初中数学浙教版八年级上学期期末能力提升专题1 三角形

初中数学浙教版八年级上学期期末能力提升
专题1 三角形
一、单选题（共10题；共20分）
1.已知，在与中，，那么添加一个条件后，仍无法判定的是（）
A. B. C. D. 与的周长相等
2.等腰三角形的两边长为2和6，则周长是（）
A. 10
B. 14
C. 10或14
D. 6
3.如图，顶角为120°，，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则DE的长为（）
A. 1
B. 2
C.
D.
4.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=56°，将△ABC沿着DE翻折，使得点C恰好与点B重合，连接BE，则∠AEB的度数为()
A. 68°
B. 58°
C. 22°
D. 34°
5.若等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（）
A. 15cm
B. 20cm
C. 25cm
D. 20cm或25cm
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为（）
A. 13
B. 14
C. 15
D. 21
7.如图，在中，，平分交于点D，于点E，下列结论中正确的个数是（）.
① 平分：② ；③ 平分；④ .
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 4个
8.在如图所示的6×6 网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数（）
A. 3 个
B. 4 个
C. 6 个
D. 7 个
9.如图，在直角△ABC中，，AB=AC，点D为BC中点，直角绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②
AE=CF；③△BDE≌△ADF；④ BE+CF=EF，其中正确结论是（）
A. ①②④
B. ②③④
C. ①②③
D. ①②③④
10.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
二、填空题（共10题；共10分）
11.△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为________cm．
12.如图，是钝角三角形的高，是角平分线，且，若
，的面积为12，则________．
13.如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=40°，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，则∠DAE= ________°．
14.如图，在△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，若BC＝6，AD＝5，CE＝4，则AB的长为
________．
15.已知三角形的三边长分别为4，8，a，则a的取值范围是________ ．
16.如图，OP平分∠AOB，PA OA，PB OB，垂足分别为点A、B.下列结论中，一定成立的是
________（填序号）
①PA＝PB；②OA＝OB；③OP垂直平分AB；④AB垂直平分OP
17.如图，ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为，点B关于AC边的对称点为，点C关于AB边的对称点为，ABC与的面积之比为________.
18.如图，AB = 4cm ，AC = BD = 3cm . ∠CAB = ∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm / s 的速度由点A 向点 B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点 D 运动.设运动时间为t(s) ，则当点Q 的运动速度为________cm / s 时，DACP 与DBPQ 全等.
19.如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC ，BC ，线段PQ AB，点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以的速度运动，问P点运动________ 秒时t ，才能使ABC≌QPA全等.
20.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点G.若∠B＝24°，∠CAB＝54°，∠DAC＝16°，则∠DGB＝________.
三、计算题（共4题；共25分）
21.如图．平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．求证：
（1）点D为的中点；
（2）．
22.已知为三角形三边的长，化简：.
23.如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．
24.如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM、ON上移动，BE是∠ABN的平分线，BE的反向延长线与∠OAB平分线相交于点C，试问：∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．
四、解答题（共3题；共20分）
25.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC边上一点，∠DAB＝45°.
（1）求∠DAC的度数；
（2）请说明：AB＝CD.
26.如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB.求证：AF=DE.
27.如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=35°，∠B=∠D=20°，∠EAB=105°，求∠BFD和∠BED的度数.
五、综合题（共8题；共97分）
28.已知，中，于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点D为外一点，，若平分，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，若，，求的面积．
29.在中，点D、E在边上，满足，，且．（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点E作交于点G，交于点F，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点F为中点时，求的值．
30.如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．
（1）求证：ED∥BC；
（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．
①求△ABC的面积；
②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．
31.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与点C重合，点D与点G重合，若BC＝8，AB＝4，求：
（1）求CF的长．
（2）求EF的长．
（3）求阴影部分△GED的面积．
32.现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是________．
（2）如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是________；
（3）如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
33.如图，线段AB=4，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B 在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）.
（1）求证：AEP≌CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）请直接写出AEF的周长.
34.已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F.
（1）求证：AE＝BF；
（2）若AC＝24，BC＝10，求AE的长.
35.在中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作
，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE
（1）如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°.
①说明：；
②线段CE、CD、BC的数量关系为_▲_.
（2）如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α，∠BCE=β.则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），故本选项不合题意；
B、∵在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），故本选项不合题意；
C、根据AB=AD，AC=AC，∠BCA=∠DCA不能推出△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；
D、∵△ADC与△ABC的周长相等，AB=AD，AC=AC，
∴CB=CD，
由选项A可知△ABC≌△ADC，本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据图形得出AC=AC，根据全等三角形的判定定理逐个推出即可．
2.【答案】B
【解析】【解答】解：当腰为2时，2+2＜6，不能构成三角形，因此这种情况不成立，
当腰为6时，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为6+6+2=14，
故答案为：B．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系．
3.【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠BAC=120°，，
∴∠B=∠C=30°，
∵将折叠，使点B与点A重合，折痕为，
∴∠BAE=∠B=30°，ED⊥AB，
∴∠EAC=120°－30°=90°，
∵EC=4，
∴，
在△ADE中，∵∠ADE=90°，∠DAE=30°，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠B=∠C=30°，根据折叠的性质可得
∠BAE=∠B=30°，ED⊥AB，进而可得∠EAC=90°，然后分别在直角△AEC和直角△ADE中利用30°角的直角三角形的性质求解即可．
4.【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，∠ABC=56°
∴∠C=34°
∵将△ABC沿着DE翻折，使得点C恰好与点B重合
∴BE=EC，∠C=∠EBC=34°
∴∠AEB=∠C+∠EBC=68°
故答案为：A．
【分析】根据三角形内角和为180°，可求∠C的度数，由翻折可得∠C=∠EBC，即可求∠AEB的度数．5.【答案】C
【解析】【解答】解：当腰为5时，∵5+5=10，不符合题意；
当腰为10时，周长=10+10+5=25.
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论，当腰为5时，不符合三角形三边的关系；当腰为10时，求出此等腰三角形的周长即可.
6.【答案】C
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于点E，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积= ．
故答案为：C．
【分析】作DE⊥AB于点E，如图，根据角平分线的性质可得DE=DC=3，再根据三角形的面积公式计算即可．
7.【答案】A
【解析】【解答】解：因为，所以.
又是的角平分线，，由角平分线的性质得，又，故，所以，故①成立；
在中，，故，在中，
，因此，即，故②成立；
∵，故，因此，④成立；
当时，，，显然，故③不成立. 【分析】根据角平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可判断.
8.【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
以BC为一条公共边且与△ABC全等的是：△B1BC，△B2BC，△B7BC，
以AC为一条公共边且与△ABC全等的是：△B3AC，△B4AC，△B5AC，
以AB为一条公共边且与△ABC全等的是：△B6AB，
综上，正确的三角形共有7个，
故答案为：D．
【分析】如图，分三种情况：分别以BC、AC、AB为一条公共边，根据全等三角形的判定方法和方格的特点解答即可．
9.【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），故③符合题意；
∴DE=DF、BE=AF，
又∵∠MDN是直角，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①符合题意；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∴AE=CF，故②符合题意；
∵BE+CF=AF+AE＞EF，
∴BE+CF＞EF，
故④不符合题意；
综上所述，正确的结论有①②③；
故答案为：C．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③符合题意；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①符合题意；再求出AE=CF，判断出②符合题意；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出④不符合题意．
10.【答案】C
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，
∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝2，
故答案为：C．
【分析】过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，进而可得∠ABD＝∠CBD，然后根据角平分线的性质定理可求解．
二、填空题
11.【答案】2400
【解析】【解答】解：设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm，
∵最长边为10m，
∴5x＝10，
解得：x＝2，
∴3x＝6，4x＝8，
∴6+8+10＝24（m）＝2400cm，
故答案为：2400．
【分析】由“三条边的长度比为3：4：5",设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm、利用最长边为10m，列出方程,即得三角形的周长.
12.【答案】3
【解析】【解答】解：∵BH⊥CH，∠C=45°∠ABH，
∴∠ABC=90°-∠C-∠ABH
=90°-(45°∠ABH）-∠ABH
=45°∠ABH，
∴∠ABC=∠C，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD=4，
∴BC=8，
∵S△ABC=12，
∴BC•AD＝12，
∴AD=3，
故答案为：3．
【分析】根据直角三角形两锐角互余得到∠ABC=∠C，由AD是∠BAC的平分线可得AD⊥BC，即可得
BD=CD=4，再由三角形的面积公式可得AD=3．
13.【答案】24°
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠B=38°，∠C=40°，
∴∠B+∠C=38°+40°=78°，
∴∠BAC=180°-(∠B+∠C)=180°-78°=102°，
∠BAD+∠CAE=78°，
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=102°-78°=24°．
故答案为24°．
【分析】根据线段垂直平分线得出AD=BD，AE=CE，推出∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，求出∠BAD+∠CAE的度数，根据三角形内角和即可得到答案，
14.【答案】
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高
∴BC×AD= AB×CE
∴BC×AD=AB×CE
∵BC=6，AD=5，CE=4
∴6×5=4AB
∴AB=
故答案为：．
【分析】根据△ABC的面积等于×底×高，分别以BC为底，AD为高和以AB为底，CE为高两种方式计算，面积相等，列出等式，再将已知数据代入，解出AB即可．
15.【答案】4<a<12
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得
8−4<a<8+4，
即：4<a<12.
