浙江省嘉兴市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析

浙江省嘉兴市2021届新高考数学仿真第四次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若1
tan 2
α=，则cos2=α( ) A ．45
-
B ．35
C ．
45
D ．
35
【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果． 【详解】 ∵1tan 2
α=
， ∴2
2
2
2221
1cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 5
14
ααααααα-
--=
===+++， 故选D 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
2．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记
()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）
A ．1
B ．
1e
C ．
2
1e D ．
3
1e 【答案】C 【解析】 【分析】
根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论
()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫
=-+-- ⎪+⎝⎭
,
即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得
()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.
【详解】
设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1
'23h x m x
=
-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >
+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫
+∞
⎪+⎝⎭
上单调递减, 当1023x m <<
+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
上单调递增.
故在123x m =
+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪
++⎝⎭
. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.
故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当2
1t e >
时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
递减； 当210t e <<
时, ()'0k t >,()k t 在2
1
0,e
⎛⎫
⎪⎝⎭
递增. 故在2
1t e =
处()h t 取得极大值,为22221111
ln 1=k e e e e
⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21
e
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题. 3．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．16
B ．48
C ．96
D ．128
【答案】B 【解析】 【分析】
列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【详解】
第一次循环：1
2(11)4,2S i =+==；第二次循环：2
42(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3
162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【点睛】
本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.
4．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则
||
||
FB TS =（ ） A ．
25
B ．2
C ．
72
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用
抛物线的性质1122AF BF p
+=可构造方程求得BF ，进而求得结果.
过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，
由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.
2FA AS =，13SA
SF ∴
=，133p AN OF ∴==，4
3
AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==
，12
23
AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.
由抛物线性质11212AF BF p p +==得：311
4p BF p
+=，解得：4BF p =， 422FB p
TS p
∴==. 故选：B . 【点睛】
本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 5．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）
A ．5
B ．
52
C ．52
-
D ．-5
【答案】C 【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
由（1+i ）z ＝|3+4i|22345=+=， 得z ()()()5155511122
i i i i i -=
==-++-， ∴z 的虚部为5-．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 6．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．2 B ．5 C ．1 D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数2
()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.
【详解】
(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.
故选:B . 【点睛】
本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.
7．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）
A ．甲得分的平均数比乙大
B ．甲得分的极差比乙大
C ．甲得分的方差比乙小
D ．甲得分的中位数和乙相等
【答案】B 【解析】 【分析】
由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【详解】 对于甲，1798882829391
85.86x +++++=≈；
对于乙，2727481899699
85.26
x +++++=≈，
故A 正确；
甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误；
对于乙，方差2
2
106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189
852
+=，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
8．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π= D ．e e x x y -=+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】
A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；
B 中，()
()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨
-+<⎪⎩
，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误；
D 中，()x
x
y f x e e -==+，而()()2
2
02,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误； 故选：C. 【点睛】
本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.
9．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()2
2,20
log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有
()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．2log 3
【答案】C 【解析】 【分析】
由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，
∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.
故选：C. 【点睛】
本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.
10．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ． B ．
C ．1
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
【详解】
每一次成功的概率为
，服从二项分布，故
.
故选：. 【点睛】
本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11．已知函数()(0x
f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|2)|a f =，
384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，|(0)|c f =的大小关系为( )
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，
因为()(0x
f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限， 所以01m <<，(1)0f =，
所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又因为313
824
12422<
=<=<，
所以a b <，
又|(0)|1c f m ==-，2
|(2)|f m m =-，
则|2
|(2)||(0)|10f f m -=-<， 即|(2)||(0)|f f <， 所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.
12．8
21x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式中12x y -的系数是（ ） A ．160 B ．240
C ．280
D ．320
【答案】C 【解析】 【分析】
首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2
y 的系数，再求7
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中1x -的系数，
二者相乘即可求解. 【详解】
由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181r
r r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭，令1r =，则
7
1228
1T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又7
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为727
1771r
r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，令3r =，则3735C =，所
以12
x y -的系数是358280⨯=. 故选：C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若复数Z满足
1
(12)(2)
2
i Z i
-=-+，其中
i为虚数单位，则Z的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．
【答案】
1
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z得答案．
【详解】
()()
11
12i z2i1i
22
-=-+=--，
()
()()
1
11i12i
1i1
2
2
z i
12i12i12i2
⎛⎫
--+
-- ⎪
⎝⎭
∴===-
--+
，
则
1
z i
2
=，z
∴的共轭复数在复平面内对应点的坐标为
1
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
故答案为
1
0,.
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题．14．设变量x，y满足约束条件
20
240
30
x y
x y
y
-+≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
，则目标函数2
z x y
=-的最小值为______．
【答案】-8
【解析】
【分析】
通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线
1
22
z
y x
=-在y轴截距最大的问题，通过图像解决. 【详解】
由题意可得可行域如下图所示：
令
1
22
z
y x
=-，则
min
z即为在y轴截距的最大值
当122
z
y x =
-过()2,3A -时，在y 轴截距最大 min 2238z ∴=--⨯=-
本题正确结果：8- 【点睛】
本题考查线性规划中的z ax by =+型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在y 轴截距的问题. 15．已知数列{}n a 满足13n n a a +=,且2469a a a ++=,则()15793
log a a a ++=______.
【答案】5- 【解析】 【分析】
数列{}n a 满足13n n a a +=知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得
15793
log ()a a a ++的值即可.
【详解】 13n n a a +=，
∴数列{}n a 是以3为公比的等比数列，
又2469a a a ++=，
35579933a a a ∴++=⨯=，
5157933
log ()35a a a log ∴++=-=-．
故答案为：5-． 【点睛】
本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题． 16．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若2a e ⋅=，3b e ⋅=，且0a b ⋅=，则a b +的取值范围是________. 【答案】[5,)+∞ 【解析】
先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解． 【详解】
由e 是单位向量．若2a e =，3b e =， 设(1,0)e =，
则(2,)a m =，(3,)b n =， 又0a b =， 则6mn =-， 则(5,)a b m n +=+， 则||25(a b +=+， 又2()0m n +， 所以||
5a b
+，
（当m
n =
=或m n ==时取等）
即||a b +的取值范围是[5，)+∞， 故答案为：[5，)+∞． 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 三、解答题：共
70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．平面直角坐标系xOy
中，曲线1C 的参数方程为1x y θθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴
的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(0)3
π
θρ=>，直线l 的
极坐标方程为sin 36πρθ⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭，点6,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （1）求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线2C 交于点A ，曲线1C 与曲线2C 交于点B ，求PAB △的面积． 【答案】（1）2
2
cos 20ρρθ--=．60x +-=（2）
3
2
【解析】 【分析】
(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标ρ的几何意义求解||AB ，再求点P 到直线AB 的距离即可算出三角形面积. 【详解】
解：（1）曲线221:(1)3C x y -+=，即22
220x y x +--=．
∴22cos 20ρρθ--=．曲线1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=．
直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
sin cos 6θρθ+=，
∴直线l 的直角坐标方程为60x -=．
（2）设,
3A A ρπ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，,
3B B ρπ⎛⎫
⎪⎝
⎭
， ∴sin 336A ππρ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
，解得3A ρ=． 又2
2cos
203
B B π
ρρ--=，∴2B ρ=（1B ρ=-舍去）．
∴||321AB =-=．
点P 到直线AB 的距离为6sin 336ππ⎛⎫
⨯-= ⎪⎝⎭
， ∴PAB △的面积为131322
⨯⨯=． 【点睛】
此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目.
18．已知()3
2
2
2f x x ax a x =+-+.
（1）若0a ≠，求函数()f x 的单调区间；
（2）若不等式()2
2ln 1x x f x a '≤++恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[)2,-+∞ 【解析】 【分析】
（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数()f x 的单调区间. （2）分离出参数a 后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域. 【详解】
（1）()()()2
2
323f x x ax a x a x a '=+-=+-
由0f x
得x a =-或3
a
x =
①当0a >时，由0f x
，得3
a a x -<<
.
由0f x
，得x a <-或3
a x >
此时()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫-- ⎪
⎝
⎭，单调递增区间为(),a -∞-和,3
a
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
. ②当0a <时，由0f x ，得
3
a
x a <<- 由0f
x
，得3
a
x <
或x a >- 此时()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫-
⎪⎝⎭，单调递增区间为,3a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭和(),a -+∞
综上：当0a >时，()f x 单调递减区间为,3a a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，单调递增区间为(),a -∞-和,3a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
当0a <时，()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫-
⎪⎝⎭，单调递增区间为,3a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭和(),a -+∞.
（2）依题意()0,x ∈+∞，不等式()2
2ln 1x x f x a '≤++恒成立
等价于22ln 321x x x ax ≤++在0,上恒成立， 可得31ln 22a x x x
≥-
-，在0,上恒成立，
设()31ln 22h x x x x =-
-，则()()()22
131131222x x h x x x x -+'=-+=- 令()0h x '=，得1x =，1
3
x =-（舍）
当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '< 当x 变化时，()h x '，()h x 变化情况如下表：
∴当1x =时，()h x 取得最大值，()max 2h x =-，∴2a ≥-. ∴a 的取值范围是[)2,-+∞. 【点睛】
本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.
19．已知椭圆T ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为12，直线l ：0x y +-=与以原点为圆心，以椭
圆C 的短半轴长为半径的圆相切.A 为左顶点，过点()1,0G 的直线交椭圆T 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点
.
（1）求椭圆T 的方程；
（2）以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）22143
x y +=；
（2）是，定点坐标为()7,0或()1,0 【解析】 【分析】
（1）根据相切得到3b =
2a =，得到椭圆方程.
（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程得到
122634t y y t +=-
+，122
9
34y y t =-+，计算点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，圆的方程可化为()()2
44690x x y ty --++-=，得到答案. 【详解】
（1）根据题意：006
32
b +-=
=23
1b e a =-=
，所以2a =， 所以椭圆T 的方程为22
143
x y +=.
（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 把直线BC 的方程代入椭圆方程化简得到(
)
2
2
34690t y ty ++-=， 所以122634t y y t +=-
+，12
29
34
y y t =-+， 所以()2
2
1212122412134
t x x t y y t y y t -=+++=+，1212
281134x x ty ty t +=+++=+，
因为直线AB 的斜率1
12AB y k x =
+，所以直线AB 的方程()
1122
y y x x =
++， 所以点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，
故以MN 为直径的圆的方程为()()12126644022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫
--+-
-= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭
，
又因为
()()()12121212123636369
92224
36y y y y x x x x x x ⨯==-=-+++++，()()12121212
212121212121866666223339
ty y y y y y y y t x x ty ty t y y t y y +++=+==-+++++++， 所以圆的方程可化为()()2
44690x x y ty --++-=，令0y =，则有()2
49x -=，
所以定点坐标为()7,0或()1,0. 【点睛】
本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2
2
31x y -+=，椭圆E ：22
221x y a b
+=（0a b >>）
的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N.当12
7
AN AM =时，求直线l 的方程.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）20x y --=或20x y +-=.
【解析】 【分析】
（1）圆C 的方程已知，根据条件列出方程组，解方程即得；（2）设(),N N N x y ，(),M M M x y ，显然直线l 的斜率存在，方法一：设直线l 的方程为：()2y k x =-，将直线方程和椭圆方程联立，消去y ，可
得N x ，同理直线方程和圆方程联立，可得M x ，再由12
7
AN AM =可解得k ，即得；方法二：设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立，可得N y ，将其与圆方程联立，可得M y ，由127
AN AM =可解得k ，即得. 【详解】
（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）.右顶点(),0A a 在圆C 上，右准线2
a x c
=与圆C ：()2231
x y -+=相切.()222301,31,a a c ⎧-+=⎪∴⎨-=⎪
⎩
解得21a c =⎧⎨=⎩，
2
2
2
3b a c ∴=-=，椭圆方程为：22
143
x y +
=. （2）法1：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，
显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-.
直线方程和椭圆方程联立，由方程组()222,143y k x x y ⎧=-⎪
⎨+
=⎪⎩
消去y 得，整理得
()
2
222431616120k
x k x k +-+-=.
由221612243N k x k -⋅=+，解得22
8643
N k x k -=+. 直线方程和圆方程联立，由方程组()()22
2,31,
y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩消去y 得，()()2222
146480k x k x k +-+++= 由224821M k x k +⋅=+，解得22
24
1M k x k +=+. 又127AN AM =
，则有()12
227N M x x -=-. 即22
12122
4371k k =⋅++，解得1k =±，
故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.
分法2：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，当直线l 与x 轴重合时，不符题意.
设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠.由方程组22
214
3x ty x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩ 消去x 得，(
)
2
2
34120t x ty ++=，解得2
1234
N t y t -=
+.
由方程组()22
231x ty x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩消去x 得，()22
120t x ty +-=， 解得2
21M t
y t =+. 又127AN AM =，则有127N M y y =-. 即22121223471
t t
t t -=-⋅++，解得1t =±，
故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=. 【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查学生的分析和运算能力. 21．已知函数()ln f x x x x =+，()x x
g x e
=
. （1）若不等式()()2
f x
g x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()()1f x x g x +->.
（3）设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()
00,1,,,f x x x x F x g x x x ⎧-<≤⎪
=⎨
>⎪⎩若存在1x ，()21,x ∈+∞，
12x x <，使得()()12F x F x =，证明：()()2012F x F x x <-.
【答案】（1）1
e
（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由题意可得，ln 1x x a e +≤，令()ln 1
x
x k x e +=，利用导数得()k x 在[)1,+∞上单调递减，进而可得结论；
（2）不等式转化为11ln x x x e +>，令()1ln t x x x =+，()1
x h x e
=，利用导数得单调性即可得到答案； （3）由题意可得0
01
ln x x e =
，进而可将不等式转化为()()1012F x F x x <-，再利用单调性可得0
1
011122ln x x x x
x x e --<，记()0
022ln x x x x m x x x e --=-，01x x <<，再利用导数研究单调性可得()m x 在()
01,x 上单调递增，即()()00m x m x <=，即01
01
1122ln x x x x x x e --<，即可得到结论.
【详解】
（1）()()2
f x
g x ax ≥，即()2
ln x x x x x ax e +⋅
≥，化简可得ln 1x x a e
+≤.
令()ln 1x x k x e
+=，()()1
ln 1x
x x k x e -+'=，因为1x ≥，所以11x ≤，ln 11x +≥. 所以()0k x '≤，()k x 在[
)1,+∞上单调递减，()()11k x k e
≤=. 所以a 的最小值为
1e
. （2）要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x x
x x x e
+>
>. 两边同除以x 可得11
ln x
x x e +
>. 设()1ln t x x x =+
，则()22111x t x x x x
-'=-=. 在()0,1上，()0t x '
<，所以()t x 在()0,1上单调递减.
在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11t x t ≥=. 设()1
x h x e
=
，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=. 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->.
（3）证明：方程()()f x g x x -=在区间()1,+∞上的实根为0x ，即0
01
ln x x e
=
，要证 ()()2012F x F x x <-，由()()12F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <-.
当01x x <<时，()ln F x x x =，()1ln 0F x x '=+>，因而()F x 在()01,x 上单调递增. 当0x x >时，()x x F x e =
，()10x
x
F x e
-'=<，因而()F x 在()0,x +∞上单调递减. 因为()101,x x ∈，所以0102x x x ->，要证()()1012F x F x x <-. 即要证01
01
1122ln x x x x x x e --<
.
记()0022ln x x x x
m x x x e
--=-
，
01x x <<. 因为001ln x x e =，所以0000ln x x x x e =，则()00000ln 0x x
m x x x e
=-=.
()0000022212121ln 1ln x x x x x x
x x x x
m x x x e e e ---+--'=++=++-.
设()t t n t e =，()1t t
n t e
-'=，当()0,1t ∈时，()0n t '>.
()1,t ∈+∞时，()0n t '<，故()max 1
n t e
=.
且()0n t >，故()10n t e <<
，因为021x x ->，所以0
02120x x x x
e e ---<<. 因此()0m x '
>，即()m x 在()01,x 上单调递增. 所以()()00m x m x <=，即01
01
1122ln x x x x x x e --<.
故()()2012F x F x x <-得证. 【点睛】
本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.
22．己知函数()2cos x f x e x x =--. （1）当(,0)x ∈-∞时，求证：()0f x >；
（2）若函数()()1(1)g x f x n x =++，求证：函数()g x 存在极小值. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求导得()2sin x
f x e x '=-+，由01x e e <=，且sin 10x -，得到()0f x '<，再利用函数()f x 在
(,0)-∞上单调递减论证.
（2）根据题意()2cos ln(1),1x
g x e x x x x =--++>-，求导，令1
()()sin 21
x
h x g x e x x '==+
+-+，易知(0)0h =； 2
1()cos (1)x
h x e x x '=-
++，易知当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '>，()()(0)0h x g x g ''=>=；当(1,0)x ∈-时，函数()h x '单调递增，而(0)1h '=，又
9
1099cos 10001010h e -⎛⎫⎛⎫
'-=+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由零点存在定理得09,010x ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，
()0,0x x ∃∈，使得()0h x '>，有()()(0)0''=<=h x g x g 从而得证.
【详解】
（1）依题意，()2sin x
f x e x '=-+，
因为01x e e <=，且sin 10x -，故()0f x '<， 故函数()f x 在(,0)-∞上单调递减， 故()(0)0f x f >=.
（2）依题意，()2cos ln(1),1x
g x e x x x x =--++>-， 令1
()()sin 21
x
h x g x e x x '==+
+-+，则(0)0h =； 而2
1()cos (1)x
h x e x x '=-
++，可知当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>， 故函数()h x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，故当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()()(0)0h x g x g ''=>=； 当(1,0)x ∈-时，函数()h x '
单调递增，而(0)1h '=，
又91099cos 10001010h e -⎛⎫⎛⎫
'-=+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故09,010x ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，
故()0,0x x ∃∈，使得()0h x '>，即函数()h x 单调递增，即()g x '单调递增； 故当()0,0x x ∈时，()(0)0g x g ''<=， 故函数()g x 在()0,0x 上单调递减，在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增， 故当0x =时，函数()g x 有极小值(0)0g =. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的性质，还考查推理论证能力以及函数与方程思想，属于难题.
23．已知抛物线C :()2
20y px p =>，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3420x y+=-的距离为1d ，
焦点F 到抛物线C 的准线的距离为2d ，且121
2
d d =. （1）求抛物线C 的标准方程；
（2）若x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且22
11
||||PM QM +为定值，
求点M 的坐标. 【答案】（1）2
4y x = （2）()2,0 【解析】 【分析】
（1）先分别表示出12,d d ，然后根据
121
2
d d =求解出p 的值，则C 的标准方程可求； （2）设出直线l 的方程x my t =+并联立抛物线方程得到韦达定理形式，然后根据距离公式表示出
2211||||PM QM +并代入韦达定理形式，由此判断出22
11||||PM QM +为定值时M 的坐标. 【详解】
（1）由题意可得，焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，0p >，则 132322255
p p d ⨯
+⨯+==，2d p =， ∴1
2322152
p d d p ⨯
+==解得2p =. 抛物线C 的标准方程为24y x =
（2）设(),0M t ，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，显然直线l 的斜率不为0.
设直线l 的方程为x my t =+
联立方程24x my t y x
=+⎧⎨=⎩，整理可得2440y my t --= ()2160t m ∆=+>，124y y m +=，12
4y y t
∴1||PM y =
，2||QM = ∴()()()
221222222222212121111||||111y y PM QM m y m y m y y ++=+=+++ ()()2212
122222221242221y y y y m t t m t m y y +-+==++ 要使2211||||PM QM +为定值，必有22222t t t
=，解得2t =， ∴22
11||||PM QM +为定值时，点M 的坐标为()2,0 【点睛】
本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题，难度一般.（1）处理直线与抛物线相交对应的定值问题，联立直线方程借助韦达定理形式是常用方法；（2）直线与圆锥曲线的问题中，直线方程的设法有时能很大程度上起到简化运算的作用。