《认识函数》教学设计

《认识函数》教学设计
第1课时教学过程：
教学过程分以下6个环节：
创设情境、探究新知、应用新知、课堂练习、知识整理、布置作业
1．创设情境
问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表：
（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量t、m）（2）能用t的代数式来表示m的值吗？（能，m=16t）
教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应．
问题2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离2
.0v
s (0<v<10.5) ．
085
然后回答下列问题：
（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量v、s）(2)计算当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s是多少(结果保留3个有效数字)?
(3)给定一个v的值，你能求出相应的s的值吗?
教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v，s，对v的每一个确定的值，s 都有唯一确定的值与它对应．
本环节设计的意图：通过对两个学生熟悉的问题的讨论，既巩固了上一节课中常量、变量的概念，又为本节课学习函数的概念作好准备．
2．探究新知
（1）函数的概念
在第一个环节的基础上，教师归纳得出函数的概念：
一般地，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y 是x的函数，x叫做自变量．
例如，上面的问题1中，m是t的函数，t是自变量；问题2中，s是对v的的
函数，v是自变量．
教师指出：①函数概念的教学中，要着重引导学生分析问题中一对变量之间的依
存关系
——当其中一个变量确定一个值，另一个变量也相应有一个确定的值．
②函数的本质是一种对应关系——映射，由于用映射来定义函数，对初中生来说
是难以接受的，所以课本对函数概念采取了比较直观的描述．这种直观的描述也
和传统教材有所区别：描述中改变了过去那种“y都有唯一确定的值和它对应”的
说法，即避开“对应”的意义．
③实际问题中的自变量往往受到条件的约束，它必须满足①代数式有意义；②符
合实际．
如问题1中自变量t表示一个月工作的时间，因此t不能取负数，也不能大于744；
如问题2中自变量v表示助跑的速度v，它的取值范围为0<v<10.5．
（2）函数的表示法
①解析法：问题1、2中，m=16t和2
085
.0v
s 这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示
函数的方法也叫解析法．
②列表法：有时把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表．这种
表示函数关系的方法是列表法．如表（图7-2）表示的是一年内某城市月份与平
均气温的函数关系．
月份m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均气温T （℃）3.8 5.1 9.3
15.
4
20.
2
24.
3
28.
6
28.
23.
3
17.
1
12.
2
6.3
热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系．解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法．
教师指出：（1）解析法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视．
（2）对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法．
（3）函数值概念
与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．
若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值．
例如对于函数m=16t，当t=5时，把它代人函数解析式，得m=16×5=80(元)．m=80叫做当自变量t=5时的函数值．
由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如一年内某城市月份与平均气温的函数关系中，当m=2时，函数值T=5.1；当m=10时，函数值T=17.1．
若函数用图象法表示．例如骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如x=50，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值，即W=399(焦)．
教师指出：当函数用解析法表示时，函数值的概念与学生已经学过的代数式的值的概念几乎没有什么区别，所以课本没有对函数值的概念作重新定义，教学中可以增加一些求函数值的练习，使学生感悟函数值与代数式的值两个概念之间的关系．
3．应用新知
例1 等腰△ABC的周长为20，底边BC长为y，腰AB长为x，求：
（1）y关于x的函数解析式；
（2）当腰长AB=7时，底边的长；
（3）当x=11和x=4时，函数值是多少？
答案：（1）y=20-2x；（2）腰长AB=7，即x=7时，y=6，所以底边长为6；（3）当x=11和x=4时，函数值不再有意义．
说明（1）第1问中的函数解析式不能写成20
y的形式，一定要把y写成x的
+x
2=
代数式
（2）实际问题中，自变量的取值范围往往受到条件的限制，本题的自变量的取值范围是5<x<10,具体的求法本节课不作介绍，放到下一节课中去完成，当x=11和x=4时，尽管可求出它对应的值，但自变量x的值都不在相应的取值范围内，因此当x=11和x=4时，函数值不再有意义．
例2 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示:
（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．
答案：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值；
（2）当x=10时，y=2×10=20（元）．月用水量10度需交水费20（元）；
当x=16时，y=2×12+4×2.50=34（元）．月用水量16度需交水费34（元）；
当x=20时，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）．月用水量45度需交水费45（元）．
说明本例安排的目的两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，
即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应交水费y =2×12+6×2.5+3×20=99（元）．
例3 下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图象回答下面的问题：
(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？
(2)求当t=5分时的函数值？
(3)当10≤t≤15时，对应的函数值是多少？并说明它的实际意义？
(4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家共用了几分钟？
答案：（1）折线图反映了s、t两个变量之间的关系，路程s可以看成t的函数；（2）当t=5分时函数值为1km；
（3）当10≤t≤15时，对应的函数值是始终为2，它的实际意义是小明回家途中停留了5分钟；
（4）学校离家有3.5km，放学骑自行车回家共用了20分钟．
说明安排本例的主要目的是让学生体会当函数用图象法给出时函数值的求法．通过本例的教学，使学生体会函数图象是如何反映自变量与函数之间的关系的，进一步加深学生对函数概念的理解，体验数形结合的数学思想，为后面的一次函数的应用作好准备．
4．课堂练习
课本P155课内练习1，2
补充下图是表示某一个月的日平均温度变化的曲线，根据图象回答问题：
①这个曲线反映了哪两个变量之间的关系？日平均温度T是x的函数吗？
②求当x=5,13,16,25时的函数值？
③这个月中最高与最低的日平均温度各是多少?
T
x
5．知识整理
师生可共同梳理知识点：
6．布置作业
课本作业题1，2，3，4，5 ．
第2课时
教学过程：
一、创设情境
问题1填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，你能写出y与x的函数关系式吗?
函数的概念
函数表
示方法
解析法
列表法
图象法
函数值
解 如图能发现涂黑的格子成一条直线． 函数关系式为： y ＝10－x ．
问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y 与底角的度数x 之间的函数关系式． 解 y 与x 的函数关系式：y ＝180－2x ．
问题3 如图，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分面积y cm 2与MA 长度x cm 之间的函数关系式．
解 y 与x 的函数关系式：2
2
1x y ．
二、探究归纳
思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．
(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？
分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．
问题2，因为三角形内角和是180°所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°．
问题3，开始时A 点与M 点重合，MA 长度为0cm ，随着△ABC 不断向右运动过程中，MA 长度逐渐增长，最后A 点与N 点重合时，MA 长度达到10cm ． 解 (1)问题1，自变量x 的取值范围是：1≤x ≤9；
问题2，自变量x 的取值范围是：0＜x ＜90； 问题3，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤10．
(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4．
上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：
s ＝60t ， S ＝πR 2．
在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S ＝πR 2中自变量R 的取值范围是全体实数，但如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系，那么自变量R 的取值范围就应该是R ＞0．
三、实践应用
例1 求下列函数中自变量x 的取值范围：(1) y ＝3x －1； (2) y ＝2x 2＋7；(3)
2
1
+=
x y ；(4)2-=x y ． 分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2)中，x 取任意实数，3x －1与2x 2＋7都有意义；而在(3)中，x ＝－2时，
2
1
+x 没有意义；在(4)中，x ＜2时，2-x 没有意义． 解 (1)x 取值范围是任意实数； (2)x 取值范围是任意实数； (3)x 的取值范围是x ≠－2； (4)x 的取值范围是x ≥2．
归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的分式；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式．
例2 等腰三角形ABC 的周长为10,底边长为y,腰AB 长为x.求:
(1) y 关于x 的函数解析式； (2) 自变量x 的取值范围；
(3) 腰长AB=3时,底边的长.
分析 (1)问题中的x 与y 之间存在怎样的数量关系?这种数量关系可以什么形式给出? (2x+y=10)
(2)这个等式算不算函数解析式?如果不算,应该对等式进行怎样的变形?
(3)结合实际,x 与y 应满足怎样的不等关系?
归纳 (1)在求函数解析式时,可以先得到函数与自变量之间的等式,然后解出函数关于自变量的函数解析式；
(2)在求自变量的取值范围时,要从两个方面来考虑:
①代数式要有意义；②要符合实际.
例3 如图，正方形EFGH 内接于边长为1的正方形ABCD ．设AE=x ，试求正方形EFGH 的面积y 与x 的关系，写出自变量x 的取值范围，并求当x=14
时，正方形EFGH 的面积．
A B C D E F
G H
x
解：正方形EFGH 的面积=大正方形的面积-4⨯一个小三角形的面积，
则 y 与x 之间的函数关系式为
114()2
y x x =-⨯1- (0<x<1) 2221y x x =-+ (0<x<1)
当x ＝14时，21152()21448
y =⨯-⨯+= 所以当x ＝14时，正方形EFGH 的面积是58
．
例4 求下列函数当x = 2时的函数值：
(1)y = 2x -5 ； (2)y =－3x 2 ； (3)1
2-=x y ； (4)x y -=2． 分析 函数值就是y 的值，因此求函数值就是求代数式的值．
解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1；
(2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；
(3)当x = 2时，y =1
22-= 2； (4)当x = 2时，y =22-= 0．
例5 游泳池应定期换水.某游泳池在一次换水前存水936立方米,换水时打开排水孔,以每小时312立方米的速度将水放出.设放水时间为t 时,游泳池内的存水量为Q 立方米.
(1)求Q 关于t 的函数解析式和自变量t 的取值范围；
(2)放水2时20分后，游泳池内还剩水多少立方米?
(3)放完游泳池内的水需要多少时间?
分析 此题要先弄清楚放出的水量,剩余的水量和原存水量之间的关系.然后让学生直接得出函数解析式；第(2)题是由自变量的值求函数值,可由学生自己完成；第(3)题则与第(2)题相反，是已知函数值,求相应自变量的值,可化归为解方程.
四、交流反思
1.求函数自变量取值范围的两个依据：
(1)要使函数的解析式有意义．
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．
(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
2.求函数值的方法：跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．
五、检测反馈
1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
(1)一个正方形的边长为3 cm ，它的各边长减少x cm 后，得到的新正方形周长为y cm ．求y 和x 间的关系式；
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式；
(3)矩形的周长为12 cm ，求它的面积S (cm 2)与它的一边长x (cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积．
2.求下列函数中自变量x 的取值范围：
(1)y ＝－2x －5x 2； (3) y ＝x (x ＋3)； (3)3
6+=x x y ； (4)12-=x y ． 3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t （秒）滑下的距离s （米）由下式给出：s ＝10t ＋2t 2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？
4.当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值：
(1) y ＝(x +1)(x －2)；(2)y ＝2x 2－3x ＋2； (3)12-+=
x x y ． 六、作业布置
作业本和书本P 158-159的作业题
感谢您的阅读，祝您生活愉快。