习题5答案

习题五（A ）1. 用施密特方法把向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,4,9)T T T ===ααα正交化. 解:利用施密特正交化方法 ,可得11111⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭βα,1222121111[,]20[,]1-⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭βαβαβαβββ13233312312112,213[,][,]1424[,][]3313⎛⎫⎪ ⎪⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭βαβαβαββαββββββ 再单位化得到单位正交组111111⎛⎫⎪==⎪⎪⎭ββe222101-⎛⎫⎪==⎪⎪⎭ββe333132313⎛⎫⎪⎪⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ββe2. 下列矩阵是不是正交矩阵,并说明理由(1) 11123111;2211132⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (2). 184999814.999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪--⎪⎝⎭解:(1)矩阵111231112211132⎛⎫-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭不是正交矩阵.因为令111231112211132⎛⎫-⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A ,且假设A 的列向量为 1231113211,1,2211123⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭ααα125[,]06=-≠αα,故123,,ααα不是单位正交组,即A 不是正交矩阵. (2).矩阵184999814999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭是正交矩阵. 因为令184999814999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B =,且假设B 的列向量为123184999814,999447999⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ=,=经验证1231,1,1===βββ,且121323[,]0,[,]0,[,]0===ββββββ 故123,,βββ是单位正交组,所以B 是正交矩阵.3. 求矩阵123213336⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征向量,并问它的特征向量是否两两正交?解:令123213336⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,且特征多项式123213336----λλλλA E =A 的特征值为1230,1,9==-=λλλ当10=λ时,方程(0)-A E X =0的系数矩阵123123123213033011336033000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A基础解系1111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P ,从而特征值10=λ对应的全部特征向量为111(0)≠k P k当21=-λ时,方程()A+E X =0的系数矩阵223223223000337001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A+E基础解系2110-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,从而特征值21=-λ对应的全部特征向量为222(0)≠k P k当39=λ时,方程(9)-A E X =0的系数矩阵8231119283021333000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E基础解系3112⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,从而特征值31=-λ对应的全部特征向量为333(0)≠k P k又因为121323[]0,[]0,[]0===P ,P P ,P P ,P ，故A 的特征向量两两相交.4. 设n 阶可逆矩阵A 有特征值λ,对应的特征向量为α.求1*1---A ,A ,E A 的一个特征值和对应的特征向量. 解: 因为αλαA =,则111---αλαλαA A =A =A ,故11-ααλA =所以1-A 的特征值为1λ,对应的特征向量为α.又由于αλαA =,*AA =A E ,*ααAA =A E则*1-αααλAA =A A =所以*A 的特征值为λA,对应的特征向量为α.而 111()(1)---=--ααααλE A A =故1--E A 的特征值为11-λ,对应的特征向量为α.5. 设3阶方阵A 的特征值为1231,0,1===-λλλ;对应的特征向量依次为1231222,2,1,212P P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求A .解:由于1231,0,1===-λλλ,则123≠≠λλλ故A 可对角化.又令123()P =P ,P ,P ,有1100000001-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭P AP = 故1100000001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A =P P (*)122221212-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭P =,则1122999221999212999-⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭P = 把1-P,P 代入(*)式有120331203322033⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A =6. 设方阵12422421x --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A =与50000004y ⎛⎫⎪Λ ⎪ ⎪-⎝⎭=相似,求,x y .解:因为A 与Λ相似,则208Λ=-A = 故348x y -=-再由4-λ=是A 的特征值知40--=E A 由此得9360x -+=,故4x = 把4x =代入(*)式得5y = 所以 4,5x y ==7. 设20131405x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,问:(1)当x 为何值时, A 能相似对角化? (2)当x 为何值时, A 不能相似对角化?(3)当A 可相似对角化时,求出相似变换矩阵P 和对应的对角矩阵Λ. 解: A 的特征多项式220131(1)(6)45x ----------λλλλλλE A == A 的特征值为1231,6==λλλ=当121=λλ=时,方程()0-=E A X 的系数矩阵10110130003404000x x ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A(1).由上述计算可知,当3x =时,A 能相似对角化. (2).当3x ≠时,A 不能相似对角化.(3).当3x =时,易知当121λλ==时,方程()X 0-=E A而系数矩阵101101303000404000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A基础解系: 12100110⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P =,P =当36λ=时,方程(6)0-=E A X 的系数矩阵4014016353043401000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A基础解系 3134⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭P =故相似变换矩阵为101013104⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭P =相应的对角矩阵100010006⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭.8. 