2019届高三数学(理)人教版一轮课件：第十一篇第1节 数系的扩充与复数的引入(33)

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(2)(2017·山东卷)已知 a∈R,i 是虚数单位.若 z=a+ 3 i,z· z =4,则 a 等 于( )
(A)1 或-1 (C)- 3
(B) 7 或- 7 (D) 3
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4.(2017·河北唐山二模)设复数 z 满足 z 1 =1-3i,则|z|等于( B )
z2
(A)5 (C)2
(B) 5 (D) 2
解析:由 z 1 =1-3i,得 z+1=z-2-3zi+6i,即 z=2+i,则|z|= 5 .故选 B. z2
点或向量表示,并能将复平面上的点或
向量所对应的复数用代数形式表示.
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知识梳理自测 考点专项突破
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知识梳理自测
把散落的知识连起来
【教材导读】 1.复数的几何意义是什么? 提示:复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)及平面向量=OZ (a,b)(a, b∈R)是一一对应关系. 2.复数模的几何意义是什么? 提示:复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示复平面内点Z(a,b)到原点O(0,0)的距 离,亦即向量 OZ 的模| OZ |.
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(2)(2017·全国Ⅲ卷)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|等于( )
(A) 1 2
(B) 2 (C) 2 (D)2 2
解析:(2)法一 设 z=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位).
则由已知(1+i)z=2i,得(1+i)(a+bi)=2i,整理得(a-b)+(a+b)i=2i,由复数
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双基自测
1.i为虚数单位,i607的共轭复数为( A )
(A)i
(B)-i
(C)1
(D)-1
解析:因为i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i, 所以i607的共轭复数为i.
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bc ad c2 d 2
i
(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2) +z3= z1+(z2+z3) . (3)复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意z1,z2,z3∈C,有z1·z2= z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
(3)复数相等 a+bi=c+di⇔ a=c且b=d (a,b,c,d∈R).
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(4)共轭复数 a+bi与c+di互为共轭复数⇔ a=c且b=-d (a,b,c,d∈R).
(5)复数的模
向量 OZ 的模叫做复数 z=a+bi 的模, 记作 |z| 或 |a+bi| , 即|z|=|a+bi|=r= a2 b2 (r≥0,a,b∈R).
2.复数的几何意义 (1)复平面的概念 建立 直角坐标系
来表示复数的平面叫做复平面.
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(2)实轴、虚轴 在复平面内,x轴叫做 实轴 ,y轴叫做 虚轴 ,实轴上的点都表示 实数 ;除 原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数 .
(3)复数的几何表示
复数 z=a+bi
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【重要结论】 1.(1±i)2=±2i; 1 i =i; 1 i =-i.
1i 1i
2.-b+ai=i(a+bi). 3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*). 4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
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考查角度 2:复数相等及模的运算 【例 2】(1)(2016·全国Ⅰ卷)设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则|x+yi| 等于( ) (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2
解析:(1)x+xi=1+yi,x=1,y=1,
|x+yi|= x2 y2 = 2 .故选 B. 答案:(1)B
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2.向量 OZ1 对应的复数是 5-4i,向量 OZ2 对应的复数是-5+4i,则向量 Z1Z2
对应的复数是( A )
(A)-10+8i
(B)10-8i
(C)-8+10i
(D)8-10i
解析:向量 OZ1 对应的复数是 5-4i,可得点 Z1(5,-4);向量 OZ2 对应的复数是
-5+4i,可得点 Z2(-5,4);向量 Z1Z2 = OZ2 - OZ1 =-10+8i,即向量 Z1Z2 对应的复 数是-10+8i.故选 A.
相等的定义可得
a a

b b

0, 2,
解得
a=b=1.故|z|=
a2 b2 =
2 .故选 C.
法二 由(1+i)z=2i,得 z= 2i = 2i(1 i) = 2i(1 i) =1+i, 1 i (1 i)(1 i) 2
所以|z|= 12 12 = 2 .故选 C.
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③乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ;
④除法: z1 = a bi = (a bi)(c di) = z2 c di (c di)(c di)
ac bd c2 d 2
第十一篇 复数、算法、推理与证明(必修3、 选修2—2)
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六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图
命题特点
1.复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数 的加减乘除四则运算.运算是高考的热点,一般为选 择题,占5分. 2.循环结构和条件结构是高考考查的热点,题型以 选择题、填空题为主,属容易题,占5分. 3.高考对归纳推理、类比推理的考查常以填空题形 式出现,难度中等,占5分. 4.高考对演绎推理、直接证明与间接证明以及数学 归纳法的考查,单独命题的可能性不大,但其思想也 会渗透到解题之中.
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考点专项突破
考点一 复数的基本概念
在讲练中理解知识
考查角度1:复数的基本概念
【例1】 (1)(2017·安徽合肥二模)i为虚数单位,若复数(1+mi)(i+2)是纯虚
数,则实数m等于( )
(A)1
(B)-1 (C)- 1
2
(D)2
解析:(1)因为(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i是纯虚数,所以2-m=0,且1+2m≠0, 解得m=2.故选D. 答案:(1)D
复平面内的点 Z(a,b)
平
面向量 OZ .
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ;
2 i (2 i)(2 i)
5
5
5
为实数,
所以- a 2 =0, 5
所以 a=-2. 答案:(2)-2
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反思归纳 有关复数的概念问题,一般涉及复数的实部与虚部、模、虚数、 纯虚数、实数、共轭复数等,解决时,一定先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的 形式,以确定其实部和虚部.
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解析:若复数 1 ∈R,则 z∈R 是真命题,故 p1 是真命题;若 z2∈R,则 z∈R 不 z
正确,如 z=i,故 p2是假命题;若 z1z2∈R,则 z1= z2 不一定正确,如 z1=i,z2=2i, 则 z1z2∈R,此时 z1≠ z2 ,故 p3 是假命题.若 z∈R,一定有 z ∈R,故 p4 是真命 题,因此 p1,p4 是真命题.故选 B.
答案:(2)C
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(3)(2016·天津卷)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为 .
解析:(3)1+b+(1-b)i=a,
所以
1 1

b b

a, 0,
解得
b a
1, 2,
所以 a =2. b
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法三 由(1+i)z=2i,得 z= 2i , 1 i
所以|z|= | 2i| = 2 = 2 .故选 C. |1 i| 12 12
法四 由(1+i)z=2i,得|(1+i)z|=|2i|, 即|1+i|·|z|=|2i|, 所以 12 12 ·|z|=2, 解得|z|= 2 .故选 C.
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知识梳理
1.复数的有关概念
(1)复数的定义 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是 a ,虚部是 b (i是虚数单位).
(2)复数的分类
实数(b =
复数z

a

bi(a,b

R)
虚数( b
≠

0) 纯虚数(a = 0)
0)非纯虚数(a ≠ 0)
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考点二 复数代数形式的运算★★★ 【例3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷) 3+i 等于( )
1 i (A)1+2i (B)1-2i (C)2+i (D)2-i
解析:(1) 3+i = (3+i)(1 i) = 4 2i =2-i.故选 D. 1 i (1 i)(1 i) 2
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3.(2017·湖南娄底二模)若复数z满足i(z-1)=1+i(i为虚数单位),则z等于
(A ) (A)2-i (B)2+i
(C)1-2i (D)1+2i
解析:由已知得 iz=1+2i,所以 z= 1 2i =2-i.故选 A. i
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(2)(2017·天津卷)已知 a∈R,i 为虚数单位,若 a i 为实数,则 a 的值 2i
为
.
解析:(2)因为 a∈R, a i = (a i)(2 i) = 2a 1 (a 2)i = 2a 1 - a 2 i
答案:(3)2
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反思归纳 (1)两复数相等的充要条件是实部与实部、虚部与虚部分别相等, 求解时首先要明确两复数应均为z=a+bi(a,b∈R)的形式.
(2)若复数z=a+bi(a,b∈R),则|z|= a2 b2 .
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3.复数加减法的几何意义是什么? 提示:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平 行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即 OZ = OZ1 +
OZ2 , Z1Z2 = OZ2 - OZ1 .
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5.(2017·全国Ⅰ卷)设有下面四个命题
p1:若复数 z 满足 1 ∈R,则 z∈R; z
p2:若复数 z 满足 z2∈R,则 z∈R; p3:若复数 z1,z2 满足 z1z2∈R,则 z1= z2 ; p4:若复数 z∈R,则 z ∈R. 其中的真命题为( B ) (A)p1,p3 (B)p1,p4 (C)p2,p3 (D)p2,p4
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第1节 数系的扩充与复数的引入
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考纲展示
1.理解复数的基本概念,理解复数相等
的充要条件.
3.能进行复数代数形式的四则
2.了解复数的代数表示法及其几何意 Nhomakorabea运算,了解两个具体复数相加、
义,能将代数形式的复数在复平面上用 相减的几何意义.