江苏省镇江市2020-2021学年高二年级第一学期期中考试数学试题
江苏省镇江市扬中高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
15．在曲线 的所有切线中，切线斜率的最小值为________.
16．已知函数 在区间 上有四个不同的零点，则实数 的取值范围为______.
四、解答题
17．已知集合 ，集合 .
19．已知函数 ．
当 时，求 的单调增区间；
若 在 上是增函数，求 得取值范围．
20．已知函数 .
（1）判断并证明函数 的奇偶性；
（2）判断当 时函数 的单调性，并用定义证明；
（3）若 定义域为 ，解不等式 .
21．如图所示，某建筑公司要在一块宽大的矩形地面上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线 的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点 ， ，交曲线于点 ，设 ．
把 代入 中，得 ，
故本题选D．
【点睛】
本题考查了回归直线方程过样本点的中心．
5．B
【分析】
根据个位是 和 分成两种情况进行分类讨论，由此计算出所有可能的没有重复数字的四位偶数的个数.
【详解】
当0在个位数上时，有 个；当2在个位数上时，首位从5，3中选1，有两种选择，剩余两个数在中间排列有2种方式，所以有 个所以共有10个．
江苏省镇江市扬中高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2020-2021学年度第一学期期中期末考试试卷含答案共六套
2020-2021学年度第一学期期中考试试卷六年级英语（本试卷分为两个部分，共十一个大题，总分100分，考试时间60分钟）第一部分听力(40分)一、请听录音，从A、B、C中选出你听到的正确答案，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
（听两遍）（共5小题，每小题2分，计10分）( )1.A.tomorrow B.tonight C.today( )2.A.visit B.write C.get( )3.A.word book ic book C.storybook( )4.A.next B.behind C.near( )5.A.straight B.left C.right二、请听录音，判断下列句子与你听到的内容是否相符，相符的写“T”，不相符的写“F”，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
（听两遍）（共5小题，每小题2分，计10分）( )6.Turn left at the bookstore.( )7.It’s red.We must stop and wait.( )8.I’m going to visit my uncle tomorrow.( )9.I have to do my homework now.( )10.Go straight and you can see the Palace museum.三、请听小对话，从A、B、C中选出你听到的正确图片，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
（听两遍）（共5小题，每小题2分，计10分）( )11.A. B. C.( )12.A. B. C.( )13.A. B. C.( )14.A. B. C.( )15.A. B. C.四、请听对话，根据所听到的内容补全下面短文中缺少的单词，并将正确答案用黑色墨水笔或黑色签字笔填写在答题卡规定的位置上（一空一词）。
（听三遍）（共5个空，每空2分，计10分）A:Excuse me,sir.How can I get to the 16. ?I’m going to buy a 17. .B:First,18. right here.Then go 19. and you can see it.It’s next tothe 20. .A:Thanks!Bye!第二部分笔试(60分)五、请从A、B、C、D中选出不同类的一项，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
江苏省镇江中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
20．2021年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当 时，曲线是二次函数图象的一部分，当 时，曲线是函数 ，（ 且 ）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
先解出命题所对应的集合，再根据条件分析集合间包含关系，进行求解得选项．
【详解】
因为 ，条件 ，所以p对应的集合为 ；
因为条件 ，所以当 时，q对应的集合为 ；
当 时，q对应的集合为 ；
当 时，q对应的集合为 ；
因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，
所以当 时，q对应的集合为 ，此时满足A⫋B，故学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．
21． 是偶函数，
(1) 求 的值；
(2)当 时，设 ，若函数 与 的图象有且只有一个公共点，求实数 的取值范围.
22．已知函数 .
（1）若 时，直线 是曲线 的一条切线，求b的值；
当 时，q对应的集合为 ，此时满足A⫋B，需 ，解得 ；
本题正确选项：
【点睛】
本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.
3．A
【分析】
分别判断充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果.
【详解】
当 时， ，可知充分条件成立
当 时， ，可知必要条件不成立
“ ”是“ ”的充分不必要条件
本题正确选项：
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.
4．C
江苏省镇江市大港中学2020-2021学年度高二第一学期10月学情检测数学试卷
C．平行四边形一定是平面图形
D．梯形一定是平面图形
12. 在平面直角坐标系中，已知双曲线 x2 y2 1，则(
)
4 12
A.实轴长为 4
B.渐近线方程为 y
3 x
3
C.离心率为 2
D.一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 3
三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）.
分别为 M , N .
(1) 若 P 点坐标为 4,6 ,求直线 MN 的方程;
y
P
M
(2) 求证:直线 MN 过定点.
A
O
B
x
N l
2
B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
3．已知公差为 2 的等差数列 an 满足 a1 a4 0 ，则 a7 （ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
4．椭圆 C 的长轴长是短轴长的 3 倍，则 C 的离心率为（ ）
A． 6 3
B． 2 3
C． 3 3
D． 2 2 3
13．若焦点在 x 轴上的椭圆 x2 y2 1 的离心率为 1 ，则 m _________．
2m
2
14．椭圆
x2 9
y2 4
1 的左右焦点分别为 F1, F2 ，点 P 在椭圆上，若
PF1
4 ，则 F1PF2
________.
15．在数列 an 中， a1 1 ， an an1 2n2 (n 2) ，则 an _____.
面是尖的（只有一个小球），问：总共有__________个小球.（注：这里高分别一个，二个，三个，四个的三角垛 如图所示）
2020--2021学年度第一学期期中考试安排
育英中学高中部2020—2021学年度第一学期期中考试工作安排高中部定于11月9日至11月11日进行2020—2021学年度第一学期期中考试。
现将有关事项安排如下：一、考试工作领导小组：组长：梁耀録副组长：马永昌考务组：贾兴隆乔小飞李洋巡查组：贾兴隆乔小飞赵龙龙刘迎考务办设在三楼会议室。
李洋负责试题印制、发放、收交、装订、保管，负责考务办开关门、考勤、收发考场记录，准备考务办公室各种物品（考场标牌、监考牌、草稿纸、考场记录单、考场对照表等）。
李洋负责试题印制、考场布置、考场卫生，收集教室门钥匙，准备探测仪，发考试指令。
李洋负责试卷的扫描，每科考试结束后，迅速开始试卷的扫描。
二、考试科目：高一理科：语文、数学、英语、物理、化学、生物高一文科：语文、数学、英语、政治、历史、地理高二理科：语文、数学、英语、物理、化学、生物高二文科：语文、数学、英语、政治、历史、地理三、考试时间：高一高二考试时间四、各科考试用时及分值：语文：150分钟，数学、英语：120分钟，地理、化学、物理90分钟，语数英满分均为150分，政史地理化生满分均为100分。
五、试场编排1、考场设置：（1）高一年级13个试场（1--13），共计551人。
高一1班--高一8班对应1到8考场,每场40人，高一9班--高一12班对应9到12场，每考场对应50人，四楼培优教室对应13考场，31人。
（2）高二年级14个试场（14--27），共计452人。
高二年级理科205人，6个试场（14-18）。
高二1班--高二5班对应14--18考场，每考场41人。
高二年级文科237人，8个试场（19-25）高二6班--高二8班为文科19、20、21考场，每场40人，物理实验室301对应22考场，物理实验室303对应23考场，物理实验室305对应24考场，化学实验室101对应25考场，每考场30人，尾考场27人。
3、座位排列：试场桌椅排成5列8排，座位号从前门内左手第一行开始，按倒“S”形依次排列，每列8人。
2020-2021学年江苏省镇江市高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）期中数学试卷一、单选题（共8题，每题5分，总计40分，在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）1．（5分）如果集合{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，{2A =，4，8}，{1B =，3，4，7}，那么()U A B 等于( ) A ．{4}B ．{1，3，7}C ．{2，8}D ．{1，3，4，5，7，8}2．（5分）命题“x R ∃∈，2220x x ++”的否定是( )A ．x R ∀∈，2220x x ++>B ．x R ∀∈，2220x x ++C ．x R ∃∈，2220x x ++>D ．x R ∃∈，2220x x ++ 3．（5分）函数32x y x +=的定义域是( ) A ．[3-，)+∞B ．(0,)+∞C ．(3,)-+∞D ．[3-，0)(0⋃，)+∞ 4．（5分）设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于( )对称A ．x 轴B ．y 轴C ．坐标原点D ．不能确定6．（5分）若偶函数()f x 在(-∞，1]-上是减函数，则( )A ．3()(1)2f f f -<-<（2） B ．3(1)()2f f f -<-<（2） C ．f （2）3(1)()2f f <-<- D ．f （2）3()(1)2f f <-<- 7．（5分）列车从A 地出发直达500km 外的B 地，途中要经过离A 地300km 的C 地，假设列车匀速前进，5h 后从A 地到达B 地，则列车与C 地距离y （单位：)km 与行驶时间t （单位：)h 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）若函数2,1()(6),1x ax x f x a x a x ⎧-+<=⎨--⎩满足对任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，2]B ．(1,2)C ．[2，6)D ．[2，7]3二、多选题(共4题，每题5分，总计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．中国清代数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做“函数”，沿用至今，即“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．直到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，才产生现代的函数定义．已知集合{1M =-，1，2，4}，{1N =，2，4，16}，给出下列四个x y →的对应，其中能构成从M 到N 的函数的是( )A ．2y x =B ．2y x =+C ．||2x y =D ．2y x =10．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题，其中正确的是( )A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若22ac bc >，则a b >C ．若a b >，则11a b <D ．若a b >，c d >，则a d b c ->-11．已知x ，y 为正数，且1xy =，a x y =+，14b x y =+，下列选项中正确的有( ) A ．a 的最小值为2B ．b 的最小值为4C ．a b +的最小值为5D ．ab 的最小值为912．（5分）集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{|A B x x A -=∈且}x B ∉，*()()A B A B B A =--叫做集合的对称差，若集合2{|(1)1A y y x ==-+，03}x ，2{|1B y y x ==+，13}x ，则以下说法正确的是( )A ．*[2AB =，5]B ．[1A B -=，2)C ．(5B A -=，10]D ．*(1A B =，2](5⋃，10]三、填空题（共4题，每题5分，总计20分，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）.13．（5分）已知集合{|1}A x ax =，B =，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．14．（5分）若()(22)x x f x x a -=+是奇函数，则实数a = ．15．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”．设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数31()132x x f x =-+，则函数[()]y f x =的值域是 ． 16．（5分）已知函数22,1()1,1x x f x x x x -⎧=⎨+-<⎩，那么(f f （4）)= ，若存在实数a ，使得f （a ）(f f =（a ）)，则a 的个数是 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设全集U R =，函数()f x =的定义域为集合A ，集合1{|232}4x B x =，命题P ：若______，则A B ≠∅．请从①2a =，②3a =-，③5a =-中选择一个作为条件，补充到上面命题P 中，使得命题P 为真命题，并求()U A B ．18．（12分）（1）求值：130263290.125()[(2)]8--+-+； （2）已知11223(0)a a a -+=>，求值：22111a a a a -++++． 19．（12分）已知函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数，满足f （2）1=，当40x -<时，有()4ax b f x x +=+． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间(0,4)上的解析式，并利用定义证明函数()f x 在(0,4)上的单调性．20．（12分）某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为41(0)1x Q x x +=+．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件产品的销售定价为：“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和．（1）试将年利润W （万元）表示为年广告费x （万元）的函数．（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？21．（12分）对于函数()y g x =，()y h x =，如果存在实数a ，b 使得函数()()()f x ag x bh x =+，那么我们称()y f x =为函数()y g x =，()y h x =的“HC 函数”．（1）已知()3g x x =-，()21h x x =-+，试判断()55f x x =-能否为函数()y g x =，()y h x =的“HC 函数”，若是，请求出a ，b 的值：若不是，说明理由．（2）已知()2x g x =，()2x h x -=，()f x 为函数()y g x =，()y h x =的“HC 函数“，且1a =，2b =，解不等式()3f x >；（3）已知()g x x =，1()h x x=，()f x 为函数()y g x =，()y h x =的“HC 函数“（其中0a >，0)b >，()y f x =的定义域为(0,)+∞，当且仅当2x =时，()y f x =取得最小值4．若对任意正实数1x ，2x ，且122x x +=，不等式12()()f x f x m +恒成立，求实数m 的最大值．22．（12分）已知函数2()||f x x x m m =-+．（1）若1m =，直接写出函数的单调增区间：（2）判断函数的奇偶性，并说明理由：（3）若函数()f x 在[1，2]上的最小值为7，求实数m 的值．2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共8题，每题5分，总计40分，在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）1．（5分）如果集合{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，{2A =，4，8}，{1B =，3，4，7}，那么()U A B 等于( ) A ．{4}B ．{1，3，7}C ．{2，8}D ．{1，3，4，5，7，8}【分析】根据补集与交集的定义写出()U A B ．【解答】解：集合{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，{2A =，4，8}，{1B =，3，4，7}，{1U A ∴=，3，5，6，7}，(){1U A B =，3，7}．故选：B ．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．（5分）命题“x R ∃∈，2220x x ++”的否定是( )A ．x R ∀∈，2220x x ++>B ．x R ∀∈，2220x x ++C ．x R ∃∈，2220x x ++>D ．x R ∃∈，2220x x ++ 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x R ∃∈，2220x x ++”的否定是：x R ∀∈，2220x x ++>．故选：A ．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）函数y =( ) A ．[3-，)+∞B ．(0,)+∞C ．(3,)-+∞D ．[3-，0)(0⋃，)+∞ 【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由300x x +⎧⎨≠⎩，得3x -且0x ≠．∴函数y =的定义域是[3-，0)(0⋃，)+∞． 故选：D ．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4．（5分）设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|2|1x -<”得13x <<，由220x x +->得1x >或2x <-，即“|2|1x -<”是“220x x +->”的充分不必要条件，故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．（5分）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于( )对称A ．x 轴B ．y 轴C ．坐标原点D ．不能确定【分析】利用图象关于0x =的对称特点分别判断．【解答】解：因为函数()y f x =关于0x =对称的函数为()y f x =-，所以函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于y 轴对称．故选：B ．【点评】本题主要考查几种常见函数的对称关系，要求熟练掌握这些对称对应函数的变化．6．（5分）若偶函数()f x 在(-∞，1]-上是减函数，则( )A ．3()(1)2f f f -<-<（2） B ．3(1)()2f f f -<-<（2） C ．f （2）3(1)()2f f <-<- D ．f （2）3()(1)2f f <-<- 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得f （2）(2)f =-，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，()f x 为偶函数，则f （2）(2)f =-，又由函数()f x 在(-∞，1]-上是减函数，则3(1)()(2)2f f f -<-<-，即3(1)()2f f f -<-<（2）， 故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用奇偶性分析函数值的关系，属于基础题．7．（5分）列车从A 地出发直达500km 外的B 地，途中要经过离A 地300km 的C 地，假设列车匀速前进，5h 后从A 地到达B 地，则列车与C 地距离y （单位：)km 与行驶时间t （单位：)h 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【分析】当列车到达C 地时，距离0y =，求出列车到达C 地的时间即可得出答案．【解答】解：列车的运行速度为500100/5km h =， ∴列车到达C 地的时间为3003100h =， 故当3t =时，0y =．故选：C ．【点评】本题考查了函数图象的意义，属于基础题．8．（5分）若函数2,1()(6),1x ax x f x a x a x ⎧-+<=⎨--⎩满足对任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，2]B ．(1,2)C ．[2，6)D ．[2，7]3【分析】由题意可知函数()f x 是R 上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增，列出不等式组求出a 的取值范围即可．【解答】解：根据题意，任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立， 所以函数()f x 是R 上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增，所以212(1)6016a a a a a ⎧-⎪⨯-⎪⎪->⎨⎪-+--⎪⎪⎩，解得：723a ， 所以实数a 的取值范围是：[2，7]3． 故选：D ．【点评】本题主要考查了分段函数的单调性，考查了二次函数的性质，是中档题．二、多选题(共4题，每题5分，总计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．中国清代数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做“函数”，沿用至今，即“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．直到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，才产生现代的函数定义．已知集合{1M =-，1，2，4}，{1N =，2，4，16}，给出下列四个x y →的对应，其中能构成从M 到N 的函数的是( )A ．2y x =B ．2y x =+C ．||2x y =D ．2y x =【分析】利用函数的概念直接求解．【解答】解：在A 中，2y x =，当1x =-时，2y N =-∉，故A 不能构成从M 到N 的函数； 在B 中，1y x =+，当1x =-时，2y N =-∉，故B 不能构成从M 到N 的函数；在C 中，任取x M ∈，总有||2x y N =∈，故C 正确；在D 中，任取x M ∈，总有2y x N =∈，故D 正确．故选：CD ．【点评】本题考查函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题，其中正确的是( )A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若22ac bc >，则a b >C ．若a b >，则11a b< D ．若a b >，c d >，则a d b c ->- 【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】解：A ．不一定成立；B ．由22ac bc >，则20c >，可得：a b >．C ．不一定成立，例如2a =，1b =-．D ．a b >，c d >，即d c ->-，则a d b c ->-，成立．故选：BD ．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．已知x ，y 为正数，且1xy =，a x y =+，14b x y =+，下列选项中正确的有( ) A ．a 的最小值为2B ．b 的最小值为4C ．a b +的最小值为5D ．ab 的最小值为9【分析】A ：由已知结合基本不等式2x y xy +可判断A ；B ：直接利用基本不等式即可直接求解b 的最小值；C ：结合A ，B 选项即可判断C ；D ：利用乘1法，可得14()()ab x y x y=++，展开后结合基本不等式即可求解．【解答】解：x ，y 为正数，且1xy =，22a x y xy =+=，当且仅当1x y ==时取等号，此时a 取得最小值2，故A 正确，14424b x y xy =+=，当且仅当14x y =且1xy =， 即12x =，2y =时取等号，此时b 取最小值4，故B 正确； 由A ，B 可知，6a b +>，故C 错误；144()()5529y x y ab x y x y x y x =++=+++⋅=，当且仅当4y x x y =且1xy =，即x =，y D 正确． 故选：ABD ．【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值中的应用，解题的关键是性质的灵活应用，属中档题．12．（5分）集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{|A B x x A -=∈且}x B ∉，*()()A B A B B A =--叫做集合的对称差，若集合2{|(1)1A y y x ==-+，03}x ，2{|1B y y x ==+，13}x ，则以下说法正确的是( )A ．*[2AB =，5] B ．[1A B -=，2)C ．(5B A -=，10]D ．*(1A B =，2](5⋃，10]【分析】求出集合的等价条件，结合定义求出A B -，B A -，*A B 的集合进行计算即可．【解答】解：2{|(1)1A y y x ==-+，03}{|15}x y y =，2{|1B y y x ==+，13}{|210}x y y =，则{|12}A B y y -=<，故B 正确；{|510}B A y y -=<，故C 正确；则*()(){|12A B A B B A y y =--=<或510}y <，故A ，D 错误．故选：BC ． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，以及结合新定义求出对应集合是解决本题的关键．三、填空题（共4题，每题5分，总计20分，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）.13．（5分）已知集合{|1}A x ax =，B =，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 (-∞，1]2． 【分析】由B A ⊆可知集合B 中的元素都在集合A 中，即把集合B 中的元素带入集合A 应该满足1ax ，从而得到a 的取值范围．【解答】解：B A ⊆，2A ∴∈A ，∴2121a a ⎧⎪，解得12a ， 故a 的取值范围是(-∞，1]2． 故答案为：(-∞，1]2． 【点评】本题考查了子集的概念以及一元一次不等式的解法和交集运算，属于基础题．14．（5分）若()(22)x x f x x a -=+是奇函数，则实数a = 1 ．【分析】根据题意，由奇函数的定义可得()()0f x f x -+=，即()(22)(22)0x x x x x a x a ---+++=，变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，若()(22)x x f x x a -=+是奇函数，则()()0f x f x -+=，即()(22)(22)0x x x x x a x a ---+++=，变形可得(1)(22)0x x a x ---=恒成立， 必有1a =， 故答案为：1．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的性质，属于基础题． 15．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”．设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数31()132x x f x =-+，则函数[()]y f x =的值域是 {1-，0} ． 【分析】把已知函数解析式变形，由30x >，依次可得()f x 的范围，结合定义可得函数[()]y f x =的值域．【解答】解：30x >，131x ∴+>，则10113x<<+， 可得31111()(1322132x x xf x =-=-∈-++，1)2， 当1()(2f x ∈-，0)时，[()]1f x =-，当()[0f x ∈，1)2时，[()]0f x =，∴函数[()]y f x =的值域是{1-，0}．故答案为：{1-，0}．【点评】本题考查函数值域的求法，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）已知函数22,1()1,1x x f x x x x -⎧=⎨+-<⎩，那么(f f （4）)= 1 ，若存在实数a ，使得f （a ）(f f =（a ）)，则a 的个数是 ．【分析】先计算f （4）2=-，再计算(2)f -的值即可；换元思想设f （a ）t =，由f （a ）(f f =（a ）)，那么()t f t =，求t 的值，即可求解a 的值，可得个数．【解答】解：由f （4）2=-， 那么(f f （4）)(2)1f =-=． 设f （a ）t =，由f （a ）(f f =（a ）)，那么()t f t =， 即图象与y x =有两交点，可得1t =或1t =-， 由图象可知：当1t =时，即f （a ）1=，可得1a =或2a =-，当1t =-时，即f （a ）1=-，可得3a =或0a =或1a =-，综上，存在实数a ，使得f （a ）(f f =（a ）)，则a 的个数是5个值， 故答案为1，5．【点评】本题考查了分段函数的应用，转化思想和换元法，属于中档题． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设全集U R =，函数()3f x x a a x=-+-的定义域为集合A ，集合1{|232}4xB x =，命题P ：若______，则A B ≠∅．请从①2a =，②3a =-，③5a =-中选择一个作为条件，补充到上面命题P 中，使得命题P 为真命题，并求()U AB ．【分析】代入a 的值，求出A ，B ，计算()U AB 即可．【解答】解：由题意[A a =，3)a +，[2B =-，5]，(UB =-∞，2)(5-⋃，)+∞，①2a =时，[2A =，5)，AB ≠∅，满足题意，()U A B =∅，②3a =-时，[3A =-，0]，AB ≠∅，满足题意，()[3U AB =-，2)-，③5a =-时，[5A =-，2]-，AB ≠∅，满足题意，()[5U A B =-，2)-；综上①2a =时，()U A B =∅， ②3a =-时，()[3U A B =-，2)-，③5a =-时，()[5U AB =-，2)-．【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道中档题．18．（12分）（1）求值：130263290.125()[(2)]8--+-+； （2）已知11223(0)a aa -+=>，求值：22111a a a a -++++．【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求出； （2）根据指数幂的运算性质即可求出．【解答】解：（1）原式1366331()12(3)8-=-++，21872=-++， 81=，（2）11223(0)a aa -+=>，111222()27a a a a --∴+=+-=，2212()247a a a a --∴+=+-=，则22114716171a a a a -+++==+++．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了运算能力，属于基础题．19．（12分）已知函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数，满足f （2）1=，当40x -<时，有()4ax bf x x +=+． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间(0,4)上的解析式，并利用定义证明函数()f x 在(0,4)上的单调性． 【分析】（1）根据()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数及40x -<时的()f x 解析式即可得出0b =，并可求出(2)1f -=-，从而可得出2(2)12af --==-，求出1a =； （2）根据上面知，(4,0)x ∈-时，()4xf x x =+，从而可设(0,4)x ∈，从而得出()()4x f x f x x -=--=--+，从而得出(0,4)x ∈时，()4xf x x=-，然后根据函数单调性的定义即可判断()f x 在(0,4)上的单调性：设任意的1x ，2(0,4)x ∈，且12x x <，然后作差，通分，提取公因式，然后判断1()f x 与2()f x 的大小关系即可得出()f x 在(0,4)上的单调性． 