北师大版九年级数学上册第六章《反比例函数》6.3反比例函数的应用同步练习(典型题含讲解)

6.3反比例函数的应用同步练习
1.会根据实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型；（重点）
2.能利用反比例函数解决实际问题.（难点）
一、情景导入
我们都知道，气球内可以充满一定质量的气体.
如果在温度不变的情况下，气球内气体的气压p（kPa）与气体体积V（m3）之间有怎样的关系？你想知道气球在什么条件下会爆炸吗？
二、合作探究
探究点一：实际问题与反比例函数
做拉面的过程中，渗透着反比例函数的知识.一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示：
（1）写出y与S之间的函数表达式；
（2）当面条的横截面积为1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
（3）要使面条的横截面积不多于1.28mm2，面条的总长度至少是多少米？
解析：由题意可设y与S之间的函数表达式为y＝k
S，而P（32，4）为函数图象上一点，所以把对应的S，y的值代入函数表达式即可求出比例系数，从而得出反比例函数的表达式，最后根据反比例函数的图象和性质解题.
解：（1）由题意可设y与S之间的函数关系式为y＝k
S.∵点P（4，32）在图象上，
∴32＝k
4，∴k＝128.
∴y 与S 之间的函数表达式为y ＝128
S （S >0）；
（2）把S ＝1.6代入y ＝128S 中，得y ＝128
1.6
＝80.
∴当面条的横截面积为1.6mm 2时，面条的总长度是80m ； （3）把S ＝1.28代入y ＝128
S
，得y ＝100.
由图象可知，要使面条的横截面积不多于1.28mm 2，面条的总长度至少应为100m. 方法总结：解决实际问题的关键是认真阅读，理解题意，明确基本数量关系（即题中的变量与常量之间的关系），抽象出实际问题中的反比例函数模型，由此建立反比例函数，再利用反比例函数的图象与性质解决问题.
探究点二：反比例函数与其他学科知识的综合
某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅
速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干木块，构筑成一条临时近道.木板对地面的压强p （Pa ）是木板面积S （m 2）的反比例函数，其图象如图所示.
（1）请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围； （2）当木板面积为0.2m 2时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000Pa ，木板的面积至少要多大？
解析：由于木板对地面的压强p （P a ）是木板面积S （m 2）的反比例函数，而图象经过点A ，于是可以利用待定系数法求得反比例函数的关系式，进而可以进一步求解.
解：（1）设木板对地面的压强p （Pa ）与木板面积S （m 2）的反比例函数关系式为p ＝
k
S （S >0）.
因为反比例函数的图象经过点A （1.5，400），所以有k ＝600.
所以反比例函数的关系式为p ＝600
S
（S >0）；
（2）当S ＝0.2时，p ＝600
0.2
＝3000，即压强是3000Pa ；
（3）由题意知600
S
≤6000，所以S ≥0.1，即木板面积至少要有0.1m 2.
方法总结：本题渗透了物理学中压强、压力与受力面积之间的关系p ＝错误!，当压力F 一定时，p 与S 成反比例.另外，利用反比例函数的知识解决实际问题时，要善于发现实际问题中变量之间的关系，从而进一步建立反比例函数模型.
三、板书设计
反比例函数的应用⎩⎨⎧实际问题与反比例函数
反比例函数与其他学科知识的综合
经历分析实际问题中变量之间的关
系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，提高运用代数方法解决问题的能力，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.通过反比例函数在其他学科中的运用，体验学科整合思想.
6.3 反比例函数的应用
教学目标：
(一)教学知识点
1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程.
2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力
(二)能力训练要求
通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力.
(三)情感与价值观要求
经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题。

理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题.发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
教学重点：用反比例函数的知识解决实际问题.
教学难点：如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题.教学方法：教师引导学生探索法.
教具准备：多媒体课件
教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢?
[生]是为了应用.
[师]很好.学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢?本节课我们就来学一学.
Ⅱ. 新课讲解
某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗?
为什么?
(2)当木板画积为0.2 m2时.压强是多少?
(3)如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大?
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象.
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进
行交流.
