新人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试(含答案解析)(4)

一、选择题
1．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．//m α，//n β且//αβ，则//m n
B ．
m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ C ．m α⊥，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥
D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥
2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m α
B ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥
C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβ
D ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n
3．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，15AA =，则V 的最大值是（ ）
A ．4π
B ．92π
C ．1256π
D ．323
π 4．球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（ ）
A ．803π
B ．32π
C ．42π
D ．48π
5．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）
A ．αβ⊥，m β⊂
B ．//αβ，n β⊥
C ．αβ⊥，//n β
D ．//m α，n m ⊥ 6．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，
则其外接球与内切球表面积之比为（ ）
A ．25︰1
B ．1︰25
C ．1︰5
D ．5︰1
7．已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，连接1A B ，1A C ，得到四棱锥1A DEBC -，M 为1A C 的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是（ ）
①//BM 平面1A DE ；
②三棱锥M DEC -的体积最大值为223； ③5BM =；
④一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；
A ．①②
B ．①②③
C ．①③
D ．①②③④ 8．下列说法正确的是（ ）
A ．直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α
B ．若直线a 在平面α外，则a ∥α
C ．若直线a b φ⋂=，直线b α⊂，则a ∥α
D ．若直线a ∥b ，b α⊂，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线
9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）
A ．17,5]
B ．[4,5]
C ．[3,5]
D ．17] 10．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心O ，则1AC 与底面ABC 所成角的余弦值等于（ ）
A ．23
B 7
C 6
D 5
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
参考答案
11．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥ B ．a α⊥，b β⊥，//αβ
C ．a α⊂，b β⊥，//αβ
D ．a α⊂，b β//，αβ⊥
12．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：
①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；
②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23
π； ④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的最小值为
62+. 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13．用一根长为18cm 的铁丝围成正三角形框架，其顶点为,,A B C ，将半径为2cm 的球放置在这个框架上（如图）.若M 是球上任意一点，则四面体MABC 体积的最大值为( )
A 333
B 33cm
C ．333cm
D ．33cm 14．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是（ ）
A ．若l β⊥，则αβ⊥
B ．若l m ⊥，则αβ⊥
C ．若αβ⊥，则l m ⊥
D ．若//αβ，则//l m
二、解答题
15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为矩形，2AB AC ==2BC =，D ，E 分别为BC 、11B C 的中点，过BC 作平面α分别交11A B 、1A E 、11A C 于点M 、F 、N ．
（1）求证：平面BCNM ⊥平面1AA ED ．
（2）若Q 为线段AD 上一点，3AD AQ =，1//A Q 平面BCNM ，则当1A Q 为何值时直
线BM 与平面1AA ED 所成角的正弦值为13
（请说明理由）． 16．如图，BC 为圆O 的直径，D 为圆周上异于B 、C 的一点，AB 垂直于圆O 所在的平面，BE AC ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ．
（1）求证：BF AC ⊥；
（2）若2AB BC ==，60CBD ∠=︒，求三棱锥B DEF -的体积．
17．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点．将ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB
（1）求证：AD ⊥平面BDE ；
（2）求平面ADE 与平面BDC 所成锐二面角的余弦值.
18．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．
（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；
（2）求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值．
19．如图，在组合体中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是一个长方体，P -ABCD 是一个四棱锥.AB =2，BC =3，点P ∈平面CC 1D 1D 且PD =PC =2
（1）证明：PD ⊥平面PBC ；
（2）求直线PA 与平面ABCD 所成角的正切值；
（3）若AA 1=a ，当a 为何值时，PC //平面AB 1D .
20．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===.
（1）求证：//EF 平面11BB C C ；
（2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.
21．如图，棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别为棱B 1C 1、BB 1中点，G 在A 1D 上且DG ＝3GA 1，过E 、F 、G 三点的平面α截正方体.
（1）作出截面图形并求出截面图形面积（保留作图痕迹）；
（2）求A 1C 1与平面α所成角的正弦值. （注意：本题用向量法求解不得分）
22．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C
（1）求证：C 1B ⊥平面ABC ；
（2）求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积，
（3）试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E ，使得EA ⊥EB 1；
23．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．
（1）求证：//DM 平面PBC ；
（2）求点
C 到平面 AP
D 的距离． 24．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //F
E ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中
点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12
AD .
（I ）证明：平面AMD ⊥平面CDE ；
（II ）求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.
25．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .
（1）求证：AC ⊥平面PBD ；
（2）若2PD =，直线45DBP ∠=，求四棱锥P ABCD -的体积.
26．
如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm ，侧棱长都相等，E 为BC 的中点，高为PO ，且30OPE ∠=︒，求该四棱锥的侧面积和表面积．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
对每一个命题逐一判断得解.
【详解】
对于A ，若m ∥α，n ∥β且α∥β，说明m 、n 是分别在平行平面内的直线，它们的位置关 系应该是平行或异面或相交，故A 不正确；
对于B ，若“m ⊂
α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β”，则“α∥β”也可能α∩β＝l ，所以B 不成立． 对于C ，根据面面垂直的性质，可知m ⊥α，n ⊂
β，m ⊥n ，∴n ∥α，∴α∥β也可能α∩β＝l ，
也可能α⊥β，故C 不正确；
对于D ，由m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，
通过平移使得m 与n 相交，且设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即 为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m 与n 所成的角为90°，故命题D 正确． 故答案为D
【点睛】
本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力和空间
想象能力.
2．D
解析：D
【分析】
对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.
【详解】
若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；
若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；
若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．
若//m β，m α⊂，n α
β=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．
故选D.
【点睛】
本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题. 3．D
解析：D
【分析】
先保证截面圆与ABC 内切，记圆O 的半径为r ，由等面积法得
()68AC AB BC r ++=⨯，解得2r ．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内
部，球的最大半径为2，由此能求出结果．
【详解】
解：如图，由题意可知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．
先保证截面圆与ABC 内切，记圆O 的半径为r ， 则由等面积法得1111 (682222)
ABC S AC r AB r BC r =++=⨯⨯△， 所以()68AC AB BC r ++=⨯，又因为6AB =，8BC =，
所以10AC =，所以2r
．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，
若r 增大，则无法保证球在三棱柱内，
故球的最大半径为2，所以3344322333
V r πππ==⋅=． 故选：D ．
【点评】
本题考查球的最大体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题.
4．D
解析：D
【分析】
分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.
详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，
设球的半径为R ，由题意可得：()2
2222444R =++,
据此可得：212R =，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.
本题选择D 选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 5．B
解析：B
【分析】
n α⊥必有n 平行α的垂线，或者n 垂直α的平行平面，依次判定选项即可.
【详解】
解：αβ⊥，m β⊂，不能说明n 与α的关系，A 错误；
//αβ，n β⊥能够推出n α⊥，正确；
αβ⊥，//n β可以得到n 与平面α平行、相交，所以不正确.
//m α，n m ⊥则n 与平面α可能平行，所以不正确.
故选：B .
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，是基础题.
6．D
解析：D
【分析】
根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.
【详解】
设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则
3MN a =，3
MA a =， 因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的
直径也是三棱柱内切球的直径，所以OM MN ==，即三棱柱内切球的半径
r =，
3AM a =，所以3OA a ==，即三棱柱外接球的半径
R =， 所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043
S R a ππ==， 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=
故选：D 【点睛】
本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.