试求一个正交的相似变换矩阵,使下列对称阵相似于对角阵,220212.020-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭解:令220212020-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭A =,则特征方程为:220212(1)(2)(4)02-------++---λλλλλλλA E == A 的特征值为1232,1,4=-=λλλ=当12-λ=时,方程(2)0=A+E X 的系数矩阵4202102232022022000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A+E基础解系: 1122⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭α=当21λ=时,方程()0-=A E X 的系数矩阵120120120202042021021021000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E基础解系: 2212⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭α=当34λ=时,方程(4)0-=A E X 的系数矩阵2201104232012024000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A E基础解系: 3221⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭α=因为A 的特征值各不相同,故只需将123,,ααα单位化.3121231231221112,1,2333221⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααααP ==P ==P ==令123122333212()333221333⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P =P ,P ,P ,则P 为一个正交的相似变换矩阵.9. 用矩阵记号表示下列二次型(1) 2227244;f x y z xy xz yz =+----(2) 22221234121314232424264.f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-解:(1) ()2221127244,,112227x f x y z xy xz yz x y z y z --⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+----=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭(2) 22221234121314232424264.f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++-+-()1212343411211132,,,23101201x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭10. 求一个正交变换化二次型222123232334f x x x x x =+++为标准型,并求正惯性指数和负惯性指数.解: ()122212323123232002334,,032023x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令123x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ,200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,故T f =X AX特征多项式200032(2)(1)(5)023-------λλλλλλλA E == A 的特征值: 1231,2,5==λλλ=当11λ=时,方程()0-=A E X 的系数矩阵100100022011022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E基础解系: 1011⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭α=当22λ=时,方程(2)0-=A E X 的系数矩阵0000002012012021003⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E基础解系: 2100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭α=当35λ=时,方程(5)0-=A E X 的系数矩阵3003005022011022000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E基础解系: 3011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭α=因为A 的特征值各不相同,故只需将123,,ααα单位化:3121231230101,0,1101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎭⎝⎭⎭ααααααP ==P ==P ==令123010()0022⎛⎫ ⎪ =- ⎝⎭P =P ,P ,P123(y (y ,y ,y ))T =其中X =PY所以22212325f y y y =++,且f 的正惯性指数为3,负惯性指数为0.11. 判别下列二次型的正定型.(1) 222123121326422f x x x x x x x =---++(2) 2222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解:(1)由已知得:f 的矩阵为: 211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A211160104--⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A-A 的一阶主子式20>,二阶主子式2111016-=>-,三阶主子式380A -=>故-A 正定,则A 负定.所以f 是负定二次型. (2)由已知得f 的矩阵为: 11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭A = A 的一阶主子式10>,二阶主子式112013-=>-,三阶主子式11213026029--=>,四阶主子式240A => 故A 正定,所以A 是正定二次型.12.设U 为可逆矩阵, TA U U =,证明T f X AX =为正定二次型.证明:因为(U U)T T T T A U U A ===,则A 为实对称矩阵,且对应的二次型为2(U U)X (UX)T T T Tf X AX X UX UX====而u 为可逆矩阵,若0x ≠,则20UX >即20f UX =>,所以f 为正定二次型.习题五（B ）填空题1. 已知,αβ为正交阵A 的两个相异的列向量,则内积[,]αβ______.=解:由已知,αβ为正交阵,则[,]0=αβ.2. 若P 是n 阶正交阵,则TP P =_____.解:因为P 是正交阵,则1T -P =P ,所以1TP P =.3. 实二次型221231223(,,)2f x x x x x x x =++相应的实对称矩阵有__个特征值大于0. 解: f 的实对称矩阵010110001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且特征多项式为2(1)(1)E A λλλλ-=---则特征值为1231,λλλ===其中有两个特征值大于0.4. 设A 是n 阶方阵, *A 是A 的伴随矩阵, 2=A ,则方阵*B =AA 的特征值是___,特征向量是___.解: 因为*2==B =AA A E E ,则(2)0n E B -=-=λλ,特征值2(n )=重λ,故方程(22)X 0E E -=,所以特征向量x 为任意n 维非零向量.5. 三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则323-B =2A A 的特征值为____.解:A 的特征方程为()(1)(1)(2)f λλλλ=-+- 则B 的特征方程为32()2()3()g f f λλλ=- 所以B 的特征值为1,5,4--.6. 设1λ和2λ是3阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值, 12(1,1,3),(4,5,)T T a ==ξξ依次是A 的对应于特征值12,λλ的特征向量,则实数___.a = 解:因为实对称不同特征值对应的特征向量正交,则12,0<>=ξξ 所以141530a ⨯+⨯+⨯=,即 3.a =-7. 已知A ,B 均为n 阶方阵, A 与B 相似,且方程组Ax =b 仅有一个解,则(B)___.R = 解:因为A 与B 相似,则秩(A )=秩(B )由于Ax =b 有唯一解,所以秩(A )=秩(B )=n8. 若n 阶方阵A 与B 相似,且a =A ,则___.=AB 解:因为方阵A 与B 相似,则存在一个可逆矩阵P ,使得1-A =P BP ,11--=A =P BP P B P ,所以a =A =B ,即2a =AB =A B9. 矩阵124221413⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 对应的二次型是_____.解:由已知得 ()112323124,,221413x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=()11231231232324,22,43x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎪+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭=22212312132323482x x x x x x x x x ++++-所以22212312132323482f x x x x x x x x x =++++-10. 已知二次型22212312323(,,)2332,(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准型22212325f y y y =++,则___.a = 解:由已知得原二次型对应的实对称矩阵的特征值为1,2,5,而原二次型对应的矩阵为2000303a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A且123200303212510303aa a a ==⨯==⨯⨯=λλλA 所以295a -= 2a =± 又0a > 故2a =二.解答题1.设A 是3阶矩阵,它的3个特征值为1231,1,2==-=λλλ,设325-B =A A ,求B 及5.-A E解:由题意可知325-B =A A 的特征值为: 4,6,12---,故 (4)(6)(12)288=-⨯-⨯-=-B而5-A E 的特征值为: 4,6,3---,所以5(4)(6)(3)72-=-⨯-⨯-=-A E2.用正交变换化二次型为2123132(,,)2f x x x x x x =+标准型,并写出标准型及所用的正交变换.解: 已知2123132(,,)2f x x x x x x =+,设二次型的矩阵为A ,且001010100⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭AA 特征多项式为 20110(1)(1)1----+--λλλλλλA E == A 的特征值: 1231,1=-=λλλ=当11-λ=时,方程()0=A+E X 的系数矩阵101101020010101000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A+E基础解系: 1101⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭α=当231=λλ=时,方程()0-=A E X 的系数矩阵101101000000101000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E基础解系: 23100,110⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα==因为11-λ=仅对应一个线性无关的特征向量,故只需要单位化.111202⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎝⎭ααP == 当231=λλ=对应的特征向量23,αα用施密特方法正交化,得22101⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭βα323323220[,]1[,]0⎛⎫⎪=-== ⎪ ⎪⎝⎭αββαβαββ再单位化322323020,102⎛ ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎝⎭ββββP ==P ==令1230()0010⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P =P ,P ,PP 为正交阵,且1100010001--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭P AP =作正交变换123123((,,),y (y ,y ,y ))T T x x x x ==其中X =PY所以标准型222123f y y y =-++.3.已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经正交变换x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ςηξP化为椭圆柱面方程2244+=ηξ,求,a b 的值及正交矩阵P . 解:令222222f x ay z bxy xz yz =+++++,故二次型矩阵为: 111111b b a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A =,且A 经正交变换后224f =+ηξ 所以A 特征值为: 0,1,4,即A 0=,由此得: 1b =,代入A11111111a ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭A =再有1=λ是A 的特征值知: 0-=E A ,故3a =即111131,:0,1,4111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其特征值为A =当10λ=时,方程0=AX 的系数矩阵 111131111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A特征向量: 1101⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭α=当21λ=时,方程()0-=A E X 的系数矩阵011121110⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E特征向量: 2111⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭α=当34λ=时,方程(4)0-=A E X 的系数矩阵3114111113-⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A E特征向量: 3121⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭α=因为A 的特征值各不相同,故只需将123,,ααα单位化:31212312320,,33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ - ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎝⎭ααααααP ==P ==P == 所以123236()0236⎛= - ⎝⎭P =P ,P ,P4.设A 为三阶实对称阵,且满足220+A A =,已知A 的秩()2r A =,(1).求A 的特征值;(2). k +A E 为正定阵,求k 的范围.解:(1)假设A 的特征值为λ,则有题意有: 220λλ+=解得A 的特征值122,0.λλ=-= (2)由(1)得k +A E 的特征值为2,k k -因为k +A E 是正定的,故k +A E 的所有特征值为正的.即 020k k >⎧⎨->⎩所以 2k >5.设2112-⎛⎫⎪-⎝⎭A =,求nA解:由于2112-⎛⎫⎪-⎝⎭A =特征多项式21(1)(3)12--=---λλλλλE A =A 的特征值: 121,3==λλ当11λ=时,方程()0-=A E X 的系数矩阵 1111-⎛⎫-=⎪-⎝⎭A E特征向量: 111⎛⎫ ⎪⎝⎭α=当23λ=时,方程(3)0-=A E X 的系数矩阵 11311--⎛⎫-=⎪--⎝⎭A E特征向量: 211⎛⎫⎪-⎝⎭α= 因为A 的特征值各不相同,故只需将12,αα单位化:12121222,22⎛⎛⎫⎪- ⎝⎭⎝⎭ααααP ==P ==令12()22⎫⎪= - ⎝⎭P =P ,P11003-⎛⎫⎪⎝⎭P AP =1111111003n n n ------⎛⎫∙∙∙∙= ⎪⎝⎭个相乘P AP P AP P AP P AP P AP P A P = 故11003n n -⎛⎫⎪⎝⎭A =P P由于P 是正交阵,故12222T-⎛⎫⎪= ⎝⎭P =P所以10222203nn ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫= ⎪⎝⎭A 111133131312222111121313332222nn n n n n n n ⎛⎫+- ⎪⎛⎫+-==⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭-+⎪⎝⎭三.证明题1.设λ是n 阶正交阵P 的特征值,证明1λ也是P 的特征值.证明:(1)先证TP 的特征值等于P 的特征值, 考虑的特征多项式-=λE P将上式两边转置()()0T T -=-=λλE P E P det()det()T-=-λλE P E P故有 0T -=-=λλE P E P所以P 与TP 有相同的特征值.P 为正交阵,故1T -P =P ,所以1λ是TP的特征值，再由(1)知1λ也是P的特征值.2.设x为n维列向量x T x=E，令H = E- 2x T x，求证：H对称的正交阵。