数学第五章 相交线与平行线知识点-+典型题及解析

数学第五章 相交线与平行线知识点-+典型题及解析
一、选择题
1．如图所示，已知 AB ∥CD ，下列结论正确的是（ ）
A ．∠1=∠2
B ．∠2=∠3
C ．∠1=∠4
D ．∠3=∠4 2．如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点
E ，且,40BE A
F BED ⊥∠=︒，则A ∠的度
数是（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．80︒
D ．90︒
3．如图，已知AB ∥CD ，AD 平分∠BAE ，∠D ＝40°，则∠DAE 的度数是（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．60°
D ．80°
4．如图，点E 在CD 的延长线上，下列条件中不能判定AB ∥CD 的是（ ）
A ．∠1=∠2
B ．∠3=∠4
C ．∠5=∠B
D ．∠B +∠BDC =180° 5．如图，AB CD ∥，154FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则AEF ∠的度数等于
（ ）．
A ．26°
B ．52°
C ．54°
D ．77°
6．如图，已知直线AB 、CD 被直线AC 所截，AB ∥CD ，E 是平面内任意一点（点E 不在直线AB 、CD 、AC 上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC 的度数可能是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
7．给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；
（5）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条．
其中真命题的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
8．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．已知：如图AB//EF ，BC CD ⊥，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是( )
A ．βαγ∠∠∠=+
B ．αβγ180∠∠∠++=
C ．αβγ90∠∠∠+-=
D ．βγα90∠∠∠+-=
10．如图，△ABC 经平移得到△EFB ，则下列说法正确的有 （ ）
①线段AC 的对应线段是线段EB ；
②点C 的对应点是点B ；
③AC ∥EB ；
④平移的距离等于线段BF 的长度．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
11．如图，点О为直线AB 上一点，,,135OC OD OE AB ⊥⊥∠=︒．
（1）EOD ∠= °，2∠= °；
（2）1∠的余角是_ ，EOD ∠的补角是__ ．
12．如图，//AB CD ，FN AB ⊥，垂足为点O ，EF 与CD 交于点G ，若130∠=︒，则2∠=______．
13．如图，//AB CD ，GF 与AB 相交于点H ，与CD 于F ，FE 平分HFD ∠，若50EHF ∠=︒，则HFE ∠的度数为______．
14．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转；B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动12°，B 灯每秒转动4°．B 灯先转动12秒，A 灯才开始转动．当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是 ．
15．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．
若∠E n=1度，那∠BEC等于________度
16．两个角的两边分别平行,一个角是50°,那么另一个角是__________.
17．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于点O，若∠AOD＝70°，则∠AOF＝______度．
18．如图，CB∥OA，∠B＝∠A＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOC＝∠AOC，OE平分
∠BOF，若平行移动AC，当∠OCA的度数为_____时，可以使∠OEB＝∠OCA．
19．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD=120°，则
∠BOD=__________°．
20．如图，AB∥CD，∠β=130°，则∠α=_______°．
三、解答题
21．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．
（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．
22．阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB//CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
彤彤是这样做的：
过点E作EF//AB，
则有∠BEF＝∠B．
∵AB//CD，
∴EF//CD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．
已知：直线a//b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分
∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
23．如图①，已知直线12l l //，且3l 和12,l l 分别相交于,A B 两点，4l 和12,l l 分别相交于,C D 两点，点P 在线段AB 上，记1 23ACP BDP CPD ∠∠∠∠∠∠＝，＝，＝．
（1）若120,355︒︒∠=∠=，则2∠=_____；
（2）试找出123∠∠∠，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题；如图②，点A 在B 处北偏东42︒的方向上， 若88BAC ︒∠=，则点 A 在C 处的北偏西_____的方向上；
