椭圆的参数方程
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椭圆的参数方程
目标:
1.了解椭圆的参数方程及参数的意义,并能利用参数方程来求最值、轨迹问题;
2.通过椭圆参数方程的推导过程,培养学生数形结合思想,化归思想,以及分
析问题和解决问题的能力。
3.通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
重点:椭圆的参数方程。
难点:椭圆参数方程中参数的理解.
复习
1.椭圆的标准方程:
焦点在x轴上的椭圆的标准方程:
22
22
1(0) x y
a b
a b
+=>>
焦点在y轴上的椭圆的标准方程:
22
22
1(0) y x
a b
a b
+=>>
2.椭圆的几何性质
范围:在矩形内
对称性:对称轴和对称中心
离心率:e越接近0,椭圆越圆准线:椭圆的第二定义
椭圆参数方程的推导
1. 焦点在x轴上的椭圆的参数方程
因为22()()1x y
a b +=,又
22
cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y
a b ϕϕ
==,即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩,这是中心在原点O,焦点在x 轴上的
椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义
问题、如下图,以原点O 为圆心,分别以a ,b (a >b >0)为半径作两个圆。
设A 为大圆上的任意一点,连接OA,与小圆交于点B 。
过点A 作AN ⊥ox ,垂足为N ,过点B 作BM ⊥AN ,垂足为M ,求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.
设以Ox 为始边,OA 为终边的角为ϕ,点M 的坐标是(x, y)。
那么点A 的横坐标为x ,点B 的纵坐标为y 。
由于点A,B 均在角ϕ的终边上,由三角函数的定义有
||cos cos x OA a ϕϕ==, ||sin cos y OB b ϕϕ==。
当半径OA 绕点O 旋转一周时,就得到了点M 的轨迹,它的参数方程是
这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
在椭圆的参数方程中,通常规定参数ϕ的范围为[0,2)ϕπ∈。
思考:椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程r cos y rsin x θ
θ=⎧⎨
=⎩
()
θ为参数
中参数θ的意义类似吗?
由图可以看出,参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为点M 的离心角),不是OM 的旋转角。
参数θ是半径OM 的旋转角。
3. 焦点在y 轴上的椭圆的参数方程 练习:
1.参数方程与标准方程转换 把下列普通方程化为参数方程.
(1) (2)
解答:
把下列参数方程化为普通方程
(3)(4) 解答:
2. 已知椭圆的参数方程为{x =2cos θ
y =sin θ(θ是参数) ,则此椭圆的长轴长
为( ),短轴长为( ),焦点坐标是( ),离心率是( )。
答案:长轴长4,短轴长2,焦点坐标(±√3,0),离心率√3
2
3. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>,求椭圆内接矩形面
积的最大值.
解:设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为
22149x y +=22
1
16y x +={
2cos (1)3sin x y θ
θ
=={cos (2)
4sin x y θθ
==3cos 5sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨
=⎩
8cos 10sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩22
9
25
(3)
1
y x +
=2264
100
(4)
1
y x +
=。