2016届高考数学一轮复习课件 第七章 不等式、推理与证明7.5

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核心考点
核心规律
4
双击自测
2.间接证明
反证法:假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过
正确的推理,最后得出 矛盾 ,因此说明假设错误,从而证明 原命题成立 的
证明方法.
第四页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
第七章
7.5
直接证明与间接证明
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,n∈N+,其中
2 +c
bn=
c 为实数.若 c=0,且 b1,b2,b4 成等比数列,证
明:Snk=n2Sk(k,n∈N+).
关闭
(-1)
d.
2

-1
由 c=0,得 bn= =a+ d.

2
证明:由题意得,Sn=na+
因为 b1,b2,b4 成等比数列,所以22 =b1b4,

即 +
考点二
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考点三
方法总结 1.用综合法证明是从已知条件出发,逐步推向结论,综合
法的适应范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证没
有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条
件逐步逼近结论的题型.
2.综合法往往以分析法为基础,是分析法的逆过程.
2
2
3
2
=a + d ,化简得 d2-2ad=0.
因为 d≠0,所以 d=2a.
因此,对于所有的 m∈N+,有 Sm=m2a.
从而对于所有的 k,n∈N+,有 Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.
答案
答案
第十二页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
7.5
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考点一
的倒数成等差数列,求证:∠ABC<90°.
关闭
证明:假设∠ABC<90°不成立,即∠ABC≥90°,
从而∠ABC 是△ABC 的最大角,则 b 是△ABC 的最大边,
即 b>a,b>c.
1
1 1
1


1 1
1 1
2
1 1
2
相加得 + > + = ,这与 + = 矛盾.





取倒数,得 > , > ,
关闭
证明:要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1,
1
1
3
+
=
,
+ + ++
++ ++
只需证
+
=3,
+
+


化简,得
+
=1,即 c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c),
+ +
即证
所以只需证 c2+a2=b2+ac.
因为△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,
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考点三
考点二
3
对点练习
已知B,所以
2tan tan
A=3tan
证明:因为
2tan A=3tan
A= tanB.B.
2
关闭
sin2
,
5-cos2
tan-tan
2sincos
只需证
= sin2 2 ,
1+tantan
5-(1-2sin. B)
求证:tan(A-B)=
故∠ABC≥90°不成立,
即∠ABC<90°.
答案
第九页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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1
2
3
4
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10
5
自测点评 1.分析法是“执果索因”,实际上是寻找使结论成立的充
分条件.
2.综合法和分析法都是直接证明的方法,反证法是间接证明的方法.
明显、直接,或证明过程中所需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用
分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考
虑用分析法.用分析法证明的格式为“要证—只需证—已知”的格式.
第十五页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
7.5
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要证 tan(A-B)=
1
tan
2
只需证 3 2
1+2tan B
5-cos2
2sincos
tan
sincos
=
,即证
=
,
4+2sin2 B
2+3tan2 B
2+sin2 B
只需证 tan B(2+sin2B)=(2+3tan2B)sin Bcos B,
只需证 tan B(2cos2B+3sin2B)=(2+3tan2B)sin Bcos B,
7.5
直接证明与间接证明
第一页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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考纲要求
1.了解直接证明的两种基
本方法——分析法和综合
法;了解分析法和综合法
的思考过程、特点.
2.了解间接证明的一种基
本方法——反证法;了解反
证法的思考过程、特点.
题
型
解
答
题
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的 推理论证 ,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合
法.
②框图表示:P⇒Q1 →Q1⇒Q2 →Q2⇒Q3 →…→Qn⇒Q
(其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要证的结
论).
③思维过程:由因导果.
(2)分析法
①定义:从 ①要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的 充分条件 ,直至
2
2 +2 -
1
所以∠B=60°.所以 cos B=
= .
2
2
所以 a2+c2-b2=ac.所以原式成立.
答案
第十四页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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考点三
方法总结 分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够
⇒bnbn-1+3bn=3bn-1⇒ −
= .
2
2 +3

3
-1
∴
1
1
是首项为 1,公差为 的等差数列.

3
-1
答案
答案
第十一页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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考点三
2.设{an}是首项为 a,公差为 d 的等差数列(d≠0),Sn 是其前 n 项的和.记
的频率高,每年都考,间
接证明考查的少.高考
对反证法的考查常有以
下两个命题角度:
(1)证明否定性命题;
(2)证明存在性问题.
第二页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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3
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1.直接证明
(1)综合法
①利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列
当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列.
第十八页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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第十三页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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考点三
考点二分析法的应用
已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 a,b,c 分别为角 A,B,C 的
对边,求证:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.
2
得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,
1
N+,n≥2),求证:
为等差数列.
两式相减,得(3+m)a
n+1=2man,m≠-3,
+1
2
=
,∴{an}是等比数列.

+3
2
(2)∵b1=a1=1,q=f(m)=
,
+3
∴
∴n∈N*且 n≥2 时,
3
3 2-1
1
1
1
bn= f(bn-1)= ·
关闭
B
解析
答案
第六页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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1 2
3
4
7
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5
3.命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θsin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了(
)
)
(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法,用综合法展现解决问题的过
程.(
)
(6)证明不等式√2 + √7 < √3 + √6最合适的方法是分析法.(
)
关闭
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
答案
答案
第五页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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答案
第十六页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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考点三
考点三反证法的应用
(2014 黑龙江鹤岗模拟)设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前
n 项和.
(1)求证:数列{Sn}不是等比数列.
(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?
1.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*).其中 m 为
常数,且 m≠-3.
(1)求证:{an}是等比数列;
关闭
证明:(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,
3
(2)若数列{an}的公比 q=f(m),数列{bn}满足 b1=a1,bn= f(bn-1)(n∈
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考点三
(2)解:当 q=1 时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;
当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列,否则 2S2=S1+S3,
即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),
得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾.
综上,当 q=1 时,数列{Sn}是等差数列;
最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、
定义、公理等).这种证明方法叫做分析法.
②框图表示:Q⇐P1 →P1⇐P2 →P2⇐P3 →…→得到一个明显成立的条件
(其中 Q 表示要证明的结论).
③思维过程:执果索因.
第三页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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1
2
5
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3 4 5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.(
)
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条
件.(
)
(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.(
(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.(
sin2 B
sincos
只需证 tan B 2 + 3· 2 =(2+3tan2B)· 2 ,
cos B
cos B
即证 tan B(2+3tan2B)=(2+3tan2B)tan B.
因为 tan B(2+3tan2B)=(2+3tan2B)tan B 显然成立,
sin2
成立.
5-cos2
所以 tan(A-B)=
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核心考点
1
2
3
4
核心规律
6
5
2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确
的假设为(
)
A.a,b,c 中至少有两个偶数
B.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数
C.a,b,c 都是奇数
D.a,b,c 都是偶数
关闭
“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”.
3.用反证法证题时必须先否定结论,否定结论就是找出结论的反面的
情况.
4.反证法的步骤是:(1)准确反设;(2)从否定的结论正确推理;(3)得出矛
盾.
第十页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
7.5
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11
考点三
考点二
考点一综合法的应用
能被 5 整除”时,假设的内容应为
.
关闭
a,b 都不能被 5 整除
答案
第八页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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1 2
3
9
核心规律
4 5
5.在△ABC 中,∠BAC,∠ABC,∠ACB 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 三边
)
A.分析法
B.综合法
C.综合法、分析法综合使用
D.间接证明法
关闭
因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.故选 B.
关闭
B
解析
解析
答案
答案
第七页，编辑于星期五：二十点 三十八分。
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7.5
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