅考查学生对基本概念的掌握，还要求学生具备一定的逻辑思维和推理能力。
创新题型《新定义新概念新运算》(精选50题)
D．对于椭圆 上点 处的曲率半径随着 的增大而碱小
14．已知有限集合 ，定义集合 中的元素的个数为集合 的“容量”，记为 ．若集合 ，则 ______；若集合 ，且 ，则正整数 的值是______．
15．对于一个函数 ，若存在两条距离为 的直线 和 ，使得 在 时恒成立，称函数 在 内有一个宽度为 的通道．则下列函数在 内有一个宽度为1的通道的有______．（填序号即可）
①函数 在定义域 上是闭函数；②函数 不是 上的闭函数；③若一个函数是定义域 上的闭函数，则满足定义中条件（2）的区间 是唯一的；④函数 是 上的闭函数，且满足定义中的条件（2）的区间 为
37．定义区间 长度为 ，已知函数 的定义域与值域都是 ，则区间 取最大长度时 的值为___________.
38．设函数 的定义域为 ，若函数 满足下列两个条件，则称 在定义域 上是闭函数.① 在 上是单调函数；②存在区间 ，使 在 上值域为 .如果函数 为闭函数，则 的取值范围是__________.
A．11B．10C．9D．8
9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ， 分钟后物体的温度 可由公式 求得.把温度是 的物体，放在 的空气中冷却 分钟后，物体的温度是 ，则 约为（）（ ）
A． B． C． D．
10．设函数 的定义域为D，如果对任意 ，都存在唯一的 ，使得 （m为常数）成立，那么称函数 在D上具有性质业 ．现有函数：
①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)．
其中正确结论的个数是()
A．0B．1 C．2D．3
22.设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：
2021年中考数学复习专题6 新定义与阅读理解型问题(教学课件)
(1)特例感知：如图(一)，已知边长为 2 的等边△ABC 的重心为 点 O，求△OBC 与△ABC 的面积． (2)性质探究：如图(二)，已知△ABC 的重心为点 O，请判断OODA ，
S△OBC 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是， S△ABC 请说明理由．
重点题型
题题组组训训练练
9≥2x＋4，4x≥13，∴x≥143 ，∴x 的取值范围为 x≥143 .
重重点点题题型型
题组训练
例2.(2020·益阳)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等， 且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四 边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转， 使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形 BEDF为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5， CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE. ①求BE的长； ②若M，N分别是AB，AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．
设函数 y＝x＋ax (a＞0，x＞0)，由上述结论可知：当 x＝ a 时，
该函数有最小值为 2 a .
应用举例
已知函数为 y1＝x(x＞0)与函数 y2＝4x (x＞0)，则当 x＝ 4 ＝2 时，
y1＋y2＝x＋4x 有最小值为 2 4 ＝4.
