函数最大(小)值与导数教案
函数最值教案
函数最值教案一、教学目标1. 知识目标：了解函数的最值概念，掌握函数最大值与最小值的求解方法。
2. 技能目标：能够通过求导或化简的方式求解函数的最大值与最小值。
3. 情感目标：培养学生对数学探究的兴趣，加深对函数最值概念的理解。
二、教学重点与难点1. 教学重点：函数最值的概念及求解方法。
2. 教学难点：如何通过求导或化简的方式求解函数的最值问题。
三、教学准备1. 教师准备：教案、教材、教具、黑板、彩色粉笔。
2. 学生准备：参与课堂讨论。
四、教学过程1. 导入新课（5分钟）教师出示一道经典的函数最值问题：给定函数f(x)=3x^2-2x+4，求函数f(x)的最值。
请同学们思考并回答。
2. 什么是函数最值（5分钟）教师解释函数的最大值与最小值的概念，并引导学生通过分析函数的图像来理解最值的概念。
指出最大值是函数图像上的最高点，最小值是函数图像上的最低点。
3. 函数最值的求解方法（15分钟）在导数概念教学的基础上，教师提醒学生函数最值的求解方法可以通过求导或化简两种途径。
然后通过例题进行分析与练习。
例1：函数f(x)=3x^2-2x+4的最值如何求解？例2：函数f(x)=1/x的最值如何求解？4. 求解函数最值的步骤（15分钟）教师总结函数最值的求解步骤，并通过例题进行练习。
步骤如下：（1）求函数的导数或化简成一次函数。
（2）令导数等于0，解出x的值。
（3）将x带入原函数的表达式，得到相应的y值。
（4）比较求得的y值，得到函数的最值。
5. 继续练习（15分钟）教师布置一些练习题，并让学生在课堂上解答。
鼓励学生互相讨论，学生之间互相交流。
6. 归纳总结（5分钟）教师与学生共同总结函数最值的概念与求解方法。
确保学生正确掌握知识点。
七、作业布置布置相应的练习题，鼓励学生独立完成，并写出解题思路和步骤。
八、板书设计函数最值1. 概念：函数最大值与最小值的定义。
2. 求解方法：分析图像、求导和化简的方法。
3. 求解步骤：求导（化简）→令导数（化简后的函数）等于0→解出x的值→带入原函数得到y值→比较y值得到函数的最值。
【教学设计】公开课 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、【教学目标】重点: 求函数最值的方法.难点：函数存在最值的的条件；求函数最值的方法.知识点：理解函数最值的特点；掌握函数存在最值的的条件及用导数求函数最值的方法.能力点：通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力.教育点：通过以学生为主体的教学方法,让学生自己探究函数最值的求法,发展体验获取知识的感受.自主探究点：通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新的精神.考试点：求函数最值的方法.易错易混点：极值和最值的区别与联系.拓展点：通过函数的最大（小）值与导数教学,建立概念间的多元联系,培养同学们多角度审视问题的习惯.二、【复习回顾】【师生活动】（1）师:好美的图片啊,这里的山高低起伏，层峦叠嶂，你能用两句诗形容这里的山吗?生:横看成岭侧成峰,远近高低各不同.（2）师:我们从图片上提炼出来一段图象,观察闭区间],[b a 上函数)(x f y 的图象,找出它的极大值点,极小值点.生:极大值点：642,,x x x 极小值点：531,,x x x 【设计意图】利用课件的生动性激发学生的学习兴趣.师:我们在图象上取一个闭区间],[d c ，以这一段为例，你能说出极大值的定义吗?这里的极大值也是最大值，那你能再说一下最值的定义吗? 【设计意图】温故而知新,通过学生回答,为本节课的学习作铺垫.教师总结：极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益,常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值?它们与函数极值关系如何?这就是我们这一节课的主要内容----函数的最大（小）值与导数. 【设计意图】 通过教师总结,引出最值及本节课的课题. 三、【探究新知】探究一：函数在区间],[d c 上有最大值、最小值吗?如果有，分别在什么位置取最值?探究二：函数在区间]c上有最大值、最小值吗?如果有，分别在什么位[d,置取最值?探究三：函数在区间]c上还有最大值、最小值吗?如果有，分别又在什,[d么位置取最值?四、【理解新知】师：通过三个探究，我们来思考总结下面两个问题：思考1：你能从自变量的范围和图象的角度说明函数在什么情况下有最值吗?（学生分组讨论，完成总结）学生回答，教师板书：最值存在性定理：一般地，如果在区间]f(xy 的图象是一条连续不断的曲,a上函数)[b线，那么它必有最大值和最小值。
人教课标版高中数学选修1-1《函数的最大(小)值与导数》教案-新版
3.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学目标 1．核心素养通过学习函数的最大（小）值与导数，形成基本的逻辑推理和数学运算能力，能围绕讨论问题的主题，观点明确，论述有理有据，并依据运算法则解决数学问题． 2．学习目标（1）借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值的概念。
（2）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
（3）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
3．学习重点利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 4．学习难点函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1结合函数2)(x x f =在]2,1[-上的图像，想一想：函数2)(x x f =在]2,1[-上的极小值是多少？函数2)(x x f =在]2,1[-上的最大值、最小值分别是多少？ 任务2预习教材P96—P98，完成P98相应练习题，并找出疑惑之处.2．预习自测1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 解：D 最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的．2．函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值是M ，最小值是m ，若M=m ，则)(x f '( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 解：A 由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0． 3．函数x xe y -=在]4,2[∈x 上的最小值为 ．解：44e xx x x e x e xe e y -=-='1)(2，当]4,2[∈x 时，0<'y ，即函数xxe y -=在]4,2[∈x 上单调递减，故当4=x 时，函数有最小值为44e． 4．设b ax ax x f +-=236)(在区间]2,1[-上的最大值为3，最小值为29-，且0>a ，求a ，b 的值 ． 解：2=a)4(3123)(2-=-='x ax ax ax x f ，令0)(='x f ，得0=x 或4=x ，则函数)(x f 在]2,1[-上的单调性及极值情况如下表所示： ∴3)0(==b f ，又∵3736)1(+-=+--=-a a a f ，3163248)2(+-=+-=a a a f)1(-<f ，∴29316)2(-=+-=a f ，∴2=a ．（二）课堂设计 1．知识回顾⑴常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.⑵求函数极值的方法和求解步骤. 2．问题探究问题探究一 函数最大（小）值与导数 ●活动一观察与思考：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最大值、最小值吗？一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． ●活动二想一想：函数的极值与最值有怎样的关系？函数极值与最值的区别与联系：⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一．⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．（5）对于在闭区间上图像连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得．问题探究二 函数的最大值与最小值的求解●活动一阅读教材P97的例5，根据例5及最值与极值的关系归纳出求函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值的步骤．利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．●活动二 初步运用 求函数的最值例 1 已知函数4431)(3+-=x x x f ，⑴求曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程；⑵若]3,3[-∈x ，求函数)(x f 的最大值与最小值．【知识点：导数的几何意义、函数的最值；数学思想：数形结合】详解：⑴4)(2-='x x f ，所以曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线的斜率4)0(-='=f k ，故曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程为44+-=x y ．⑵令0)(='x f 得2=x 或2-，列表如下：3)2()(=-=f x f 极大值，3)2()(-==f x f 极小值，又7)3(=-f ，1)3(=f ，∴)(x f 在]3,3[-的最大值是328，最小值是34-．点拨：⑴求函数最值时，若函数)(x f 的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点函数值的大小才能确定函数的最值．⑵若)(x f 的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点． ⑶若)(x f 为单调函数，则端点就是最值点． ●活动三 对比提升 由函数的最值求参数例2 已知函数()ln f x ax x =-，当(]0,e x ∈（e 为自然常数）,函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值．