高考数学 专题29 不等式的证明技巧黄金解题模板-人教版高三全册数学试题

专题29 不等式的证明技巧
【高考地位】
证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题. 【方法点评】
方法一 比较法
使用情景：一般不等式证明
解题模板：第一步 通过两个实数a 与b 的差或商的符号（X 围）确定a 与b 大小关系； 第二步 得出结论.
例1设实数,a b 满足a b ≠，求证：4422()a b ab a b +>+． 【答案】详见解析.
考点：不等式的证明.
【点评】两个多项式的大小比较常用的两种方法是作差法和作商法. 【变式演练1】设0>>b a ，求证：a
b
b
a
b a b a >. 【答案】详见解析.
考点：不等式的证明.
方法二 分析法
使用情景：一般不等式证明
解题模板：第一步 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件； 第二步 把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题； 第三步 如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.
例3设,,,3,a b c R ab bc ca +
∈++≥证明：555322322322
()()()9a b c a b c b c a c a b ++++++++≥。

【答案】原命题等价于333222
()()9a b c a b c ++++≥，利用分析法。

【变式演练2】已知：c a <c b <，求证：c
ab
c b a 12<
++. 【答案】应用分析法 【解析】
试题分析：要使原不等式成立，只要：22
21c ab c b a <⎪⎭
⎫
⎝⎛++
只要222224222
22a c abc b c c abc a b ++<++， 只要2222422
a c
b
c c a b +<++，
只要222222
()()0c a c b c a -+-<，
只要2222
()()0a c c b --<， 由已知此不等式成立。

考点：绝对值不等式的证明.
方法三 综合法
使用情景：一般不等式证明
解题模板：第一步 从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件； 第二步 根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式； 第三步 得出结论.
例4 已知,a b R +
∈，1a b +=，求证：2
2
1125()()2
a b a
b
+++≥ 【答案】详见解析.
【点评】其证明过程最关键的一步是连续利用两次基本不等式放缩得到所证的结果，但要特别注意的是两次不等式的放缩能否均取得到等号，需进行验证. 【变式演练3】已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c ．证明： （Ⅰ）22213
++≥
a b c ； （Ⅱ）222
1++≥a b c b c a
． 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）可根据均值不等式：22233a b c a b c
++++≥进行证明，也可多次利用基本不等式
222a b ab
+≥进行证明，即
222,+≥a b ab 222,+≥b c bc 222,+≥c a ac 222222222,
∴++≥++a b c ab bc ac 222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac
2221
3∴++≥
a b c （Ⅱ）可多次利用基本不等式
222a b ab
+≥进行证明，即因为
222
2,2,2,a b c b a c b a c b c a
+≥+≥+≥所以
222222,a b c b c a a b c b c a +++++≥++即222
,a b c a b c b c a ++≥++2221++≥a b c b c a
试题解析：．解：（Ⅰ）
222,+≥a b ab 22
2,+≥b c bc 222,+≥c a ac 222222222,∴++≥++a b c ab bc ac
222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac 2
()1=++=a b c
2221
3∴++≥
a b c ．
（Ⅱ）因为222
2,2,2,a b c b a c b a c b c a
+≥+≥+≥所以222
222,a b c b c a a b c b c a
+++++≥++即
222
,a b c a b c b c a ++≥++2221++≥a b c b c a
考点：基本不等式证明不等式
方法四 放缩法
使用情景：一般不等式证明
解题模板：第一步 根据已知找出其通项公式()n a f n =； 第二步 然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩； 第三步 利用数列求和公式即可得出结论.
例5 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n
【答案】详见解析.
【点评】①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2
b a ab +≤，若放成
1)1(+<+k k k 则得2
)1(2)3)(1()1(2
1
+>++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征
来选取所需要的重要不等式，这里
n
a a n a a a a a a n
n n
n
n n
2
2111111++≤
++≤≤++ ，其中3,2=n
等的各式
及其变式公式均可供选用。