【解答】解：（1）函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数， (0)0f ∴=，即04b=，0b ∴=， 又因为f （2）1=，所以(2)f f -=-（2）1=-， 即212a-=-，所以1a =， 综上可知1a =，0b =，（2）由（1）可知当(4,0)x ∈-时，()4xf x x =+， 当(0,4)x ∈时，(4,0)x -∈-，且函数()f x 是奇函数， ∴()()44x xf x f x x x -=--=-=-+-+， ∴当(0,4)x ∈时，函数()f x 的解析式为()4xf x x =-+， 任取1x ，2(0,4)x ∈，且12x x <，则12121212124()()()44(4)(4)x x x x f x f x x x x x --=-=-+-+--，1x ，2(0,4)x ∈，且12x x <， 140x ∴->，240x ->，120x x -<，于是12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 故()4xf x x =-+在区间(0,4)上是单调增函数． 【点评】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，求奇函数在对称区间上的解析式的方法，以及函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．20．（12分）某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为41(0)1x Q x x +=+．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件产品的销售定价为：“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和． （1）试将年利润W （万元）表示为年广告费x （万元）的函数． （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）由已知得到产品的生产成本与每万件的销售单价，求出年销售收入，再由年利润=年销售收入-成本求得年利润W （万元）与年广告费x （万元）的函数解析式； （2）把（1）中的函数利用换元法与基本不等式求最值． 【解答】解：（1）由题意，产品的生产成本为(4.532)Q +万元， 每万件销售单价为： 4.53225%150%x QQ Q++， ∴年销售收入为 4.5323(25%150%)(32 4.5)24x Q x Q Q Q Q ++=++， 年利润为3919394193(32)(32)1616(0)224244144x x xW Q x Q x Q x x +=++-+-=-+=+-+；（2）419316(0)144x xW x x +=+-+， 设1(1)t x t =+，可得16163()676675544t tW t t =-++-+=万元． 当且仅当164tt =，即8t =时上式等号成立，此时7x =万元． ∴当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大利润为55万元．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用换元法与基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）对于函数()y g x =，()y h x =，如果存在实数a ，b 使得函数()()()f x ag x bh x =+，那么我们称()y f x =为函数()y g x =，()y h x =的“HC 函数”．（1）已知()3g x x =-，()21h x x =-+，试判断()55f x x =-能否为函数()y g x =，()y h x =的“HC 函数”，若是，请求出a ，b 的值：若不是，说明理由．（2）已知()2x g x =，()2x h x -=，()f x 为函数()y g x =，()y h x =的“HC 函数“，且1a =，2b =，解不等式()3f x >；（3）已知()g x x =，1()h x x=，()f x 为函数()y g x =，()y h x =的“HC 函数“（其中0a >，0)b >，()y f x =的定义域为(0,)+∞，当且仅当2x =时，()y f x =取得最小值4．若对任意正实数1x ，2x ，且122x x +=，不等式12()()f x f x m +恒成立，求实数m 的最大值． 【分析】（1）利用已知定义即可求解；（2）先假设函数是“HC 函数”，然后根据已知定义即可求解；（3）先设出函数()g x 的解析式，根据已知定义以及条件求出a ，b 的值，求出函数()g x 的解析式，再把恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式的性质即可求解． 【解答】解：（1）若()55f x x =-是()g x ，()h x 的“HC 函数”， 则()55(3)(21)(2)3f x x a x b x a b x a b =-=-+-+=--+，所以2535a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，解得1a =，2b =-；（2）已知()222x x f x -=+⋅，则()3f x >可化为：22230x x -+⋅->， 解得22x >或021x <<，所以1x >或0x <， 所以不等式的解集为(-∞，0)(1⋃，)+∞； （3）()bf x ax x=+，0a >，0b >，(0,)x ∈+∞， 所以()2b f x ax ab x =+，当且仅当bax x=即x=结合题意可得：0024a b >⎧⎪>=⎪⎩，解得1a =，4b =，所以4()f x x x=+，则12121244()()f x f x x x m x x +=+++恒成立，又因为10x >，20x >，122x x +=，则12128()()2f x f x m x x +=+恒成立，只需128(2)min m x x +即可， 由基本不等式可得：12122x x x x +，当且仅当12x x =时取等号， 此时121x x ， 所以12822810x x ++=，则10m ，故m 的最大值为10．【点评】本题考查了“HC 函数”的定义以及恒成立问题，涉及到基本不等式的应用以及函数的最值问题，属于中档题．22．（12分）已知函数2()||f x x x m m =-+． （1）若1m =，直接写出函数的单调增区间： （2）判断函数的奇偶性，并说明理由：（3）若函数()f x 在[1，2]上的最小值为7，求实数m 的值． 【分析】（1）代入1m =即可求解；（2）分0m =和0m ≠两种情况讨论，根据奇偶函数的定义即可判断；（3）分析函数在区间[1，2]的单调性，得出函数的最小值的表达式，再由最小值为7，求出m 的值即可．【解答】解：（1）当1m =时，()|1|1f x x x =-+，函数的单调递增区间为1(,)2-∞，(1,)+∞；（2）当0m =时，()f x 为奇函数，理由如下：0m =时，()||f x x x =，定义域为R 关于原点对称，则()||||()f x x x x x f x -=--=-=-，所以根据奇函数的定义可得：函数()f x 为奇函数， 当0m ≠时，则有2(0)0f m =≠，故函数不是奇函数，又2(1)|1|f m m f -=-++≠（1）2|1|m m =-+，所以函数也不是偶函数， 故0m ≠时，函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数；（3）当1m 时，()f x 在定义域上单调递增，()min f x f =（1）217m m =-+=， 解得2m =-或3m =（舍去），当4m 时，()f x 在定义域上单调递增，()min f x f =（1）217m m =+-=，解得m =（舍去），当24m <<时，()f x 在(1,)2m 递增，在(2m，2)上递减，故当23m <<时，()min f x f =（2）7=，解得1m =，当34m <时，()min f x f =（1）7=，解得m =， 当12m <时，12m，()f x 在(1,)m 上单调递增，在(,2)m 上单调递减，2()()7min f x f m m ===，解得m =，（舍去）综上：m 的取值集合为{2-，1}．【点评】本题考查了绝对值函数的单调性以及奇偶性和最值问题，涉及到分类讨论思想以及去绝对值的方法，考查了学生的运算能力，属于中档题．。
江苏省镇江中学2020-2021学年第一学期高二12月份月考数学
江苏省镇江中学高二教学质量检测(数学)一､单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上)1.在等比数列{}n a 中,24a =,532a =,则4a =()A.8B.-8C.16D.-162.如图,在正方体1111A BCD A B C D -中,M,N 分别是棱CD,CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是()A.30︒B.45︒C.60D.90︒3.下列命题中正确的是()A.若a,b 是两条直线,α，β是两个平面,且a α∈b β∈,则a,b 是异面直线B.若a,b 是两条直线,且//a b ,则直线a 平行于经过直线b 的所有平面C.若直线a 与平面a 不平行,则此直线与平面内的所有直线都不平行D.若直线a ∥平面a,点P α∈,则平面α内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条4.“珠算之父”程大位是我国明代伟大的数学家,他的应用数学巨著《算法统宗》的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”([注释]三升九:3.9升.次第盛:盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节的容积为()A.1.9升B.2.1升C.2.2升D.2.3升 5.已知抛物线2:C y x =的焦点为F,()00,A x y 是C 上一点,05||4AF x =，则0x =()A.1B.2C.4D.86.已知数列{}n a ､{}n b 满足2n n b log a =,,*n N ∈,,其中{}n b 是等差数列,且9201214a a ⋅=,.则1232020b b b b ++++=() A.2020 B.-2020 C.22020log D.10107.如图所示,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为43π的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋(球体离蛋巢底面的最短距离为()A.12B.12C.12D.128.如图所示,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形,且ADE ，BCF 均为正三角形,//EF AB ,2EF =,则该多面体的体积为()C.43D.32二､多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分,请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上)9.如图,在以下四个正方体中,直线AB 与平面CDE 垂直的是()10.等差数列{}n a 是递增数列,满足753a a =,前n 项和为S π,下列选择项正确的是()A.0d >B.10a <C.当5n =时n S 最小D.0n S >时n 的最小值为811.已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上,1F ､2F 是双曲线C 的左､右焦点,若12PF F 的面积为20,则下列说法正确的有()A.点P 到x 轴的距离为203B.1250||||3PF PF +=C.12PF F 为钝角三角形D.123F PF π∠= 12.设A,B 是抛物线2y x =上的两点,O 是坐标原点,下列结论成立的是()A.若OA OB ⊥,则||||2OA OBB.若OA OB ⊥,直线AB 过定点()1,0C.若OA OB ⊥,O 到直线AB 的距离不大于1D.若直线AB 过抛物线的焦点F,且|31|AF =,则||1BF = 三､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上13.双曲线221169x y -=的渐近线方程为________. 14.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家,在他的《好玩的数学》一书中,有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》,文章告诉我们,古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数).则下列埃及分数1111,,,,43355720192021⨯⨯⨯⨯的和是_____. 15.四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD,PA ⊥底面ABCD,2AB =,若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上,则PA 的长为_______. 16.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F,直线43200x y -+=过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ,O 为原点,||||OP OF =,则双曲线C 的右焦点的坐标为______,离心率为________.四､解答题(本大题共6小题,共计70分请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,D 为棱BC 的中点,AB BC ⊥,1BC BB ⊥,11AB A B ==,1BB =(1)证明:1A B ∥平面1AC D ；(2)证明:1A B ⊥平面ABC.18.设*n N ∈,数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12n n n S S a +=++,______.请在①1a ,2a ,5a 成等比数列,②69a =,③535S =这三个条件中任选一个补充在上面题干中,并解答下面问题.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足()11n a nn n b a +=+-,求数列{}n b }的前2n 项的和2n T .19.如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC ⊥平面BED;(2)若120ABC ︒∠=,AE EC ⊥,三棱锥E-ACD ，求该三棱锥的侧面积.20.已知数列{}n a 满足11a =,124n n a a n +-=+,设1n n r b a a +=-,*n ∈N .(1)求证:{1}n b -是等比数列；(2)设()124n n n c n a +=+-,数列{}n c 的前n 项和为n S ,求证:13n S <.21.如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD,且四边形ABCD 为直角梯形,2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==1AB BC ==.(1)求证平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长.22.已知双曲线()222210x y b a a b -=>>渐近线方程为y =,O 为坐标原点,(M 在双曲线上. (1)求双曲线的方程:(2)已知P ,Q 为双曲线上不同两点,点O 在以PQ 为直径的圆上,求2211||||OP OQ 的值.。