【知识点：根据函数最值求参数值；数学思想：分类讨论】详解：由()ln f x ax x =-得()1f x a x '=-,因为(]0,e x ∈，所以当1ea ≤时，()f x 在(]0,e x ∈是减函数，最小值为()e e 10f a =-≤，不满足题意；当1a e >时， ()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦是减函数，1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，所以最小值为211ln 3e f a a a ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，∴实数a 的值为2e .问题探究三 利用最值解不等式恒成立问题函数恒成立问题是高中数学里非常具有探讨价值的问题，下列是一些常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． ●活动一 初步运用例 3 已知函数x x x f ln )(=．⑴ 求()f x 的最小值；⑵若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围．【知识点：求函数的最小值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】详解：⑴)(x f 的定义域为),0(+∞，x x f ln 1)(+='，令0)(>'x f ，解得ex 1>；令0)(<'x f ，解得e x 10<<，从而)(x f 在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增，∴当e x 1=时，)(x f 取得最小值e1-．⑵依题意，得1)(-≥ax x f 在),1[+∞上恒成立，即不等式xx a 1ln +≤对于),1[+∞∈x 恒成立．令x x x g 1ln )(+=，则)11(111)(2xx x x x g -=-='，当1>x 时，0)(>'x g ，故)(x g 在),1(+∞上是增函数，∴1)1()(min ==g x g ，∴实数a 的取值范围是]1,(-∞． ●活动二 对比提升例4 已知函数()()()()21ln ,22f x a x x g x f x ax a R ⎛⎫=-+=-∈ ⎪⎝⎭．（1）当0a =时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若对()()1,,0x g x ∀∈+∞<恒成立，求a 的取值范围．【知识点：求函数最值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归、分类讨论】详解：（1）函数21()()ln 2f x a x x =-+的定义域为(0,)+∞，当0=a 时，21()ln 2f x x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-+-'=-+==；当11<<x e时，有()0f x '>；当e x <<1时，有()0f x '<，∴()f x 在区间[1e ，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，又211()12f e e=--，2()12e f e =-，1(1),2f =- ∴2min ()()12e f x f e ==-，max 1()(1)2f x f ==-.（2）21()()2()2ln 2g x f x ax a x ax x =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞.21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x --+---'=--+==. ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在)1,0(上有0)(>'x g ，在),1(2x 上有0)(<'x g ，在),(2+∞x 上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间),(2+∞x 上是增函数，并且在该区间上有),),(()(2+∞∈x g x g 不合题意；当112=≤x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间),1(+∞上，有()((1),),g x g ∈+∞也不合题意；②若12a ≤，则有012≤-a ，此时在区间),1(+∞上恒有0)(<'x g ，从而)(x g 在区间),1(+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足1(1)02g a =--≤12a ⇒≥-，由此求得a 的范围是11[,]22-.综合①②可知，当11[,]22a ∈-时，对x ∀∈(1,)+∞，()0g x <恒成立.点拨：恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决，常用分类讨论（求最值）法或分离参数法.在不等式或方程中，参数只出现一次，或在几个项中出现的参数只是一次的形式，可以对不等式或方程进行变形，把参数分离到一边去，而另一边则是x 的表达式. 3．课堂总结 【知识梳理】 数学知识：⑴最值的存在性定理． ⑵最值的求解步骤．一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ①求)(x f 在(,)a b 内的极值；②将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值． ⑶恒成立问题． 常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． 数学思想：分类讨论、化归与转化等思想． 【重难点突破】 求函数最值的注意点（1）我们讨论的函数是在闭区间[]b a ,上图像连续不断，在开区间),(b a 上可导的函数．在闭区间[]b a ,上图像连续不断，保证函数有最大值和最小值；在开区间),(b a 上可导，才能用导数求解．（2）求函数的最大值和最小值需要先确定函数的极大值和极小值．因此，函数的极大值和极小值的判定是关键．（3）如果仅仅是求最值，可以将上面的方法简化，因为函数)(x f 在),(b a 内的全部极值，只能在)(x f 的导数为零的点或导数不存在的点处取得（以下称这两种点为可疑点），所以只要将这些可疑点求出来，然后将函数)(x f 在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能得到函数的最大值和最小值．（4）当图像连续不断的函数)(x f 在),(b a 内只有一个可疑点时，若在这一点处函数)(x f 有极大（小）值，则可以判定函数)(x f 在该点处取到最大（小）值，这里),(b a 也可以是无穷区间． （5）当图像连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得． 4．随堂检测1．函数)(x f y =在],[b a 上（ ）A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值 【知识点：极值与最值的关系】 解：D2．函数x x x f cos 2)(-=在),(+∞-∞上（ ）A ．无最值B ．有极值C ．有最大值D ．有最小值【知识点：单调函数的最值】 解：A3．函数343)(x x x f -=在]1,0[上的最大值是（ ）A ．1B ．21C ．0D ．1- 【知识点：函数的最大值】解：A4．函数x x y -=sin 在区间]2,0[π上的最小值为（ ） A ．π- B ．21π-C ．0D ．π2- 【知识点：函数的最小值】 解：D5．设5221)(23+--=x x x x f ，当]2,1[-∈x 时，m x f <)(恒成立，则实数m 的取值范围为 ．【知识点：不等式恒成立问题】 解：),7(+∞ （三）课后作业 基础型 自主突破1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．1(0,)2【知识点：函数最值与极值的关系；数学思想：转化与化归】解：B ∵f '(x )＝3x 2－3a ，令f '(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B ． 2．函数ln xy x=的最大值为( ) A ．1-e B ．e C ．e 2 D ．103【知识点：函数最大值】 解：A 令22(ln )'ln '1ln 'x x x x xy x x ⋅-⋅-==＝0(x ＞0)．解得x ＝e ．当x >e 时，y ′<0；当0＜x <e时，y ′>0．y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e．3．函数241xy x =+在定义域内( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 令2222224(1)4244'(1)(1)x x x x y x x +-⋅-+==++＝0，得x ＝±1．2． 4．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 【知识点：函数最值与零点关系；数学思想：转化与化归】 解：(－∞，2ln2－2]函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g '(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．5．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0,]2π上的最大值是________．【知识点：函数最大值】解：6π+y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝6π，比较0，6π，2π处的函数值，得y max ＝6π+6．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】 解：a ＝3；f (x )的最大值为3．f '(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f '(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f '(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3． ∴当x ＝0时，f (x )的最大值为3． 能力型 师生共研7. 若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A．( B．[ C ．