（4）如果点P 在直线3l 上且在,A B 两点外侧运动时，其他条件不变，试探究1 23∠∠∠，，之间的关系(点 P 和,A B 两点不重合)，直接写出结论即可．
24．（感知）如图①，AB ∥CD ，点E 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、BE ，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC ；
（探究）当点E 在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°； （应用）点E 、F 、G 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、EF 、FG 和CG ，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
25．如图1，AB ∥CD ，点E 在AB 上，点G 在CD 上，点 F 在直线 AB ，CD 之间，连接EF ，FG ，EF 垂直于 FG ，∠FGD =125°．
(1)求出∠BEF 的度数；
(2)如图 2，延长FE 到H ，点M 在FH 的上方，连接MH ，Q 为直线 AB 上一点，且在直线 MH 的右侧， 连接 MQ ，若∠EHM=∠M +90°，求∠MQA 的度数；
(3)如图 3，S 为 NB 上一点，T 为 GD 上一点，作直线 ST ，延长 GF 交 AB 于点 N ，P 为直线 ST 上一动点，请直接写出∠PGN ，∠SNP 和∠GPN 的数量关系 ．（题中所有角都是大
于 0°小于 180°的角）
26．如图，已知//,60AM BN A ︒
∠=，点P 是射线AM 上一动点(与点A 不重合)，BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点.C D 、
()1CBD ∠=
()2若点P 运动到某处时，恰有ACB ABD =∠∠，此时AB 与BD 有何位置关系?请说明理由．
()3在点P 运动的过程中，APB ∠与ADB ∠之间的关系是否发生变化?若不变，请写出它们的关系并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
∵AB ∥CD ，
∴∠1=∠4，
故选 C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．
【详解】
解：∵,40BE AF BED ⊥∠=︒，
∴50FED ∠=︒，
∵AB CD ∕∕，
∴50A FED ∠=∠=︒．
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED ∠的度数是解题关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质得出∠DAB ＝∠D ＝40°,再由角平分线即可得解．
【详解】
解：∵AB ∥CD ，
∴∠DAB ＝∠D ＝40°（两直线平行，内错角相等），
∵AD 平分∠BAE ，
∴∠DAE ＝∠DAB ＝40°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行线的性质和角平分线性质，关键是求出∠DAE 的度数，题目比较好，难度适中．
4．A
解析：A
【分析】
运用平行线的判定方法进行判定即可.
【详解】
解：选项A 中，∠1=∠2，只可以判定AC//BD （内错角相等，两直线平行），所以A 错误；
选项B 中，∠3=∠4，可以判定AB//CD （内错角相等，两直线平行），所以正确； 选项C 中，∠5=∠B ，AB//CD （内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项D 中，∠B +∠BDC =180°，可以判定AB//CD （同旁内角互补，两直线平行），所以正确；
故答案为A.
【点睛】
本题考查平行的判定,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.
5．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质可得26GFD ︒∠= ,再根据角平分线的性质可得52ECD ︒∠=,因此可计算的AEF ∠的度数.
【详解】
解：∵AB CD ∥，
∴180FGB GFD ∠+∠=︒，
∴18026GFD FGB ∠=︒-∠=︒，
∵FG 平分EFD ∠，
∴252EFD GFD ∠=∠=︒，
∵AB CD ∥，
∴52AEF EFD ∠=∠=︒．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质.平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等；3.两直线平行，同旁内角互补. 角平分线的性质: 角平分线可以得到两个相等的角.
6．D
解析：D
【分析】
根据E 点有4中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.
【详解】
E 点有4中情况，分四种情况讨论如下：
由AB ∥CD ，可得∠AOC=∠DCE 1=β
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE 1C ，
∴∠AE 1C=β-α
过点E 2作AB 的平行线，由AB ∥CD ，
可得∠1=∠BAE 2=α,∠2=∠DCE 2=β
∴∠AE 2C=α+β
由AB ∥CD ，可得∠BOE 3=∠DCE 3=β
∵∠BAE 3=∠BOE 3+∠AE 3C ，
∴∠AE 3C=α-β
由AB ∥CD ，可得
∠BAE 4+∠AE 4C+∠DCE 4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β
∴∠AEC的度数可能是①α+β，②α﹣β，③β-α，④360°﹣α﹣β，故选D.
【点睛】
此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论.
7．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；
同位角不一定相等，只有在两直线平行时，同位角相等，故（2）不正确；
平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（3）正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，故（4）不正确；
过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故（5）不正确.