故答案为4<a<12.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可.
16.【答案】①②③
【解析】【解答】解：OP平分∠AOB，PA OA，PB OB，
AP=PB，故①正确；
OP=OP，
，
OA=OB，故②正确；
OP垂直平分AB，故③正确；
则AB垂直平分OP不一定成立，故错误；
所以正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】首先根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出AP=PB，进而利用HL判断出
Rt△AOP≌Rt△BOP，根据全等三角形的对应边相等得出OA=OB，从而利用到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线得出OP垂直平分AB，而题干中的条件判断不出AB垂直平分OP一定成立，从而即可一一判断得出答案.
17.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接CC'并延长交于D，连接，，
∵点A关于BC边的对称点为，点B关于AC边的对称点为，点C关于AB边的对称点为，
∴AC＝，BC＝，∠ACB＝∠，AB垂直平分，
∴△ABC≌△（SAS），
∴S △ABC＝S△A'B'C，∠A＝∠，AB＝，
∴AB∥，
∴CD⊥，
∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD＝CE，
∴CD＝CE＝，
∴＝，
∴S △ABC＝，
∴ABC 与的面积之比为，
故答案为：.
【分析】连接并延长交于D，连接，，依据AC＝，BC＝，∠ACB＝∠，可得△ABC≌△，进而得出S △ABC＝，再根据CD＝＝，可得＝，进而得到S△ABC＝.
18.【答案】1或
【解析】【解答】解：设点Q的运动速度是xcm/s，
∵∠CAB=∠DBA=60°，
∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，
则1×t=4-1×t，
解得：t=2，
则3=2x，
解得：x=1.5；②AP=BQ，AC=BP，
则1×t=tx，4-1×t=3，
解得：t=1，x=1，
故答案为：1或1.5.
【分析】设点Q的运动速度是xcm/s，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，②AP=BQ，AC=BP，列出方程，求出方程的解即可.
19.【答案】2或8
【解析】【解答】∵ABC≌QPA，
∴BC＝PA＝6，
①当点P在线段CA上时，
CP＝AC－AP＝10－6＝4，
∴P点运动时间为：（秒），
②当点P在线段CA的延长线上时，
CP＝AC＋AP＝10＋6＝16，
∴P点运动时间为：（秒），
综上所述，P点运动时间为：2秒或8秒，
故填：2或8.
【分析】根据题意ABC≌QPA，可知对应边BC＝PA，再进行分析计算.
20.【答案】70
【解析】【解答】解：因为△ABC≌△ADE,
∴∠ACB=∠E=180°-24°-54°=102°,
∴∠ACF=180°-102°=78°,
在△ACF和△DGF中,
∠D+∠DGB=∠DAC+∠ACF,
即24°+∠DGB=16°+78°，
解得∠DGB=70°.
故答案为:70°.
【分析】因为两三角形全等,对应边相等,对应角相等,根据全等三角形的性质进行求解即可求出.
三、计算题
21.【答案】（1）解：如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE=DH，
∵BF∥AC，DE⊥AC，
∴BF⊥DF，
∵BC平分∠ABF，DH⊥AB，DF⊥BF，
∴DF=DH，
∴DE=DF，
∴点D为EF的中点；
（2）解：∵BF∥AC，
∴∠C=∠DBF，
∵∠C=∠DBF，∠CDE=∠BDF，DE=DF，
∴△DCE≌△DBF，
∴CD=BD，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABD=∠DBF，
∴∠C=∠ABD，
∴AC=AB，且CD=BD，
∴AD⊥BC；
【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质可得DE=DH，DF=DH，可得结论；（2）由“AAS"可证△DCE≌△DBF，可证CD=BD，由等腰三角形的性质可证AD⊥BC；
22.【答案】解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=
=a+b-c-b+c+a+c-a-b
= .
【解析】【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可.