[2,1)- D．(2]- 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 由于函数()f x 在开区间2(,6)a a -有最小值，则函数()f x 的极小值点在2(,6)a a -内，且在2(,6)a a -内的单调性是先减再增. 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-,当11x -<<时，'()0f x <，当1x >，'()0f x >，所以()f x 得最小值为(1)f . ∴只需{216()(1)a a f a f <<-≥，得到21a -≤<，故选C.8. 设01a <≤，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的[]12,1,x x e ∈，都有12()()f xg x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归】解：]1,2[-e 22222()1a x a f x x x-'=-=，当01a <≤，且[]1,x e ∈时，()0f x '≥，∴()f x 在[]1,e 上是增函数，21min ()(1)1f x f a ==+，又1()1(0)g x x x'=->，∴()g x 在[]1,e 上是增函数，2max ()()1g x g e e ==-．由条件知只需1min 2max ()()f x g x ≥．即211a e +≥-．∴22a e ≥-．即1a ≤≤．9. 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[－1,0]上的最大值． 【知识点：函数的最大值；数学思想：分类讨论】解：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥解析：令f '(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当2323a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在2[1,]3a -上单调递增；在2[,0]3a 上单调递减，则f (x )max ＝324()327f a a =-．综上所述：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥10. 设函数12)(22-++=t x t tx x f (x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归、数形结合】 解：(1) h (t ) ＝－3t ＋t －1；(2) (1，＋∞) ．解析：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－3t ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)，∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－3t ＋t －1．(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－3t ＋3t －1－m ，由g '(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t 变化时g '(t )、g (t )的变化情况如下表：∴对t ∈(0,2)，当t ＝1时，g (t )max 恒成立，也就是g (t )<0，对t ∈(0,2)恒成立，只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. 故实数m 的取值范围是(1，＋∞) ． 探究型 多维突破 11. 已知函数()()2ln 2=-∈a f x x x x a R . (Ⅰ)若不等式()0>f x 有解，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)研究函数的极值点个数情况.【知识点：不等式有解与函数的最值的关系、函数的极值；数学思想：转化与化归、分类讨论】 解：（Ⅰ）2<a e；(Ⅱ)()1,∈+∞a 时，有0个极值点；1a =时，有0个极值点；()0,1a ∈时，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，有一个极值点解析：（Ⅰ）()0>f x 有解等价于2ln <x a x 有解，即max 2ln ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x a x ，设()2ln =xg x x ，则()()22ln 1'-=x g x x ，当()0,∈x e 时，()'0>g x ；当(),∈+∞x e 时，()'0<g x ，所以当x e =时，()max 2=g x e ，即2<a e. (2)令()'0=f x 得到ln 10x ax +-=，得到ln 1x a x +=，()()2ln 1ln ,'+-==x xh x h x x x,当()0,1x ∈时，()'0>h x ；当()1,∈+∞x 时，()'0<h x ，又()()0,,,0→→-∞→+∞→x h x x h x ，所以()1,∈+∞a 时，ln 1+=x a x无解，有0个极值点； 1a =时，ln 1+=x a x有一解，但不是极值点；()0,1∈a 时，ln 1+=x a x 有二解，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，ln 1+=x a x有一解，有一个极值点.12. 已知函数()ln 2x m f x e x -=-. （1）若1m =，求函数()f x 的极小值； （2）设2m ≤，证明：()ln 20f x +>.【知识点：函数的极值、不等式的证明、函数的最值；数学思想：转化与化归】 解：（1）()11ln 2f =-；（2）证明见解析.解析：（1）()11ln 2ln 2ln x x f x e x e x e -=-=⋅--，所以()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-，观察得()111101f e e '=⋅-=，而()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-在(0,)+∞上单调递增，所以当(0,1)x ∈时()0f x '<，当()1+∞，时()0f x '>；所以()f x 在()0,1单调递减，()f x 在()1+∞，单调递增，故()f x 有极小值()11ln 2f =-．证明：（2）因为2m ≤，所以()2ln 2ln 2x m x f x e x e x --=-≥-， 令221()ln 2ln 2ln x x g x e x e x e -=-=⋅--，则21()x g x e x-'=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递增，1(1)10g e '=-<，1(2)102g '=->，所以设02001()0x g x e x -'=-=，则0(1,2)x ∈；当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>；所以()g x 在()00,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增， 所以02min 00()()ln 2x g x g x e x -==-，又因为02001()0x g x e x -'=-=，故0201x e x -=，所以02000001ln ln2ln 2ln x e x x x x x -=⇒-=-⇒-=，所以0022min 000()()ln 2ln 2ln x x g x g x e x e x --==-=--001ln 22x x =--+ 0012ln 2ln 2x x =+--≥-当且仅当001x x =，即01x =时等号成立，而0(1,2)x ∈，所以min ()ln 2g x >-，即()ln 2g x >-，所以()ln 2f x >-，即()ln 20f x +>． （四）自助餐1. 函数()ln f x x x =-在区间(0,e]（e 为自然对数的底）上的最大值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.1e - 【知识点：函数的最大值】解：A ()()''1110x f x f x x x-=-=∴>得1x <，所以增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，所以函数最大值为()11f =-． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值【知识点：函数的最值】解：D )(x f '＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，)(x f '<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D ． 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1 【知识点：函数的最大值】解：C 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C ．4．已知函数4)(23-+-=ax x x f 在2=x 处取得极值，若]1,1[,-∈n m ，则)()(n f m f '+的最小值是（ ）A ．13-B ．15-C ．10D ．15 【知识点：函数的极值、最小值】解：A 求导得ax x x f 23)(2+-='，由函数)(x f 在2=x 处取得极值知0)2(='f ，即02243=⨯+⨯-a ，∴3=a ．由此可得43)(23-+-=x x x f ，x x x f 63)(2+-='，已知)(x f 在)0,1(-上单调递减，在)1,0(上单调递增，∴当]1,1[-∈m 时，4)0()(min -==f m f ．又x x x f 63)(2+-='的图像开口向下，且对称轴为1=x ，∴当]1,1[-∈n 时，9)1()(min -=-'='f n f ，故)()(n f m f '+的最小值是13-．故选A ．5． 已知函数)(x f ，)(x g 均为],[b a 上连续且)()(x g x f '<'，则)()(x g x f -的最大值为（ ） A ．)()(a g a f - B ．)()(b g b f - C ．)()(b g a f - D ．)