[师]分析：首先要根据题意分析实际问题中的两个 变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去 分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是 则可用反比例函数的有关知识去解决问题. 请大家互相交流后回答. [生](1)由p=
S F 得p=S
600 p 是S 的反比例函数，因为给定一个S 的值.对应的就有唯一的一个p 值和它对应，根
据函数定义，则p 是S 的反比例函数. (2)当S=0.2 m 2
时， p=
2
.0600
=3000(Pa). 当木板面积为0.2m 2
时，压强是3000Pa. (3)当p=6000 Pa 时， S=
6000
600=0.1(m 2
). 如果要求压强不超过6000 Pa ，木板面积至少要0.1 m 2
. (4)图象如下：
(5)(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围.
[师]这位同学回答的很好，下面我要提一个问题，大家知道 反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限，
要么位于第二、四象限，从(1)中已知p ＝
S
600
>0，所以图象应位于第一、三象限，为什么这位同学只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢?
[生]第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，S 不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在.
[师]很好，那么在(1)中是不是应该有条件限制呢? [生]是，应为p ＝
S
600
(S>0). 做一做
1. 蓄电池的电压为定值.使用此电源时，电流I(A)与电阻
R(Ω)之间的函数关系如下图所示；
(1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗? (2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电
器限制电流不得超过10A ，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内? R/Ω 3 4 5 6 7 8 9 10 I/A
4
[师]从图形上来看，I 和R 之间可能是反比例函数关系.电压U 就相当于反比例函数中的k.要写出函数的表达式，实际上就是确定k(U)，只需要一个条件即可，而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，填表实际上是已知自变量求函数值. [生]解：(1)由题意设函数表达式为I ＝
R
U ∵A(9，4)在图象上， ∴U ＝IR ＝36. ∴表达式为I=
R
36. 蓄电池的电压是36伏.
(2)表格中从左到右依次是：12，9，7.2，6
7
36
，4.5，3.6. 电源不超过10 A ，即I 最大为10 A ，代入关系式中得R ＝3.6，为最小电阻，所以用电器的可变电阻应控制在R ≥3.6这个范围内. 2.如下图，正比例函数y ＝k 1x 的图象与反比例函数y=x
k 2
的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(3,23).
(1)分别写出这两个函数的表达式：
(2)你能求出点B 的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流.
[师]要求这两个函数的表达式，只要把A 点的坐标代入即可求出k 1，k 2，求点B 的 坐标即求y ＝k 1x 与y=
x
k 2
的交点. [生]解：(1)∵A(3,23)既在y ＝k 1x 图象上，又在y ＝
x
k 2
的图象上. ∴3k 1＝23，23＝3
2
k . ∴k 1=2, k 2=6
∴表达式分别为y ＝2x,y ＝
x
6. y=2x, (2)由 得2x=
x
6, y=x
6 ∴x 2
=3 ∴x=±3.
当x=-3时，y=-23. ∴B(-3,-23).
Ⅲ.课堂练习
1.某蓄水池的排水管每时排水8 m 3
，6 h 可将满池水全部排空. (1)蓄水池的容积是多少?
(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m 3
)，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化?
(3)写出t 与Q 之间的关系式；
(4)如果准备在5 h 内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少?
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空?
解：(1)8×6＝48(m 3
).
所以蓄水池的容积是48 m 3
.
(2)因为增加排水管，使每时的排水量达到Q(m 3
)，所以将满池水排空所需的时间t(h)将减少.
(3)t 与Q 之间的关系式为 t=
Q
48. (4)如果准备在5 h 内将满池水排空，那么每时的排水量至少为5
48=9.6(m 3
). (5)已知排水管的最大排水量为每时12m 3
，那么最少要
12
48
＝4小时可将满池水全部排空.
Ⅳ.课时小结
节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题. Ⅴ课后作业 习题6.4.
补充题：为了预防“非典”，
某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时， 室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时
间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y 与x 成反比例 (如右图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中
每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为 ,自变量x 的取值范围为 ；
药物燃烧后，y 关于x 的函数关系式为 .
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么? 答案：(1)y ＝4
3
x ， 0<x ≤8 y=x 48
(2)30
(3)此次消毒有效，因把y=3分别代入y=
4
3
x ，y=x 48，求得x ＝4和x ＝16，而16-4=12>10，
即空气中的含药量不低于3毫克/m 3
的持续时间为12分钟，大于10分钟的有效消毒时间.。