2020-2021学年江苏省镇江市第一中学高二上学期第二次月考数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省镇江市第一中学高二上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知命题p ：0x ∀≥，21x ≥，则命题p 的否定是（ ） A ．0x ∃≥，21x < B ．0x ∀≥，21x < C ．0x ∃<，21x < D ．0x ∀<，21x <【答案】A【分析】由全程命题的否定是特称命题，即可得出结果.【详解】命题：“0,21xx ∀≥≥”是全称命题，全程命题的否定是特称命题所以0,21xx ∀≥≥否定为0,21x x ∃≥< 故选：A2．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为 ．A．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．)【答案】C【详解】试题分析：双曲线方程变形为222221311,12222y x a b c c -=∴==∴=∴=焦点为⎫⎪⎪⎝⎭【解析】双曲线方程及性质3．祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立.据此，短轴长为6cm ，长轴为8cm 的椭球体的体积是（ ）3cmA ．24πB ．48πC ．192πD ．384π【答案】B【分析】根据题意，S S =圆环总成立可知，椭半球体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，利用圆柱、圆锥的体积公式即可求解.【详解】根据题意，由椭圆的短轴长为6，长轴长为8可知, 圆柱的高为4h =，底面半径3r =， 由圆柱和圆锥的体积公式，结合题中结论知，()221=2-=23V V V r h r h ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭椭球体圆柱圆锥，即221=23434483V πππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭椭球体. 故选：B.【点睛】本题考查数学文化、圆柱和圆锥的体积公式；考查运算求解能力、知识迁移能力和空间想象能力；灵活运用题中原理的含义是求解本题的关键;属于中档题. 4．正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，则1AB 与1C B 所成的角的大小为（ ） A ．60° B ．90°C ．45°D ．120°【答案】B【分析】选出向量的基底，选BA ，BC ，1BB 为基底，将1AB 、1C B 用基底表示，求出两个向量的数量积，利用向量垂直的充要条件求出两个向量的夹角．【详解】设1BB m =，BA a =，BC b =，1BB c =， 则11AB BB BA c a =-=-，1111C B C B B B b c =+=--，()()()()211AB C B c a b c a c b c a b a c c b c ⋅=-⋅--=-⋅+=⋅+⋅-⋅-2102m =⨯-=，∴11AB C B ⊥，∴1AB 与1C B 所成的角的大小是90， 故选：B【点睛】方法点睛：求两条异面直线所成的角，常利用向量作为工具，将异面直线赋予向量意义，利用向量的数量积求出两个向量所成的角，再根据异面直线所成角的范围，求出异面直线所成的角5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若5624a a +=，848S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式直接求解 【详解】{}n a 是等差数列，且5624a a +=，848S =故11292482848a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得115,6a d =-=， 故选：C.6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（ ）天，蒲草和菀草高度相同.（已知lg 20.3010=，lg30.4771=，结果精确到0.1）（ ） A ．3.5 B ．3.6C ．3.7D ．3.8【答案】B【分析】可得蒲草和菀草每天长高数分别成等比数列，根据等比数列求和公式建立等量关系即可解出.【详解】设蒲草每天长高数形成数列{}n a ，则由题可得{}n a 是首项为6，公比为12的等比数列，设菀草每天长高数形成数列{}n b ，则由题可得{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，若第n 天，蒲草和菀草高度相同，则16112211212n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭=--，可得()22132120n n -⋅+=，解得21n =或212n =，0n ∴=（舍去）或222lg30.4771log 12log 3log 422 3.6lg 20.3010n ==+=+=+≈. 故选：B.7．一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，设其方程为22(010)x y y =≤≤，在杯内放置一个玻璃球，要使玻璃球能接触到酒杯的底部，玻璃球的半径的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】设截面圆的圆心为(0,)b ，设抛物线上点的坐标为(,)P x y ，将圆心到点P 的距离r 表示出来，根据r 的最小值在原点(0,0)处取得，即可求解.【详解】设小球的截面圆的圆心为(0,)b 其中(0)b >，抛物线上点(,)P x y ， 则圆心到点P 的距离222222()2()2(1)r x y b y y b y b y b =+-=+-=+-+， 其中010y ≤≤由2r 的最小值在原点(0,0)时取得，则小球触及到杯底，故此二次函数的对称轴的位置在y 轴的左侧，所以10b -≥，解得01b <≤， 所以玻璃球的半径的最大值为1. 故选：B.8．如图，四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA '⊥底面ABCD，AB =6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）A ．96B 93C 96D 93【答案】A【分析】先确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，利用圆锥的侧面积S rl π=即可得出结论. 【详解】由题意 6,32CE CC AA BC AB ''=====，所以22361832BE CE CB =--=，所以45BCE ∠=， 45ECC '∠=， 所以曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，所以圆锥的侧面积 636186S rl CC DC ππππ'==⨯⨯=⨯⨯=， 所以曲面面积为19668π⨯=. 故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18是关键，考查系数的空间想象力.9．已知点()00,P x y 是椭圆22:1716x y C +=上 一点（异于椭圆的顶点），1F 、2F 分别为C 的两个焦点，A 、B 是椭圆的左右两个顶点，则下列结论正确的是（ ） A ．12PF F △周长为16 B ．1PF 的最大值为7C ．准线方程为73y =± D ．直线PA 与PB 的斜率的乘积为167-【答案】D【分析】根据标准方程确定出焦点，长半轴，短半轴的长，然后根据问题结合椭圆的性质逐项判断即可.【详解】因为椭圆22:1716x y C +=，故焦点在y 轴上，且43a b c ===，，因为点P 在椭圆上：故12PF F △的周长为：2214a c +=，故A 错误；因为点()00,P x y 异于椭圆顶点，所以17PF a c <+=，故B 错误；准线方程为2163a c y =±=±，故C 错误；易知(A ，B ，故20207PA PB y k k x ⋅==-，而22001716x y +=，故22716()7x y -=⨯，代入得167PA PBk k ⋅=-，故D 正确； 故选：D.二、多选题10．若m 、n 是两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，下列说法正确的有（ ）A ．若//,//m n m α，则//n αB ．若//,/,//m n m n αβ，则//αβC ．若//,m n n α⊥，则m α⊥D ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥【答案】CD【分析】根据平行关系判断AB ，根据垂直关系判断CD.【详解】A. 若//,//m n m α，则//n α或n ⊂α，故A 不正确；B.若,m n 都与；两平面的交线平行，也满足条件，但不能推出//αβ，故B 不正确；C.两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故C 正确；D. 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥，故D 正确. 故选：CD11．设椭圆22221x y a b +=，双曲线22221x y a b-=（其中0a b >>）的离心率分别为12,e e ，下列结论中正确的是（ ） A ．121e e < B ．22122e e +=C ．121e e >D ．122e e +<【答案】ABD【分析】求出1e =2e =.【详解】由题意可得1e =2e =对于A ，121e e ===，故A 正确、C 不正确； 对于B ，22222222212a b a b a ae e -+=++=，故B 正确； 对于D ，由1201,1e e <<>所以)122e e +==，122e e +<成立，故D 正确.故选：ABD12．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项和为n T ，下列说法正确的有（ ） A ．若10,0a d ><，则存在正整数n 使得0n a >且10n a +< B ．若10,0a d <>，则n S 有最小值无最大值C ．数列{}n b 是单调递增数列的一个充分不必要的条件是10,1b q >>D ．()()2232n n n n n T T T T T -=-对于任意正整数n 恒成立 【答案】BCD【分析】举反例可说明A ；根据等差数列前n 项和的二次函数特征可判断B ；根据数列{}n b 是单调递增数列得出10,1b q >>或10,01b q <<<可判断C ；由等比数列的求和公式可判断D.【详解】对于A ，等差数列{}n a 中，如12,1a d ==-，则数列中不存在正整数n 使得0n a >且10n a +<，故A 错误；对于B ，若10,0a d <>，则21+22n d d S n a n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，开口向上，所以n S 有最小值无最大值，故B 正确；对于C ，若数列{}n b 是单调递增数列，则10,1b q >>或10,01b q <<<，所以“10,1b q >>”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要的条件，故C 正确；对于D ，若1q =，则12112n n nb T T nb nb =-=-，()()()232111132n n n T T T nb nb nb nb -=-=，故()()2232n n n n n T T T T T -=-成立，当1q ≠时，()()()2211221111n n n n T T b q b q q q ⎡⎤--⎢⎥=---⎢⎥⎣⎦- ()()2222211111n n n n b b q q q q q q ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭， ()()()()3211132111111n n n n n n T b q b q b q T q q T q ⎡⎤---⎢⎥----⎢⎥⎣⎦-= ()()()222232111111n n n n n b b q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 故()()2232n n n n n T T T T T -=-成立，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查等差等比数列的前n 项和性质和单调性问题，解题的关键是熟悉等差等比数列的特性，熟悉求和公式.三、填空题13．空间向量(1,1,1),(1,0,1),(1,2,)a b c m ===，若三个向量,,a b c 共面，则a 可用b 和c 表示为______.【答案】1()2a b c =+ 【分析】根据三个向量,,a b c 共面，利用空间向量基本定理，由a b c λμ=+求解. 【详解】因为空间向量(1,1,1),(1,0,1),(1,2,)a b c m ===，且三个向量,,a b c 共面，所以a b c λμ=+，即1121m λμμλμ=+⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得12121m λμ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以1()2a b c =+， 故答案为：1()2a b c =+14．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12319b b b b a a a a ++++=________.【答案】19218+【分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得121n n b a -=+，再由等比数列的前n 项和公式即可得结果.【详解】由题意可得：1n a n =+，12n n b -=，1121n n b n a b -=+=+所以12191918191(12)(122)191921812b b b a a a ⨯-+++=++++=+=+-故答案为：19218+15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且位于x 轴上方，M 为直线2a x c=-上一点，O 为坐标原点，已知OP OF OM =+，且||||OM OF =，则双曲线C 的离心率为________. 【答案】2【分析】先确定点M 的坐标，再确定点P 的坐标，代入双曲线的方程，即可求得双曲线的离心率，得到答案.【详解】由题意，点,M P 位于x 轴的上方，因为||||OM OF c ==，M 为直线2a x c =-上一点，可得2(a M c -，又因为OP OF OM =+，所以四边形OMPF 为菱形，//PM x 轴，所以2(a P cc -，即2(b P c ，代入双曲线的方程，可得422221b c c a b-=，整理得224c a =，所以2c a =， 所以双曲线的离心率为2ce a==.故答案为：2.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.16．圆锥曲线（英语：conic section ），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于12,F F ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________.3【分析】作出轴截面图，利用图形的几何性质，直线与圆相切的性质，以及三角函数的定义，求得椭圆的半焦距，长半轴，即可求得离心率. 【详解】作出几何体的轴截面图，如图所示，点,M N 是圆柱内两个内切球的球心，12,F F 是椭圆的两个焦点， 其中O 是12O O 与12F F 的交点，12PQ O O ⊥， 根据圆的切线的性质，可得21,MF AB NF AB ⊥⊥，由题意可知：1221216,2OO OO MF MO NO NF ======，所以4OM ON ==， 所以2212223OF OF OM MF ==-=，即23c =， 所以在2OMF △中，221sin 42MOF ∠==，显然230MOF ∠=，所以60AOQ ∠=， 所以241cos 2OQ OA AOQ ===∠，即4a =， 所以椭圆的离心率为23342c e a ===. 故答案为：3.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题17．已知{}n a 为等差数列，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在下表的同一列.请从①12a =，②11a =，③13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题.（1）直接将满足要求的条件填入相应的空格里，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足232n a n nb a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）选择②填在第一行第二列时满足条件；32n a n =-；（2）1(35)210n n +-⋅+.【分析】（1）可知只有②满足题意，得出1231,4,7a a a ===，求出公差即得通项公式； （2）求出b n ，利用错位相减法即可求出.【详解】（1）将②①③分别填入第一、二、三列第一行表格中 满足题意的1231,4,7a a a ===，因为{}n a 是等差数列，设公差为d 则32213d a a a a =-=-=，1(1)32n a a n d n =+-=-∴（2）232(32)2n a n n nb a n +=⋅=-⋅123124272(32)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅①23412124272(35)2(32)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②两式相减得2312323232(32)2n n n T n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅()()()2111321223225321012n n n n n -++⋅-=+--⋅=-⋅--1(35)210n n T n +∴=-⋅+.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.18．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点，斜率为()11,A x y 、()22,B x y ，其中12x x <，且||9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）设O 为坐标原点，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为C ，证明：B 、O 、C 三点共线.【答案】（1）28y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）设出直线方程，联立直线与抛物线，利用焦点弦长公式即可求出； （2）可得出,,A B C 坐标，根据BO CO k k =即可证明. 【详解】（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，故直线AB的方程为y =，联立22y y px⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得22450x px p -+=.