()(a g b f - 【知识点：单调函数的最大值】解：A ='-])()([x g x f 0)()(<'-'x g x f ，∴函数)()(x g x f -在],[b a 上单调递减，∴)()(x g x f -的最大值为)()(a g a f -．6．当]1,2[-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,5[--B ．]89,6[-- C ．]2,6[-- D ．]3,4[--【知识点：不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：C 当]1,0(∈x 时，得x x x a 1)1(4)1(323+--≥，令xt 1=，则),1[+∞∈t ，令t t t t g +--=2343)(，),1[+∞∈t ，则)19)(1(189)(2-+-=+--='t t t t t g ，显然在),1[+∞∈t 上，0)(<'t g ，)(t g 单调递减，∴6)1()(max -==g t g ，因此6-≥a ；同理，当)0,2[-∈x 时，的2-≤a ，当0=x 时对任意实数a 不等式也成立，故实数a 的取值范围是26-≤≤-a ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xax y +=22（a 为常数）过点1(-P ，)30-，则函数xax y +=22在区间]4,1[的最大值与最小值的和为________． 【知识点：函数的最值】解：64 曲线过点1(-P ，)30-，∴a -=-230，∴32=a ，∴xx y 3222+=，232324324xx x x y -=-='，令0='y 得2=x ，当1=x 时，34322=+=y ；当2=x 时，24168=+=y ；当4=x 时，40832=+=y ，∴最大值与最小值的和为64．8．函数x x x f cos sin )(+=在]2,2[ππ-∈x 时的最大、最小值分别是 ． 【知识点：函数的最值】解：2，1-． 0sin cos )(=-='x x x f ，即1tan =x ，)(4Z k k x ∈+=ππ．而]2,2[ππ-∈x ，当2π-＜x ＜4π时，0)(>'x f ，当4π＜x ＜2π时，)(x f '，∴)4(πf 是极小值．又)4(πf=，1)2(-=-πf ，∴1)2(=πf ．∴函数的最大值为2，最小值为1-．9．函数x exy =在[0，2]上的最大值为 ．【知识点：函数的最值】解：e 1． 函数x f y ==)(函数)(x f 单调递增；当x ∈（1，2]时，)(x f '＜0，此时函数)(x f 单调递减．∴当x =1时，函数)(x f 取得最大值，f )1(=10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 【知识点：函数的极值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：(1)39a b =⎧⎨=-⎩；(2)(－∞，－18)∪(54，＋∞)．解析：(1)f '(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴2133133a b⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，∴39a b =⎧⎨=-⎩．(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f '(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f '(x )，f (x )随x 的变化如下表：而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18． ∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．11．已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=，(1)若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处切线的斜率；(2)求)(x f 的单调区间；(3)设22)(2+-=x x x g ，若对任意∈1x (0，+∞)，均存在∈2x [0，1]，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围．【知识点：导数的几何意义、函数的单调性、不等式有解与最值的关系；数学思想：转化与化归、分类讨论】解：(1) 3；(2)当0≥a 时，)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)；当0<a 时，函数)(x f 的单调递为3；的单调递增区间为(0，+∞)；(3)由题意知，转化为max max )()(x g x f < (其中∈1x (0，+∞)，∈2x [0，1])，由(2)知，当0≥a 时，12．已知函数()xf x e=（e 是自然对数的底数），()1ln h x x x x =--. （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()h x 的最大值；（3）设()'()g x xf x =，其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意0x >，2()1g x e -<+. 【知识点：导数的几何意义、函数的最值、不等式证明；数学思想：转化与化归】解：（1）1y e=；（2）()h x 的最大值为22()1h e e --=+；（3）证明见解析．解析：（1）由ln 1()x x f x e +=，得1(1)f e =，1ln '()xx x xf x xe --=，所以'(1)0k f ==，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y e=.（2）()1ln h x x x x =--，(0,)x ∈+∞.所以'()ln 2h x x =--.令'()0h x =得，2x e -=.因此当2(0,)x e -∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；当2(,)x e -∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减.所以()h x 在2x e -=处取得极大值，也是最大值.()h x 的最大值为22()1h e e --=+. （3）证明：因为()'()g x xf x =，所以1ln ()xx x xg x e--=,0x >，2()1g x e -<+等价于21ln (1)x x x x e e ---<+.由（2）知()h x 的最大值为22()1h e e --=+，故21ln 1.x x x e ---≤+只需证明0x >时，1x e >成立，这显然成立.所以221ln 1(1)x x x x e e e ----≤+<+，因此对任意0x >，2()1g x e -<+.。
高中数学_函数的最大(小)值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
函数最大（小）值与导数教学设计课后反思充分备课。
最好是提前备好一个章的课，充分利用备课组的集体智慧优势，使自己对整个章节的知识点和教学进度有一个较完整的安排。
在备这节课之前，我先看教师用书，确定本课的教学重点、教学难点、教学环节。
然后，再去找相关的资料，仔细看《优秀教案》《教学设计》上的成功案例，想他为什么这样设计？好在什么地方？哪个环节可以为我所用。
最后，抛开所有的现成教案，打开书，自己开始备课。
因为，有了前面的准备工作，所以备起课了非常容易。
导入要有新意。
若导入能引起学生的兴趣，使他们想走进来，激发他们的好奇心或者共鸣感，我认为这节课成功了一半。
导入有新意，可给学生留下悬念，可给他们留下思考的空间，激发他们往下追寻的热情，又可以把学生熟悉的东西和教学内容联系起来，让他们有似曾相识之感或大有同感。
重视课堂练习。
无论上课时间多紧，进度需要多快，都要安排出时间让学生在课堂上有练习新知识的机会。
同时在教学过程中要随时调整和补充教学手段和教学内容，以适应在教学过程中出现的问题。
在今后的教学过程中，我会坚持养成课后反思的良好习惯，从而提高自己的教学水平。
课标分析知识与能力目标：了解函数在某点取得极值,会利用导数求函数的极大值和极小值.以及闭区间上函数的最大(小)值.，培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力。
情感目标：经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。
过程目标：通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。
教学重难点重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值．难点：本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法教材分析函数的最大（小）值与导数是《高中数学》选修2-2的内容，本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，它是在学生已经会求可导函数的极值之后进行学习的，要求学生掌握最值存在性条件：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，并且会求某些函数的最值，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．函数的最值问题与导数，不等式、方程、参数范围的探求及解析几何等知识综合在一起往往能编拟综合性较强的新型题目，可以综合考查学生应用函数知识分析解决问题的能力，从而成为高考的高档解答题，是近年来高考的热点之一学情分析导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。
高中数学第3章导数及其应用3.33.3.3函数的最大(小)值与导数1数学教案
3.3.3 函数的最大(小)值与导数如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？[提示]根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．下列说法正确的是( )A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值D[极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．]2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是()A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋1C[y ′＝1－cos x >0，故函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π是增函数，因此当x ＝π时，函数有最大值，且y max ＝π－sin π＝π.]3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.]求函数的最值(1)f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5，x ∈[－2,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．[解] (1)f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝2，又x ∈[－2,1]，故x ＝－1，且f (－1)＝12. 又因为f (－2)＝1，f (1)＝－8，所以，当x ＝－1时，f (x )取最大值12； 当x ＝1时，f (x )取最小值－8. (2)∵f (x )＝3e x－e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)．∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.求函数在闭区间上最值的步骤 1求f ′x ，解方程f ′x ＝0；2确定在闭区间上方程f ′x ＝0的根； 3求极值、端点值，确定最值.[跟进训练]1．求函数f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]上的最大值和最小值．[解] f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，且x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 ⎝⎛⎭⎫0，2π32π3 ⎝⎛⎭⎫2π3，4π3 4π3 ⎝⎛⎭⎫4π3，2π 2π f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗ππ3＋322π3－32∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.由函数的最值求参数值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0时，且x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b ↗ b ↘－16a＋b[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 已知函数最值求参数值范围的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.[跟进训练]2．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a ，b 的值．[解] 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x )＋－0 ＋f (x )－1－32a ＋b ↗b↘－a 32 ＋b↗1－32a ＋b由表可知，f (x )的极大值为f (0)＝b ，极小值为f (a )＝b －a 32，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)及f (－1)与f (a )的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，a ＝63.所以a ＝63，b ＝1.与最值有关的恒成立问题1．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若f (x )≥c 或f (x )≤c 恒成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )min 或c ≥f (x )max .2．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x )≥c 或f (x )≤c 成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )max 或c ≥f (x )min .【例3】 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． [思路点拨] (1)利用配方法，即可求出二次函数f (x )的最小值h (t )；(2)构造函数g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )，只需使g (t )在(0,2)上的最大值小于零即可求得m 的取值范围．[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在(0,2))<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，等价于g (t )的最小值g (2)<0.∴－3－m <0， ∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)． 分离参数求解不等式恒成立问题1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题． 1．判断正误(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103A [函数y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)．y ′＝1－ln x x 2，由1－ln x x2＝0得x ＝e ， 当0<x <e 时，y ′>0， 当x >e 时，y ′<0.因此当x ＝e 时，函数y ＝ln x x 有最大值，且y max ＝1e ＝e －1.]3．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为( )A ．2B ．4C ．18D ．20D [f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0得x ＝±1. 当0≤x <1时，f ′(x )<0； 当1<x ≤3时，f ′(x )>0.则f (1)最小，又f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，f (3)>f (0)，所以最大值为f (3)，即M ＝f (3)， N ＝f (1)，所以M －N ＝f (3)－f (1)＝(18－a )－(－2－a )＝20.]4．设函数f (x )＝12x 2e x，x ∈[－2,2]，若f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x e x＋12x2e x＝e x2x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：当x＝0时，min要使f(x)>m对x∈[－2,2]恒成立，只需m<f(x)min，∴m<0，即实数m的取值范围为(－∞，0)．。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。
2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。
3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。
五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。
2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。
3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。
2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。
3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。
七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。
2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。
3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。
八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。
2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。
3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，能够判断函数的单调性；（2）掌握利用导数研究函数的单调性，能够求解函数的单调区间；（3）了解函数的最大最小值的概念，能够利用导数求解函数的最大最小值。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解函数单调性的概念，培养学生的抽象思维能力；（2）利用导数研究函数的单调性，培养学生的逻辑推理能力；（3）通过实例引导学生掌握利用导数求解函数的最大最小值，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生学习函数的积极性；（2）培养学生克服困难的意志，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生团队合作的精神，提高学生的沟通能力。
二、教学内容1. 函数单调性的概念；2. 利用导数研究函数的单调性；3. 函数的最大最小值的概念；4. 利用导数求解函数的最大最小值。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的判断；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用导数求解函数的最大最小值。
2. 教学难点：（1）函数单调性的证明；（2）利用导数求解函数的最大最小值的过程。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生理解函数单调性的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解函数单调性的定义，引导学生掌握判断函数单调性的方法。
3. 实例分析：利用导数研究函数的单调性，让学生通过实例体会导数在研究函数单调性中的作用。
4. 方法讲解：讲解如何利用导数求解函数的最大最小值，让学生掌握求解方法。
5. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识，并通过讨论培养学生的团队合作精神。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，加深对函数单调性和最大最小值的理解；3. 准备下一节课的内容，提前预习。
六、教学评价1. 知识与技能：（1）学生能准确判断函数的单调性；（2）学生能利用导数研究函数的单调性；（3）学生能利用导数求解函数的最大最小值。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。
2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。
3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。
(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。
二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。
2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。
3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。
(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。
三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。
3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。
(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。
(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。
四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。
2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。
3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。
(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，利用导数求函数最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：利用导数求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际案例掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 采用练习法，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
五、教学准备1. 教学课件。
2. 相关案例题。
3. 粉笔、黑板。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入函数最大值和最小值的概念。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数最大值和最小值的概念。
2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 通过案例分析，让学生理解并掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成相关案例题，巩固所学知识。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调函数最大值和最小值的概念及求解方法。
五、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
六、教学拓展（10分钟）1. 讲解函数在区间上的最大值和最小值的存在性定理。
2. 介绍利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明函数最大值和最小值的存在性。
七、实际应用（10分钟）1. 介绍函数最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济管理问题等。
2. 让学生举例说明函数最大值和最小值在实际问题中的应用。
八、课堂互动（10分钟）1. 学生分组讨论：如何求解多元函数的最大值和最小值。
2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。
九、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数最大值和最小值的求解方法。
《函数的最大(小)值与导数》参考教案
一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握函数的最大值和最小值的求解方法。
2. 让学生掌握导数的定义，了解导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数的最大值和最小值。
3. 函数的单调性及其与导数的关系。
4. 函数的极值及其与导数的关系。
5. 实际问题中的最大值和最小值问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。
2. 教学难点：利用导数求函数的最大值和最小值的具体步骤，理解导数与函数单调性、极值之间的关系。
四、教学方法与手段1. 采用讲解、例题、练习、讨论相结合的教学方法。
2. 使用多媒体课件，直观展示函数图像，帮助学生理解函数的最大值、最小值和导数之间的关系。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如购物、optimization problems等，引导学生思考函数的最大值和最小值问题。
2. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 例题：挑选典型例题，引导学生运用导数求解函数的最大值和最小值。
4. 练习：学生自主练习，巩固求解函数最大值和最小值的方法。
5. 讨论：分组讨论，分享解题心得，互相学习。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数在研究函数单调性、极值等方面的重要性。
7. 作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：监测学生在课堂上的学习效果，通过练习题目的完成情况了解学生对函数最大值和最小值概念以及导数应用的掌握程度。
2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的吸收情况，作业应包括不同难度的题目，以检测学生的理解力和应用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及他们能否运用所学知识解决实际问题。
高中数学-函数的最大(小)值与导数-教材分析
函数的最大（小）值与导数教材分析
1、在教材中的位置：
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修2—2》人教A版，第一章、第三节“导数在研究函数中的应用”。
2、学习的主要工具：
基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。
3、学习本节课的主要目的：
本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后内容“生活中的优化问题”打好基础。
4、本节课在教材中的地位：
函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。
学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。
5、本节课的重、难点：
教学重点：利用导数求函数的最值
教学难点：含参函数最值的求解。
函数最大值最小值教案
函数的最大值和最小值（第1课时）【教材分析】本节教材知识间的前后联系，以及地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值．高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导，这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到，所以本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体验自主学习的成功愉悦.【教学目标】根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维教学目标：1．知识和技能目标（1）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．（2）理解上述函数的最值存在的可能位置．（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．2．过程和方法目标（1）在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识．（2）培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．3．情感和价值目标（1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物注意的教育，在数形结合中体现数学的图形美。
（2）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．（4）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。
【教学重点、难点】1．教学重点基于以上对本节教材特点和教学目标的分析，将本节课的教学重点确定为：（1）培养学生的探索精神,积累自主学习的经验；（2）会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值．2．教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是(1)发现闭区间上的连续函数f (x)的最值只可能存在于极值点处或区间端点处；(2)理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．3．教学关键本节课突破难点的关键是：通过合作探究的方式，让学生在运动变化的过程中通过观察、比较，发现结论．【教法选择】关于教法与学法：（1）班杜拉的社会学习原理认为：观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；（2）为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点，采用多媒体辅助教学，设计了一个动画课件，让学生在函数图象的运动变化中观察、比较，发现数学本质；（3）根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．【学法指导】对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．【教学过程】本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．教学环节教学内容设计意图一、创设情境，铺垫导入1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm,体积为Vcm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）（60－2x）x=4（40－x）（30－x）x.2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．以实例引入新课，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，．通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．实际问题中，在设元、列式后将这个实际问题转化为求函数在闭区间上的最值问题．这时学生经思考后会发现，以前学习过的知识不能解决这一问题，从而激发起学生的学习热情．二、合作学习，探索新知1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．2．如图为连续函数f(x)的图象：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？yxOyxOyxOyxO ba baba ba3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f (x)在(a,b)内的极值；（2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．通过对已有相关知识的回顾和深入分析，自然地提出问题：闭区间上的连续函数最大值和最小值在何处取得？如何能求得最大值和最小值？以问题制造悬念，引领着学生来到新知识的生成场景中．为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情．为让学生更好地进行发现，教学中通过改变区间位置，引导学生观察同一函数在不同区间内图象上最大值最小值取得的位置，形成感性认识，进而上升到理性的高度．学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作．在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力．环节三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最大，可用本节课学习的导数法加以解决．例题2的解决与本课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用数学的意识和能力．四、归纳小结，反思建构课堂小结：1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在 [a,b]上必有最大值与最小值;2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定．.作业布置：P134 1．选做题：已知抛物线y =4 x2的顶点为O，点A（5，0），倾斜角为4的直线与线段OA相交，且不过O、A两点，l 交抛物线于M、N两点，求使△AMN面积最大时的直线l 的方程．.通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．课外作业分必做题与选做题，因材施教、及时反馈，让不同的学生在数学上得到不同的发展．同时有利于教师发现教学中的不足，及时反馈调节．【教学设计说明】本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能动性．3．为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．4．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．。
函数的最大值与最小值教案
函数的最大值与最小值教案教案：函数的最大值与最小值一、教学目标1.理解函数的最大值与最小值的概念；2.掌握求解函数最大值和最小值的方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学重难点1.理解函数的最大值与最小值的含义；2.运用导数来确定函数的极值点；三、教学准备1.课件、投影仪；2.板书工具。
四、教学过程Step 1 引入新知1.引出问题：大家知道什么是函数吗？函数在数学中有很多应用，我们今天要了解一个新的概念，函数的最大值与最小值。
2.引导学生思考：你们在实际生活中有遇到过函数的最大值或最小值吗？可以举例说明。
Step 2 基本概念解释1.函数的最大值与最小值：当变量的取值范围为一个区间内时，函数在这个区间内的最大值与最小值分别称为函数的最大值和最小值。
Step 3 寻找函数极值的方法1.导数的作用：导数是函数变化速率的度量。
2.求解函数的极值点：通过求解导数为0或不存在的点来确定函数的极值点。
3.边界值的考虑：将函数定义域的边界值带入函数，与极值点进行比较，确定最大值和最小值。
Step4 理论分析1.什么是极大值和极小值：函数在极值点上取得的最大值和最小值。
2.极值点与导数的关系：导数为0或不存在的点是函数的极值点。
Step5 实例演练1.案例一：已知函数y=x^3-3x+2，求函数在[-2,2]上的最大值和最小值。
Step6 拓展应用1.案例二：一个圆形的围墙，我们要从中间开一个门出去。
怎样选择门的位置，使走出来的路径最短？五、课堂练习1.练习一：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+5，求函数在[-3,3]上的最大值和最小值。
2.练习二：一堆火柴棍，可以任意拼成数字。
请问我们可以拼出哪些差值为0的正整数？3.练习三：已知函数y=x^4-4x^3+4x+1，求函数在[-1,3]上的最大值和最小值。
六、总结与展望1.今天我们学习了函数的最大值与最小值的概念和求解方法；2.函数的最大值和最小值在实际生活中有很多应用；3.下节课我们将进一步学习函数的应用领域，如优化问题等。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案第一章：引言1.1 课程目标让学生理解函数的概念，掌握函数的最大值和最小值的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
1.2 教学内容本章将介绍函数的最大值和最小值的概念，并通过实例来解释它们的含义和应用。
1.3 教学方法采用讲解和案例分析相结合的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第二章：函数的最大值和最小值的概念2.1 课程目标让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并能够判断一个函数是否存在最大值或最小值。
2.2 教学内容本章将通过具体的例子来介绍函数的最大值和最小值的概念，并解释它们的区别和联系。
2.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第三章：函数的最大值和最小值的求法3.1 课程目标让学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
3.2 教学内容本章将介绍常用的求函数最大值和最小值的方法，包括导数法、图像法和对称轴法等。
3.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
第四章：函数的最大值和最小值的应用4.1 课程目标让学生能够运用函数的最大值和最小值的概念和求法解决实际问题，提高解决问题的能力。
4.2 教学内容本章将通过实例来介绍函数的最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。
4.3 教学方法采用案例分析的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的应用。
第五章：总结与展望5.1 课程目标让学生总结本章所学的内容，理解函数的最大值和最小值的概念、求法和应用，并能够运用这些知识解决更复杂的问题。
本章将对本章所学的内容进行总结和回顾，并通过思考题来激发学生对函数的最大值和最小值更深入的思考。
5.3 教学方法采用总结和思考题的方式，引导学生对所学内容进行回顾和思考，提高解决问题的能力。
1.3.3 函数的最大(小)值与导数(2)
1．3．3 函数的最大值与最小值(二)一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力. 二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.三、教学过程：（一）复习引入1．函数y = x ·e –x 在x ∈[0, 4]的最小值为（ A ）A ．0B ．1e C ．44e D ．22e2．给出下面四个命题.①函数y = x 2 – 5x + 4 (x ∈[–1，3])的最大值为10，最小值为94-；②函数y = 2x 2 – 4x + 1 (x ∈(2, 4))的最大值为17，最小值为1；③函数y = x 3 – 12x (x ∈(–3, 3))的最大值为16，最小值为– 16；④函数y = x 3 – 12x (x ∈(–2, 2))无最大值，也无最小值.其中正确的命题有（ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （二）举例例1．求函数]2,2[,2sin )(ππ-∈-=x x x x f 的最大值与最小值。
练习：求函数]2,0[,sin )(π∈-=x x x x f 的最大值与最小值。
例2．设132<<a ，函数)11(23)(23≤≤-+-=x bax x x f 的最大值为1，最小值为26-，求：a 、b 的值练习：已知函数b ax ax x f +-=236)(。
若f （x ）在[-1，2]上的最大值为3，最小值为29，求：a 、b 的值例3．已知x ,y 为正实数，且满足关系式04222=+-y x x ，求xy 的最大值。
（三）课堂小结1．已知函数解析式，确定可导函数在区间[a, b]上最值的方法；2．已知函数最值，求参数的值（四）课后作业《学案》第24面《双基训练》.。
函数的最值教案
§6.3函数的最值学习目标：1.体会导数与函数单调性、极值、最大（小）值的关系.2.能利用导数求函数的最大值、最小值.教学过程：一、板书课题导入：同学们，今天我们来学习第二章第6节函数的最值(板书课题)请看本节的学习目标：（投影）二、自学指导：师：同学们，如何达到本节的学习目标呢？主要依靠大家的自学，请认真看自学指导。
（投影）请认真看课本P82-P83的内容，要求：.1.结合图2-20理解最值的概念，理解最值与极值的关系.2.看例4，掌握用导数的方法求函数的最值；如果把[-2,2]改为(-2,2)，最值呢？3.根据例4，总结利用导数求最值的步骤.8分钟后检测，比谁能正确运用导数的方法求函数的最值！三、先学（一）学生看书，教师巡视，教师督促每一位学生认真、紧张的自学.（二）提问与讨论过渡语：“看懂了，理解熟记了没有呢，我来考考大家”.1.提问：①观察图像，你能找出函数的极值、最值吗？②极值一定是函数的最值吗？③总结：1.闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)上的连续函数不一定有最值.2.可导函数的最值一定在极值或端点值处产生.2.讨论：结合例4讨论讨论1：求最值，需要先求出哪些值？讨论2：结合例4，总结求最值分哪几个步骤？第一步：求函数的定义域；第二步：求f’(x)，解方程f’(x)=0；第三步：列关于x,f’(x),f(x)的表格；第四步：求极值；第五步：求端点值，比较端点值和极值，确定最值.（三）书面检测检测题1.求函数y=x3-12x2+45x-10在区间[0,10]上的最值.2.求函数y=x3−18x在区间(0,10)上的最值.3.（选做题）讨论函数y=(x−1)e x单调性并画出大致图像.要求：（1）时间12分钟（2）合上课本，独立完成（3）书写认真，步骤规范先做完的举手示意，比一比谁做的又对又快！四、后教1.批改（学生互改）请同学们拿出红笔，根据出示的答案评定对错2.统计（1）第一题做对的举手，第二题做对的举手，选做题做对的举手，对这些同学提出表扬。
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值教学内容：本节课主要讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值。
教学目标：1. 理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 学会使用图像法求解函数的最大值和最小值。
3. 学会使用导数法求解函数的最大值和最小值。
教学准备：1. 教学课件。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的最大值和最小值的概念。
2. 举例说明函数的最大值和最小值的意义。
二、函数的最大值和最小值的概念（10分钟）1. 讲解函数的最大值和最小值的定义。
2. 给出函数的最大值和最小值的判定条件。
三、图像法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解图像法求解函数的最大值和最小值的方法。
2. 举例说明图像法求解函数的最大值和最小值的步骤。
四、导数法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解导数法求解函数的最大值和最小值的方法。
2. 举例说明导数法求解函数的最大值和最小值的步骤。
五、练习题讲解（10分钟）1. 讲解练习题的解题思路。
2. 逐个解答学生提出的疑问。
教学反思：本节课通过讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值，使学生掌握了这一重要知识点。
在教学过程中，采用图像法和导数法两种方法进行讲解，使得学生能够更好地理解和运用。
通过练习题的讲解，巩固了学生所学的知识，并解答了学生提出的疑问。
总体来说，本节课的教学效果较好，学生对函数的最大值和最小值的概念和求解方法有了较为深入的理解。
但在教学过程中，仍需注意引导学生主动思考和探索，提高学生的学习兴趣和参与度。
六、案例分析：实际问题中的最大值和最小值（10分钟）1. 引入实际问题，如成本最小化、收益最大化等。
2. 展示如何将实际问题转化为函数的最大值和最小值问题。
3. 引导学生运用所学的图像法和导数法解决实际问题。
七、练习与讨论：小组合作求解复杂函数的最大值和最小值（15分钟）1. 分配练习题，要求学生以小组合作的形式进行求解。
函数的最大值和最小值教学设计
《函数的最大值和最小值》教学设计（一）【教学目标】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握利用导数求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实际问题；二、加深对导数意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考； 四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。
【教学重点难点】一、利用导数求函数最值的方法。
二、求一些实际问题的最大值与最小值。
【教具使用】CAI 课件、多媒体辅助教学【课时安排】1课时【教学过程】一、设置情境，引入课题：观察下面一个定义在区间[a ，b]上的函数f(x)的图像。
（如图1）我们知道，图中f(x 1)与f(x 2)是极小值，f(0)是极大值。
在解决实际问题时，往往关心的是函数在指定区间上，哪个值最大？哪个值最小？从图中可以看出，函数在[a ，b]上的最大值是f(b )，最小值是f(x 2)。
二、新课探究1． 函数最值的概念。
定义：可导函数．．．．f(x)．．．．在闭区间．．．．[a ．．，．b]．．上所有点处的函数值中的最大（或最．．．．．．．．．．．．．．．．小）值，叫做函数．．．．．．．．f(x)．．．．的最大（或最小）值．．．．．．．．．。
一般地，在闭区间上连续的函数f(x) 在[a ，b]上必有最大值与最小会值。
注：在开区间（a ，b ）内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值。
例如f(x)=1/ x 在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值。
2． 求可导函数f(x)在[a ，b]上最大值、最小值的方法。
结合上图的例子不难看出，只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（最小）值了。
例1 （教材P137 例1）求函数42()25f x x x =-+在区间[－2，2]上的最大值与最小值。
解：'y =4x 3-4x 。
令'y =0，有4x 3-4x=0，解得：x=－1,0,1 当x 变化时，'y ，y 的变化情况如下表：【解题回顾】设函数f(x)在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，求f(x)在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1） 求．f(x)．．．．在（．．a ．，．b ．）内的极值；．．．．．． （2） 将．f(x)．．．．的各极值与．．．．．f(．．a ．)．，．f(．．b ．)．比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．最小值．．．。
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师：引导学生观察图象，提出问题
生：回答问题
师：屏幕展示，引导学生寻找规律
问题
探究
思考：如果在没有给出函数的图象的情况下，我们如何判断出函数的最大值与最小值呢？
总结用导数求函数最值的方法
让学生体会从特殊到一般的过程，提高自身归总结的能力
师：指导学生观察总结
生：总结求函数最值的方法
பைடு நூலகம்让学生掌握含参含数最值的求解
生：分析例题，回答问题
师：课件展示例题，及总结
练习
变式：已知函数 在 上有最小值 .
（1）求实数 的值；
（2）求 在 上的最大值．
及时巩固所学知识，并进行初步提高
师：引导学生完成练习
生：完成并回答
师：屏幕展示
课
堂
小
结
1、函数最值与极值的区别与联系
2、求函数最值的步骤
通过总结，使学生明确这节课所学的知识。
例题讲解
求函数 在 上的最大值与最小值。
让学生掌握用导数函数求最值求解的一般过程
生：分析例1
师：板书例1
练
习
1、变式将区间 改为
进一步加强对导数求最值的步骤的掌握
生：板书解题过程
师：引导学生共同矫正练习的解题过程
例
题
讲
解
已知函数
（1）求 的单调减区间；
（2）若 在区间 上的最大值为 ，求函数在该区间上的最小值。
函数最大（小）值与导数教案
课题
函数最大（小）值与导数
授课人
徐选军
课型
高二新授课
授课地点
二（4）
教学方法
探究式教学
教学模式
课堂互动教学
教
学
目
标
知识
1．明了极值与最值的区别
2．会利用导数求函数在[a,b]上的最值
能力
结合学生的知识，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法
情感
通过教学活动，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养
教学重点难点
利用导数求函数的最值
教学
环节
教学内容
设计意图
师生互动
复习
回顾
1、极值的判定
2、极值的求解步骤
回顾旧知，为最值的推导作准备
生：回答问题
师：屏幕展示
问
题
探
究
观察上图定义在 上的函数 的图象，我们可
以发现图中：_____________是极小值，
____________是极大值
在区间 上函数的最大值是__________最小值是__________
练
习
与
作
业
1、若函数 ，则 （）
A、最大值为 ，最小值为
B、最大值为 ，无最小值
C、最小值为 ，最大值为
D、即无最大值也无最小值
2、函数 的最大值为（）
A、 B、 C、 D、
3、求下列函数的最大值与最小值
（1）
（2）
加深知识的巩固与落实
生：自主完成，并回答
师：提问并纠正