高中数学人教版必修5课时练习：第一章 解三角形1-1 正弦定理和余弦定理

C．3
10 10
D．
5 5
[答案] C
[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．
由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos4π
＝2＋9－2× 2×3× 22＝5.∴AC＝ 5. 由正弦定理，得sAinCB＝sBinCA，
∴sinA＝BCAsCinB＝3×522＝3
10 10 .
5．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ 3ac，则角 B
2，
∴S△ABC＝12acsinB＝
3＋1 4.
2．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C．若 acosA＝bsinB，则 sinAcosA
＋cos2B＝( )
A．－21
B．12
C． －1
D． 1
[答案] D
[解析] ∵acosA＝bsinB，
∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，
二、填空题
5．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a＝ 2，b＝2，sinB＋cosB＝ 2， 则角 A 的大小为________．
[答案]
π 6
[解析] sinB＋cosB＝ 2sinB＋π4＝ 2，
∴sin(B＋4π)＝1，∵0<B<π，
∴π4<B＋π4<54π，∴B＝π4，
∴sinAcosA＋cos2B＝1.
3．在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 asinBcosC＋csinBcosA＝12b，
且 a>b，则∠B＝( )
A．6π
B．π3
C．23π
D．56π
[答案] A
[解析] 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．
由正弦定理可得 sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝12sinB，∵sinB≠0，∴sin(A＋C)＝21，∴sinB
2．在锐角△ABC 中，角 A、B 所对的边长分别为 a、b.若 2asinB＝ 3b，则角 A 等于( )
A．1π2
B．π6
C．π4
D．3π
[答案] D
[解析] 由正弦定理得 2sinAsinB＝ 3sinB，∴sinA＝ 23，∴A＝π3.
3．在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是( )
A．a>bsinA
高中数学人教版必修 5 课时练习 第一章 1.1 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．(2013·北京文，5)在△ABC 中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则 sin B＝( )
A．51
B．59
C．
5 3
D．1
[答案] B
[解析] 本题考查了正弦定理，由sianA＝sibnB知31＝si5nB，即 sinB＝95，选 B. 3
C．无解
D．无法确定
[答案] B
[解析] ∵b＝30，c＝15，C＝26°， ∴c>bsinC，又 c<b，∴此三角形有两解．
5．已知△ABC 的面积为32，且 b＝2，c＝ 3，则 sinA＝( )
A．
3 2
B．12
C．
3 4
D． 3
[答案] A
[解析] 由已知，得32＝21×2× 3×sinA，
的值为( )
A．6π
B．π3
C．π6或56π
D．3π或23π
[答案] D
[解析] 依题意得，a2＋2ca2c－b2·tanB＝ 23，
∴sinB＝ 23，∴B＝π3或 B＝23π，选 D．
6．如果等腰三角形的周长是底边边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A．158
B．34
C．
3 2
D．87
[答案] D [解析] 设等腰三角形的底边边长为 x，则两腰长为 2x(如图)， 由余弦定理得 cosA＝4x22＋·24xx·22－x x2＝87， 故选 D． 二、填空题 7．以 4、5、6 为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角 [解析] 由题意可知长为 6 的边所对的内角最大，设这个最大角为 α，则 cosα＝162＋×245×－536 ＝81>0，因此 0°<α<90°.故填锐角．
三、解答题 9．根据下列条件，解三角形． (1)△ABC 中，已知 b＝ 3，B＝60°，c＝1； (2)△ABC 中，已知 c＝ 6，A＝45°，a＝2.
[解析]
(1)由正弦定理，得
sinC＝bc·sinB＝
1× 3
23＝21.
∴C＝30°或 C＝150°.
∵A＋B＋C＝180°，故 C＝150°不合题意，舍去．
∴sinA＝ 23.
6．已知△ABC 中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则 x 的取值范围是( )
A．x>2
B．x<2
C．2<x<2 2
D．2<x<2 3
[答案] C
[解析] 由题设条件可知
x>2
，∴2<x<2 2.
xsin45°<2
二、填空题 7．已知△ABC 外接圆半径是 2 cm，∠A＝60°，则 BC 边长为__________． [答案] 2 3cm [解析] ∵sBinCA＝2R， ∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝2 3(cm)． 8．在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 所对的边．若∠A＝105°，∠B＝45°，b ＝2 2，则 c＝______. [答案] 2 [解析] C＝180°－105°－45°＝30°. 根据正弦定理sibnB＝sincC可知 si2n425°＝sinc30°，解得 c＝2.
∴A＝90°，a＝ b2＋c2＝2.
(2)由正弦定理，得 sinC＝c·sainA＝ 6si2n45°＝ 23. ∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，b＝cssiinnCB＝ s6isni6n07°5°＝ 3＋1.
当 C＝120°时，B＝15°，b＝cssiinnCB＝ s6ins1in2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3－1，B＝15°， C＝120°. 10．在△ABC 中，若 sinA＝2sinBcosC，且 sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状． [解析] ∵A、B、C 是三角形的内角， ∴A＝π－(B＋C)， ∴sinA＝sin(B＋C) ＝sinBcosC＋cosBsinC ＝2sinBcosC． ∴sinBcosC－cosBsinC＝0， ∴sin(B－C)＝0， 又∵0<B<π，0<C<π， ∴－π<B－C<π，∴B＝C． 又∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，∴A 是直角， ∴△ABC 是等腰直角三角形.