7．B
解析：B 【分析】
①通过线面平行的判定定理判断正确性；②求得三棱锥M DEC -的体积最大值来判断正确性；③结合①判断正确性；④利用反证法判断正确性. 【详解】
①，设F 是AD 的中点，折叠过程中1F 是1A D 的中点，连接11,F M EF ， 由于M 是1A C 的中点，所以1F M 是三角形1A CD 的中位线， 所以111//,2F M CD F M CD =
.由于E 是AB 的中点，所以1
//,2
BE CD BE CD =. 所以11//,F M BE F M BE =，所以四边形1BEF M 是平行四边形， 所以1//BM EF ，由于BM ⊄平面1A DE ，1EF ⊂平面1A DE ， 所以//BM 平面1A DE ，所以①正确. ②，由于M 是1A C 的中点，所以11
2
M DEC A DEC V V --=. 在折叠过程中，三角形DEC 的面积为定值
1
4242
⨯⨯=， 当平面1A DC ⊥平面ABCD 时，1A 距离平面ABCD 的距离最大.
过A 作AO DE ⊥，交DE 于O ，连接1A O ，则1
AO DE ⊥. 当平面1A DC ⊥平面ABCD 时，由于平面1A DC 平面ABCD DE =，
所以1A O ⊥平面ABCD .22222DE =+=
则
1122222
AE AD AE AD DE AO AO DE ⋅⋅=⋅⇒===
则12AO =.所以三棱锥1A DEC -体积的最大值为1
42
4233
⨯⨯=， 所以三棱锥M DEC -体积的最大值为14222
2⨯=
.所以②正确. ③，由①知221415BM EF EF AE AF ===
+=+=，所以③正确.
④，由于22222,4,DE CE CD DE CE CD ===+=，
所以DE CE ⊥.若1DE A C ⊥，1
CE AC C ⋂=， 则DE ⊥平面1A CE ，则1DE A E ⊥，
根据折叠前后图象的对应关系可知14
DEA DEA π
∠=∠=，
与1DE A E ⊥矛盾，所以④错误. 综上所述，正确的为①②③. 故选：B
【点睛】
本小题主要考查线面平行、几何体体积、线线垂直等知识.
8．D
解析：D 【分析】
根据直线与平面平行的判定及相关性质，一一验证各选项即可得出答案. 【详解】
解：A 项，若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l 可能平行于平面α，也可能位于平面α内，故A 项错误；
B 项，直线a 在平面α外，则直线a 与平面α可能平行，也可能相交，故B 错误；
C 项，直线,a b b φα⋂=⊂，所以a 可能与平面α相交或与平面α平行,故C 项错误；
D 项，直线a ∥b ,b α⊂,当a ∥α时,直线a 与平面α内所有与直线b 平行的直线平行；当
a α⊂时,除了直线a 本身,直线a 与平面α内所有与直线
b 平行的直线平行,因此直线a 平
行于平面α内的无数条直线,故D 项正确. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查直线与平面平行的判定及相关性质，属于基础题型.
9．A
解析：A 【分析】
取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，证明平面//CMN 平面1C EF 后即可得P ∈线段EF ，找到取最值的情况求解即可得解. 【详解】
取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ， 由//EF MN ，1//C E CM ，1EF
C E E =可得平面//CMN 平面1C EF ，
P 是侧面四边形
11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，
∴P ∈线段EF ，
∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值1C O ，
当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值1C E 或1C F ， 在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =， 点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，
∴221max 11345C P C E C F ===+=，42EF =，
2221min 1125(22)17C P C O C E EO ==-=-=. ∴线段1C P 长度的取值范围是[17,5].
故选：A.
【点睛】
本题考查了长方体的特征及面面平行的性质与判定，考查了空间思维能力，属于中档题.
10．B
解析：B 【分析】
连接1
,,,OA OB OC AC ，设侧棱与底面边长都等于a ，计算3
AO OC ==，
163
A O a =
，1AC a =
，13AC a =，再根据点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离，求解1AC 与底面ABC 所成角的正弦值，即可.
【详解】
如图所示，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都等于a . 连接1
,,,OA OB OC AC ，则3
3
AO a OC ==. 在1Rt A OA ∆中，222
11A A A O OA =+，得16A O a =
. 在1Rt AOC ∆中，2222
11A C A O OC a =+=，即1
AC a =， 则1A AC ∆为等边三角形，所以160A AC ∠=. 在菱形11ACC A 中，得111120,3AAC AC a ∠==.
又因为点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离16
A O a =
所以1AC 与底面ABC 62333a
a
=. 即1AC 与底面ABC 所成角的余弦值为
73
.
故选：B 【点睛】
本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.
11．C
解析：C 【分析】
在A 中，a 与b 可以成任意角；在B 中a 与b 是平行的；在C 中，可得b α⊥，从而得到
a b ⊥；在D 中，可得a 与b 可以成任意角，从而得到正确结果.
【详解】
由a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，
在A 中，a α⊥，b β//，αβ⊥，因为b 的方向不确定，则a 与b 可以成任意角，故A
错误；
在B 中，a α⊥，b β⊥，//αβ，根据对应的性质可知，可知a 与b 是平行的，故B 错误；
在C 中，由a α⊂，b β⊥，//αβ，可知b α⊥，由线面垂直的性质可知a b ⊥，故C 正确；
在D 中，a α⊂，b β//，αβ⊥，可得a 与b 可以成任意角，故D 错误． 故选：C. 【点睛】
该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．
12．C
解析：C 【分析】
作出三棱锥P ABC -的图象，逐一判断各命题，即可求解． 【详解】
作出三棱锥P ABC -的图象，如图所示：．
对于①，根据题意可知，PD ⊥平面ABC ，且1DP DC ==，所以
2PA PB PC ===
①正确；
对于②，在PAB △中，2PA PB ==02AB <<，所以
2cos 0,2222AB PAB PA ⎛∠=
= ⎝⎭
， 即PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，②正确； 对于③，因为DP DA DB DC ===， 所以三棱锥P ABC -外接球的球心为D ， 半径为1，其体积为
43
π
，③不正确； 对于④，当AB BC =时，BD AC ⊥，所以2BC =
将平面PBC 沿翻折到平面PAC 上， 则DE BE +的最小值为线段BD 的长，
在展开后的DCB 中，6045105DCB ∠=+=，
根据余弦定理可得62
21221cos1052
BD +=+-⨯⨯⨯=
， ④正确． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查棱锥的结构特征，三棱锥外接球的体积求法，以及通过展开图求线段和的最小值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．
13．D
解析：D 【分析】
由等边三角形的性质，求出ABC 内切圆半径3r cm =
，其面积293ABC
S
cm =，从
而可求四面体MABC 的高max 3h =，进而可求出体积的最大值. 【详解】
解：设球的圆心为O ，半径为R ，ABC 内切圆圆心为1O ，由题意知ABC 三边长为
6cm ，
则ABC 内切圆半径1
cos3033
r AB cm =
⋅⋅︒=，则2211OO R r =-=， 所以四面体MABC 的高max 13h OO R =+=.因为223
934
ABC
S AB cm =
⋅=， 所以四面体MABC 体积的最大值3max max 1933
ABC
V S h cm =
⋅=.
故选:D. 【点睛】
本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离.
14．A
解析：A 【分析】
利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可． 【详解】
由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知： 在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确；
在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误；
在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；
在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故
D 错误．
故选：A ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、解答题
15．（1）证明见解析（2）13
AQ =,理由见解析 【分析】
（1）先根据直线与平面垂直的判定定理证明BC ⊥平面1AA ED ，再根据平面与平面垂直的判定定理证明平面BCNM ⊥平面1AA ED ；
（2）连DF ，可推得1A Q 与DF 平行且相等，在线段BD 上取点H ，使
BH FM ==
2
3
，连FH ，可推得HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角，利用正弦值可求得DF 的值，即可得1A Q 的值. 【详解】
（1）因为AB AC =，BD DC =，所以BC AD ⊥， 又D ，E 分别为BC 、11B C 的中点，所以1//DE BB ， 因为侧面11BCC B 为矩形，所以1BC BB ⊥，所以BC DE ⊥， 又AD DE D ⋂=，所以BC ⊥平面1AA ED ，
因为BC ⊂平面BCNM ，所以平面BCNM ⊥平面1AA ED .