∵12x x <，0p >，222251690p p p ∆=-=>，解得12,4px x p ==. ∴经过抛物线焦点的弦129||94AB x x p p =++==，解得4p =. ∴抛物线方程为28y x =；（2）由（1）知A点的坐标为(1,-，B点的坐标为(4,， 过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为C ，则C点的坐标为(2,--，∴BO CO k k ==，又直线BO 与直线CO 有一个公共点O ，所以B 、O 、C 三点共线.19．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A，M 是CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AM ；(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．. 【答案】（1）见解析（2）45°【详解】(1)以点C 为原点，CB 、CA 、CC 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，如图所示，则B (1,0,0)，A (030)，A 1(036)，M 6⎛ ⎝⎭. 所以1A B ＝(136)，AM ＝60,3,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.因为1A B ·AM ＝1×0＋(3(3＋(6)×620，所以A 1B ⊥AM . (2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC . 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，即BC ⊥平面AMC .所以CB 是平面AMC 的一个法向量，CB ＝(1,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA ＝(－13，0)，BM ＝6⎛- ⎝⎭.由0,{0nBA nBM ==得0{0x x z -+=-+=，令z ＝2，得x，y. 所以n ＝，2)因为|CB |＝1，|n |＝cos 〈CB ，n 〉＝CB n CB n⋅⋅＝2， 因此二面角B -AM -C 的大小为45° 20．已知数列{}n a 满足122nn n a a a +=+，且12a =，数列{}n b 满足1n n n n b b a b +-=，且12b =，(n *∈N ).（1）求证：数列1na 是等差数列，并求通项n a ； （2）解关于n 的不等式：22na nb <.【答案】（1）证明见解析，2n a n=；（2）{}2,3,4n ∈. 【分析】（1）将122n n n a a a +=+变形为11112n n a a +-=，由等差数列的定义得出数列1na 是等差数列；（2）将1n n n n b b a b +-=变形为121n n n b n a b n++=+=，利用累乘法求出数列{}n b 的通项公式，从而将22na nb <化简为(1)12n n n +>，令(1),2n nn n c n N *+=∈，求出当1,2,3,4,5n =时n c 的值并与1比较，当5n ≥时，求出{}n c 的增减性，由增减性确定不等式1n c >的解. 【详解】（1）证：由122nn n a a a +=+，且12a =知，0n a > 故有11112n n a a +-=得，所以数列1na 是等差数列 由于1111,22d a ==，所以12n na =，即2n a n=；（2）由1n n n n b b a b +-=得，121n n n b n a b n++=+=，由累乘法得，(1)n b n n =+ 则不等式22na nb <可化为2(1)nn n <+，即(1)12nn n +> 令(1),2n nn n c n N *+=∈，则1n c >. 当1n =时，11c =，不符合；当2n =时，2312c =>，符合； 当3n =时，3312c =>，符合；当4n =时，4514c =>，符合；当5n =时，515116c =<，不符合； 而当5,n n N *≥∈时，()()1111(2)1(2)(1)0222n n n nn n n n n n n c c ++++++-+-=-=<故当5,n n N *≥∈不符合；综上所述，{}2,3,4n ∈.【点睛】根据递推公式求等差数列的通项公式时，通常是将递推公式进行变形，结合等差数列的定义证明其为等差数列，进而得出其通项公式.21．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为正方形，已知PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =.（1）求PC与平面PBD所成角的正弦值；（2）在棱PC上存在一点E，使得平面BDE⊥平面BDP ，求PEPC的值.【答案】（1）1010；（2）23.【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与平面PBD所成角的正弦值；（2）设设在棱PC上存在一点(,,)E a b c ，PEPCλ=，(01)λ，使得平面BDE⊥平面BDP，求出平面BDE的法向量，利用向量法能求出棱PC上存在一点E，使得平面BDE⊥平面BDP，且23PEPC=.【详解】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则2)P，(2,2,0)C，(2,0,0)B，(0,2,0)D，(2,2,2)PC=，(2,0,2)PB=，(0,2,2)PD=，设平面PBD的法向量(,,)n x y z=，则220220n PB x zn PD y z⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得(1,1,2)n =，设PC 与平面PBD 所成角为θ，则||10sin 10||||104PC n PC n θ⋅===⋅⋅. ∴PC 与平面PBD 所成角的正弦值为1010. （2）设在棱PC 上存在一点(,,)E a b c ，PEPCλ=，(01)λ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，则(,,2)(2,2,2)a b c λλλ-=-，∴(2,2,22)E λλλ-，(2,2,0)=-BD ，(22,2,22)BE λλλ=--，设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =， 则220(22)2(22)0m BD x y m BE x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩， 取1x =，得1,1,22m λ⎛= ⎪-⎝⎭，∵平面BDE ⊥平面BDP ， ∴42201m n λλ-⋅=+=-，解得23λ=.∴棱PC 上存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，且23PE PC =. 【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，点F ，B 分别是椭圆的右焦点与上项点，O为坐标原点，记OBF 的周长与面积分别为C 和S .（1的最小值；（2）如图，过点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点过点F 作l 的垂线，交直线3x b =于点R||FR PQ ∣∣的最小值.【答案】（1）2+；（2.【分析】（1）根据题意可得C b c =++，12S bc =，再利用基本不等式即可求解.（2）由（1）可得b c =，设直线l 的方程为x my c =+，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出PQ ，讨论0m =或0m ≠，设直线:()FR y m x c =--，再求出FR ，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）OBF的周长C b c =+，OBF 的面积12S bc =. 2==≥=+ 当且仅当b c =2+. （2）由（1）得当且仅当b c =的最小值为2+. 此时椭圆方程可化为222212x y c c+=依题意可得过点F 的直线l 的斜率不能为0，故设直线l 的方程为x my c =+. 联立22222x my c x y c=+⎧⎨+=⎩，整理得：()222220m y mcy c ++-=. 12222mc y y m -+=+，21222c y y m-=+2212m PQ m +===⨯+.当0m =时，PQ 垂直横轴，FR 与横轴重合，此时||PQ =，||32FR b c c =-=，||||FR PQ ==当0m ≠时，设直线:()FR y m x c =--，由b c =， 不妨令3x c =，得(3,2)R c mc -22FR c m +∣，22||2||FR PQ ==222⎫=>= 综上所述：当且仅当0m =时，||||FR PQ .【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系、弦长公式，解题的关键是利用弦长公式求出PQ ，利用两点间的距离公式求出FR ，考查了计算求解能力.。
江苏省镇江中学2020-2021学年高二下学期6月质量检测(数学)(含解析)
江苏省镇江中学2020-2021学年度高二下学期6月质量检测（数学）一、单选题（每小题5分，合计40分） 1．已知集合{}1,2M =且{}1,2,3M N =，则集合N 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}1D ．{}22．某单位组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分，统计20人的得分情况如图所示，若该20人成绩的中位数为a ，平均数为b ，众数为c ，则下列判断错误的是（ ）A ．a=92B ．b=92C ．c=90D ．b+c<2a3．设0a b >>，则下列不等式中一定成立的是A ．0a b -<B ．01a b<< C 2a b+<D ．ab a b >+4．随机变量X 的分布列如下表，若(33)6E X +=，则()D X =（ ）A ．0B ．2C ．3D ．45．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( ) A ．35B ．14C ．12D ．136．设α，β是空间中的两个平面，l ，m 是两条直线，则使得//αβ成立的一个充分条件是（ ）A ．l α⊂，m β⊂，//l mB ．l m ⊥，//l α，m β⊥C ．l α⊂，m α⊂，//l β，//m βD ．//l m ，l α⊥，m β⊥7．2020年是举办双十一的第12个年头，随着人们消费习惯发生大幅改变以及电商直播的快速发展，今年双十一人们的消费热情空前高涨.已知今年双十一期间某地居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布N （800，40000），则该地1000名居民中，网上购物消费金额超过1200元的人数约为（ ）（参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈）A ．23B ．50C ．159D ．3188．已知定义在R 上的奇函数f （x ）的导函数为f’（x ），当x<0时，f （x ）满足()()2? '()?f x xf x xf x +<，则f （x ）在R 上的零点个数为A ．1B ．3C ．5D ．1或3二、多选题（每小题5分，合计20分。
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、解答题17．（1）直线l经过两直线280+-=与210x yx y-+=的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.（2）已知直线l经过点(3,2)A-，且原点到直线l的距离等于3，求直线l的方程. 18．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为[)90,100，[)100,110，…，[]140,150分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．21．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3440-+=与圆C相切．x y(1)求圆C的方程；uuu r uuu r为坐标原点，求(2)若过点()0,3-的直线l与圆C交于不同的两点,A B，且3,×=OA OB O三角形AOB的面积．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m()0m¹，l交椭圆于A，B两个不同点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.)1y ，()22,B x y ，直线l ：y kx =-)22324kx x y =--+=得()(22146k x +-+。
江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题(精品解析版)
江苏省镇江中学高二教学质量检测（数学）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）1. 在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A. 8 B. 8- C. 16 D. 16-【答案】C 【解析】 【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值.【详解】因为254,32a a ==，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2424416a a q ==⨯=，故选：C.2. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是( )A. 30B. 45C. 60D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】可以建立空间直角坐标系，求出向量1AM 与DN 的夹角进而求出异面直线1A M 与DN 所成角． 【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2， 则1(2,A 0，2)，(0,M 1，0)，(0,D 0，0)，(0,N 2，1)，1(2,AM =-1，2)-，(0,DN =2，1)， 设异面直线1A M 与DN 所成角为θ， 则11cos 0A M DN A M DNθ⋅==⋅，90θ∴=．∴异面直线1A M 与DN 所成角的大小为90．故选D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，是基础题．3. 下列命题中，正确的是（ ）A. 若,a b 是两条直线，αβ，是两个平面，且a α⊂，b β⊂，则,a b 是异面直线B. 若,a b 是两条直线，且//a b ，则直线a 平行于经过直线b 的所有平面C. 若直线a 与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D. .若直线a //平面α，点P α∈，则平面a 内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条 【答案】D 【解析】根据两直线的位置关系判断．【详解】A. 若,a b 是两条直线，αβ，是两个平面，且a α⊂，b β⊂，则,a b 可能平行、可能相交、也可能是异面直线，A 错；B. 若,a b 是两条直线，且//a b ，,a b 确定平面α，则直线a α⊂，B 错；C. 若直线a 与平面α不平行，若a α⊂，则a 与平面内的无数条直线平行，C 错；D. .若直线a //平面α，点P α∈，a 直线与点P 确定平面β，β与a 相交于直线b ，则//a b ，这样的直线b 有且只有一条，D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查空间直线的位置关系，空间直线有三种位置关系：相交、平面、异面直线，掌握它们的位置关系是解题基础．4. “珠算之父”程大为是我国明代伟大数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成，程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节储三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”（【注】三升九：3.9升，次第盛；盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ） A. 1.9升 B. 2.1升C. 2.2升D. 2.3升【答案】B 【解析】 【分析】设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米1a 升，根据题意得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，即可计算出中间两节盛米的容积45a a +升.【详解】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米， 设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米1a 升，由题意得319511323 3.92{9854(9)(5)322S a d S S a d a d ⨯=+=⨯⨯-=+-+=，解得1 1.4,0.1a d ==-，所以，中间两节盛米的容积为45111(3)(4)27 2.80.7 2.1a a a d a d a d +=+++=+=-=（升），【点睛】本题考查等差数列的应用，解题的关键就是将问题转化为等差数列的问题，并建立首项和公差的方程组求解，考查方程思想的应用，属于中等题.5. 已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A. 1 B. 2 C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．【详解】由抛物线2:C y x =可得11,224p p ==， 准线方程14x =-，0(A x ，0)y 是C 上一点，054AF x =，00x >． ∴00051442p x x x =+=+， 解得01x =． 故选：A ．6. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，n *∈N ，其中{}n b 是等差数列，且920121=4a a ，则1232020b b b b ++++=（ ）A. 2020B. -2020C.2log 2020D. 1010【答案】B 【解析】 【分析】由条件有201292b b +=-，由于{}n b 是等差数列, 则2012009212b b b b +=+，利用等差数列的求和公式即可解得.【详解】因为920121=4a a ⋅，则()2012201220129292292log log log 124log b a a a b a ++=⋅==-=由{}n b 是等差数列，则2012009212b b b b +=+()1202012320201202022020202022b b b b b b +++++=⨯=⨯-⨯=- 故选：B7. 如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.212- B.212+ C. 612- D.312- 【答案】D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离13142d =-=，而截面到球体最低点距离为31-，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为13311222⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.8. 如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ∆、BCF ∆均为正三角形，//EF AB ，2EF =，则该多面体的体积为（ ）A.23B.33C. 23D.43【答案】A 【解析】 【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积. 【详解】在EF 上取点,M N 使12EM FN ==，连接,,,AM DM BN CN ， ABCD 是边长为1的正方形，且ADE 、BCF △均为正三角形，EF AB ∥，所以四边形ABFE 为等腰梯形，2EF =，1MN =，根据等腰梯形性质，,,,AM EF DM EF BN EF CN EF ⊥⊥⊥⊥，,AM DM 是平面AMD 内两条相交直线，,BN CN 是平面BNC 内两条相交直线，所以EF ⊥平面AMD ，EF ⊥平面BNC ，3MA MD NB NC ====， 几何体体积为2E AMD AMD BNC V V V --=+2222113111312121132222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：A【点睛】此题考查几何体的体积的计算，关键在于将几何体进行切割成规则的几何体，再分别利用锥体柱体体积计算方法求解，属于中档题.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）9. 如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（ ）A. B.C. D.【答案】BD 【解析】 【分析】采用逐一验证法，结合线线位置关系以及线面垂直的判定定理，可得结果. 【详解】对于A ，由AB 与CE 所成角为45︒， 可得直线AB 与平面CDE 不垂直； 对于B ，由ABCE ，AB ED ⊥，CE ED E ⋂=，可得AB ⊥平面CDE ；对于C ，由AB 与CE 所成角为60︒， 可得直线AB 与平面CDE 不垂直； 对于D ，连接AC ，由ED ⊥平面ABC ， 可得ED ⊥AB ，同理可得EC AB ⊥， 又ED EC E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE . 故选：BD【点睛】本题考查线线位置关系，还考查线面垂直的判定定理，属基础题.10. 等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A. 0d <B. 10a <C. 当5n =时n S 最小D. 0n S >时n 的最小值为8【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.11. 已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P 的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.【详解】由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =， 由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF ==， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==， 则11337||833PF =+=，则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确， 在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角， 则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确，2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ， 故选：BC ．【点睛】本题主要考查与双曲线性质有关的命题的真假判断．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12. 设A ，B 是抛物线2yx 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A. 若OA OB ⊥，则2OA OB ≥B. 若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C. 若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于 1D. 若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线AB 方程为y kx b =+，将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，逐一分析判断得解.【详解】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C.O 到直线AB的距离1d ，即C 正确；A.||||OA OB =．||||2OA OB ∴正确； D.由题得11111,4312y y +=∴=,所以211==12x x ∴±，x =所以113k -==-AB的方程为14y x =+，所以14b =.由题得212121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++ =1114++=3223.所以41||133BF =-=.所以D 正确.故选：A CD ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．解题的关键是灵活利用韦达定理和抛物线的定义.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，不需要写出解答过程，请将答案填写在符题卡相应的位置上.）13. 双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34y x 【解析】 【分析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数），则下列埃及分数1111,,,,13355720192021⨯⨯⨯⨯的和是_______.【答案】10102021【解析】 【分析】利用裂项相消法可求题设中的和.【详解】因为对任意的*n N ∈，总有()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，故111113355720192021++++⨯⨯⨯⨯3520111111111111101012135720212202192021⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：10102021. 15. 四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，则PA 的长为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ,可得O 为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，可得P A 的值.【详解】连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，如图，可得OE ∥P A ,OE ⊥底面ABCD ，可得O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，设球半径为R ，可得211822R PC PA ==+，可得324198322PA ππ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 解得P A =1, 故答案为：116. 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为,P O 为原点，OP OF =，则双曲线C 的右焦点的坐标为__________；离心率为_________________.【答案】 (1). ()5,0 (2). 5 【解析】 【分析】根据题意，画出图象结合双曲线基本性质和三角形几何知识 【详解】如图所示：直线43200x y -+=过点F ，()5,0F ∴-，半焦距5c =，则右焦点为()25,0FA 为PF 中点，OP OF =，2//OA PF ∴由点到直线的距离公式可得2045OA ==，228PF OA =∴=，由勾股定理可得：22226FP FF PF =-=，再由双曲线定义可得：222PF PF a -==1a ，则离心率5ce a== 故答案为：()5,0，5【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，结合圆锥曲线基本性质和几何关系解题是近年来高考题中常考题型，往往在解题中需要添加辅助线，属于中等题型.四、解答题（本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱BC 的中点，1,AB BC BC BB ⊥⊥，111,2AB A B BB ===．求证：（1）1A B ⊥平面ABC ； （2）1A B ∥平面1AC D ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】 【分析】【详解】试题分析：（1）先证出1BC ABB ⊥平面，得出1AB BC ⊥，再由平面几何知识得出1A B AB ⊥，则可由线面垂直的判定证得；（2）由三角形中位线得线线平行，再由线面平行的判定证得； 试题解析：（1）因为1111,,,AB BC BC BB ABBB B AB BB ABB ⊥⊥=⊂、平面，所以111BC ABB AB ABB ⊥⊂平面,又平面，所以1AB BC ⊥； 又因为，得22211AA AB A B =+，所以1A B AB ⊥．又AB BC ABC AB BC B ⊂=、平面，，所以1A B ⊥平面ABC ；（2）连接1A C 交1AC 与点E ，连接DE ，在1A BC 中，D E 、分别为1BC AC 、的中点，所以1//DE A B ，又111,A B AC D DE AC D ⊄⊂平面平面，所以1A B ∥平面1AC D ．考点：1．线面平行的判定；2．线面垂直的判定与性质；18. 设*N n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______.请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，②69a =，③535S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()121na nn n b a +=+-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T .【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）首先根据12n n n S S a +=++判断出数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.通过①或②或③求得数列{}n a 的首项1a ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得{}n b 的表达式，结合分组求和法、并项求和法求得2n T .【详解】选①，（1）由12n n n S S a +=++得：()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.由1a ，2a ，5a 成等比数列得()()211128a a a +=+，解得11a =. ∴()*21N n a n n =-∈.（2）()()()1212121na nnn n n b a n +=+-=+--，()()()22122211357 (434122221)n n n T n n n+-=+-+-+---+-=-+⎡⎤⎣⎦-. 选②，（1）由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列. 由69a =得1529a +⨯=，解得11a =-， ∴()*23N n a n n =-∈.（2）()()()1112123na nnn n n b a n +-=+-=+--，∴()()22211135 (454321)n n T n n -=++-+---+-⎡⎤⎣⎦- 2212412n n n n =-+=-+.选③，（1）同理，由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列， 由535S =得151035a d +=，解得13a =， ∴()*21N n a n n =+∈. （2）()()()1112121na n nn n n b a n ++=+-=+-+，∴()()()2222213579 (414121)n nTn n -=+-+-+---++⎡⎤⎣⎦- 221242442n n n n ++=-+=-+.【点睛】本小题主要考查等差数列的定义，考查分组求和法、并项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.19. 如图四边形ABCD菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -，求该三棱锥的侧面积.【答案】（1）见解析（2）5【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 为菱形知AC ⊥BD ，由BE ⊥平面ABCD 知AC ⊥BE ，由线面垂直判定定理知AC ⊥平面BED ，由面面垂直的判定定理知平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AB =x ，通过解直角三角形将AG 、GC 、GB 、GD 用x 表示出来，在Rt ∆AEC 中，用x 表示EG ，在Rt ∆EBG 中，用x 表示EB ，根据条件三棱锥E ACD -6求出x ，即可求出三棱锥E ACD -的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ， 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED（2）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由 ∠ABC =120°，可得AG =GC =32x,GB =GD =2x .因为AE ⊥EC ，所以在 Rt ∆AEC 中，可得EG 3x. 连接EG ，由BE ⊥平面ABCD ，知∆EBG 为直角三角形，可得BE 2x .由已知得，三棱锥E -ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==.故 x =2 从而可得AE =EC =ED 6. 所以∆EAC 的面积为3，∆EAD 的面积与∆ECD 的面积均为 5故三棱锥E -ACD 的侧面积为3+25【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.20. 