重点题型
题题组组训训练练
解决问题 (1)已知函数为 y1＝x＋3(x＞－3)与函数 y2＝(x＋3)2＋9(x＞－3)，当 x 取何值时，yy21 有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试 费用，共 490 元；二是设备的租赁使用费用，每天 200 元；三是设 备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为 0.001.若 设该设备的租赁使用天数为 x 天，则当 x 取何值时，该设备平均每 天的租赁使用成本最低？最低是多少元？
函数新定义综合题型
新定义函数综合1、对某一个函数给出如下定义：若存在实数0M >，对于任意的函数值y ，都满足M y M -≤≤，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数1y x=()0x >和()142y x x =+-<≤是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数1y x =-+()a x b b a ≤≤>，的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数()210y x x m m =-≤≤≥，的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足143≤≤t ？2、对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．（1）分别判断函数1yx=-（0x＜）和y=2x-3（x＜2）是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；（2）如果函数y=2x-3 （a≤x≤b, b＜a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；（3）如果函数y=x2-2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值.3、若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1-y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高。
例如：下面所表示的函数的界高为4.（1）若函数y=kx+1（-2≤x≤1）的界高为4，求k的值；（2）已知m＞-2，若函数y=x2（-2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；（3）已知a＞0，函数y=x2-2ax+3a（-2≤x≤1）的界高为25／4，求a的值。
有理数中规律和新定义综合应用(六大题型)(原卷版)
专题1.5 有理数中规律和新定义综合应用（六大题型）【题型1 数列型规律】【题型2 裂差型规律】【题型3 新定义型规律】【题型4含n2型规律】【题型5 定义两个数的运算】【题型6 定义多个数的运算】【题型1 数列型规律】【典例1】动脑筋、找规律，李老师给小明出了下面的一道题，请根据数字排列的规律，探索下列问题：（1）在A处的数是正数还是负数；（2）负数排在A，B，C，D中的位置？（3）第2017个数是正数还是负数，排在对应于A，B，C，D中的位置？【变式1-1】从图①中找出规律，并按规律从图②中找出a，b，c的值，计算a+b−c的值是．【变式1-2】找出下列各图形中数的规律，依此规律，那么a的值是.【典例2】观察下列各数的个位数字的变化规律：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……通过观察，你认为22021的个位数字应该是（）A．2B．4C．6D．8【变式2-1】观察下列算式：31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729…通过观察，用你所发现的规律得出32016的末位数是（）A．1B．3C．7D．9【变式2-2】观察下列等式: 21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,根据这个规律，21+22+23+24+⋯+22020的末尾数字是（）A．6B．4C．2D．0【变式2-3】小明在计算有规律的算式1﹣2+3﹣4+5⋯+19﹣20时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“﹣”或“﹣”错写成“+”），结果算成了﹣36，则原式从左到右数，写错的运算符号是（）A．第5个B．第8个C．第10个D．第12个【变式2-4】已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，1+3+5+…+19＝．【典例3】已知＝3×2＝6，＝5×4×3＝60，＝5×4×3×2＝120，＝6×5×4×3＝360，依此规律的值为（）A．820B．830C．840D．850【变式3-1】已知＝，＝，＝，…观察以上计算过程，寻找规律计算＝．【题型2 裂差型规律】【典例4】观察下列计算：11×2=1−12, 12×3=12−13, 13×4=13−14, 14×5=14−15,……，从计算结果中找规律，利用规律计算（1）12+16+112+120+130+⋯…+19900（2）13+115+135+163+⋯…+19999【变式4-1】观察下面算式的演算过程：1＝＝＝；1＝＝＝；1＝＝＝；1＝＝＝．…（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：＝；＝；1＝．（n为正整数）（2）根据规律计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）×（1+）．【变式4-2】+＝＝+＝＝+＝＝．（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）＝＝+；＝＝+；（2）利用以上所得的规律进行计算：+．【变式4-3】探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根据你发现的规律，回答下列问题：（1）＝，＝；（2）利用你发现的规律计算：+++…+．