故选B.
8．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可．【详解】
①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，比如等腰梯形；
③在圆中，平分弦的直径垂直于弦，是假命题（此弦非直径）；
④平行于同一条直线的两直线互相平行，是真命题；
故选B．
【点睛】
本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．
9．C
解析：C
【分析】
分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．
【详解】
解：
如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，
AB//EF ，
AB//CM //DN //EF ∴，
αBCM ∠∠∴=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，
αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠∴+=++=++，
又BC CD ⊥，
BCD 90∠∴=，
αβ90γ∠∠∠∴+=+，
即αβγ90∠∠∠+-=，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，b//c ⇒a//c ．
10．D
解析：D
【分析】
根据平移的特点分别判断各选项即可．
【详解】
∵△ABC 经平移得到△EFB
∴点A 、B 、C 的对应点分别为E 、F 、B ，②正确
∴BE 是AC 的对应线段，①正确
∴AC ∥EB ，③正确
平移距离为对应点连线的长度，即BF 的长度，④正确
故选：D
【点睛】
本题考查平移的特点，注意，在平移过程中，一定要把握住对应点，仅对应点的连线之间才有平行、相等的一些关系．
二、填空题
11．（1）35，55；（2）与，
【分析】
（1）由，可得，，所以，，，所以，已知的度数，即可得出与的度数；
（2）由（1）可得的余角是与，要求的补角，即要求的补角，的补角是．
【详解】
（1），，
，
解析：（1）35，55；（2）COE ∠与2∠，COB ∠
【分析】
（1）由OC OD ⊥，OE AB ⊥可得=90COD ∠︒，=90AOE ∠︒，所以1290∠+∠=︒，190COE ∠+∠=︒，90EOD COE ∠+∠=︒，所以1=EOD ∠∠，已知1∠的度数，即可得出2∠与EOD ∠的度数；
（2）由（1）可得1∠的余角是COE ∠与2∠，要求EOD ∠的补角，即要求1∠的补角，1∠的补角是COB ∠．
【详解】
（1）OC OD ⊥，OE AB ⊥，
∴=90COD ∠︒，=90AOE ∠︒，
∴1290∠+∠=︒，190COE ∠+∠=︒，90EOD COE ∠+∠=︒，
∴1=EOD ∠∠，
135∠=︒，
∴255∠=︒，35=EOD ∠︒；
（2）由（1）可得1∠的余角是COE ∠与2∠，
1180COB =∠∠+︒，
∴1∠的补角是COB ∠，
∴EOD ∠的补角是COB ∠．
故答案为：（1）35，55；（2）COE ∠与2∠，COB ∠．
【点睛】
本题主要考查余角、补角以及垂直的定义，熟记补角、余角以及垂直的定义是解题关键． 12．120°
【分析】
过点F 作PT//AB ，则有PT//CD ，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.
【详解】
过点F 作PT//AB ，如图，
∴∠OFP=∠N
解析：120°
【分析】
过点F 作PT//AB ，则有PT//CD ，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.