（2）因为AB AC ==
2BC =，所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，
又D 为BC 的中点，112
AD BC =
=，因为3AD AQ =，所以13AQ =，23QD =，
连接DF ，因为1
//AQ 平面BCNM ，平面1A ADE 平面BCNM DF =，
所以1//A Q DF ，因为1A A 与1B B 平行且相等，1B B 与DE 平行且相等，
所以1A A 与DE 平行且相等，
所以四边形1A ADE 为平行边形，所以1A F 与QD 平行且相等，
所以四边形1A QDF 为平行四边形，所以1A Q 与DF 平行且相等，因为12
3
A F QD ==，所以1
3EF =
，所以2233
FM BD ==， 在线段BD 上取点H ，使BH FM ==
2
3，则21133
DH =-=，连FH ，则四边形FMBH 为平行四边形，
所以FH 与BM 平行且相等，因为BD ⊥平面1AA ED ，所以HFD ∠为直线BM 与平面
1AA ED 所成角，所以1sin 3HFD ∠=
，即
1
3
DH HF =，所以31HF DH ==， 所以2212219DF FH DH =-=-
=
122
A Q DF ==. 【点睛】
关键点点睛：（1）证明面面垂直的关键是找到线面垂直，利用直线与平面垂直的判定定理可证BC ⊥平面1AA ED ；
（2）解题关键是找到直线BM 与平面1AA ED 所成角，通过计算可知，在线段BD 上取点
H ，使BH FM ==
2
3
，连FH ，则HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角. 16．（1）证明见解析；（23 【分析】
（1）易证得CD ⊥平面ABD ，由线面垂直性质可得CD BF ⊥，利用线面垂直判定定理可证得BF ⊥平面ACD ，由线面垂直性质证得结论；
（2）利用勾股定理可求得,AD BD 长，在ABD △中，利用面积桥可求得BF ，进而得到
BDF
S
；由等腰三角形三线合一可知E 为AC 中点，由此确定E 到平面ABD 的距离；利用
体积桥和三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】 （1）
AB 垂直于圆O 所在平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，
BC 为圆O 的直径，CD BD ∴⊥，
又,BD AB ⊂平面ABD ，AB BD B =，CD
平面ABD ，
BF ⊂平面ABD ，CD BF ∴⊥，
又BF AD ⊥，AD CD D =，,AD CD ⊂平面ACD ，BF ∴⊥平面ACD ， AC ⊂平面ACD ，BF AC ∴⊥.
（2）2BC =，60CBD ∠=︒，CD BD ⊥，1BD ∴=，
由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD 知：AB BD ⊥，AD ∴=
=，
111222ABD
S
AB BD AD BF BF ∴=
⋅=⋅==，解得：5
BF =
，
DF ∴===
111
22555
BDF
S DF BF ∴=
⋅=⨯=， AB BC =，BE AC ⊥，E ∴为AC 中点，
由（1）知：CD ⊥平面ABD ，E ∴到平面ABD 的距离为
122
CD =
，
1
3
230
B DEF E BDF BDF V V S
--∴==⨯
=
. 【点睛】
方法点睛：立体几何求解三棱锥体积的问题常采用体积桥的方式，将所求三棱锥转化为底面面积和高易求的三棱锥体积的求解问题.
17．（1）证明见解析；（2）11
． 【分析】
（1）计算出AE BE =得证AE BE ⊥，从而由面面垂直性质定理得线面垂直中，又得线线垂直AD BE ⊥，再由已知线线垂直AD AE ⊥可证得结论线面垂直；
（2）取AE 的中点O ，连结DO ， 可证DO ⊥平面ABCE ，过E 作直线//EF DO ，以
EA 、EB 、EF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦． 【详解】
（1）证明：∵2AD DE ==，90ADE ∠=︒
∴
AE BE ==，
4AB =，∴222AE BE AB +=，∴AE BE ⊥
又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =，
∴BE ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BE ⊥，
又
AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面BDE.
（2）取AE 的中点O ，连结DO ，∵DA DE =，∴DO AE ⊥， 又平面ADE ⊥平面ABCE ，∴DO ⊥平面ABCE ， 过E 作直线//EF DO ，
以EA 、EB 、EF 分别为为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：
则(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0),(2,0,2)E A B D ，(2,2,0)C - 平面ADE 的法向量1//n EB ，∴1(0,1,0)n =
又(2,2,0)CB =，(2,22,2)DB =-，设平面BDC 的法向量为
()2,,n x y z =，
220
0n CB n DB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，22022220x x y z +=∴-+=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩
∴平面BDC 的法向量2(1,1,3)n =--
()12122221211
cos ,11
1113n n n n n n ⋅∴=
==⋅⨯+-+ ∴平面ADE 与平面BDC 所成锐二面角的余弦值为11
11
. 【点睛】
方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求二面角．
证明线面垂直的方法是：根据线面垂直的判定定理先证线线垂直，当然证明线线垂直又根据面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直．三个垂直相互转化可证结论； 求二面角（空间角）常用方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，用计算代替证明．
18．（1）证明见解析；（239 【分析】
（1）由已知条件可得2221111A B AB AA +=，222
1111AB B C AC +=，则111AB A B ⊥，
111AB B C ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，可证得1C D ⊥平面1ABB ，从而1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，然后在1Rt C AD 求解即可
【详解】
（1）证明： 由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得
11122AB A B ==，所以2221
111A B AB AA +=，由111AB A B ⊥．
由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得115B C =，
由2AB BC ==，120ABC ∠=︒得23AC =，
由1CC AC ⊥，得113AC =，所以2221111AB B C AC +=，
故111AB B C ⊥，又11111A B B C B =，因此1AB ⊥平面111A B C ．
（2）解 如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ．
由1AB ⊥平面111A B C ，1AB ⊂平面1ABB ，得
平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥，得1C D ⊥平面1ABB ，
所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．
由115B C =，1122AB =，1121AC =
得1116
cos 7C A B ∠=，111sin 7
C A B ∠=， 所以13C
D =，故11139sin C D C AC AD ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是
39．
【点睛】
关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点1C 作
111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，然后结合条件可证得1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题 19．（1）证明见解析；（2）10；（3）当a =2时，PC //平面AB 1D . 【分析】
（1）先证PD ⊥PC ，再由线面垂直的性质证得BC ⊥PD ，运用线面判定方法即可证明结果；（2）由题意先作出线面角，运用勾股定理计算三角形边长，最后求出线面角得正切值；（3）运用线面平行得判定定理证明即可.
【详解】
（1）证明：∵PD =PC =2，CD =AB =2，
∴△PCD 为等腰直角三角形，所以PD ⊥PC .
又∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是一个长方体，
∴ BC ⊥平面CC 1D 1D ，而P ∈平面CC 1D 1D ，
∴ PD ⊂平面CC 1D 1D ，所以BC ⊥PD .
又∵PC ∩BC =C ，
∴ PD ⊥平面PBC .
（2）如图，过P 点作PE ⊥CD ，连接AE .
∵平面ABCD ⊥平面PCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，
∴∠PAE 就是直线PA 与平面ABCD 所成的角.
又∵PD =PC 2，PD ⊥PC ，所以PE =1，DE =1，所以
2223110AE AD DE =+=+=
∴10tan 10PE PAE AE ∠=== ∴直线PA 与平面ABCD 10 （3）当a =2时，PC //平面AB 1D .理由如下：连接C 1D ，
∵a =2，
∴四边形CC 1D 1D 是一个正方形，
∴∠C 1DC =45°，而∠PDC =45°，
∴∠PDC =90°，所以C 1D ⊥PD .
又∵PC ⊥PD ，C 1D 与PC 在同一个平面内，
∴PC //C 1D .
又∵C 1D ⊂平面AB 1C 1D
∴PC //平面AB 1C 1D
∴PC //平面AB 1D .
【点睛】
方法点睛：在证明线面垂直或者线面平行时运用其判定定理进行证明，找线线垂直的方法有：
（1）运用勾股定理逆定理；
（2）已知线面垂直，由其性质得线线垂直；
（3）在圆中直径所对的圆周角
（4）三角形相似
找线线平行的方法有：
（1）有中点找中点，构造三角形中位线或者平行四边形；
（2）线面平行的性质定理；
（3）直线平行的条件（同位角、内错角等知识）.
20．（1）证明见解析；（2）
7
. 【分析】
（1）由题意可得11//OE B C ，1//OF C C ，利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ，由面面平行的性质定理即可证明.
（2）利用等体法111112A A B C C AA B V V --=，求出点1C 到平面11AA B 的距离7
d =，由11
sin d A C θ=即可求解. 【详解】
证明：（1）∵O ，E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，
∴11//OE B C ，1//OF C C ，1111B C C C C ⋂=，
//OE ∴平面11B C C ，//OF ∴平面11B C C ，
又OE OF O ⋂=，
∴平面//OEF 平面11BB C C ，
∵EF ⊂平面OEF ，∴//EF 平面11BB C C .
（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，
∵111112A A B C C AA B V V --=， ∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，
2211
3AO AA AO =-=2211115OB B C OC =-= 221122AB AO OB =+=，
∵
11AA B 中，11122A B AB ==，12AA =， ∴117AA B S = ∴1112237323
d ⨯⨯⨯=， 解得217d =
， 设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，
∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为：1121sin 7d AC θ=
=. 【点睛】
方法点睛：证明线面平行的常用方法：
（1）利用线面平行的定义（无公共点）.
（2）利用线面平行的判定定理.
（3）利用面面平行的性质.
21．（1）截面见解析，面积为2；（2）
12
. 【分析】
（1）先根据线面平行的性质定理确定出,EF MN 的位置关系，再根据,EF MN 的长度关系确定出,M N 的位置，从而截面的形状可确定以及截面面积可求；
（2）记11ME AC H =，通过线面垂直证明1A HG ∠即为所求的线面角，从而计算出11A C 与平面α所成角的正弦值.
【详解】
（1）如图截面为矩形EFNM ：
因为//EF 平面11ADD A ，且平面EFNM
平面11ADD A MN =，所以//EF MN ， 又因为111111////,==22
EF BC AD EF BC AD ，且3DG GA =，所以可知111//,2
MN AD MN AD =， 所以//,MN EF MN EF =，所以可知,M N 为棱111,AA A D 的中点， 所以四边形EFNM 为矩形，且112,2EF ME =+=
=，所以截面EFNM 的面积为22；
（2）记11ME AC H =，连接GH ，如图所示：
因为//NF AB ，AB ⊥平面11AA D D ，所以NF ⊥平面11AA D D ，
又1
AG ⊂平面11AA D D ，所以1NF A G ⊥， 由（1）知1//MN AD 且11A D AD ⊥，所以1MN A D ⊥，所以1
MN AG ⊥，且MN NF N =，
1A G ⊥平面EFNM ，所以11A C 与平面α所成角为1A HG ∠，
因为111222442AG A D ===，111
122A H AC ==，所以111
1sin 2A G A HG A H ∠==， 所以11A C 与平面α所成角的正弦值为
12. 【点睛】
方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：
（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；
（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.
22．（1）证明见解析；（2）
62；（3）E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1. 【分析】
(1）证明11,AB BC BC BC ⊥⊥然后证明1C B ⊥平面ABC ；
(2）求出ABC S ，求出13C B =，然后求解三棱柱111ABC A B C -的体积；
(3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE ，证明1EB ⊥平面ABE ，得到EA ⊥EB 1.
【详解】
（1）∵BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C
∴AB ⊥BC 1
在△BCC 1中，由余弦定理得BC =3，则BC 2+BC 2=CC 2，
∴BC ⊥BC 1
又∵BC ∩AB =B ，且AB ，BC ⊂平面ABC
， ∴C 1B ⊥平面ABC .
（2）由已知可得S △ABC =12AB ·BC =12×2×1=22
由（1）知C 1B ⊥平面ABC ，C 1B =3，
所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ·C 1B =22×3=62
. （3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE .
∵EA ⊥1EB ，AB ⊥1EB ，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，
∴1EB ⊥平面ABE .
又∵BE ⊂平面ABE ，
∴BE ⊥1EB .
不妨设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，
在△BCE 中，由余弦定理得BE =221x x +-
在△B 1C 1E 中，∠B 1C 1E =120°，由余弦定理得B 1E 2=257x x -+
在Rt △BEB 1中，由B 1E 2+BE 2=B 1B 2，得()()2222257
14x x x x -+++-=，
解得x =1或x =2(舍去).
故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1.
【点睛】
关键点点睛：在确定动点位置时，设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，根据条件，建立关于x 的方程，求解确定动点位置，属于常用方法.
23．（1）证明见解析；（2．
【分析】
（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；
（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13
P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d . 【详解】
（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ，
又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ，
因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，
,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，
所以平面//AMD 平面PBC ，
又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ；
（2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，AM AB A =，
∴AD ⊥平面ABPM ，
∴AD ⊥AP
又AP =
设点C 到平面APD 的距离为d ∵11142223323
P ACD ACD V PB S -=
⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△ 1
22APD S =⨯⨯=△
∴142233
d ⨯=; ∴2d =
即点C 到平面APD 的距离为2
【点睛】
方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明. 24．(I)证明见解析；(II)
3 . 【分析】
（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；
（II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在Rt EPQ △中求得其余弦值．
【详解】
（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EF
AP =，
∵//FE AP =，∴四边形FAPE 是平行四边形，
∴//FA EP =，同理，//AB PC =.
又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，
而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥，
由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥，
设FA a =，则
2.EP PC PD a CD DE EC a ======，
所以△ECD 为正三角形.
∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥
PM ∩MD =M ，
而PM ，MD 在平面AMD 内 ，
∴CE ⊥平面AMD
而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE .
（Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，
∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥
∵PC PD =，∴PQ CD ⊥
∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角.
由(Ⅰ)可得， 2
EP PQ EQ a PQ a ==⊥，，．
于是在Rt EPQ △中，cos PQ EQP EQ ∠=
=
∴二面角A CD E --的余弦值为
3
. 【点睛】 方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，
一作：作出二面角的平面角；
二证：证明所作的角是二面角的平面角；
三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）．
25．（1）证明见解析；（2 【分析】
（1）证明AC BD ⊥，PD AC ⊥，结合线面垂直的判定定理得出AC ⊥平面PBD ； （2）求出菱形ABCD 的面积，结合PD ⊥平面ABCD ，利用棱锥的体积公式得出四棱锥P ABCD -的体积.
【详解】
（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.
又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
所以PD AC ⊥.
又PD BD D ⋂=，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，
故AC ⊥平面PBD ；
（2）因为45DBP ∠=，PD ⊥平面ABCD
因此2BD PD ==.
又2AB AD ==
所以菱形ABCD 的面积为sin6023S AB AD =⋅⋅=
故四棱锥P ABCD -的体积13V S PD =
⋅=. 【点睛】
本题主要考查了证明线面垂直以及求棱锥的体积，属于中档题.
26．()232cm ，()2
48cm。