＝21，由 a>b 知 A>B，∴B＝π6.选 A．
4．设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长，则直线 xsinA＋ay＋c＝0
与 bx－ysinB＋sinC＝0 的位置关系是( )
A．平行
B．重合
C．垂直
D．相交但不垂直
[答案] C
[解析] ∵k1＝－sianA，k2＝sibnB，∴k1·k2＝－1， ∴两直线垂直．
又∵sibnB＝sianA，∴sinA＝21，
∵a<b，∴A<B，故 A＝π6.
6．在△ABC 中，若 a A＝ b B＝ c C，则△ABC 一定是________三角形． cos2 cos2 cos2
[答案] 等边
[解析] 由正弦定理得，sinAA＝sinBB＝sinCC， cos2 cos2 cos2
8．在△ABC 中，若 a＝5，b＝3，C＝120°，则 sinA＝________.
[答案]
53 14
[解析] ∵c2＝a2＋b2－2abcosC
＝52＋32－2×5×3×cos120°＝49，
∴c＝7.
故由sianA＝sincC，得 sinA＝asicnC＝5143. 三、解答题
9．在△ABC 中，已知 sinC＝21，a＝2 3，b＝2，求边 C． [解析] ∵sinC＝12，且 0<C<π，∴C 为6π或56π.
∴sinA2 ＝sinB2 ＝sinC2 ，
∵0<A，B，C<∴A2＝B2＝C2，∴A＝B＝C．故△ABC 为等边三角形． 三、解答题
7．在△ABC 中，cosA＝－153，cosB＝53. (1)求 sinC 的值； (2)设 BC＝5，求△ABC 的面积．
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不存在
[答案] B
[解析] ∵c2<a2＋b2，∴∠C 为锐角．
∵a<b<c，∴∠C 为最大角，∴△ABC 为锐角三角形．
4．(2013·天津理，6)在△ABC 中，∠ABC＝π4，AB＝ 2，BC＝3，则 sin∠BAC＝( )
A．
10 10
B．
10 5
所以2sinsiAncAosA＝2 3 6，故
cosA＝
6 3.
(2)由(1)知 cosA＝ 36，
所以 sinA＝
1－cos2A＝
3 3.
又因为∠B＝2∠A，所以 cosB＝2cos2A－1＝13.
所以 sinB＝ 1－cos2B＝2 3 2， 在△ABC 中，sinC＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB＝5
一、选择题 1．在△ABC 中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC 的面积为( )
A．
2 2
B．
2 4
C．
3 2
D．
3＋1 4
[答案] D
[解析] c＝assiinnAC ＝ 2，B＝105°，
sin105°＝sin(60°＋45°)
＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝
6＋ 4
当 C＝6π时，cosC＝ 23， 此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即 c＝2.
当 C＝56π时，cosC＝－ 23，
此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即 c＝2 7. 10．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC． (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 7，b＋c＝4，求 bc 的值． [解析] (1)根据正弦定理 2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC 可化为 2cosAsinB＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB， ∵sinB≠0，∴cosA＝12， ∵0°<A<180°，∴A＝60°. (2)由余弦定理，得 7＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 把 b＋c＝4 代入得 bc＝3.
[解析] (1)在△ABC 中，由 cosA＝－153，cosB＝53得，sinA＝1123，sinB＝45. ∴sinC＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB
＝1123×53＋(－153)×54
＝1665.
(2)根据正弦定理，
AB＝BCsi·nsiAnC＝5×121665＝34， 13
∴△ABC 的面积 S＝12AB·BC·sinB＝21×43×5×45＝38. 8．在△ABC 中，a＝3，b＝2 6，∠B＝2∠A． (1)求 cos A 的值； (2)求 c 的值．
[解析] (1)因为 a＝3，b＝2 6，∠B＝2∠A，
所以在△ABC 中，由正弦定理，得si3nA＝s2in26A，
A． 3
B． 2
C．3
D．4
[答案] A
[ 解 析 ] 由 余 弦 定 理 ， 得 c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2abcosC ＝ 1 ＋ 4 － 2×1×2×cos60°＝ 1 ＋ 4 －
2×1×2×12＝3，
∴c＝ 3.
3．在△ABC 中，若 a<b<c，且 c2<a2＋b2，则△ABC 为( )
B．a＝bsinA
C．a<bsinA
D．a≥bsinA
[答案] D
[解析] 由正弦定理，得sianA＝sibnB，∴a＝bssiinnBA，
在△ABC 中，0<sinB≤1，故si1nB≥1，∴a≥bsinA．
4．△ABC 中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是( )
A．一解
B．两解
9
3 .
所以 c＝assiinnAC＝5.
第 2 课时
一、选择题
1．在△ABC 中，a＝3，b＝ 7，c＝2，那么 B 等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
[答案] C
[解析] cosB＝a2＋2ca2c－b2＝9＋142－7＝12，
∴B＝60°.
2．在△ABC 中，已知 a＝1，b＝2，C＝60°，则边 c 等于( )
一、选择题
1．在△ABC 中，若 AB＝ 3－1，BC＝ 3＋1，AC＝ 6，则 B 的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
[答案] C [解析] ∵cosB＝AB2＋2ABBC·B2－C AC2