【详解】
过点F作PT//AB，如图，
∴∠OFP=∠NOA
∵FN AB
∴∠NOA=90゜
∴∠OFP=90゜
∵AB//CD
∴CD//PT
∴∠DGF=∠GFP
∵∠DGF=∠1=30゜
∴∠GFP=30゜
∴∠2=∠OFP+∠GFP=90゜+30゜=120゜
故答案为：120゜
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，同位角相等．
13．65°
【分析】
由AB//CD可得∠HFD=130︒，再由FE平分∠HFD可求出∠HFE．
【详解】
∵
∴∠EHF+∠HFD=180°
∵
∴∠HFD=130°
∵平分，
∴∠HFE=∠HFD=
解析：65°
【分析】
由AB//CD可得∠HFD=130︒，再由FE平分∠HFD可求出∠HFE．
【详解】
∵//AB CD
∴∠EHF+∠HFD=180°
∵50EHF ∠=︒
∴∠HFD=130°
∵FE 平分HFD ∠，
∴∠HFE=12∠HFD=1130652
⨯︒=︒ 故答案为：65°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．
14．6秒或19.5秒
【分析】
设A 灯旋转t 秒，两灯光束平行，B 灯光束第一次到达BQ 需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【详
解析：6秒或19.5秒
【分析】
设A 灯旋转t 秒，两灯光束平行，B 灯光束第一次到达BQ 需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【详解】
解：设A 灯旋转t 秒，两灯的光束平行，B 灯光束第一次到达BQ 需要180÷4＝45（秒）， ∴t≤45﹣12，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t ＝4（12+t ），解得t ＝6；
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t ﹣180+4（12+t ）＝180，解得t ＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．2n ．
【解析】
如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠
解析：2n ．
【解析】
如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=1
2
∠ABE+
1
2
∠DCE=
1
2
∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=1
2
∠ABE1+
1
2
∠DCE1=
1
2
∠CE1B=1
4
∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=1
2
∠ABE2+
1
2
∠DCE2=
1
2
∠CE2B=1
8
∠BEC；
…
以此类推，∠E n=1
2n
∠BEC．
∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为2n ．
点睛：本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
16．130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是
解析：130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是130°或50°．
故答案为：130°或50°．
17．145
【分析】
由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AO F 的值．
【详解】
解：∵,
∵OE 平分∠AOC ，∴,
∵OF ⊥OE 于点O ，∴∠EOF ＝90°，∴∠A
解析：145
【分析】
由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．
【详解】
解：∵70180110AOD AOC AOD ∠=︒∴∠=︒-∠=︒，,
∵OE 平分∠AOC ，∴1552
AOE AOC ∠=∠=︒, ∵OF ⊥OE 于点O ，∴∠EOF ＝90°，∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55°+90°=145°，
故答案为145．
【点睛】
本题考查邻补角、角平分线和垂直以及角度的运算等知识，根据有关性质和定义灵活计算是解题关键．
18．60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.
【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB ∥OA ，∠B=∠A=100°，
即a+x=80
解析：60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.
【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，
即a+x=80°，
又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.
当∠OEB=∠OCA，a=80°-x,40°+x=a,
解得∠OCA=60°.
【点睛】
本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键.
19．30°
【分析】
先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．
【详解】
解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．
∵OA 平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=
解析：30°
【分析】
先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．
【详解】
解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．
∵OA 平分∠EOC ，∴∠AOC=12
∠EOC=30°（角平分线定义）， ∴∠BOD=30°（对顶角相等）．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查由角平分线的定义，结合补角的性质，易求该角的度数．
20．50
【分析】
根据平行线的性质解答即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴ =∠1，
∵∠1+=180°，∠=130°，
∴∠1=180°-=180°-130°=50°，∴=50°，
故答案为：5
解析：50
【分析】
