18年高考真题——理科数学(全国2卷)

2018年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（全国II 卷）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．1212i i +=-（ ） （A ）4355i -- （B ）4355i -+ （C ）3455i -- （D ）3455
i -+ 2．已知集合(){}22,|3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ）
（A ）9 （B ）8 （C ）5 （D ）4
3．函数()2x x
e e
f x x
--=的图像大致为（ ）
4．已知向量,a b 满足||1a =，1a b ⋅=-，则()
2a a b ⋅-=（ ）
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）0 5．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为（ ） （A ）2y x =± （B ）3y x =± （C ）22y x =± （D ）3y x =± 6．在ABC ∆中，5cos 2C =，1BC =，5AC =，则AB =（ ） （A ）42 （B ）30 （C ）29 （D ）25
7．为计算11111123499100
S =-+-++-，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
（A ）1i i =+
（B ）2i i =+
（C ）3i i =+
（D ）4i i =+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+。

在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和
等于30的概率是（ ） （A ）112 （B ）114 （C ）115 （D ）118
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA =则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ） （A ）15 （B
（C
（D
10．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）
（A ）4π （B ）2
π （C ）34π （D ）π 11．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+。

若()12f =，则
()()()()12350f f f f ++++=（ ）
（A ）50- （B ）0 （C ）2 （D ）50
12．已知12,F F 是椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且
的直线上，12PF F ∆为等腰三角形，012120F F P ∠=，则C 的离心率为（ ） （A ）
23 （B ）12 （C ）13 （D ）14
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．曲线()2ln 1y x =+在点()0,0处的切线方程为____________。

14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩
，则z x y =+的最大值为_________。

15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+= 。

16．已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 所成角的余弦值为
78
，SA 与圆锥底面所成角为045，若SAB ∆
的面积为__________。

三．解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：60分。

17．（本小题12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-。

⑴求{}n a 的通项公式；⑵求n S ，并求n S 的最小值。

18．（本小题12分）下图是某地
区2000年至2016年环境基础设施投资额
（单位：亿元）的折线图。

为了预测该
地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型。

根据2000年至2016年的数据（时间变量
t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：9917.5y t =+。

⑴分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；⑵你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。

19．（本小题12分）设抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB =。

⑴求l 的方程；⑵求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。

20．（本小题12分）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，
4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点。

⑴证明：PO ⊥平面ABC ；
⑵若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为0
30，求PC 与平面PAM 所
成角的正弦值。

21．（本小题12分）已知函数()2x f x e ax =-。

⑴若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；⑵若()f x 在()0,+∞只有一个零点，求a 。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）。

⑴求C 和l 的直角坐标方程；⑵若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率。

23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）设函数()5|||2|f x x a x =-+--。

⑴当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；⑵若()1f x ≤，求a 的取值范围。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（II 卷）解答
一．选择题 DABBA ABCCA CD
二．填空题 13．2y x =；14．9；15．12
-；16
． 17．解：⑴设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-。

由17a =-得2d =。

所以{}n a 的通项公式为29n a n =-；
⑵由⑴得()2
28416n S n n n =-=--，所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-。

18．解：⑴利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.519226.1y =-+⨯=（亿元）。

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5y =+⨯=（亿元）；
⑵利用模型②得到的预测值更可靠。

理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。

2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.5y t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠；（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠。

（以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分）
19．解：⑴由题意得()1,0F ，l ：()()10y k x k =->。

设()()1122,,,A x y B x y ，由()214y k x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩得()2222
240k x k x k -++=，故212224k x x k ++=。

而2122448||2k AB x x k +==++=，解得1k =-（舍）或1k =，因此l ：10x y --=；
⑵由⑴得AB 的中点坐标为()3,2，所以AB 的中垂线方程为()23y x -=--，即50x y +-=。

设所
求圆的圆心坐标为()00,x y
，则0005014x y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩
，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩。

因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=。

20．解：⑴因4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点，故OP AC ⊥
，且OP =OB ，
因22AB BC AC ==，故ABC ∆为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，22AC OB ==。

故222OP OB PB +=，因此PO OB ⊥。

又OP AC ⊥，故PO ⊥平面ABC ；
⑵如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐
标系O xyz -。

由题知()0,0,0O ，()2,0,0B ，()0,2,0A -，()0,2,0C ，
()0,0,23P ，()
0,2,23AP =。

取平面PAC 的法向量()2,0,0OB =，
设()(),2,002M a a a -<≤，则(),4,0AM a a =-。

设平面PAM 的法向量为(),,n x y z =，则00AP n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即
()223040y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取()()
34,3,n a a a =--，所以()()222234cos ,||||2343a OB n OB n OB n a a a -⋅==-++。

由题得()22233|4||cos ,|2343a OB n a a a
-==-++，解得4a =-（舍）或43a =，所以83434,,3n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭。

又()
0,2,23PC =-，故3cos ,PC n =，所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34。

21．解：⑴当1a =时，()()21110x f x x e -≥⇔+-≤。

设函数()()
211x g x x e -=+-，则()()()2
2211x x g x x x e x e --'=--+=--。

当1x ≠时()0g x '<，故()g x 在()0,+∞单调递减。

而()00g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥；
⑵设函数()21x
h x ax e -=-，()f x 在()0,+∞只有一个零点当且仅当()h x 在()0,+∞只有一个零点。

（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 无零点；（ii ）当0a >时，()()2x h x ax x e -'=-。

当()0,2x ∈时()0h x '<，当()2,x ∈+∞时()0h x '>。

故()h x 在()0,2单减，在()2,+∞单增，从而()2214h ae -=-是()h x 在()0,+∞的最小值。

①若()20h >，即24a e <，()h x 在()0,+∞没有零点；②若()20h =，即24a e =，()h x 在()0,+∞只有一个零点；③若()20h <，即24a e >，因()01h =，故()h x 在()0,2有一个零点。

由⑴知，当0x >时2x e x >，所以()()()3
324216161411102a a a h a a
a e =->-=->。

故()h x 在()2,4a 有一个零点，因此()h x 在()0,+∞有两个零点。

综上，()f x 在()0,+∞只有一个零点时，24a e =。

22．解：⑴曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +=。

当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为 tan 2tan y x αα=+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =；
⑵将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得()()2213cos 42cos sin 80t t ααα+++-= ①。

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点()1,2在C 内，所以①有两个解，设为12,t t ，则120t t +=。

又由①得()12242cos sin 13cos t t ααα
++=+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-。

23．解：⑴当1a =时()()()()
241212622x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，故不等式()0f x ≥的解集为{}|23x x -≤≤；
⑵()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++->，而|||2||+2|x a x a ++-≥，且当2x =时等号成立。

故()1f x ≤等价于|+2|4a ≥。

由|+2|4a ≥可得6a ≤-或2a ≥，故a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞。