抽样技术第3章比估计和回归估计

标准差为：
总结：估计域均值是比估计的一个特例，因为 域中的样本容量随样本而变化。如果SRS中域 的样本容量足够大，我们可以用SRS公式来推 导域均值。总体总值估计取决于域的总体容量 是否已知。如果 已知，被估计总体总值等于 。如果未知，则为域中观测值定义一个新变 量 ，而不在域中的观测值为零；这样用估 计域总值。这部分的结论仅针对于SRSs。
3、域估计
经常我们需要对子样本的单独估计；这些 子样本被称为域或子域。比如我们需要对9 月18号飞往纽约的旅客进行一次SRS，然 后估计滞留时间超过1周的国外旅客占所有 国外旅客的比例。对于这样一个调查，存 在有两个研究域：国内和国外旅客。我们 不知道总体中每一个人属于哪个域直到他 被抽取。这样，每一次SRS中，落入每一个 域的旅客数目是一个随机变量，直到调查 设计后才知道具体值。
比较
比估计和回归估计都提出一种方法——利 用与我们感兴趣的变量相关的辅助变量。 我们已知y与x是相关的，且知道 与 之间的 差距，所以我们利用这个信息来调整 并希 望来提高估计的精确度。比估计和回归估 计的估计量来自于我们希望用来描述数据 的模型，但是估计量的随机理论特性不取 决于这些模型。
比估计和回归估计量是一般回归估计量的 特例。总体总值的三个估计量：
比估计中，用于近似MSE的方法也可以用于
回归估计中。令
这样，
利用关系 可得到：
MSE的近似值非常小，如果： 样本容量n足够大； 抽样分数n/N足够大； 足够小； x和y的相关系数R接近于+1或者-1。 标准差可以通过计算样本残差得到。
标准差可以通过计算样本残差得到。令
2.2、差异估计
且，它们的比例为
在比估计的最简单应用中，进行一个容量 为n的简单随机抽样(SRS)，x和y的信息都 被用于估计B，，。。
比估计和回归估计都利用总体中x和y的相 关性；相关性越高，估计的结果越好。定 义x和y的总体相关系数为：
这里，是 的总体标准差，是 的总体标准差， R是总体中N个单元x和y的Pearson相关系 数。
第一部分的分母是一个常量。第二部分相对 于第一部分通常很小，所以方差和MSE非 常相似，
令
那么， ，所以
且 经过公示的等价变形可得：
MSE近似值非常接近方差，如果： 样本容量n足够大； 抽样分数n/N足够大； 的偏差非常小； x和y的相关系数接近于+1； 足够大。
1.2.1 MSE近似值的精确性
，可用回归系数部分来表示。对于一个容量n 的SRS，估计量为：
对于表中任意一个估计方差为：
其中， 是 的样本方差。 当对于这种方法的 小于 ， 比估计和回 归估计的估计效果优于 。整群抽样中，比 估计更加适用。 在这章中，我们讨论了利用一个辅助信息的 比估计和回归估计。在实际中，你可以利 用多个辅助变量来提高你的估计精度。利 用多元回归的原理也是一样的。
第三章
比估计和回归估计
引言
在抽样调查中，我们经常利用辅助信息。 经常抽样框给出每一个单元的额外信息， 这些信息可以提高估计的精度。比率和回 归估计就是利用与待调查变量相关的变量， 来提高一个总体均值和总值的估计精度。
一、比估计
要利用比估计，必须知道每一个样本单元 的某两个数量和；通常被称为辅助变量或 者附属变量。在一个容量为N的总体中，
这样， ，且
因为我们要估计一个比例，我们可以用式 （3.7）来计算标准差
最后一行的近似取决于域d 内的一个大样本容量； 如果样本足够大，那么我们可认为 且。在大样本中，如果我们使用公 式（2.10）， 的标准差近似相等。这样，在 足够大的样本中，我们使用比估计的技术性使 得估计域均值有一点小的不同。当估计一个域 总体时，这种情形有点复杂。如果 已知，估 计比较简单：用 。如果未知，我们需要用 估计。这时，
例一、假定总体包括了不同面积的农业面积。 令， 这样 ，
若采用SRS方法，B，，的自然估计量为
其中， 假定是已知的。
1.1、比估计的作用
（1）有时仅仅想要估计一个比例。 （2）有时需要估计总体总值，但总体容量
N未知。 （3）比估计常用于提高被估计均值和总体的
精确度。 （4）比估计用于调整样本估计，使得估计值
，
仅当，
如果变动系数近似相等，当x和y之间的相关 系数大于2，比估计效果很好。
二、回归估计
2.1直线模型 如果数据可由一条过原点的直线拟合，比估 计的效果最好。有时，一些数据由一条不 过原点的直线拟合效果更好，那么应使用 模型：
假定总体均值 已知。那么回归估计量 是当 时，来自回归模型的y的预测值：
在SRS中，如果 足够小，比估计偏差的绝 对值相对于估计量的标准差非常小。可以 得到一个结论表示：
其中，R是x和y的相关系数。最后一个等式 利用了 和 之间的协方差。 的偏差将非常小， 如果：
样本容量n足够大； 抽样分数n/N足够大； 足够大； 较小； 相关系数R接近于1。
对于的MSE，偏差计算中给出相同的认识：
假定存在D域。令 是总体中，属于域d内
单元的指数集合 ，是样本中，属于域d的
单元的集合，其中
。令 是中总体单
元的数目， 是 中样本单元的数目。假定要
估计：
的自然估计量是
然而， 是一个随机变量，抽取不同的随机 样本，可得到不同的值。正如不同的样本 可得到不同的国外旅客数目。技术上，式 （3.15）是一个比例估计。令：
其中，和 是回归普通最小二乘系数的截距 和方差。对于这个模型，
且r是x 和y之间的样本相关相关系数。同比 估计一样，回归估计也是有偏的。令 是由 总体中所有数据计算得到的最小二乘回归 斜率：
的偏差为：
如果回归线通过总体中所有的点 ，那么偏 差为零：在这种情况下，每一个样本， ， 所以， 同比估计一样，对于大型SRSs，回归估计 的MSE近似等于方差；在大样本中，偏差 可以忽略。
能反映人口统计总体。 （5）比估计用于无应答情形的调整。
1.2 比估计的偏差与均方误差
不同于SRS的 和 估计量，比估计对于 和 是有偏的。如果我们计算所有可能SRS，那 么来自不同样本的所有的平均值将逼近， 但不相等。 比估计的偏差和方差的计算：ss指出：
差异估计是一种特殊的回归估计，调查 者首先已知斜率为1。差异估计常用于：当 一个SRS被抽取时的会计领域。一系列账目 包括每一账本的账面价值——每一个公司 提供的价值。在最简单的抽样中，核查人 员随机抽取一些账本来确定真实价值，这 样可确定所有账本中的错误。考虑的量是：
这样， 是被核查账本的均值差异。
被估计的总体差异是：
账本的被估计核查价值是：
定义此模型的残差：
的方差是
这里
如果残差的波动性远小于 的波动性，差异估 计将提高精确度。
当总体和样本是大的非零差值，这些差值 被高估或者低估时，且如果样本足够大以 致的近似服从正态分布，则差异估计的效 果最佳。
在核查中，样本中的核查值可能与账面价 值完全相同。这时， ， 的标准差为零。 这种情况下，大多数差异为零时，需要采 取更精确的模型。
之前计算得出的MSE事实上仅是一个近似 值；即使总体和样本都很小，这个近似值 也非常精确。
对于上述估计值要成为一个好的MSE估计 值，样本容量必须大于30且，
。如果这些条件不满足，它就严重高 估真实MSE。
1.2.2 比估计的优势
如果由 得到的 的偏离小于由 得到的，那
么
。则，
这样，
所以对于精确性，