例6 求证：)(6
6533
3ln 4
4ln 3
3ln 2
2ln *N n n n n
n
∈+-<++++ .
【答案】见解析.
【变式演练4】求证：3
5
191411)12)(1(62<++++≤++n n n n .
【答案】见解析.
考点：放缩法；不等式的证明.
【变式演练5】设a 、b 、c 是三角形的边长，求证3a b c
b c a c a b a b c
++≥+-+-+-.
【答案】见解析.
考点：放缩法；不等式的证明.
【变式演练6】已知,,a b c 均为正数，证明：2
2
2
2
11163a b c a b c ⎛⎫
+++++ ⎪⎝⎭
≥
【答案】证明见解析. 【解析】
试题分析：不等式是对称式，特别是本题中不等式成立的条件是a b c ==14
3=，因此我们可以用基本不等
式，注意对称式的应用，如222a b ab +≥，对应的有222b c bc +≥，22
2c a ca +≥，这样可得
222a b c ab bc ca ++≥++①，同样方法可得
222111111a b c ab bc ca
++≥++，因此有2111333
()a b c ab bc ca
++≥++②，①②相加，再应用基本不等式就可证明本题不等式了. 因为a ，b ，c 均为正数，
由均值不等式得a 2
＋b 2
≥2ab， b 2
＋c 2
≥2bc， c 2
＋a 2
≥2ac．
所以a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab＋bc ＋ac ．同理
222111111
a b c ab bc ca
++≥++， 故a 2＋b 2＋c 2
＋2111()a b c ++≥ab＋bc ＋ac ＋
333ab bc ca
++≥63． 所以原不等式成立． 考点：不等式的证明.
方法五 数学归纳法
使用情景：对于含有)(N n n ∈的不等式类型
解题模板：第一步 验证当n 取第一个值时不等式成立；
第二步 当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立；
第三步 这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立得出结论. 例7 若),,3,2,1(0n i x i =>，观察下列不等式：
4)1
1)(
(2
121≥++x x x x ，
9)111)(
(3
21321≥++++x x x x x x ，…，请你猜测
)111)(
(2121n
n x x x x x x ++++++ 将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。

【答案】（x 1+x 2+…+x n ）（
）≥n 2
（n≥2），证明见解析
那么，当1+=k n 时，=++++++++++)1111)(
(1
21121k k k k x x x x x x x x )111)(
(2121k
k x x x x x x ++++++ +⋅+++++1211)(k k x x x x +++2111
1(x x x k 2221212)1(121)1
11)((21)1+=++≥++++++++≥++
k k k x x x x x x k x k
k k
显然，当1+=k n 时，结论成立。

由0
1,0
2知对于大于2的整数n ，22121)1
11)((n x x x x x x n
n ≥++++++ 成立。

（12分） 考点：用数学归纳法证明不等式.
【点评】应用数学归纳法最关键的一步是当假设使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，如何证明不等式在1+=k n 时也成立. 考点：放缩法；不等式的证明. 【变式演练7】已知函数11
()()(0)2f x x x x
=+>，1()n n a f a +=，对于任意的*n N ∈，都有1n n a a +<. （1）求1a 的取值X 围 （2）若132a =
，证明：1112
n n a +<+（*
,2n N n ∈≥）
（3）在（2）的条件下，证明：
12
23
1
21n
n a a a n a a a ++++
-<+ 【答案】（1）11a >；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
（3）由111()()2n n n n a f a a a +==
+，解得2
111n n n a a a ++=-，变形得2
11
111n n n a a a ++=-，又10n n a a +<<，所以
211
11n n n
a a a +-<-，21()1g x x =-，则()g x 在(1,)+∞上递增，再通过放缩得
11
12
n n n a a +-<，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的. 试题解析：（1）由题得111
()()2n n n n
a f a a a +==
+ 1n n a a +<
111
()02n n n n a a a a +∴-=-<恒成立 2
10n n
a a -∴<
0n a > 1n a ∴>
故：11a > （2）
11()()2f x x x =+
211
()(1)2f x x
'∴=-
∴当1x >时，()0f x '>
∴有结论：函数()f x 在（1，+∞）上是单调递增函数。

