北师大版数学《必修5：3.2.1一元二次不等式的解法》教学设计

一元二次不等式及其解法的教学设计
一 设计思想
建构主义认为，知识存在“同化”和“顺应”过程，需要经过学习者自身体验.因此，教学设计应注重学生的主体地位，发挥教师组织和引导的主导作用，调动学生的主动性和积极性，使数学教学成为数学活动过程的教学，激发学生学习数学的兴趣.
本节课从实际问题入手，抽象出一元二次不等式模型，结合课件展示，先回忆初中相关知识，进而类比解决引入问题中的一元二次不等式，然后从特殊到一般深入探究.最后，通过学生的合作交流总结解法，再以学生出题学生解答的方式加以巩固，让学生亲自体验自己的成果. 二 教材分析
本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用. 三 学情分析
学生在初中已经学习了一元一次不等式（组）和二次函数，对不等式的性质有了初步了解.在解决引入问题中的一元二次不等式x 2−7x +6>0时，学生可能会转化为不等式组{x −1<0x −6<0或{x −1>0x −6>0求解.这种
等价转化法非常好，应给予肯定和鼓励，但不在本节课学习之列. 四 三维目标 1 知识与技能
（1）经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程；
（2）通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系； 2 过程与方法
（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学； （2）发挥学生的主体作用，作好探究性实验； （3）理论联系实际，激发学生的学习积极性. 3 情感态度与价值观
（1）通过利用二次函数的图象求解一元二次不等式的解集，培养学生数形结合的数学思想；
（2）通过研究函数、方程、不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观. 五 重点与难点
重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想；
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系. 六 教学策略与手段
采用探究与合作相结合的教学方式，进行启发式教学. 七 课前准备
1 学生预习“一元二次不等式及其解法”第一课时的内容；
2 教师认真备课，做好相关课件.
八 教学过程
本节课的教学框图如下所示：
1 从实际问题中，建立一元二次不等式模型（T ：教师，S ：学生）
学校要在长为8,宽为6 的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么? 师生活动：
引导学生分析问题中的不等关系，由学生代表叙述观点，其他学生补充，教师板书解题过程，列出不等式x 2−7x +6>0
T ：因此这个问题实际就是解不等式x 2−7x +6>0的问题.这一不等式有几个未知数，最高次是多少？ S ：只有1个未知数，最高次是2次.
T ：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是2
2
00(0)ax bx c ax bx c a ++>++<≠或.
注：通过生活中的具体问题，引导学生讨论不等式的问题，从而唤起学生们的学习兴趣
2 类比一元一次不等式解法，进行探究
T: 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式，以及一次函数的有关知识，那么，这三者之间有什么关系吗？ 师生活动：
由教师演示几何画板制作的课件（如图1）引导学生观察P 点在直线上移动时，随着P 的横坐标的变化，P 的纵坐标有什么变化，并得出以下结论： （1）x 轴是一条分界线，一次函数27y x =-与x 轴的交点是分界点. （2）0y >的解即为27y x =-在x 轴上方的图象对应的x 的范围；
0y =的解即为27y x =-与x 轴交点的横坐标；
从实际问题中，建立一元二次不等式模型
类比一元一次不等式解法，进行探究
从特殊到一般，深入探究
尝试设计程序框图，归纳解法
运用成果，解决问题
图1
x
x x
x x
x
x
x 草地
27
y x =-x
y
O
3.5x
y
●
P
图1
0y <的解即为27y x =-在x 轴下方的图象对应的x 的范围.
（3）写出270(0,0)x ->=<的解.
T ：在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系，利用这种联系，我们可以快速准确的求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能否对一元二次不等式2
50x x -<的求解与二次函数联系起来讨论，从而找到其求解方法呢？
师生活动：
由教师演示几何画板制作的课件（如图2），不断拖动P 点，引导学生完成以下问题： （1）当x 为何值时，0y =？
当x 为何值时，0y >？ 当x 为何值时，0y <？
（2）方程2
50x x -=的解是 ；
不等式250x x ->的解集是 ；
不等式250x x -<的解集是 （解决了引入问题）.
注 结合几何画板的动态演示，类比初中所学知识，联系学生的最近发展区，利于激发学生的好奇心和探究欲.
3 从特殊到一般，深入探究
T ：由一元二次不等式的一般形式可知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为
2200(0)ax bx c ax bx c a ++>++<>或的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一
元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.
如何讨论一元二次不等式的解集呢？
3.1 探究一元二次不等式2
2
00(0)ax bx c ax bx c a ++>++<>或的解集
由教师演示几何画板制作的课件（如图3），上下拖动P 点，观察∆的值以及抛物线与x 轴相关位置，引导学生得出一元二次不等式2
2
00(0)ax bx c ax bx c a ++>++<>或的解集应分为0,0,0∆>∆=∆<三种情况讨论，并组织学生完成以下表格：
3.2 讨论一元二次不等式2
2
00(0)ax bx c ax bx c a ++>++<<或的解集 T ：对于二次项系数a 是负数的一元二次不等式，又应该如何求解呢？ S1：还是通过相应的二次函数图象来解.
T ：这位同学说的很好！他抓住了应用“数形结合”思想求一元二次不等式的解集这一本质（用几何画板制作的课件简要演示说明）.还有其他方法吗？ S2：可以先把二次项系数a 化为正数，再求解.
T ：非常好！由于我们对0a >这一情况有了较详细的认识，因此把0a <这一不熟悉的情况转化为0a >这一已知情况，正体现了化未知为已知的数学思想. 注 从特殊到一般，化未知为已知，符合学生思维过程. 4 运用成果，解决问题
T: 让学生出题，由学生解答，引导不同的学生出不同类型的一元二次不等式（3、4个为宜）. S ：很活跃，积极参与.
注 以学生出题学生解答，教师在旁引导的形式设计，不仅能让学生充分体验到自己的“劳动成果”，而且能帮助他们更深刻地理解如何求解一元二次不等式. 九
十 作业设计
1 完成课本第90页练习及习题3.2A 组第1-4题；
2 思考课本第116页复习参考题A 组第3题和B 组第1题. 问题研讨：
2(0)
y ax bx c a =++>x
y
O
y
●
P
图3
1 对一些同学提出的用等价转化思想求解一元二次不等式问题，应该解释到什么程度；
2 对二次项系数小于0的一元二次不等式求解问题是否应该详细归纳；
3 一元二次不等式的解集是R或 的情况往往容易混淆，应该如何加强.。