2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练文
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2018版高考数学一轮总复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的
引入 4.4 数系的扩充与复数的引入模拟演练 文
[A 级 基础达标](时间:40分钟)
1.若a 为正实数,i 为虚数单位,⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a +i i =2,则a =( )
A .2
B . 3
C . 2
D .1
答案 B
解析 解法一:由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +i i =2,得⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪a +i i =|(a +i)·(-i)|=|1-a i|=2.∴1+a 2
=2.∵a >0,∴a = 3.
解法二:∵⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a +i i =|a +i||i|=|a +i|=a 2+1=2,∴a = 3. 2.[2016·北京高考]复数1+2i
2-i =( )
A .i
B .1+i
C .-i
D .1-i
答案 A 解析 1+2i 2-i
=
++-
+
=2+i +4i +2i 2
4-i 2
=5i 5
=i ,故选A. 3.[2016·全国卷Ⅲ]若z =1+2i ,则4i
z z -1
=( ) A .1 B .-1 C .i D .-i
答案 C
解析 ∵z z =(1+2i)(1-2i)=5,∴
4i z z -1=4i
4=i ,故选C.
4.[2015·湖南高考]已知-
2
z
=1+i(i 为虚数单位),则复数z =( )
A .1+i
B .1-i
C .-1+i
D .-1-i
答案 D 解析 由
-
2
z
=1+i ,得z =-2
1+i
=
-2i 1+i =-
-
+-
=-1-i.
5.[2017·安徽模拟]设i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数.若z ·z i +2=2z ,则z =( )
A .1+i
B .1-i
C .-1+i
D .-1-i
答案 A
解析 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则由z ·z i +2=2z 得(a +b i)(a -b i)i +2=2(a +b i),即(a 2
+b 2
)i +2=2a +2b i ,所以2a =2,a 2
+b 2
=2b ,所以a =1,b =1,即z =a +b i =1+i.
6.[2016·天津高考]i 是虚数单位,复数z 满足(1+i)z =2,则z 的实部为________. 答案 1
解析 ∵z =21+i
=1-i ,∴z 的实部为1.
7.若a
1-i =1-b i ,其中a ,b 都是实数,i 是虚数单位,则|a +b i|=________.
答案
5
解析 ∵a ,b ∈R ,且
a
1-i =1-b i ,则a =(1-b i)(1-i)=(1-b )-(1+b )i ,∴
⎩⎪⎨⎪⎧
a =1-
b ,0=1+b ,
∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
a =2,
b =-1,
∴|a +b i|=|2-i|=22
+-2
= 5.
8.[2014·湖南高考]满足z +i
z
=i(i 为虚数单位)的复数是________. 答案 12-i
2
解析 由已知得z +i =z i ,则z (1-i)=-i , 即z =-i
1-i
=
-+-
+
=
1-i 2=12-i
2
. 9.[2017·金华模拟]已知z ∈C ,解方程z ·z -
-3i z -
=1+3i.
解 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则(a +b i)(a -b i)-3i(a -b i)=1+3i ,即a 2
+b 2
-3b -3a i =1+3i.
根据复数相等的定义,得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2
+b 2
-3b =1,
-3a =3,
解之得⎩⎪⎨
⎪⎧
a =-1,
b =0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a =-1,
b =3.
∴z =-1或z =-1+3i.
10.已知复数z =b i(b ∈R ),z -2
1+i
是实数,i 是虚数单位.
(1)求复数z ;
(2)若复数(m +z )2
所表示的点在第一象限,求实数m 的取值范围. 解 (1)因为z =b i(b ∈R ),
所以z -21+i =b i -21+i =
b i --
+-
=
b -
+b +2
=
b -22+
b +2
2
i.
又因为z -21+i 是实数,所以b +22
=0,所以b =-2,即z =-2i.
(2)因为z =-2i ,m ∈R ,所以(m +z )2
=(m -2i)2
=m 2
-4m i +4i 2
=(m 2
-4)-4m i ,又因
为复数(m +z )2
所表示的点在第一象限,所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
m 2
-4>0,-4m >0.解得m <-2,即m ∈(-∞,-2).
[B 级 知能提升](时间:20分钟)
11.复数z 为实数的充分不必要条件是( ) A .z =z B .|z |=z C .z 2
为实数 D .z +z 为实数
答案 B
解析 z =z ⇔z ∈R .|z |=z ⇒z ∈R ,反之不行,例如z =-2.z 2
为实数不能推出z ∈R ,例如z =i.对于任何z ,z +z 都是实数.故选B.
12.复数m (3+i)-(2+i)(m ∈R ,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
答案 B
解析 ∵m (3+i)-(2+i)=(3m -2)+(m -1)i ,设在复平面内对应的点M 的坐标为(x ,
y ),
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x =3m -2,
y =m -1,消去m 得x -3y -1=0,
因为直线x -3y -1=0经过第一、三、四象限,所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限,故选B.
13.已知复数z =x +y i ,且|z -2|=3,则y
x
的最大值为________.
答案
3
解析 ∵|z -2|=x -
2
+y 2
= 3
∴(x -2)2
+y 2
=3.
由图可知⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x
max =
3
1
= 3. 14.若虚数z 同时满足下列两个条件:①z +5
z
是实数;②z +3的实部与虚部互为相反数.这
样的虚数是否存在?若存在,求出z ;若不存在,请说明理由.
解 存在.设z =a +b i(a ,b ∈R ,b ≠0), 则z +5z =a +b i +5a +b i
=a ⎝
⎛⎭⎪⎫1+
5a 2
+b 2+b ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1-5a 2
+b 2i. 又z +3=a +3+b i 实部与虚部互为相反数,z +5
z
是实数,根据题意有
⎩⎪⎨⎪⎧
b ⎝
⎛⎭⎪⎫1-5a 2+b 2=0,
a +3=-
b ,
因为b ≠0,所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2
+b 2
=5,
a =-
b -3,
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a =-1,
b =-2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a =-2,
b =-1.
所以z =-1-2i 或z =-2-i.。