23.【答案】解：连接FC，
∵△ABC和△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°﹣∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，
∴EF=3，CE=5，
∴CE2=EF2+CF2，
∴∠CFE=90°
∵∠AFE=60°，
∴∠AFC=90°+60°=150°，
∴∠AEB=∠AFC=150°
【解析】【分析】连接FC，根据等边三角形的性质得出AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，
∠BAC=∠EAF=60°，求出∠BAE=∠CAF，证出△BAE≌△CAF，推出CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，求出
CE2=EF2+CF2，推出∠CFE=90°即可求得．
24.【答案】解：∠ACB的大小保持不变．理由：∵∠ABn=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABN，∴∠ABE= ∠ABN= （90°+∠OAB）=45°+ ∠OAB，
即∠ABE=45°+∠CAB，
又∵∠ABE=∠ACB+∠CAB，
∴∠ACB=45°，
故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°
【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
四、解答题
25.【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；
（2）证明：∵∠DAB＝45°，
∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴DC＝AC，
∵AB＝AC，
∴AB＝CD.
【解析】【分析】（1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°；（2）根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论.
26.【答案】解：∵CE=FB，
∴CE+EF=FB+EF，
即CF=BE，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（SSS），
∴∠B=∠C，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE.
【解析】【分析】先根据CE=FB得到CF=BE，然后利用“边边边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等，然后根据全等三角形对应边相等得证.
27.【答案】解：∵△ABC≌△ADE,
∴∠EAD=∠CAB,
又∵∠CAD=35°，∠EAB=105°
∴∠EAD+∠DAC+∠CAB=∠EAB=105°，
∴∠EAD=∠DAC=∠CAB=35°,
∴∠DFB=∠DAB+∠B=35°+35°+20°=90°，
∴∠BED=∠BFD-∠D=90°-20°=70°.
【解析】【分析】由全等三角形的性质可得∠EAD=∠CAB, 结合∠CAD和∠EAB的度数可得∠CAB的度数，然后利用三角形外角的性质即可求出∠BFD和∠BED的度数.
五、综合题
28.【答案】（1）证明：∵AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
又∵∠HAB=∠HAC，AH=AH，
∴△ABH≌△ACH（ASA)；
（2）证明：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵△ABH≌△ACH，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠DBC，
∴∠ACB=∠DBC，
∴AC∥BD，
∴∠DAC=∠ADB=90°，
∴AD⊥AC；
（3）解：如图，过点A作AP⊥DC于P，，则∠ADB=∠APC=90°，
∵△ABH≌△ACH，
∴AB=AC，
由（2）中知∠ABC=∠DBC，∠DAC=∠ADB=90°，
∵∠ADC=2∠ABC，
∴∠ADC=∠ABD，
∴∠ACP=∠BAD，
∴△CPA≌△ADB（AAS）,
∴AP=BD=3，
∴．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定“ASA”证明即可；（2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得∠ACB=∠DBC，根据平行线的性质可证得AC∥BD，再根据平行线的性质得∠DAC=∠ADB=90°，即可证得结论；（3）过点A作AP⊥CD于P，由（1）中全等三角形的性质可得AB=AC，再由已知可得
∠ADC=∠ABD，进而有∠ACP=∠BAD，然后根据全等三角形的判定证得△CPA≌△ADB，则有AP=BD=3，利用三角形的面积公式求解即可．
29.【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴,
∴CG=GE，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴CF=DE．
（3）解：设AC=2a，BC=b，
∴AE=2a，BD=b，
∵点F为中点，
∴AF=FC=AD=DE=a，
∴AB=AE+BE=2a+(b－a)=a+b，
由勾股定理可得：，
∴
整理可得：，
∴，
∴= = ．
【解析】【分析】（1）由，可得，，由可得出，，即
，所以，根据三角形的内角和求出．
（2）要证明，由已知条件不难得出：CG=GE，，证明出即可，由（1）可得，又因为，所以，所以，即可证明，所以
得证．
（3）设AC=2a，BC=b，分别用a、b表式出AB、BC的长度，根据勾股定理列式计算出的值即可．
30.【答案】（1）证明：如图，
∵∠BDC＋∠EFC＝180°，∠EFD＋∠EFC＝180°，
∴∠BDC＝∠EFD，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
又∵∠B＝∠DEF，
∴∠B＝∠ADE，
∴ED∥BC；
（2）解：①设△CEF的面积为a，
∵F是CD的中点，
∴S△DEF＝a，
∴S△CDE＝2a，
同理，S△ADC＝4a，S△ABC＝8a，
∴S四边形ADFE＝3a，
∵四边形ADFE的面积为6．
∴3a＝6，即a＝2，
∴S△ABC＝8a＝16；
②如图，连接DG，
∵CG＝2BG，
∴S△DCG＝2S△DBG，
∴，
∵F是CD的中点，
∴．
【解析】【分析】（1）根据同角的补角线段得出∠BDC＝∠EFD，即可证得AB∥EF，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠DEF，即可得出∠B＝∠ADE，从而证得结论；（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算即可．（3）连接DG，由CG＝2BG，得到S△DCG＝2S△DBG，即可得到
，进一步得到．
31.【答案】（1）解：设CF=x，则BF=8-x，
由折叠的性质得出：AF=CF=x，∠EFC=∠EFA，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴16+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴CF=5；
（2）解：过F点作FH⊥AD于H，
则FH=4，AH=BF=3，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC
∵∠EFC=∠EFA，
∴∠AEF=∠EFA，
∴AE=AF=5，
∴EH=AE-AH=2，
∴EF2=42+22=20，
∴EF= ；
（3）解：过G点作GM⊥AD于M，
则AG×GE=AE×GM，
∵AG=AB=4，AE=CF=5，GE=DE=3，
∴GM= ,
∴S△GED= ×GM×DE=
【解析】【分析】（1）设CF=x，则BF=8-x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，解方程可求出CF的长；（2）过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理可求出EF的长；
（3）过G点作GM⊥AD于M，根据三角形面积不变性，AG×GE=AE×GM，求出GM的长，根据三角形面积公式计算即可．
32.【答案】（1）∠1＝2∠A
（2）∠1+∠2＝2∠A
（3）解：如图3，
∠2﹣∠1＝2∠DAE，理由是：
∵∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1，
∴∠2＝∠A′+∠DAE+∠1，
∵∠DAE＝∠A′，
∴∠2＝2∠DAE+∠1，
∴∠2﹣∠1＝2∠DAE．
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∠1＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠A＝∠DA′A，
∵∠1＝∠A+∠DA′A，
∴∠1＝2∠A；
故答案为：∠1＝2∠A；（2）如图2，
猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；
故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
【分析】（1）∠1＝2∠A，由折叠可得∠A＝∠DA′A，再由三角形外角的性质可得∠1＝
∠A+∠DA′A，由此可得∠1＝2∠A；（2）∠1+∠2＝2∠A，由折叠可得∠ADE＝∠A′DE，∠AED ＝∠A′ED，由平角的定义可得∠ADB+∠AEC＝360°，即可得∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，由此即可证得结论；（3）∠2﹣∠1＝2∠DAE，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1，所以∠2＝∠A′+∠DAE+∠1，由折叠可得∠DAE＝∠A′，所以∠2＝2∠DAE+∠1，即∠2﹣∠1＝2∠DAE．
33.【答案】（1）证明：四边形正方形，
平分，，
，PE=PE
；
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：过点作.
，，
，
，
又，
，
，，
，
，
.
【解析】【分析】（1）四边形正方形，则平分，，
，即可求解；
（2），则，而，则，又，则即可求解；
（3）证明，则，，即可求解.
34.【答案】（1）证明：连接AD
∵∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC
∴DE=DF，DA=DB
∴Rt△ADE≌Rt△BDF
∴AE＝BF；
（2）解：∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∵DE⊥AC，DF⊥BC
∴∠CED=∠CFD=90°
∴∠CDE=90°－∠ACD=90°－∠BCD=∠CDF
∴CE=CF
∴AC－AE=BC＋BF
∴24－AE=10＋AE
解得：AE=7
【解析】【分析】（1）连接AD，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得DE=DF，DA=DB，利用HL 可证Rt△ADE≌Rt△BDF，从而证出结论；
（2）根据角平分线的定义和直角三角形的性质可证∠CDE=∠CDF，然后根据角平分线的性质可证CE=CF，从而得出AC－AE=BC＋BF，代入即可解出结论.
35.【答案】（1）解：①∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC
∴∠BAD=∠EAC
∵AB=AC，AD=AE
∴
②CE+CD=BC
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=α
∴
∵
∴
∴
∵
∵∠BCE=β
∴
即.
【解析】【解答】解：（1）②由（1）①结论得：BD=CE
∵点D在线段BC上
∴BD+CD=BC
∴CE+CD=BC；
【分析】（1）①根据∠DAE=∠BAC得∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，从而得到∠BAD=∠EAC，结合AB=AC，AD=AE，即可完成证明；②由得BD=CE，再结合BD+CD=BC，即可完成解题；（2）根据等腰的性质，结合∠BAC=α，计算得到；再根据，得，通过，即可求得α，β之间关系.。