根据平行线的性质解答即可．
【详解】
解：∵AB ∥CD ，
∴α∠ =∠1，
∵∠1+β∠=180°，∠β=130°，
∴∠1=180°-β∠=180°-130°=50°，∴α∠=50°，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和平角的定义，解题的关键掌握平行线的性质和平角的定义．三、解答题
21．（1）∠BPC＝65°；（2）∠BPC＝155°；（3）∠BPC＝155°
【分析】
（1）如图1，过点P作PE∥MN，根据题意结合平行线的性质和角平分线的性质可以得
出：∠BPE=∠DBP=40°，
1
CPE PCA DCA25
2
︒
∠=∠=∠=，据此进一步求解即可；
（2）如图2，过点P作PE∥MN，根据平角可得∠DBA=100°，再由角平分线和平行线的
性质得∠BPE＝130°，
1
PCA CPE DCA25
2
︒
∠=∠=∠=，据此进一步求解即可；
（3）如图3，过点P作PE∥MN，根据角平分线性质得出∠DBP＝∠PBA=40°，由此得出
∠BPE=∠DBP=40°，然后根据题意得出
1
PCA DCA65
2
︒
∠=∠=，由此再利用平行线性
质得出∠CPE度数，据此进一步求解即可.【详解】
（1）如图1，过点P作PE∥MN．
∵PB平分∠DBA，
∴∠DBP=∠PBA=40°，
∵PE∥MN，
∴∠BPE=∠DBP=40°，
同理可证：
1
CPE PCA DCA25
2
︒∠=∠=∠=，
∴∠BPC＝40°+25°＝65°；（2）如图2，过点P作PE∥MN．
∵∠MBA＝80°．
∴∠DBA＝180°−80°＝100°．∵BP平分∠DBA．
∴
1
DBP DBA50
2
︒∠=∠=，
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝180°−∠DBP＝130°，∵PC平分∠DCA．
∴
1
PCA DCA25
2
︒∠=∠=，
∵MN∥PE，MN∥GH，
∴PE∥GH，
∴∠EPC=∠PCA=25°，
∴∠BPC＝130°+25°＝155°；
（3）如图3，过点P作PE∥MN．
∵BP平分∠DBA．
∴∠DBP＝∠PBA=40°，
∵PE∥MN，
∴∠BPE=∠DBP=40°，
∵CP平分∠DCA，∠DCA＝180°−∠DCG＝130°，
∴
1
PCA DCA65
2
︒∠=∠=，
∵PE∥MN，MN∥GH，
∴PE∥GH，
∴∠CPE＝180°−∠PCA＝115°，
∴∠BPC＝40°+115°＝155°．
【点睛】
本题主要考查了平行线性质与角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
22．（1）65°；（2）
11 180
22
αβ︒-+
【分析】
（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】
（1）如图1，过点E作EF∥AB，
有∠BEF=∠EBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．
即∠BED=∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=1
2
∠ABC=30°，∠EDC=
1
2
∠ADC=35°，
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．
答：∠BED的度数为65°；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，
有∠BEF+∠EBA=180°．
∴∠BEF=180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=1
2
∠ABC=
1
2
α，∠EDC=
1
2
∠ADC=
1
2
β，
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣1
2
α +
1
2
β．
答：∠BED 的度数为180°﹣12α +
12β． 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
23．（1）35︒；（2）123∠+∠=∠，理由见解析；（3）46︒；（4）当P 点在A 的上方时，321∠=∠-∠，当P 点在B 的下方时，312∠=∠-∠．
【分析】
（1）由题意直接根据平行线的性质和三角形内角和定理进行分析即可求解；
（2）由题意过点P 作//PM AC ，进而利用平行线的性质进行分析证明即可；
（3）根据题意过A 点作//AF BD ，则////A BD CE ，进而利用平行线的性质即可求解；
（4）根据题意分当P 点在A 的上方与当P 点在B 的下方两种情况进行分类讨论即可．
【详解】
解：()1∵12l l //，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD 中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠3=∠1+∠2，则有∠2=∠3-∠1=35︒，
故答案为：35︒；
()2123∠+∠=∠理由如下：
过点P 作//PM AC
//AC BD
////AC PM BD ∴
12CPM DPM ∴∠=∠∠=∠，
12CPM DPM CPD ∴∠+∠=∠+∠=∠
()3过A 点作//AF BD ，则////A BD CE ，
则BAC DBA ACE ∠∠+∠＝，
故答案为：46︒；
()4当P 点在A 的上方时，
如图 2，
∴∠1=∠FPC ．
∵14//l l ，
∴2//PF l ，
∴∠2=∠FPD
∵∠CPD=∠FPD-∠FPC
∴∠CPD=∠2-∠1，即321∠=∠-∠．
当P 点在B 的下方时，
如图 3，
∴∠2=∠GPD
∵12l l //，
∴1//PG l ，
∴∠1=∠CPG
∵∠CPD=∠CPG-∠GPD
∴∠CPD=∠1-∠2，即312∠=∠-∠．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
24．【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.
【分析】
感知：如图①，过点E作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题；探究：如图2中，作EG∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；
应用：作FH∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；
【详解】
解：理由如下，
【感知】
过E点作EF//AB
∵AB//CD
∴EF//CD
∵AB//CD
∴∠BAE=∠AEF
∵EF//CD
∴∠CEF=∠DCE
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.
【探究】
过E点作AB//EG.
∵AB//CD
∴EG//CD
∵AB//CD
∴∠BAE+∠AEG=180°
∵EG//CD
∴∠CEG+∠DCE=180°
∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°
【应用】
过点F作FH∥AB.
∵AB ∥CD ，
∴FH ∥CD ，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°
故答案为396°.
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
25．（1）145︒；（2）55︒;（3）2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【分析】
（1）过点F 作//FN AB ，根据AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°可计算NFG ∠，EFN ∠，从而求算BEF ∠；
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，由（1）知55,=35NFG EFN ∠=︒∠︒，从而求算35AEF EHL ∠=∠=︒，再根据90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒，利用外角求出MHL ∠，从而求算MQA ∠;
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒ 设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒，从而表示PGN ∠，进而寻找数量关系．
【详解】
（1）过点F 作//FN AB ，如图：
∵AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°
∴55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴180145BEF EFN ∠=︒-∠=︒
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，如图：
由（1）知：55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴35AEF EHL ∠=∠=︒
又∵90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒
∴90EHM x ∠=︒+︒
∴903555MHL x x ∠=︒+︒-︒=︒+︒
∴5555MKH MQA MHL M x x ∠=∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，如图：
设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒
设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒
又∵125FGD ∠=︒
∴125PGN y ∠=︒-︒
∴2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【点睛】
本题考查平行线的性质综合，转化相关的角度是解题关键．
26．（1）60°；（2）AB BD ⊥，证明详见解析；（3）不变，2APB ADB ∠=∠，理由详见解析
【分析】
（1）由平行线的性质可得∠ABN ＝120°，即∠ABP +∠PBN ＝120°，再根据角平分线的定义知∠ABP ＝2∠CBP 、∠PBN ＝2∠DBP ，可得2∠CBP +2∠DBP ＝120°，即∠CBD ＝∠CBP +∠DBP ＝60°；
（2）由AM ∥BN 得∠ACB ＝∠CBN ，当∠ACB ＝∠ABD 时有∠CBN ＝∠ABD ，得∠ABC +∠CBD ＝∠CBD +∠DBN ，即∠ABC ＝∠DBN ，再根据角平分线的定义可得
1 4
ABC CBP DBP DBN ABN ∠=∠=∠=∠=∠，最后根据∠ABN ＝120°可得390ABD ABC ︒∠=∠=，进而可得答案；
（3）由AM ∥BN 得∠APB ＝∠PBN 、∠ADB ＝∠DBN ，根据BD 平分∠PBN 知∠PBN ＝2∠DBN ，从而可得∠APB ＝2∠ADB ．
【详解】
解：（1）∵AM ∥BN ，∠A ＝60°，
∴∠A +∠ABN ＝180°，
∴∠ABN ＝120°；
∵AM ∥BN ，
∴∠ABN +∠A ＝180°，
∴∠ABN ＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABP +∠PBN ＝120°，
∵BC 平分∠ABP ，BD 平分∠PBN ，
∴∠ABP ＝2∠CBP ，∠PBN ＝2∠DBP ，
∴2∠CBP +2∠DBP ＝120°，
∴∠CBD ＝∠CBP +∠DBP ＝60°；
()2AB BD ⊥
理由： // AM BN
,180ACB CBN A ABN ︒∴∠=∠∠+∠=
ACB ABD ∠=∠
CBN ABD ∴∠=∠
CBN CBD ABD CBD ∴∠-∠=∠-∠，
即DBN ABC ∠=∠
BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，
,ABC CBP DBP DBN ∴∠=∠∠=∠
1 4
ABC CBP DBP DBN ABN ∴∠=∠=∠=∠=∠ 180A ABN ︒∠+∠=
180 ********ABN A ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=
1304
ABC ABN ︒∴∠=∠= 390ABD ABC ︒∴∠=∠=，
即AB BD ⊥
()3不变．且2APB ADB ∠=∠
理由： // ,AM BN
,APB PBN ADB DBN ∴∠=∠∠=∠ BD 平分,PBN ∠
2PBN DBN ∴∠=∠
2.APB ADB ∴∠=∠
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．。