【变式4-4】找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子：＝＝，＝，＝，…你发现规律了吗？下一个式子应该是：．利用你发现的规律，计算：．【变式4-5】（1）计算下列各式，并寻找规律：①＝（+）（﹣）＝×；②＝（+）（﹣）＝；（2）运用（1）中所发现的规，计算：；（3）猜想的结果，并写出过程．【变式4-6】探索发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题：（1）＝﹣，＝；（2）利用你发现的规律计算：；（3）计算：．【变式4-7】观察下面的变形规律：；；．解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想＝．（2）计算：＝．（3）计算：．【题型3 新定义型规律】【典例5】定义一种新运算，规律如下：2⊗3＝2×5﹣3＝7；3⊗（﹣1）＝3×5+1＝16；（﹣4）⊗（﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17．（1）请你想一想：a⊗b＝．（2）请计算：（﹣2）⊗8＝．（3）试说明：当x＝y时，x⊗y＝y⊗x．【变式5-1】若“☆”表示一种新的运算符号，且有如下运算规律．已知2☆3＝2+3+4，7☆2＝7+8，3☆5＝3+4+5+6+7，9☆4＝9+10+11+12…按此规律，如果n☆3＝33，求n的值．【变式5-2】定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a2﹣|b|，则（﹣2）⊗（﹣1）的运算结果为（）A．﹣5B．﹣3C．5D．3【变式5-3】现定义一种新运算“*”，规定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，则（﹣2）*（﹣3）等于（）A．11B．﹣11C．7D．﹣7【变式5-4】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…．利用以上规律计算：f（2022）﹣f（）等于（）A．2021B．2022C．D．【变式5-5】日常生活中我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0、1，如二进制数1101记为1101（2），1101（2）通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13．仿照上面的转换方法，将二进制数11101（2）转换为十进制数是（）A．15B．29C．30D．33【变式5-6】我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：21＝222＝423＝8…31＝332＝933＝27…指数运算log28＝3…log33＝1log39＝2log327＝3…新运算log22＝1log24＝2根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③．其中正确的是．【题型4含n2型规律】【典例6】某种细胞开始有1个，1小时后分裂成2个，2小时分裂成4个，3小时后分裂成8个，按此规律，n小时后细胞的个数超过1000个，n的最小值是（）A．9B．10C．500D．501【变式6-1】某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后，细胞存活的个数是（）A．31B．33C．35D．37【变式6-2】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10并死去一个，按此规律，10小时后细胞存活的个数是（）A．1023B．1024C．1025D．1026【变式6-3】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（）A．253B．255C．257D．259【题型5 定义两个数的运算】【典例7】现定义一种新运算“*”，规定a∗b=b2−a，如3∗1=12−3=−2，则(−2)∗(−3)等于（）A．11B．－11C．7D．－7【变式7-1】定义一种新运算：a⊕b=b2−2ab.如1⊕3=32−2×1×3= 3，则（−1）⊕2=.【变式7-2】定义新运算“*”，规定a*b＝a×b－(b－1)×b，则2*(－3)＝.【变式7-3】如果定义一种新的运算为a∗b=a+b1−ab ，那么12∗(−3)=.【题型6 定义多个数的运算】【典例8】现定义一种新运算“*”，规定a*b＝ab＋a－b，如1*3＝1×3＋1－3，则(2*5)*4等()A．28B．－28C．－31D．31【变式8-1】如果定义新运算：a∗b=a+ba−b(a≠b)，那么（1※2）※3的值为．【变式8-2】a，b为有理数，若规定一种新的运算“*”，定义a*b＝a2－b2－ab＋1，请根据“*”的定义计算：（1）－3*4；（2）(－1*1)*(－2).【变式8-3】用“※”定义一种新运算：规定a※b=ab2+2ab−b，如：1※3= 1×32+2×1×3−3=12.（1）求(−2)※4的值；（2）若(x−1)※3=12，求x的值.。
中考一轮复习--专题六 新定义题
类型一
类型二
类型三
(2)∵y1的图象经过点A(1,1),
∴2×12-4×m×1+2m2+1=1.
整理得m2-2m+1=0.解得m1=m2=1.
∴y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.
∴y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5
=(a+2)x2+(b-4)x+8.
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”,
由②-①
得,4S=52 019-1,所以
52 019 -1
S=
.
4
1
2
3
4
5
6
5.(2017·湖南益阳)在平面直角坐标系中,将一点(横坐标与纵坐标不
相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”,如(3,5)与(5,-3)是一对“互换点”.
(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上?为什么?
最大值为5×(3-1)2=20.
综上所述,当0≤x≤3时,y2的最大值为20.
1
2
3
4
5
6
1.(2019·广西柳州)定义:形如a+bi的数称为复数(其中a和b为实数,i
为虚数单位,规定i2=-1),a称为复数的实部,b称为复数的虚部.复数
可以进行四则运算,运算的结果还是一个复数.例如
(1+3i)2=12+2×1×3i+(3i)2=1+6i+9i2=1+6i-9=-8+6i,因此,(1+3i)2的
△A2B2C2,△A2B2C2经γ(3,180°)变换后得△A3B3C3,依此类推…△An-1Bn1Cn-1经γ(n,180°)变换后得△AnBnCn,则点A1的坐标
初一数学新定义题型
初一数学新定义题型稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊初一数学里超有趣的新定义题型。
你知道吗，这些新定义题型就像一个个神秘的小宝藏，等着咱们去挖掘。
比如说，老师出了个这样的题：“对于给定的两个数 a 和b，定义一种新运算‘’，使得 ab = a + 2b ，若 3x = 15 ，求 x 的值。
” 刚看到的时候是不是有点懵？别慌，咱们慢慢分析。
按照这个新定义，3x 就等于 3 + 2x 呀，然后 3 + 2x = 15 ，这不就是一个简单的方程嘛！解出来 x = 6 ，是不是挺有意思的？还有那种关于图形的新定义。
比如说定义一个新的三角形，它的边长有特殊的计算方式。
这时候就得开动咱们聪明的小脑袋，仔细琢磨新规则，然后找出解题的关键。
每次做这种新定义题型，就好像在探索一个全新的数学世界，充满了惊喜和挑战。
有时候可能会被难住，但只要不放弃，多想想，多试试，总会找到答案的。
所以呀，小伙伴们别害怕新定义题型，它们其实是在帮助咱们变得更聪明，更厉害呢！加油，一起在数学的海洋里畅游吧！稿子二：哈喽呀，初一的小伙伴们！今天咱们来好好唠唠初一数学的新定义题型。
新定义题型啊，就像是数学王国里突然冒出来的小精灵，调皮得很，专门来考验咱们的智慧。
比如说，有个新定义是这样的：“设 a、b 是两个有理数，若存在一个整数 c ，使得 b = a + c ，则称 a 和 b 是‘相邻的’。
” 然后题目就来了，让咱们判断 3 和 5 是不是相邻的。
这就得琢磨琢磨这个新定义啦。
3 + 2 = 5 ，2 是整数，所以 3 和 5 是相邻的。
是不是还挺好玩的？有时候新定义会和数轴结合起来，哎呀，那可就要更小心啦。
得看清数轴上的点，再根据新规则去判断。
不过别怕，虽然新定义题型一开始可能会让咱们有点头疼，但这也是锻炼咱们思维的好机会呀。
多做几道题，就会发现其实也没那么难，反而还会觉得很有成就感呢。
而且呀，当咱们成功解决一道新定义题型的时候，那种快乐简直无与伦比，就好像打了一场大胜仗！所以，小伙伴们，让我们鼓起勇气，勇敢地面对这些新定义题型，把它们统统拿下！。
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题型六
新定义题
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针对演练
典例精讲
例1 (2016重庆A卷)我们知道，任意一个正整数n
都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且
p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差 的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规 q 定：F(n)＝ .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4， p 因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解， 3 所以F(12)＝ . 4
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针对演练
(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我
们称正整数a是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；
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针对演练
【思维教练】要想证F(m)＝1，只需得到p＝q即可，
结合已知m为完全平方数，根据其定义即可求证．
证明：∵m是一个完全平方数， ∴m＝p×p，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，
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针对演练
∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，
35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57， 68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79， ∴所有“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35) 5 7 ＝)＝ = =1. p p
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针对演练
(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y
为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的
新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们
称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大
值．
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针对演练
【思维教练】要想求F(t)的最大值，先罗列出所
有的吉祥数，结合已知可用x表示y，进而表示出t
即可求解．
解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝ x＋ 2， ∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，
则所有的吉祥数为：13，24，35，46，57，68，
79共7个，