第4节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率

第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率 教学目的： 熟悉隐函数的概念;掌握隐函数的求导法则；掌握由参数方程所确定的函数的求
导方法.
教学重点：隐函数的导数;由参数方程所确定的函数的导;相关变化率;对数求导法 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法
教学内容：
一、隐函数的导数
显函数: 形如y f (x )的函数称为显函数. 例如y sin x , y ln x +e x . 隐函数: 由方程F (x , y )0所确定的函数称为隐函数.
例如, 方程x y 3 10确定的隐函数为y 31x y -=. 如果在方程F (x , y )0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )0在该区间内确定了一个隐函数.
把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.
例1．求由方程e y xy e 0 所确定的隐函数y 的导数.
解: 把方程两边的每一项对x 求导数得
(e y )¢(xy )¢(e )¢(0)¢,
即 e y y ¢y xy ¢0,
从而 y
e x y y +-='(x e y 0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y
f (x )在
x =0处的导数y |x 0.
解: 把方程两边分别对x 求导数得
5y ×y 2y 121x 60,
由此得 2521
146
++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以
2
1|2521
1|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)32
3 ,2(处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得
09
28='⋅+y y x . 从而 y
x y 169-='. 当x 2时, 32
3=y , 代入上式得所求切线的斜率
42=x 所求的切线方程为 )2(4
3323--=-x y , 即03843=-+y x . 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得
09
28='⋅+y y x . 将x 2, 323=
y , 代入上式得 03
141='⋅+y , 于是 k y |x 243-
=. 所求的切线方程为
)2(4
3323--=-x y , 即03843=-+y x . 例4．求由方程0sin 2
1=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.
解: 方程两边对x 求导, 得
0cos 211=⋅+-
dx dy y dx dy , 于是 y
dx dy cos 22-=. 上式两边再对x 求导, 得
3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dy
y dx y d --=-⋅
-=. 隐函数求导方法小结：
（1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待.
（2）从求导后的方程中解出y '来.
（3）隐函数求导允许其结果中含有y .但求某一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把对应的y 值代进去.
对数求导法: 这种方法是先在y f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数. 设y f (x ), 两边取对数, 得
ln y ln f (x ),
两边对x 求导, 得
y y f (x )×[ln f (x )]. 对数求导法适用于求幂指函数y [u (x )]v (x )的导数及多因子之
积和商的导数.
例5．求y x sin x (x >0)的导数.
解法一: 两边取对数, 得
ln y sin x ln x ,
上式两边对x 求导, 得 x
x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=', 于是 )1sin ln (cos x
x x x y y ⋅+⋅=' )sin ln (cos sin x
x x x x x +⋅=. 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:
y x sin x e sin x ·ln x ,
)sin ln (cos )ln (sin sin ln sin x
x x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅. 例6. 求函数)
4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数. 解: 先在两边取对数(假定x >4), 得
ln y 2
1=[ln(x 1)ln(x 2)ln(x 3)ln(x 4)],
上式两边对x 求导, 得
)4
1312111(211-----+-='x x x x y y , 于是 )41312111(2-----+-='x x x x y y . 当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )
4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.
注 严格来说, 本题应分x 4, x 1, 2x
3三种情况讨论, 但结果都是一样的.
二、由参数方程所确定的函数的导数 设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩
⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.
在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数.
设x (t )具有单调连续反函数t (x ), 且此反函数能与函数y (t )构成复合函数y [(x ) ], 若x (t )和y (t )都可导, 则
)
()(1t t dt
dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=,
即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dt dx dt dy dx dy =. 若x (t )和y (t )都可导, 则)
()(t t dx dy ϕψ''=. 例7. 求椭圆⎩
⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t a
b t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 所求切线的斜率为a
b dx dy
t -==4π
. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 2
24sin 0b b y ==π. 切线方程为)2
2(22a x a b b y --=-, 即 bx ay 2-ab 0.
例8．抛射体运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==2212
1gt t v y t v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. y
v 2t g t 2
解: 先求速度的大小.
速度的水平分量与铅直分量分别为
x ¢(t )v 1, y ¢(t )v 2gt ,
所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为
22)]([)]([t y t x v '+'=2221)(gt v v -+=. 再求速度的方向,
设是切线的倾角, 则轨道的切线方向为
1
2)()(tan v gt v t x t y dx dy -=''==α. 已知x
(t ), y (t ), 如何求二阶导数y ? 由x
(t ), )()(t t dx dy ϕψ''=, dx
dt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22ϕψ''== )(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=
)
()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=. 例9．计算由摆线的参数方程⎩
⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定 的函数y f (x )的二阶导数.
解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-'-= 2
cot cos 1sin t t t =-=(t 2n , n 为整数). dx
dt t dt d dx dy dx d dx y d ⋅==)2(cot )(22 22)cos 1(1)cos 1(12sin 21
t a t a t --=-⋅-= (t 2n , n 为整数).
三、相关变化率
设x
x (t )及y y (t )都是可导函数 而变量x 与y 间存在某种关系 从而变化率dt dx 与dt
dy 间也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率
例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升 其速度为140m/min(分) 当气球高度为500m 时 观察员视线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升t (秒)后 其高度为h 观察员视线的仰角为 则
500tan h
=α
其中及h 都是时间t 的函数 上式两边对t 求导 得
dt dh
dt d ⋅=⋅5001sec 2αα
已知140=dt dh (米/秒) 又当h 500(米)时 tan
1 sec
2 2 代入上式得 14050012⋅=dt d α
所以 14.0500
70==dt d α(弧度/秒) 即观察员视线的仰角增加率是每秒0 14弧度
小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指
函数的求导问题.
思考：对幂指数函数()
()(()0)v x y u x u x => 你有几种求导方法？
作业：见习题册 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。