下面用数学归纳法证明：*
1
11 (,2)2
n n a n N n +<+∈≥ ①当2n =时，由13
2
a =
得 213111131()12122a a a =+=
<+成立。

②假设当(2)n k k =≥时，结论成立。

即：1
1
12
k k a +<+ 那么当1n k =+时 111
11111()(1)(1)122212
k k k k k a f a f ++++=<+
=+++ 1112111111(11)(2)12221222
k k k k ++++=++-<+=+- 这表明当1n k =+时不等式也成立，综合①②可知：当*n N ∈，2n ≥时1
1
12n n a +<+
成立
112121212111122122221
1111(21)(21)212(1)2
n n n n n n n
n n n a a a +++++++⋅+⋅+-<-<-==++++(2)n ≥ 又
1251
1132
a a -=<
∴左边1223
1
(
1)(1)(1)n
n a a a
a a a +=-+-++-
2322
[1()]
1111222(21)[1()]21222
222
12
n n n ⋅-<
++++==+⋅-<+-
12
23
1
21n
n a a a n a a a +∴
+++
-<+ 考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合.
方法六 换元法
使用情景：对于一般的不等式证明
解题模板：第一步 恰当的换元，适当的引入参数； 第二步 利用已知求出新元的取值X 围； 第三步 根据现有的不等式放缩法得出结论. 例8求证).2,(1
2
11≥∈-+<<*n N n n n n 【答案】见解析.
【点评】通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用. 例9：已知2
2
1a b +=，求证：2
2
22
1125()()4
a b a b ++≥。

【答案】见解析.
【点评】在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化. 【变式演练8】已知：1=++c b a ，求证：3
1≤++ca bc ab . 【答案】见解析.
考点：换元法；不等式的证明. 【高考再现】
1. 【2016高考某某理数】已知实数a ，b ，c （ ） A ．若|a 2
+b +c |+|a +b 2
+c |≤1，则a 2
+b 2
+c 2
<100 B ．若|a 2
+b +c |+|a 2
+b –c |≤1，则a 2
+b 2
+c 2
<100 C ．若|a +b +c 2
|+|a +b –c 2
|≤1，则a 2
+b 2
+c 2
<100 D ．若|a 2
+b +c |+|a +b 2
–c |≤1，则a 2
+b 2
+c 2
<100 【答案】D
考点：不等式的性质．
【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．
2.【2015高考，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（）
A ．若120a a +>，则230a a +>
B ．若130a a +<，则120a a +<
C ．若120a a <<，则213a a a >
D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C
考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效. 3. 【2017某某，22】已知数列{x n }满足：
x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（*
∈N n ）．
证明：当*
∈N n 时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1− x n ≤1
2
n n x x +； （Ⅲ）
1
12n +≤x n ≤21
2
n +． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】
因此)(0*∈>N n x n ，所以111)1ln(+++>++=n n n n x x x x ，因此)(01*+∈<<N n x x n n 由111)1ln(+++>++=n n n n x x x x 得2
111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++
（Ⅱ）
记函数2
()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥
函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0， 因
此
2
111112(2)ln(1)()0
n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，
1
12(N )2
n n n n x x x x n *++-≤
∈
【考点】不等式证明
【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数2
()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明．
4.【2015高考某某，理18】设*
n N ∈，n x 是曲线22
1n y x
+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；
（Ⅱ）记22
2
13
21n n T x x x -=，证明1
4n
T n
≥. 【答案】（Ⅰ）1
n n
x n =
+；（Ⅱ）14n T n ≥.
试题解析：（Ⅰ）解：22
21'(1)'(22)n n y x
n x ++=+=+，曲线22
1n y x
+=+在点(12)，处的切线斜率为22n +. 从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标
1111
n n
x n n =-
=
++.
【考点定位】1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.
【名师点睛】数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项，此类问题在2010年、2012年、2013年某某高考解答题中都曾考过.对于数列问题中求和类（或求积类）不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和（或求积），再放缩；一种是不
能直接求和（或求积），需要放缩后才能求和（或求积），求和（或求积）后再进行放缩.在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩.
5.【2015高考某某，理22】在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=
∈≥=-证明：010011
223121
k a k k ++
<<+++ 【答案】（1）1
32n n a -=⋅；（2）证明见解析.
若存在某个0n N +∈，使得0n 0a ，则由上述递推公式易得0
n 1
0a ，重复上述过程可得10a ，此与1
3
a 矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而1
2n n a a ()N n +∈，即n a 是一个公比q
2的等比数列.
故1
1132n
n n
a a q .
求和得0
01
121
1
k k k a a a a a a
【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证能力，考查创新意识．
【名师点晴】数列是考查考生创新意识与实践精神的最好素材．从近些年的高考试题来看，一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数(包括三角函数)、不等式以及导数等的综合性试题不断涌现，这部分试题往往以压轴题的形式出现，考查综合运用知识的能力，突出知识的融会贯通．数列的问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积(幂)等形式．在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力． 本题第（1）小题通过递推式证明数列是等比数列，从而应用等比数列的通项公式求得通项，第（2）小题把数列与不等式结合起来，利用数列的递推式证明数列是单调数列，利用放缩法证明不等式，难度很大． 6.【2015高考某某，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记数列1
{
}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000
n T -<成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n
n a =；（2）10.
【解析】（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->， 即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==.
【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力.
【名师点睛】凡是有n S 与n a 间的关系，都是考虑消去n S 或n a （多数时候是消去n S ，得n a 与1n a -间的递推关系）.在本题中，得到n a 与1n a -间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公
式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分. 7.【2015高考某某，理20】已知数列{}n a 满足1a =12
且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：11
2n
n a a +≤
≤（n ∈*N ）
； （2）设数列{}
2
n a 的前n 项和为n S ，证明
112(2)2(1)
n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 试题分析：（1）首先根据递推公式可得1
2
n a ≤
，再由递推公式变形可知 211
[1,2]1n n n n n n
a a a a a a +==∈--，从而得证；（2）由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得， 【考点定位】数列与不等式结合综合题.
【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，属于较难题，第一小问易证，利 用条件中的递推公式作等价变形，即可得到
2111n n n n n n
a a a a a a +==--，再结合已知条件即可得证，第二小
8.【2015高考某某，理21】（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2
x ，⋅⋅⋅，n
x 的各项和，其
中0x >，n ∈N ，2n ≥．
（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+；
（II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．
【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x 时，()
()n n f x g x ，当1x ≠时，()()n n f x g x ，证明见解析．
(II)解法一：由题设，11()
.2n
n n x g x
设()()
211()()()1,0.2
n n n n n x h x f x g x x x x x ++=-=++++-
>
当1x 时，()
()n n f x g x
当1x ≠时，()11
1()12.2
n n n n x h x x nx
--+'=+++-
若0
1x ，()1111
1()22
n n n n n n h x x x nx x ----+'>+++-
1
1
110.2
2
n
n
n n n n x x
若1x ，()11
1
11()22
n n n n n n h x x x nx
x
----+'<++
+-1
1
110.2
2
n
n
n n n n x x
所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()
(1)0h x h ，即()()n n f x g x .
综上所述，当1x 时,()()n n f x g x ；当1x ≠时()()n n f x g x
所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x .
考点：1、等比数列的前n 项和公式；2、零点定理；3、等差数列的前n 项和公式；4、利用导数研究函数的单调性.
【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的前n 项和公式、零点定理、等差数列的前n 项和公式和利用导数研究函数的单调性，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”，否则很容易出现错误．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．有关函数的不等式，一般是先构造新函数，再求出新函数在定义域X 围内的值域即可． 9.【2015高考某某，理21】数列{}n a 满足()*
121
2242
n n n a a na n N -+++=-
∈， (1) 求3a 的值；
(2)求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫
=
++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭
，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<．
【答案】（1）14；（2）1
122n -⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
；（3）见解析．
（3）依题由1211
112n n n a a a b a n n -+++⎛⎫
=
+++
+ ⎪⎝⎭知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
，1233111323a a b a +⎛⎫
=
+++ ⎪⎝⎭
， ∴()12121
11
1112
2
n n n n S b b b a a a T n n ⎛⎫
⎛⎫=++
+=++
++++=++
+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
1111111221222n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++-<⨯+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 记()()1ln 11f x x x x =+
->，则()22111
'0x f x x x x
-=-=>， ∴()f x 在()1,+∞上是增函数，又()10f =即()0f x >，
10.【2015高考某某，文21】 函数2
()cos ([0,)f x ae x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第*
()n n N ∈个极值点。

（I ）证明：数列{()}n f x 是等比数列；
（II ）若对一切*
,()n n n N x f x ∈≤恒成立，求a 的取值X 围。

【答案】（I ）略；(II)22,)4
e π
π-+∞
x x x
f x ae x ae x ae x π
'=-=+
试题解析：（I）()cos sin2cos()
4
因此，*
,()n n n N x f x ∈≤恒成立，当且仅当
224e a ππ≤，解得224
a e ππ
-≥， 故实数a 的取值X 围是22[,)4
e π
π-+∞。

【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质
【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时，如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向，如果是不等式恒成立问题，要使用不等式恒成立的各种不同解法，如变量分离法、最值法、因式分解法等，总之解决这类问题把数列看做特殊函数，并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．
11.【2015高考某某，文21】设2
()1,, 2.n n f x x x x n N n =++
+-∈≥
(I)求(2)n f '；
(II)证明：()n f x 在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233n
n a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭.
【答案】(I) (2)(1)21n
n f n '=-+ ；(II)证明略，详见解析.
试题解析：(I)由题设1()12n n f x x nx -'=+++，
所以1(2)1222n n f n -'=+⨯+
+①
由 2
2(2)12222n n f n '=⨯+⨯+
+②
①-②得2
1(2)12222n n n f n -'-=+++
+-
2122(1)2112
n n n n -=-⋅=---， 所以 (2)(1)21n
n f n '=-+
【考点定位】1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.
【名师点睛】（1）在函数出现多项求和形式，可以类比数列求和的方法进行求和；（2）证明零点的唯一可以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性；（2）有关函数中的不等式证明，一般是先构造函数，再求出函数在定义域X围内的值域即可；（4）本题属于中
档题，要求有较高逻辑思维能力和计算能力. 【反馈练习】
1．【某某师X 大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文）试题】设
a b c ===,,a b c 间的大小关系是
A. a b c >>
B. b a c >>
C. b c a >>
D. a c b >> 【答案】D
【解析】∵
a ===，
b ==
=
，
c ==
=
<<
∴a c b >> ，故选D.
2．【某某师X 大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文）试题】用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是 A. ,a b 都能被5整除 B. ,a b 都不能被5整除 C. ,a b 不都能被5整除 D. a 能被5整除 【答案】B
【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“,N a b ∈，如果ab 可被5整除，那么a b ，至少有1个能被5整除．”的否定是“a b ，都不能被5整除”，故选B.
3．【某某省梅河口市第五中学2018届高三上学期第三次月考数学（文）试题】① 已知3
3
2p q +=，求证
2p q +≤，
用反证法证明时，可假设2p q +>；② 设a 为实数，()2
f x x ax a =++，求证()1f 与()2f 中至少有一个不小于
12，有反证法证明时可假设()112f ≥，且()1
22
f ≥，以下说法正确的是（ ） A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确
C. ①的假设正确，②的假设错误
D. ①的假设错误，②的假设正确
【答案】C
4．【某某省某某市一五0中学2018届高三上学期期中考试数学（文）试题】设m 、n 、t 都是正数，则4
m n
+
、4n t +
、4
t m
+三个数（ ） A. 都大于4 B. 都小于4 C. 至少有一个大于4 D. 至少有一个不小于4 【答案】D 【解析】假设4m n +
、4n t +、4
t m
+三个数都小于4，则： 44412m n t n t m ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，
利用均值不等式的结论有：
4444444442212
m n t n t m m n t m n t m n t m n t
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥⨯
⨯⨯= 得到矛盾的结论，可见假设不成立， 即4m n +
、4n t +、4
t m
+三个数中至少有一个不小于4. 本题选择D 选项.
点睛：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．
5．【某某省揭阳市第三中学2016-2017学年高二数学理科复习检测试题】利用数学归纳法证明不等式
()111
12321
n f n +
++⋯+<-（2n ≥，*n N ∈）的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了（ ）
A. 1项
B. k 项
C. 12k -项
D. 2k 项 【答案】D
【解析】试题分析： n k =时左面为11
1123
21k
+
+++
-， 1n k =+时左面为1
11
1123
2
1
k +++++
-，
所以增加的项数为()()
121212k k k +---=
6．【某某省乾安县第七中学2018届高三上学期第三次模拟考试数学（文）试题】 （1）用分析法证明：当0x ≥，0y ≥时，22x x y y ≥+-；
（2）证明：对任意x R ∈，1
3
1x x ---，2x x +，21x -+这3个值至少有一个不小于0.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）要证不等式成立，只需证22x y x y +≥+成立，
即证：
(
)(
)
2
2
22x y
x +≥+成立，
即证：2222x y xy x y ++≥+成立， 即证：20xy ≥成立，
7．【某某省重点高中联考协作体2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题】已知函数()2
21
x f x x =+.
（1）证明：函数()f x 是偶函数； （2）记()()()()1232007A f f f f =++++，
()1111232017B f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
求A B +的值；
（3）若实数12,x x 满足()()121f x f x +>，求证：121x x >. 题
【答案】（1）见解析；（2）2017；（3）见解析.
【解析】试（1）对任意实数，有，
故函数
是偶函数.
（2）当时，
=2017
（3）由
.
8．【某某某某高级中学、某某市第二中学2018届高三上学期第二次联考数学（文）试题】已知函数
()1f x x =-.
()Ⅰ求不等式()32f x x ≥-的解集；
()Ⅱ若函数()()3g x f x x =++的最小值为m ，整数a 、b 满足a b m +=，求证22
4a b b a +≥.
【答案】(Ⅰ)4{|3x x ≥
或2
}3
x ≤-；(Ⅱ)证明见解析.
9.【某某省某某市长郡中学2018届高三第三次月考数学（理科）试题】
（1）已知函数()2122f x x x a a =++---.若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，某某数a 的取值X 围. （2）已知()2
1f x x =+a b ≠，求证：()()f a f b a b -<-.
【答案】（1）()1,3a ∈- ；（2）证明见解析.
【解析】（1）()f x 的最小值为232a a --，由题设，得223a a -<，解得()1,3a ∈-. （2）证明：∵()()2211f a f b a b -=
++
222
2
2
2
1111a b a b a b a b
a b
--+=
=
++++++，
又a b a b +≤+=
222211a b a b <++2
2
111a b a b
+<+++.
∵a b ≠，∴0a b ->. ∴()()f a f b a b -<-.
10．【某某省某某市2018届高三第一次高考适应性考试（一诊）数学文试题】已知函数()1f x x =+. （1）求不等式()211f x x <+-的解集M ； （2）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--. 【答案】(1){ 1M x x =<-或 }1x >；(2)证明见解析.。