高三数学独立重复试验某事件发生的概率试题

高三数学独立重复试验某事件发生的概率试题
1.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6， 0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.
【答案】（1）0.31 （2）3
【解析】（1）至少3人需使用设备分为恰好有3人使用的设备和4个人使用设备.这两个是事件是互斥事件，首先利用独立事件的概率公式分别求出恰好有3人使用的设备和4个人使用设备的概率，最后相加即可.
利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式计算出同一工作日4人需使用设备的概率.然后结合（1）的结论即可得出结论.
试题解析：记A
i
表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2.
B表示事件：甲需使用设备.
C表示事件：丁需使用设备.
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.
E表示事件：同一工作日4人需使用设备.
F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.
（1）D=A
1·B·C+A
2
·B+A
2
··C
P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A
i
)=.
所以P(D)=P(A
1·B·C+A
2
·B+A
2
··C)= P(A
1
·B·C)+P(A
2
·B)+P(A
2
··C)
= P(A
1P)·P(B)·P(C)+P(A
2
)·P(B)+P(A
2
)·p()·p(C)=0.31.
(2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.
又E=B·C·A
2,P(E)=P(B·C·A
2
)= P(B)·P(C)·P(A
2
)=0.06；
若k=4，则P(F)=0.06<0.1.
所以k的最小值为3.
【考点】1.独立事件的概率；2.互斥事件的概率.
2.设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于( ) A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵E(X)＝n×＝2，∴n＝6.∴P(X＝2)＝24＝
3.某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。

若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为。

（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率P
1
；
（2）求小李10月份参加测试的次数x的分布列和数学期望。

【答案】（Ⅰ）小李第一次参加测试就合格的概率为；（Ⅱ）则x的分布列为
小李10月份参加测试的次数x的数学期望为.
【解析】（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率，由题意小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，可设第一次参加测试就合格的概率为，则小李四次测试合格的概率依
次为，而他直到第二次测试才合格的概率为，即，解得
或，又因为他第一次测试合格的概率不超过，可舍去；（Ⅱ）求小李10月份参加测试的次数x的分布列和数学期望，小李10月份参加测试的次数为，则，小李四次考核每次合格的概率依次为，根据相互独立事件同时发生的概率，得到分布列和期望．
试题解析：（Ⅰ）设小李四次测试合格的概率依次为：
a, a＋, a＋, a＋(a≤)， (2分)
则(1－a)(a＋)＝，即,
解得(舍)， (5分)
所以小李第一次参加测试就合格的概率为； (6分)
（Ⅱ）因为P(x＝1)＝， P(x＝2)=，P(x＝3)＝，
P(x＝4)＝1－P(x＝1)－P(x＝2)－P(x＝3)＝， (8分)
则x的分布列为
x1234
(10分)
所以，
即小李10月份参加测试的次数x的数学期望为. (12分)
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
4.有甲，乙两个盒子，甲盒中装有2个小球，乙盒中装有3个小球，每次随机选取一个盒子并从中取出一个小球
（1）当甲盒中的球被取完时，求乙盒中恰剩下1个球的概率；
（2）当第一次取完一个盒子中的球时，另一个盒子恰剩下个球，求的分布列及期望。

【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）
【考点】本题考查了独立重复试验的求法及分布列期望的求法
点评：本题考查了随机事件的概率及随机变量的分布列、期望的综合运用，考查了学生的计算能力及解决实际问题的能力，掌握求分布列的步骤及期望公式是解决此类问题的关键
5.(本题分12分）
从装有2只红球,2只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同．
（Ⅰ）若抽取后又放回,抽取3次,求恰好抽到2次为红球的概率;
（Ⅱ）若抽取后不放回,设抽完红球所需的次数为,求的分布列及期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】本题考查排列组和、离散型随机变量的分布列问题，同时考查利用概率分析、解决问题的能力．在取球试验中注意是否有放回
（1）抽取后又放回，每次取球可看作独立重复试验，利用独立重复试验求解即可．
（2）抽取后不放回，ξ所有可能的取值为2，3，4，5，分别求出其概率即可．
解: （Ⅰ）抽取一次抽到红球的概率为--------------2分
所以抽取3次恰好抽到2次为红球的概率为-----------4分
（Ⅱ）-------------------5分
,,
,．-------------9分
的分布列为
所以---------------------------12分
6.乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。

每次发球，胜方得1分，负方得0分。

设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。

甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。

【答案】（1）（2）
【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题。

首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论。

【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题。

情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况
【解析】解：
7.（本小题满分12分）已知A、B、C三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2．现从A、B、C三个箱子中各摸出1个球．
（Ⅰ）若用数组中的分别表示从A、B、C三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组的所有情形，并回答一共有多少种；
（Ⅱ）如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由。

【答案】（1）8；（2）猜4或5获奖的可能性最大．
【解析】第一问中，先分析所有的情况为共有8种，
第二问，由于事件包含1个基本事件，事件包含3个基本事件，事件包含3个基本事件，事件包含1个基本事件，然后利用古典概型的概率计算公式得到，比较大小即可。

解：（Ⅰ）数组的所有情形为：（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），
（1，2，2），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2），共8种．
答：一共有8种．………………………5分
注：列出5、6、7种情形，得2分；列出所有情形，得4分；写出所有情形共8种，得1分．（Ⅱ）记“所摸出的三个球号码之和为”为事件（=3，4，5，6），………6分
易知，事件包含1个基本事件，事件包含3个基本事件，事件包含3个基本事件，事件包含1个基本事件，所以，
，，，．……………………10分
故所摸出的两球号码之和为4、为5的概率相等且最大．
答：猜4或5获奖的可能性最大．……………………12分
8.某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二、第三种产
品受欢迎的概率分别为，，且不同种产品是否受欢迎相互独立．记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为
则．
【答案】
【解析】解：因为利用n次独立重复试验的概率公式可知，
4/5mn=8/45,(1-4/5)(1-m)(1-n)=2/45.解得m+n=1
9.（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的．
（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】解：（Ⅰ）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件，那么……………………1分
．……………………3分
所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为．……………………4分
（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件，那么……………5分
，…………7分
所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是．…………8分
（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4．那么…………9分
；；
；；
．（错三个没分）
所以ξ的分布列为
……………………12分
．……………………13分
（方法二）依题意, ……………………10分
所以ξ的分布列为，．即
……………………12分
所以．……………………13分
【解析】略
10.某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________．
【答案】不合格
【解析】略。