已知数列{}n a 满足11a =，124n n a a n +-=+，设1n n n b a a +=-，*n ∈N . （1）求证：{}1-n b 是等比数列； （2）设()124n n n c n a +=+-，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求证：13n S <. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式，找到11n b +-与1n b -的关系，即可证明；（2）由（1）可写出1(1)2nn c n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，知各项为正，故11n S S ≥=，再利用错位相减法求出332n n n S +=-即可证明.【详解】（1）124n n a a n +-=+，11222n u na a +∴=++，21111112122n n n n n a a a a +++++∴--=++-- 113222n n a +=-++111132222n n n a a a ++⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭1111222n n a a +=-- ()1112n n a a +=--， ()11112n n b b +∴-=-，即又112212b a a a =--=-，而2121214631a a a b =++=⇒=⇒=，{}1∴-n b 是以1为首项，12为公比的等比数列， （2）由（1）知11111122n n n n b b --⎛⎫⎛⎫-=⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则02212211111,1,,1()222n n n a a a a a a --⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1121111121122112212n n n n a a n n n ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-+=-+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-，所以2122n n a n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()111112(1)04422n nn n n n c n a n -++⎛⎫⎛⎫=+-=⋅=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则n S 单调递增，所以111n n S S S ≥=⇒≥,而()12111231222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()()211111212222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②,①-②得：()()21111122111111111122222212nn n n n S n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-+=+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-, 2131233222n n n nn n S ++∴=+--=-<, 综上：13n S <【点睛】关键点点睛：由递推关系结合要证的式子特点，有意识，有方向的的变形，是解决此类问题的主要思路，数列通项公式为差比数列积的形式，求和需要用到错位相减法，要求熟练掌握，本题属于难题. 21. 如图，在四棱锥P ABCD -中，己知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====.（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值：（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求段BQ 的长.【答案】（13（225. 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAB 与平面PCD 的法向量后可求它们所成二面角的余弦值.（2）BQ BP λ=，则可用λ表示CQ ，再用λ表示,CQ DP 所成角的余弦值，利用二次函数的性质可得何时取最小值.【详解】解：以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A xyz -如图，由题可知(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)B C D P .（1）∵AD ⊥平面PAB ，∴(0,2,0)AD =是平面PAB 的一个法向量，(1,1,2),(0,2,2)PC PD =-=-，设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，由00m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得20220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1y =，得而(1,1,1)m =，3cos ,||||AD m AD m AD m ⋅∴<>==，∴因为平面PAB 与平面PCD 3. （2）(1,0,2)BP =-，设(,0,2)(01)BQ BP λλλλ==-，又(0,1,0)CB =-，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--， 又(0,2,2)DP =-，从而2cos ,||||210CQ DP CQ DP CQ DP λ⋅<>==+，设12,[1,3]t t λ+=∈，则2222229cos ,5109101520999t CQ DP t t t <>==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当且仅当95t =，即25λ=时， |cos ,|CQ DP <>因为cos y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值. 又215BP BQ BP ==∴==【点睛】方法点睛：利用空间向量计算角、长度时，需要根据题设条件合理建立空间直角坐标系，从而把空间角的计算归结为方向向量或法向量的夹角的计算，对于动点坐标的计算，也要作合理的假设.22. 已知双曲线()222210x y b a a b -=>>渐近线方程为y =，O 为坐标原点，点(M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OP OQ +的值． 【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ）221113OP OQ +=. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（Ⅱ）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OP OQ +=． 【详解】（Ⅰ）∵双曲线的渐近线方程为y =，∴设双曲线方程为22(0)3y x λλ-=≠， ∵点(M 在双曲线上． ∴2(λ-=，∴2λ=． ∴双曲线方程2223y x -=，即22126x y -=． （Ⅱ）由题意知OP OQ ⊥．设OP 直线方程为y kx =， 由22126x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ ，解得222226363x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， ∴22222222666(1)||333k k OP x y k k k +=+=+=---． 由OQ 直线方程为1=-y x k .以1k-代替上式中的k ，可得 2222216[1()]6(1)||1313()k k OQ k k+-+==---． ∴22222222113312(1)1+=6(1)6(1)6(1)3k k k k k k OP OQ --++==+++．衡石量书整理。
江苏省镇江市第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题(无答案)
2020-2021学年高一下数学期中测试卷（镇江一中）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量(1,1)a =，(1,3)b =-，(2,1)c =，且()a b //c λ-，则λ=（ ）A ．6B ．16C ．7D ．172．已知z 为复数，且满足(1i)2i z ⋅+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚数是（ ）A ．1-B ．1C ．iD ．i -3．在ABC △中，如果cos(2)cos 0B C C ++>，那么ABC △的形状为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形 4．已知1sin sin 33παα⎫⎛=++ ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎫⎛+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．13B ．13- C ．3 D ．3- 5．在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，60BAD ∠=︒，Q 为CD 的中点，点P 在对角线BD 上，且BP BD λ=，若AP BQ ⊥，则λ=（ ）A ．14B ．12C ．23D ．346．明朝早起，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在填空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位．其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2cm （称一指），木板的长度按从小到大均两两相差2cm ，最大的边长约24cm （称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72cm ，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不停替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则sin2α约为（ ）A ．1235B ．13C ．16D ．12377．已知等边三角形ABC 的边长为6，点P 满足20PA PB PC +-=，则||PA =（ ）A ．2B ．C ．D ．8．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，||||z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i 1ia z +=+（i 是虚数单位，a ∈R ）是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线||1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为（ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量(1,2)a =-，(1,)b m =-，则（ ）A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若a//b ，则a b ⋅的值为5-C ．若1m =，则||13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒10．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||2πϕ≤）的图像与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，3OCB π∠=，||2OA =，||3AD =．则下列说法正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且():():()9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC △是钝角三角形C ．ABC △的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC △外接圆半径为712．设1z ，2z ，3z 为复数，10z ≠，下列命题中错误的是（ ）A ．若23z z =，则1213z z z z =B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则23z z =±D ．若2121z z z =，则12z z = 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()cos35,sin35a =︒︒，()cos5,sin5b =︒︒，则向量2a b -在a 方向上的投影为 ．14．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，60PBA QAB ∠=∠=︒，AQ QP PB ==，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP 最长时，该奖杯比较美观，此时AOB ∠= ．15．在ABC △中，2AB =，BC =30ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，若AD AB AC λμ=+，则λμ-= ．16．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒．若24m n +=，则sin117m +=︒． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知α，β为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．18．平面直角坐标系中，已知三点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，P 为平面内一点，(,)AP AB AC λμλμ=+∈R ，且0AP AB ⋅=，3AP AC ⋅=．（1）求AB AC ⋅的值；（2）求λμ+的值．19．为了测量两山顶M ，N 之间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 之间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）：②用文字和公式写出计算M ，N 之间的距离的步骤．20．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值；（2）求sin 24A π⎫⎛+ ⎪⎝⎭的值． 21．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，设AE mAB =，AF nAC =，,(0,1)m n ∈．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N ．（1）若A ，M ，N 三点共线，求证：m n =；（2）若1m n +=，求||MN 的最小值．22．①sin cos 6a C c A π⎫⎛=- ⎪⎝⎭sin 2B C A +=；③cos23cos 1A A +=．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的ABC △存在，求出其面积；若不存在，说明理由；问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =b c +=， ？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）。
2021年江苏省镇江第一中学高一期中考试(数学)参考答案(1)
2 11
．
………………………………10 分
18.（本小题共 12 分）
【解析】
（1）因为 AB ＝(2，1)， AC ＝(1，2)，所以 AB AC ＝2＋2＝4．
（2） 因为 AP AB 0 ，所以 AP AB ．
…………………………4 分
数学参考答案第 1页（共 4页）
又
AB
＝(2，1)，故设
……………………………………6 分
（2）由（1）及 a c ，得 cos A 2 13 ，所以 sin 2 A 2sin Acos A 12 ， cos 2 A 1 2sin 2 A 5 ． …9 分
13
13
13
故
sin
2
A
π 4
sin 2 Acos
π 4
cos 2 Asin
π 4
2020~2021 学年第二学期高一期中测试卷（数学）
一、单项选择题
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
A
D
C
B
二、多项选择题
题号
9
10
11
12
答案
BC
ACD
ACD
CD
三、填空题
题号
13
14
答案
1 3
90
15
16
1
3
22
四、解答题
17.（本小题共 10 分）
【解析】
（1）因为
tan
4 3
，
tan
AP
a，2a
，
a
R
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３
21. 如图 ，四边形 ，ABCD 是边长为 2 的菱形 ，∠ABC = 60°, 四边形 PACQ 为矩形 ，PA = 1, 且平面 ，
PACQ ⏊ 平面 ABCD.
(1) 求 BP 与平面 ACQP 所成角的余弦值 :
(2) 求二面角 B - PQ - D 的大小 :
(3) 求点 C 到平面 BPQ 的距离 .
13. 抛物线 C : y2 = 2px 的焦点 F 是圆 x2 + y2 - 2x = 0 的圆心，P 为抛物战 C 上在第一象限内的点，且 PF =
3, 则 P 点的坐标为_____
14.
已知等差数列
{an}的首项和公差都为
2.
则数列
{an}
的通项公式
=
____,
数列
{
1 anan + 1
}
上的前
C1
P
Q
B1
A
C
B
18.
在①
S3
=
13,
②
Sn
=
3n
-
2,
③
Sn
=
3n -1 2
这三个条件中，请选择一个条件将下面的题目补充完整
并解答本题 .
题目 : 设等比数列 {an} 的各项都为正数，a1= 1, 前 n 项和为 Sn，且 ________
(1) 求数列 {an} 的通项公式; (2) 令 bn = log3an + 1，求数列{anbn} 的前 n 项和
P
Q A
D
B
C
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，有三条曲线 :
①
x2 4
+
y2 m
=
1(0
<
m
<
4)
，②
x2 4
-
y2 n
=
1(n
>
0), ③ y2
= 2px(p > 0).
请从中选择合适的一条作为曲线 C, 使得曲线 C 满足 : 点 F(1,0) 为曲线 C 的焦点，直线 y = x - 1 被曲
镇江市 2021 届高二年级第一学期期中考试 数学试题
( 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 )
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的
1. 已知数列 an = n2 − 6n + 5, 则该数列中最小项的序号是
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2.
若椭圆
x2 25
+
y2 m
=
1
与双曲线
x2
−
15y2
=
15
的焦点相同
，则
m
的值为
A. 3
B. 4
C. 6
D. 9
3. 已知等差数列 an 的前 11 项和 S11 = 88, 则 a2 + a10 =
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
4. 卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院拿破仑庭院，由美籍华人建筑师设计，已成为巴黎的城市地标。金
10. 已知等差数列 {an} 的公差不为 0. 其前 n 项不页和为 Sn, 且 2a1,S8,S9 成等差数列，则下列四个选项中
正确的有
(
)
A. 2a5 + 3a9 = S8
B. S2 = S7
C. S5 最小
D. a5 = 0
11.
已知椭圆
x2 4
+
y2 2
=
1
的左、右焦点为
F1,F2,点
P
字塔为正四棱锥造型 ，四个侧面由几乎大小相同的玻璃块拼装而成 ，能成为地下设施提供良好的采光 ，
创造性地解决了把古老宫殿改造成现代美术馆的一系列难题，取得极大成功，金字塔塔高 21 米，底宽 34
米，如果每块玻璃面积为 2.72 平方米，不计安装中的损耗，请你估算，建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的
块数最接近的数为
9. 下列说法正确的有
(
)
A. 正三棱锥的三个侧面重心所确定的平面与底面平行 B. 设 m 为圆锥的一条母线，则在该圆锥底面圆中，有且只有一条直径与 m 垂直 C. 对于任意一个正棱柱，都存在一个球，使得该正棱柱的所有顶点都在此球面上 D. 设 AB, CD 分别为圆柱上、下底面的弦，则直线 AB, CD 间距离等于该圆柱母线长
在椭圆上
，且不与椭圆的左、右顶点重合
，则下列关于
△PF1F2 的说法正确的有
A. △PF1F2 的周长为 4 + 212
C. 当 ∠F1PF2
=
60°
时，△PF1F2
的面积为
43 3
B. 当∠ PF1F2 = 90° 时，△PF1F2 的边 PF1 = 2
D. 椭圆上有且仅有 6 个点 P，使得 △PF1F2 为直角三角形
αC
D
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
17. 如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，∠B1A1C1 = 90∘，P, Q 分别是棱 A1B1, B1C1 的中点
求证 : (1) AC// 平面 BPQ;
(2) AC ⊥ BP.
A1
(
)
A. 575
B. 625
C. 675
D. 725
5. 在正方体 ABCD −A1B1C1D1 中，P 为 AC 上的动点，则 PB1 与平面 DA1C1 的位置关系是 (
A. 线在面内
B. 平行
C. 相交
D. 不能确定
6. 抛物线 y2 = 4x 的准线与双曲线 4x2 −y2 = 1 的两条渐近线所围成的三角形面积为
2020
项和为 _____
15. 已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 的所有顶点都在球 O 的表面上 ，且 AB = BC = 3, 异面直线 CC1 与
AD1. 所成的角为 60∘，则球 O 的表面积为 _____
B
16. 古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆
A
锥得到圆锥曲线的方法 . 如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置
19.
已知椭圆
C1
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)
的长轴长为
8,
-
条准线方程为
x
=
167 7
,
与椭圆
C1
共焦点的双
曲线 C2, 其离心率是椭圆 C1 的离心率的 2 倍 . (1) 分别求椭圆 C1 和双曲线 C2 的标准方程 : (2) 过点 M (4,1) 的直线 l 与双曲线 C2, 交于 P, Q 两点，且 M 为线段 PQ 的中点，求直线 l 的方程 .
( 两圆锥的顶点和轴都重合 )，已知两个圆锥的底面直径均为 4,
侧面积均为 2 5 π. 记过两个圆锥轴的截面为平面 a, 平面 a 与两
β
个圆锥侧面的交线为 AC, BD. 已知平面 β 平行于平面 a, 平面 β
与两个圆锥侧面的交线为双曲线 C 的一部分，且 C 的两条渐近线
分别平行于 AC, BD, 则该双曲线 C 的离心率为 ___
12. 计算机病毒危害很大, 一直 是计算机学家研究的对象 . 当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就
不断地感染其他未被感染文件 . 计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数 C0，即一个病毒文 件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数 C0 = 2, 若一台计算机有 105 个可能被感 染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态 . 该计算机现只有一个
线 C 截得的弦长为 8. (1) 请求出曲线 C 的方程;
(2) 设 A, B 为曲线 C 上两个异于原点的不同动点，且 OA 与 OB 的斜率之和为 1, 过点 F 作直线 AB 的 垂线，垂足为 H , 问是否存在定点 M , 使得线段 MH 的长度为定值? 若存在，请求出点 M 的坐标和线段 MH 的长度; 若不存在，请说明理由 .
A.
1 2
B. 2
C. 2 2
7. 已知等比数列 an
的前
n
项和为
Sn，且
S6 S3
=
9,
则
a4 a2
的值为
A. 2
B. 2
C. 2 2
D. 4 D. 4
8. 降雨量是气象部门观 测的重要数据，日降雨量是指一天内降落在地面单位面积雨水层的深度 ( 单位：毫
米 )。我国古代就有关于降雨量测量方法的记载，古代数学名著《数书九章》中有 “ 天池盆测雨 ” 题：天
20. 已知数列 {an}, {bn} 的各项均为正数，前 n 项和分别为 Sn, Tn, 且对任意正整数, n2an = Sn + 1, 2Tn
= bn + 1 恒成立 (1) 分别求数列 {an}, {bn} 的通项公式； (2) 若对于任意的正整数 n,Tn ≤ k(Sn + 1) 恒成立，求实数 k 的取值范围 .
病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理 ，则下列说法中正确的是
(
)
A. 在第 3 分钟内，该计算机新感染了 18 个文件
B. 经过 5 分钟，该计算机共有 243 个病毒文件 C. 10 分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D. 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为 2 的等比数列
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .