泛函极值及变分法

第二章 泛函极值及变分法（补充内容）
2.1 变分的基本概念
2.1.1 泛函和变分
泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。

例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：
dx dx dy J B
A
x x ⎰
+=
2)/(1 （2.1.1）
显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。

图2.1.1 两点间任一曲线的长度
例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。

设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。

图2.1.2 最速降线问题
选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：
ds
v dt ==
其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：
dt =
设重力加速度为g ，则gy v 2=。

因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：
1
[()]x x J y x =⎰
2
1
1/2
211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭
⎰
（2.1.2）
则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。

回顾函数的微分：
对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：
),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ （2.1.3） 其中A （x ）与∆x 无关，且有∆x →0时ρ（x ,∆x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其
线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆，函数的微分就是函数增量的主部。

函数微分的另外一种定义：
通过引入一小参数ε，对)(x x y ∆+ε关于ε求导数，并令ε→0的途径得到，即：
dy x x y x x x y d x x dy =∆'=∆∆+'=∆+→→)()()
(00
εεεε
ε （2.1.4）
上式说明)(x x y ∆+ε在ε=0处关于ε的导数就是函数y (x )在x 处的微分。

相应地，在泛函J [y (x )]中，变量函数y (x )的增量在其很小时称为变分，用δy (x )或δy 表示，指y (x )与它相接近的y 1(x )的差，即：)()()(1x y x y x y -=δ。

泛函的变分也有类似的两个定义：
对于函数y (x )的变分δy (x )所引起的泛函的增量为)]([)]()([x y J x y x y J J -+=∆δ，当
0)(→x y δ时泛函增量的线性主部就称为泛函J 在函数y (x )处的变分，记为δJ ，即：
{})](),([)]([)]()([0x y x y L x y J x y x y J J y δδδδ=-+=→ （2.1.5）
其中L [y (x ),δy (x )]是泛函增量的线性主部，而且其对于变分δy (x )是线性的。

另一种定义：
拉格朗日的泛函变分定义为：
泛函变分是)]()([x y x y J εδ+对ε的导数在ε=0时的值，即：
)](),([)]()([0x y x y L x y x y J J δεδε
δε=+∂∂
=
→ （2.1.6）
首先，我们进行泛函：
⎰
'==2
1
))(),(,()]([x x dx x y x y x F x y J J （2.1.7）
的变分。

此泛函的增量可以用Taylor 展式表示为：
()()2
1,()(),()(),(),()x x J F x y x y x y x y x F x y x y x dx '''∆=⎡+∆+∆-⎤⎣
⎦⎰ 2
1
2222222
1()()2()x x F F F F F y y y y y y dx y y y y y y ⎧⎫⎡⎤∂∂∂∂∂⎪⎪
'''=∆+∆+∆+∆∆+∆+⎨⎬⎢⎥'''∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎣⎦⎩⎭
⎰
（2.1.8）
当0→∆y ，上式积分中的前两项是增量的线性主部，后面的项为高阶无穷小量。

根据变分的定义，该泛函的变分为：
⎰
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛''∂∂+∂∂=
2
1
x x dx y y F
y y F J δδδ （2.1.9） （2.1.9）也称为泛函J 的一阶变分，而（2.1.8）式的后三项为二阶变分，记作δ2J ，即：
⎰
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡''∂∂+''∂∂∂+∂∂=
21
22222
222
)()()(x x dx y y F y y y y F y y F
J δδδδδ （2.1.10） 也可以通过拉格朗日泛函变分的定义，得到： []⎰
→→⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡
'+'+∂∂=
+∂∂
=21
0),,()()(x x dx y y y y x F x y x y J J εεεδεδεεδε
δ dx y y F
y y F x x ⎰
''
∂∂+∂∂=
2
1
)(
δδ （2.1.11）
此结果与（2.1.9）是相同的。

类似地，如果泛函的值决定于两个函数，并且这些函数是两个变量的函数，如：[](,),(,)(,,,,,,,)s x y x y J J u x y v x y F x y u v u u v v ds ==⎰ （2.1.12） 其变分为：
s x y x y x y x y F F F F F F
J u v u u v v ds u
v u u v v δδδδδδδ⎡⎤∂∂∂∂∂∂=+
++++⎢
⎥∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦
⎰ （2.1.13） 依此类推，不难得到多个多元函数的变分。

此处，泛函的变分满足下面的一些运算规律：
（1）[][]{}[][]1212()()()()J y x J y x J y x J y x δδδ+=+ （2.1.14a ）
（2）[][]{}[][][][]121212()()()()()()J y x J y x J y x J y x J y x J y x δδδ⋅=⋅+⋅ （2.1.14b ） （3）[][][][][][][]{}112122
22()()()()()()()J y x J y x J y x J y x J y x J y x J y x δδδ⎧⎫⋅-⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
（2.1.14c ） （4）[]{}[]{}
[]1
()()()n n J y x n J y x J y x δδ-=⋅ （2.1.14d ）
2.1.2 泛函的极值和变分问题
本节将讨论泛函的极值和变分。

微积分知识：
函数取极值的必要条件（但不是充分条件）：对于一个连续可导函数，如果其在定义域的某（些）点函数有极值，那么这个函数的一阶导数在这（些）点等于零，这个（些）点就是函数的极值点或驻点。

对于泛函的极值问题，也有类似的结论，即泛函取极值的必要条件是其一阶变分0=J δ。

简要证明：
假设函数y (x )是泛函J 所定义的函数集合中的任一函数，这里不妨设泛函J [y (x )]在函数y (x )处有极大值，那么对于任一实变量α，必有：
[][])()(≥)(x y x y J x y J αδ+ （2.1.15） 令[])()()(x y x y J f αδα+=，则有：
[][]0
()
()()()()f J y x J y x y x f αααδα==≥+= （2.1.16）
上式表示)(αf 在0=α处有极大值，根据函数取极值的必要条件：
0()
0df d ααα==，得到： []0)()()(00==+===J d x y x y dJ d df δα
αδαααα （2.1.17） 由此就得到泛函取极大值的必要条件是其一阶变分为零。

同样的方法可以证明，泛函取极小值的必要条件也是其一阶变分为零。

泛函实现局部极大或极小值的充要条件：
泛函实现局部极大或极小值的充要条件与函数取极值的充要条件类似，除了其一阶变分为零外，还需要考察二阶变分的情况：
1) 若泛函J [y (x )]在y (x )处取局部极大值，其充分必要条件为：
[],0)(=x y J δ []＜0)(2x y J δ （2.1.18） 2) 若泛函J [y (x )]在y (x )处取局部极小值，其充分必要条件为：
[],0)(=x y J δ []＞0)(2x y J δ （2.1.19） 通常，我们将求泛函极值的问题称为变分问题。

变分法的基本预备定理：
如果函数F （x ）在线段（x 1,x 2）上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选取的函数)(x y δ，有：
⎰
=2
1
0)()(x x dx x y x F δ （2.1.20）
则在线段（x 1,x 2）上有：0)(=x F （2.1.21） 这里)(x y δ满足的一般条件为： ① 一般或若干阶可微； ② 在（x 1,x 2）的端点外为0；
③ ()y x δε<或()()y x y x δεδε'<<和等。

对于多变量问题，也有类似的变分定理。

二维：函数F （x ，y ）在（x ，y ）平面S 内连续，设),(y x u δ在S 的边界上为零，
,,y u u u δεδεδε<<<且满足连续性以及一阶或若干阶的可微性，对于这样选取的(,)u x y δ，若有：
(,)(,)0s
F x y u x y dxdy δ=⎰
（2.1.22）
则在区域S 内有：
0),(=y x F （2.1.23） 现在我们来研究最简单的泛函：
[]()⎰
'==2
1
)(),(,)(x x dx x y x y x F x y J J （2.1.24）
的极值问题。

其中F 为x ，y 和y '的函数，且),,(y y x F '是三阶可微的。

确定泛函极值的曲线)(x y y =的边界是固定不变的，且有：
2211)(,)(y x y y x y == （2.1.25）
采用拉格朗日法来求其泛函变分，有：
[]⎰
'+'+=
+2
1
),,(x x dx y y y y x F y y J εδεδεδ （2.1.26）
令：.,y y y y y y '+'='+=-
-
εδεδ （利用复合函数求导法则）
[]21(,,)(,,)x x J y y F x y y y y y F x y y y y y dx y y εδεδεδδεδεδδε--⎡⎤∂∂∂
⎢⎥'''''+=+++++∂⎢⎥'∂∂⎣⎦
⎰
（2.1.27）
令0→ε，则：
[]dx y y F y y F
y y J J x x ⎰
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡''∂∂+∂∂=+∂∂
=
→21
0δδεδε
δε （2.1.28）
其中：
),,(),,,(y y x F y
y F y y x F y y F ''∂∂
='∂∂'∂∂=∂∂
（利用分部积分）
⎰⎰
⎰
⎰⎰
-=-=b a
b
a
b
a
b
a
b
a
vdu uv vdu uv d udv .)(
⎰
⎰
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂=''∂∂21
2
1
x x x x dx y y F dx d y y F dx d dx y y
F
δδδ ⎰
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'∂∂-
=2
1
x x ydx y F dx d δ （2.1.29） 上式中利用到了固定边界条件0)()(21==x y x y δδ。

最后，可得到变分的极值条件：
021
=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-
∂∂=
⎰
ydx y F dx d y
F
J x x δδ （2.1.30） 根据变分法预备定理，得到：
0=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'∂∂-∂∂y F dx d y F （2.1.31） 上式中，关于x 的导数为全导数，即⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛''∂∂+∂∂+∂∂=''=dx y d y E dx dy y E dx dx x E dx dE y y x E E ,）,,（：补充
2222d F F dx F dy F dy dx y x y dx y y dx y dx
'
⎛⎫∂∂∂∂=
⋅++ ⎪''''∂∂∂∂∂∂⎝⎭ （2.1.32） （2.1.31）式即为著名的欧拉方程，是欧拉于1744年得到的，也称为欧拉－拉格朗日方程。

欧拉方程常不能简单解出，但F 不显含,,x y y '中的一个或两个时，问题得以简化： a ) F 不显含y 时，（2.1.31）式经过一次积分得一阶微分方程：
C F y =' （2.1.33）
C 是积分常数。

b ) F 不显含x 时，（2.1.31）式做如下变化：
由（2.1.32）式：
0=-+'+''''''y y x y y y y F F y F y F .
因此：
()()
0=-'+'''=-'''''y y y y y y F y F y F y F F y dx
d
经过一次积分得：
()()
y F y F F y F y F F y F y y y x y y y y y x y ''+'+-''+'+'+''''''''
C F F y y =-'' （2.1.34）
C 是积分常数。

例2.1.2（续）：最速降线问题
δJ =δ0A
dx =⎰
.
解：(,,)F x y y '，不显含x ，
按式（2.1.34），有：
y c -=
2
c -=
此式简化为：
y (1+y ′2) =c 1，其中c 1=
021
2
＞gc 引入参数y ′=ctg θ，则有：
2
11
121 sin (1cos2).12
c y c c ctg θθθ=
==-+ 由于
θctg =dx
dy
因而：21112sin cos 2sin (1cos2).ctg c d dy
dx c d c d ctg θθθθθθθθθ
====- 积分后得：
2121)2sin 2(2)2sin 21
(c c c c x +-=+-=θθθθ.
由初始条件：y (0)=0，知：c 2=0. 于是最速降线问题的解为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-=).2cos 1(2
).2sin 2(2
11
θθθc y c x 其中c 1由边界条件y (x 1)=y 1来确定。

再令：
1
2,
2
c R ϕθ== 就得到：
(sin )
(1cos )x R y R ϕϕϕ=-⎧⎨
=-⎩
从解析几何知，上述方程是摆线的参数方程，因此最速降线是半径为R 的圆沿x 轴转动时圆周一点所描出的曲线中的一段。

例2.1.3：求泛函20
[](2cos )(0)0,()0J y y y x dx y y π
π='-==⎰在条件下的极值曲线。

解：F (x ,y ,y ′) = y ′
2 -2y cos x .
则：2cos ,2,
()2.y y d F
F x F y y dx y '∂=-='="∂'
由
() 0F d F
y dx y ∂∂-=∂∂'
，对应的欧拉方程为： 0cos 02cos 2=+"⇒="--x y y x . ⇒21cos c x c x y ++=
代入边界条件得：1, 2
21-==c c π
.
∴.1 2
cos -+=x x y π
较复杂的泛函的欧拉方程可以仿照上述方法导出。

a ）对于取决于一个自变量的几个函数的泛函
⎰
'''=b
a
n n n dx y y y y y y x F x y x y x y J .)...,;...,;( )](... ),(),([212121
泛函J [y 1(x )，y 2(x ), ...y n (x )]的变分问题对应于下列欧拉方程组：
， 0 )( ='
∂∂-∂∂i i y F
dx d y F （i =1,2...n ） (2.1.35) 例2.1.4：求泛函2220[();()](2)J y x z x y z yz dx π
='+'+⎰在边界条件：
(0)0, () 1, (0)0, () 122
y y z z ππ
====-下的极值曲线。

解：22(;,;,)2F x y z y z y z yz ''='+'+
则有欧拉方程组：
00
y z z y "-="-=
消去z ，得方程：(4)0y y -=
由此解出：1234cos sin x x y c e c e c x c x -=+++ 再由z =y ″得：x c x c e c e c z x x sin cos 4321--+=- 利用边界条件：1,04321====c c c c 因而极值曲线为：sin ,sin y x z x ==- b) 对于泛函取决于y (x )及其n 阶导数的情况
.),...,,,()(dx y y y x F J n b
a
'=
⎰
其欧拉方程：0)1(...)(22-=-++"+'-n n n
n Fy dx
d Fy dx d Fy dx d Fy (2.1.36) 它的通解含有2n 个任意带数，它们由2n 个边界条件来确定。

例2.1.5：),(,21 ][2
为常数ρμρμdx y y y J l
l
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+"=
⎰
- 边界条件：.0)(,0)(,0)(,0)(='==-'=-l y l y l y l y 求泛函J [y ]的极值曲线。

解：相应的欧拉方程为：
0)4(=+ρμy
由此得到：432314
224c x c x c x c x y ++++-
=μ
ρ 利用边界条件得到：2
22)(24l x y --=μ
ρ.
c) 对于泛函取决于多元函数的情况
(,,;;,,)0x y z v
J F x y z u u u u dxdydz ==⎰⎰⎰
其对应的欧拉方程为：
0 =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂z y
x u F
z u F y u F x u F (2.1.37) 例2.1.6：设泛函22[]u u J u dxdy x y Ω
⎡⎤
⎛⎫∂∂⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰⎰
解：2
2
(,;;,) u u F x y u ux uy x y ⎛⎫∂∂⎛⎫
=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
欧拉方程： .
2 ,2.2
,2 ,0yy y y y xx x x x u Fu y u Fu u Fu x
u Fu Fu =∂∂
==∂∂
==
则：.02222=∂∂+∂∂y
u x u
例2.1.7：设泛函.),(2][22dxdy y x uf y u x u u J ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=
⎰⎰
Ω
其对应的欧拉方程是泊松方程：
).,( 2222y x f y
u
x u =∂∂+∂∂ 2.1.3 可动边界的变分问题，变分问题中的边界条件
所谓可动边界是指极值曲线（或曲面）的两个端点或其中一个端点（或边界）并不通过预先给定的点（或边界）。

在我们前面所讨论的泛函11)(),,(2
1
y x y dx y y x F J x x ='=
⎰
在边界条件和22)(y x y =下的极值问
题，此时的固定边界条件称为几何边界条件或称为强加边界条件。

所谓“强加”，是指这些边界条件是在变分问题中预先强加上去的。

如果我们在求泛函dx y y x F J x x ),,(2
1
'=
⎰
的极值问题时，端点x 1和x 2的值均不给定。

泛函
取极值的必要条件依然是：
2
1
2
1 0x x
F d F F F
J ydx y x x y x x y
dx y y y δδδδ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂=-
+=-==⎢
⎥ ⎪∂∂'∂'∂'
⎝⎭⎣⎦⎰ （2.1.42） 与固定边界变分不同的是，这里的δy 在端点处并不总是为零，可以为任意的。

这样，由极值条件δJ =0除了可得到欧拉方程(2.1.31)外，还有：
0 ,021=='
∂∂=='∂∂x x y F
x x y F （2.1.43） 上式由变分得出的条件称为自然边界条件。

可以看出这样的边界条件不是预先给定的，而是从变分原理的δJ =0自动导出，它是保证极值存在而必须满足的条件。

在力学问题中，无约束时变分原理将自动补充边界处所缺的力学边界条件，因而自然边界条件往往表现为力学边界条件。

a ）每个函数端点分别在直线x=a 和x=
b 上.
泛函J 的极值函数除了要满足欧拉方程外，还应满足：
0.y x a
y x b
F F '
='
=== （2.1.44）
b)更一般情况，如果泛函J [y ]=
,),,(中dx y y x F b
a
'⎰
函数y 的端点（a,y a ）与（b,y b ）分别在曲线
(,)0(,)0x y x y ϕψ==与上移动，泛函J 的极值函数除满足欧拉方程外，还要满足横截条件
（transversality condition ）。

y y x y x a x a F y F F ϕϕ''==⎡⎤-'⎡⎤=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (2.1.45) y y x y x b x b
F y F F ψψ''==⎡⎤-'⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
这里a 与b 本身是待定参数。

2.1.4 泛函的条件极值
有些变分问题，容许函数有时还会受到附加约束条件的限制，这就是条件极值问题。

对于这种极值问题，可用类似于处理多元函数的条件极值的Lagrange 乘数法，把范函条件极值问题转化为无条件极值问题。

定理（Lagrange ）：略
这个方法还可以推广到等周问题，即有如下定理： 欧拉定理：略 例2.1.8：等周问题
在平面上，给定长度为l 的所有封闭光滑的曲线中，求一条曲线，使它所围成区域的面积A 最大。

设所求曲线上的参数方程为： . )()
(10t t t t y y t x x ≤≤⎩
⎨⎧== 且).()( ),()(1010t y t y t x t x ==
约束条件：
)(221
常数l dt y x
t t =+⎰
格林公式：
若函数),(),(y x Y y x X 和及其一阶偏导数在闭区域D 上连续，则有：
⎰
+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂L Ydy Xdx dxy y X x Y . 令Y =x ，X=-y ，其中L 是区域D 的边界，且积分沿L 的正方向（即逆时针方向）。

由格林公式，曲线l 所围成的面积：
()⎰
⎰
-=-=
1
d 2
1
d d 2
1
A t t L t x y y
x x y y x 于是等周问题可归结为求泛函： ()()()()()⎪⎩⎪⎨
⎧==-=
⎰
1010
10d 21J t y t ，y t x t x t x y y x t t 在等周条件或（1）下的极大值。

作辅助泛函：
⎰
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=
1
0d 2
1I 22t t t y x x y y x λ 由：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧='-='-0d d 0d d x H t H y H t H x y
其对应的欧拉方程组为： ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++
--0d d 0d d 2222y x y x t x y x x y t y λλ 积分后得：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
=++=+-22212
22222c y x x x c y x x y λλ 整理后：
()()
4
2
2
12
2λ=
-+-c y c x
这是圆族方程，令：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=-=-t c y t c x sin 2cos 2
12λλ （0≤t ≤2π） 代入等周条件，得： πd 2
d cos 4
sin 4
π
20
π
20
22
2
2
λλ
λλ==
+
=
⎰
⎰
t t t t e
即：π
λ
λ=
于是 ()()
2
2
12
22π⎪⎭
⎫
⎝⎛=-+-λc y c x 利用边界条件，x （t 0）=x （t 1） y （t 0）=y （t 1） 可定出c 1，c 2，故所求极值曲线是一个圆。

2.2 力学中的变分原理
在力学中，我们有各种各样的原理，诸如能量守恒原理、动量守恒原理、达朗伯原理、虚位移原理、哈密顿原理等等。

而作为古典力学基础的著名的牛顿运动定律实质上也是原理。

原理可以被分为两类，即非变分的原理和变分的原理。

非变分的原理直接研究真实的运动；而变分原理则不然，它不是专注于实际的运动，而是考察一定约束条件下所容许的一切可能的运动，从中挑选出实际实现的一种真实运动来。

如果说非变分的原理提供的是各种各样普通的函数关系，那么变分原理应该是考察相应于各种运动状态的某些特征量(泛函)并取极值(通常对应于真实运动)，这便是我们所熟知的变分的含义。

由此可以看出，变分原理是在纵观全局的基础上更一般地来论述运动的，较之非变分的原理进行了更多的概括与抽象。

这样说并不是贬低非变分的原理的重要性，事实上，很多变分的原理和非变分的原理在一定条件下都是可以互相推导或是等价的，只是各种原理的表述方式不同，因而在不同场合下应用时方便程度不同罢了。

力学原理又可分为微分形式的表述和积分形式的表述。

前者适用于运动的每一瞬时以及任意局部点，而后者适用于有限的时间间隔以及有限区域内。

在力学的诸多原理中，虚功原理是最基本的，其他的若干原理可从它得到。

下面，我们首先介绍虚功原理。

2.2.1 虚功原理
虚功原理亦称虚位移原理。

在分析力学中，由质点系组成的力学体系的虚功原理是熟知的。

对于一个由N 个质点组成的质点系而言，如果考虑的是静平衡问题，则有分析力学的虚功原理：
10N
i
i
i F r δ==∑ （2.2.1）
其中F i （i =1，2，…，N ）是作用在质点系上的给定力，包括非理想的约束力等；δr i （i =1，2，…，3N ）是质点系满足约束的任意一组无限小虚位移矢量。

进一步，如果作用在质点 系上的诸力均是有势的，亦即对于诸力F i 存在势函数V ，使得F i =-∂V/∂r i （i =1，2，…，N ），则上述的虚功原理可转化为最小势能原理。

在静止的平衡力学系统的所有容许位移中，真实的位移使势能的变分为零，即δV =0。

虚功原理指出，系统平衡时的位置是指系统可能有的一切位置(对应各种虚功值)中的这样一种位置，此时作用力所作虚功之和为零。

这样，从系统可能有的一切运动状态中确实挑选出了平衡这样一种实际实现的运动状态。

作为泛函的虚功取极值(虚功为零)时对应着真实
的运动(平衡状态)。

下面我们给出弹性连续体的虚功原理表述。

设弹性体在体力f x ，f y ，f z 以及表面为F x ，F y ，F z 作用下处于平衡。

以{σx ，σy ，σz ，τxy ，τyz ，τxz }表示任一点处的应力分量，则在弹性体内有平衡方程：
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂000z z yz xz y yz
y xy x xz
xy x f z y x f z y x f z y x στττστττσ （2.2.2） 以及在应力边界Γt 上，满足力学边界条件：
X =F x ，Y =F y ，Z =F z （2.2.3） 其中：
xz xy x n m l X ττσ++=，yz y xy n m l Y τστ++=，z yz xz n m l Z σττ++= （2.2.4）
这里{l ，m ，n }表示弹性体表面上一点的外法线方向余弦。

我们假定弹性体平衡时的真实的位移为{u ，v ，w }，从这个平衡位置对物体施加一组任意的无限小虚位移{δu ，δv ，δw }，于是便有： ()()()[]⎰⎰⎰⎰⎰
=-+-+-+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂+∂∂-
Γ0
d d s w F Z v F Y u F X v w f z y x v f z y x u f z y x z
y
x
z z yz xz y yz y xy x xz xy x V t
δδδδσττδτστδττσ （2.2.5） 其中d v ，d s 分别表示弹性体的体积元和面积元。

这里虚位移的选择应满足另一部分位移边界Γu 上的几何条件，即：
δu =0，δv =0，δw =0 （2.2.6）
利用高斯公式，并经过分部积分，（2.2.5）可进一步化简为：
()()()0
d d d =++-++-+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γs w F v F u F v w f v f u f v z
y
x
z
y
x
V
xz
xz
yz
yz
xy
xy
z
z
y
y
x
x
V
t
δδδδδδδγτδγτδγτδεσδεσδεσ （2.2.7）
z
u
x w ，y w z v ，x v y u ，z w ，y v ，x u xz yz xy z y x ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=
δδδγδδδγδδδγδδεδδεδδε （2.2.8） 为虚应变，(2.2.7)即为弹性体虚功原理。

按照弹性力学定义：
()
v U xz xz yz yz xy xy z z y y x
x V
d 2
1γτγτγτεσεσε
σ+++++=
⎰⎰⎰ （2.2.9）
称为弹性体的变形能。

因此(2.2.7)中的第一项即为虚变形能，第二项(取正号)为体积力所作的虚功，第三项（取正号）为表面力所作的虚功。

由于上述过程是从平衡位置施以虚变形，故虚功简单地表示为力与虚位移之乘积，并无因子1/2，这是虚功有别于真实功的主要特点。

将式（2.2.7）进行移项，不难看出：在任一虚位移过程中，外力作的总虚功等于弹性体的总虚变形能。

上述推导说明虚功原理是物体在外力作用下并满足一定的几何边界条件而处于平衡的必要条件。

相反的推导过程，我们完全可以利用虚位移的{δu ，δv ，δw }的任意性而得到力学平衡方程（2.2.2）以及力学（自然）边界条件(2.2.3)。

这说明虚功原理同时也是弹性体平衡及力学边界条件的充分条件。

虚功原理是弹性力学中的变分原理的基础，其在有限元法中也具有极其重要的应用价值。

尽管我们是从弹性平衡的角度给出了虚功方程，但是一般说来，虚功原理具有普遍意义，它可以适用于一切结构，不论材料是线性还是非线性，也不论物体的变形是弹性或非弹性。

2.2.2 最小势能原理
上节所介绍的虚功原理对于任何应力-应变关系的结构均成立，不论是弹性或是非弹性的，这一节中我们将虚功原理应用于弹性结构。

令{}xz yz xy z y x ，，，，，τττσσσ和{}
xz yz xy z y x ，，，，，γγγεεε分别表示弹性体内一点的应力和应变分量，在小变形情形下，必存在一个正定的状态函数()
xz yz xy z y x ，，，，，U U γγγεεε00=使得：
xz xz yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσd d d d d d d 0+++++= （2.2.10）
这里，U 0称为应变能函数或应变能密度。

状态函数U 0是单值的函数，因而d U 0是全微分，有：
xz
xz yz yz xy xy z z y y x x U ，U ，U ，U ，U ，U γτγτγτεσεσεσ∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=
00000 （2.2.11） 这样，虚功原理(2.2.7)就变为：
()()U
v
U v
U v U U U U U U s
w F v F u F v w f v f u f V V xz xz yz yz xy xy z z y y x x V z
y
x
z
y
x
V
t
δδ
δδγγδγγδγγδεεδεεδεεδδδδδδ===
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=+++++⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γd d d d d 00000000 （2.2.12） 上式中v U U V d 0⎰⎰⎰
=
为弹性应变能。

进一步，如果作用于弹形体上的体力和表面力均为有势力，即存在势函数Φ（u ，v ，w ）和Ψ（u ，v ，w ），使得：
w F v F u F w ，f v f u f z y x z y x δδδδδδδδ++=ψ-++=Φ- （2.2.13ab ）
从而：
()()()V
s v s v s w F v F u F v w f v f u f t
V
t
V
z
y
x
z
y
x
V
t
δδδδδδδδδδ-=ψ+Φ-=ψ-Φ-=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓd d d d d d （2.2.14）
这里，V 表示外力势能，则（2.2.12）亦表示为：
δ（U +V ）=0 （2.2.15）
如果定义Π=U+V 为系统的总势能，故δΠ=0。

此式或（2.2.15）称为势能驻值原理，即在满足已知几何边界条件的一切容许位移u ，v ，w 中，真实的位移使得系统总势能（泛函）取极值。

2.2.3 虚余能原理
前面两节中所介绍的虚功原理及其应用于弹性连续体而得到的最小势能原理，都是以位移作为未知函数的，位移一旦求得，根据几何关系式和应力应变关系式不难得到相应的应变和应力分量。

但是，在很多工程实际问题中往往也需要直接以应力作为待求的未知函数，尤其在以应力为目标的近似解法中，如果依旧沿用先求位移而后通过微分求应变再得到应力的方法，势必会影响应力解的精度。

实际应用的需要自然应运而生了相应的虚余功原理及最小余能原理。

下面的讨论仍以弹性连续体为例，而且其应力应变可呈各种关系。

设弹性体在已知体力以及给定的边界条件下处于平衡，{u ，v ，w }和{}
xz yz xy z y x ，，，，，γγγεεε分别表示弹性体内一点处的位移分量和应变分量。

因此，在弹性体内，有：
000=∂∂-=∂∂-=∂∂-
z
w
，y v ，x u z y x εεε
000=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-z u x w ，y w z v ，x v y u xz yz xy γγγ （2.2.16） 以及在边界上：
000=-=-=-w ，w v ，v u u （2.2.17） 进一步，我们设平衡时的应力状态为{σx ，σy ，σz ，τxy ，τyz ，τxz }，并假定物体从这个平衡状态接受一组任意的、无限小的虚应力（应力的变分）{δσx ，δσy ，δσz ，δτxy ，δτyz ，δτxz }。

于是有：
}()()()[]
d d =-+-+-+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂-⎰⎰⎰⎰⎰
Γs F w w F v v F
u u v z u x w z v y w x v y u z w y v x u z y x
xz xz yz yz xy xy z x y y x x V u
δδδδτγδτγδτγδσεδσεδσε （2.2.18） 其中{δF x ，δF y ，δF z }是表面力相对应于虚应力的虚变化。

新的应力分量应该不违背弹性连续体的平衡方程和力学边界条件，如下：
()()
()()()()
()()
()⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=++∂∂
++∂∂++∂∂=++∂∂
++∂∂++∂∂=++∂∂
++∂∂++∂∂000z z z yz yz xz xz y yz yz y
y xy xy x xz xz xy xy x x
f z y x
f z y x f z y x δσσδττδττδττδσσδττδττδττδσσ （2.2.19） 以及：
()(
)()
(
)()()
()()
()
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+++++=++++++=++++++=+z z yz yz xz xz z z yz yz y y xy xy y y xz xz xy xy x x x x n m l F F n m l F F n m l F F δσσδττδττδδττδσσδττδδττδττδσσδ （2.2.20）
由弹性体平衡方程（2.2.2）和面力表达关系式（2.2.4），可以得到：
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂000z y x z y x z y x z
yz xz
yz
y xy xz
xy x δσδτδτδτδσδτδτδτδσ （2.2.21） 以及：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧++=++=++=z
yz xz z yz y xy y xz xy x x n m l F n m l F n m l F δσδτδτδδτδσδτδδτδτδσδ （2.2.22） 利用高斯积分公式并对（2.2.18）进行化简，我们可以得到：
()
()()()[]
()()()[]0
d d d d =-+-+-+++++++++-
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰ΓΓs F w w F v v F u u s
w n m l v n m l u n m l v
w z y x v z y x u z y x v
z
y
x
z yz xz
yz
y
xy
xz
xy
x
z yz xz yz y xy xz xy x V xz xz yz yz xy xy z z y y x
x
V
u
δδδδσδτδτδτδσδτδτδτδσδσδτδτδτδσδτδτδτδσδτγδτγδτγδσεδσεδσ
ε （2.2.23）
注意到方程（2.2.21）、（2.2.22），最后得到：
()
()s
F w F v F u v
z
y
x
xz xz yz yz xy xy z
z
y
y
x
x
V
u
d d δδδδτγδτγδτγ
δσεδσεδσε++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰Γ （2.2.24）
上式即为弹性体的虚余能原理，其与（2.2.7）表示的虚功原理形成互补形式。

上式的左边代表弹性体的总虚余能，右端代表面力的变分在实际位移上所做的功。

2.2.4 最小余能原理
在小变形情形下，弹性力学的一般理论指出，必定存在一个正定的状态函数
()
xz yz xy z y x ，，，，，U U τττσσσ*
0*0=使得：
xz xz yz yz xy xy z z y y x x U τγτγτγσεσεσεd d d d d d d *
0+++++= （2.2.25）
这里，*0U 称为余能函数或余能密度。

状态函数*0U 是单值的函数，因而*
0d U 是全微分，有
xz
xz yz yz xy xy z z y y x x U ，U ，U ，U ，U ，U τγτγτγσεσεσε∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=
00000 （2.2.26） 从而虚余功原理变为
()()0
d d d d *0*0*0*0*0*0*0=++-=++-
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
ΓΓs F w F v F u v U s F w F v F u v U U U U U U z y x u V z y x xz xz yz yz xy xy z z y y x x V u
δδδδδδδδττδττδττδσσδσσσδσ （2.2.27）
或
δ（U *+V *）=0 （2.2.28）
其中，v
U U V d *
0*⎰⎰⎰
=
为弹性体的余能，()
s F w F v F
u V z y x
u
d *++=
⎰⎰Γ为外力余能。

如果定
义Π*（U *+V *）为系统的总余能，故有δΠ*=0。

式（2.2.28）表示余能的极值原理，事实上，这时余能(泛函)为极小值，故得最小余能原理：在满足平衡方程和应力边界条件的所有各组应力分量的函数中，真实的一组应力分量应使系统的余能(泛函)取极小值。

此处限于篇幅，我们不再给出其证明过程。

2.2.5 连续介质的哈密顿原理
前面几节中，我们仅介绍了弹性体系的静力平衡问题及其原理，即体系在平衡时所取的一真实状态，以区别与任何其他可能的一切状态。

而在工程问题中，还会涉及到考虑时间变量的动力学问题，不同时刻对应于不同的状态。

就数学本质而言，静力问题和动力问题没有原则区别，只是仅仅增加了自变量的个数(即在空间坐标自变量的基础上增加了时间变量)，但其物理意义的差别是明显的，即从静力平衡过渡到了动力学问题。

当牛顿建立了以三大定律及万有引力定律为基础的力学理论后，无数的自然现象都得到了定量的说明，事情似乎很完善了。

后来拉格朗日在18世纪提出了一个变分原理，从这个变分原理出发，能够十分方便地解决许多力学问题，并且由此还可以推导出力学中的很多定律。

他还创立了拉格朗日运动方程，其比牛顿的运动方程适用的范围更广，而且用起来更为便捷。

此后，哈密顿(Hamilton)发展了拉格朗日的理论，于1834年提出了有名的哈密顿原理。

本节中，我们将引入对应于动力学问题的哈密顿原理。

首先介绍离散质点系统的哈密顿原理，然后将其推广得出弹性连续体的形式。

设具有N 个质点的系统相对于惯性参考系的位移由矢量r 1，r 2，…，…r N 给出，根据质点系的达朗伯(D ’Alembert)原理有：
()∑==-N
i i
i
i i
m 10r r F δ （2.2.29）
上式中m i 为第i 个质点的质量，F i 为作用于第i 个质点上的力。

我们来考察动能的变分
∑
∑∑
∑
====-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
==⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=n i i i i n i i i i n
i i i i n
i i i m m t m m T 1
111
2r r r r d d r r r 21
δδδδδ （2.2.30） 结合（2.2.29），有：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=+∑
=n i i i i m t W T 1r r
d d δδδ （2.2.31） 这里，∑
==
n
i i i m T 1
2r
2
1
表示质点系的动能，∑==
n
i i i W 1
r F 为外力所作的功。

对（2.2.31）在任意
两个时刻t 1和t 2间关于时间进行积分，得到：
()2
1
2
1
1r r d t
t t t n i i i i t t m t W T ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∑
⎰
δδδ （2.2.32） 因为系统在时刻t 1和t 2的位置状态可以认为是给定的，便有0r r 21====t t t t δδ，因而（2.2.32）进一步成为：
()0d 2
1
=+⎰
t t t W T δδ （2.2.33）
如果所有的外力均为有势力，即F i =-∂V/∂r i （i =1，2，…，N ），则δW =-δV ，故上式还可写成：
()0d 2
1
=-⎰
t t t V T δ
（2.2.34）
记L =T -V ，称为拉格朗日函数，对于保守系统，积分运算和变分运算是可以交换的，即有
0d 2
1
=⎰
t t t L δ。

所以，哈密顿原理可以叙述如下：
对于有势力作用下的完整质点系而言，在由时刻t 1状态到时刻t 2状态的所有可能的运动中，实际实现的运动使得积分表示的泛函：
⎰
=
2
1
d t t t L J （2.2.35）
取极值。

这里J 有时也被称作哈密顿作用量。

引入广义坐标{q 1，q 2，…，q N }，则()t q q q
q q q L L N N ;,,,;,,,2121 =，进而哈密顿原理（2.2.34）对应的（保守系统）拉格朗日方称为
0d d =∂∂-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂n n q L
q L t ， （n =1，2，…，N ） （2.2.36） 虽然，对于所假定的系统哈密顿原理和拉格朗日方程是等价的，但前者可适用于具有无穷多自由度的系统，因而从这个意义上讲，哈密顿原理的适用性更广泛。

接下来，我们将哈密顿原理从离散质点系推广到弹性连续系统。

将惯性力加入到弹性连续系统的虚功原理中，即：
()
()()s
w F v F u F v w f v f u f v w t w v t v u t u v
z
y
x
z
y
x
V
V xz xz yz yz xy xy z z y y x
x
V
t
d d d d d d d d d d 222222δδδδδδδδδρδγτδγτδγτδεσδεσδε
σ++++++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-
=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰Γ （2.2.37）
如前所述，如果外力势记为V ，应变能记为U ，即：
()()()v
U s w F v F u F v w f v f u f V xz
xz
yz
yz
xy
xy
z
z
y
y
x
x
V
z
y
x
z
y
x
V
t
d d d δγτδγτδγτδεσδεσδεσδδδδδδδδ+++++=+++++=
-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γ （2.2.38ab ）
进而有：
()0d d d d d d d 222222=+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-
⎰⎰⎰
V U v w t w v t v u t u V δδδδρ （2.2.39） 对上式在从时刻t 1和t 2间关于时间进行积分，并采用分部积分等算法，可以得到：
()0d 2
1
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--⎰
t t t V U T δ （2.2.40）
其中()
v w v
u
T V
d 2
1222
++=
⎰⎰⎰ρ为弹性连续体的动能。

令Π=U +V 为系统的总势能，以及L =T -Π为拉朗日函数，（2.2.40）进一步可表示成：
()0d d 2
1
2
1
=⎪⎭
⎫
⎝
⎛
=⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡∏-⎰⎰
t t t t t L t T δδ （2.2.41）
此时，哈密顿原理叙述为：弹性连续体从时刻t 1状态到时刻t 2状态的所有可能的运动(包括弹性体的形变)中，实际实现的运动使拉格朗日函数在这段时间内对时间的积分取极值。

这里以梁的振动问题为例来说明哈密顿原理的具体运用。

不难写出梁的动能和应变能分别为：
x t w T L
d 212
0⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=⎰
ρ， x x w EI U L
d 212
220⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=⎰
（2.2.42） 其中，L 表示梁的长度，ρ为梁的单位长度的质量，w （x ，t ）为梁的挠度。

根据哈密顿原理：
()⎰⎰
⎰⎰
⎰
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡-2
1
212
1
022********d d d d 21d t t L t t L t t t x x w x w EI t w t w t x x w EI t w t U T δδρρδδ （2.2.43）
因为有δw （x ，t 1）=δw （x ，t 2）=0，于是：
⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
∂∂-⎪⎭⎫
⎝⎛
∂∂=
⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭
⎫
⎝⎛
∂∂∂∂21
2
1
2
12
1
2
2
220
d d d d d d d t t L L t t t t L
t t L t x w t w
x w t w t x w t w w t w t t x t w t w δρ
δρδδρρδρ （2.2.44）
对于（2.2.43）中的第二项关于应变能的变分，进一步化简后得到：
t w x w x x w x w EI t x w x w x EI
t x w x w x w x w x x x w x w x EI
t x x w x w EI t t L
x x t t L t t L t t L d d d d d d d 2
1
2
12
1
2
1
22220
2222
2222
22220
2222⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
==⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂∂∂+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∂∂∂∂δδδδδδδ （2.2.45） 最后得到：
0d d d d 2
1
2
1
2
1
022220
4422=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂∂∂-∂∂∂∂-⎪⎭⎫
⎝⎛
∂∂+
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
∂∂+∂∂-
⎰
⎰
⎰⎰
==t w x w x x w x w EI x w t w t x w x w EI t w t t L
x x L t t t t L δδδρδρ （2.2.46）
根据变分法预备定理，得梁的自由振动方程为：
04422=∂∂+∂∂x
w
EI t w ρ （2.2.47）
以及相应的自然边界条件： （1）w =0或
0=∂∂t
w
（当t =t 1及t =t 2） （2.2.48a ）
（2）022=∂∂x
w 或0=∂∂x w
（当x =0及x =L ）
（2.2.48b ） （3）033=∂∂x
w
或w =0 （当x =0及x =L ） （2.2.48c ）
其中(1)相当于梁的初始速度给定为零或者位移为零；(2)相当于给定梁在两端部的弯矩为零或者转角为零；而(3)相当于给定梁在两端部的剪力为零或者位移为零。

2.3 变分法的近似解法
数学物理中的变分原理建立了各种类型的微分方程边值问题与泛函取驻值的等价关系。

变分问题的古典解法是通过解欧拉方程来解变分问题，然而，因为求解微分方程往往并不容易，所以这个方法并不能达到预期的结果，这就要求我们必须直接寻求针对于变分问题的新方法，即直接方法。

变分学的直接方法是指不通过解欧拉方程而直接近似地求解变分问题的方法。

这种方法最先大量用于求解弹性力学问题，随着电子计算机的广泛使用和计算方法的发展，现今变分学的直接方法已有多种，它们的应用范围也越来越广。

2.3.1 变分法的近似解法－立兹法及其应用
立兹法是变分问题直接解法中最重要的一种，其基本思想是用选定的函数序列的有限线性组合逼近变分问题的极值曲线。

现用一个简单的变分问题：
[]()1001,,()0,()0
x x J y F x y y dx
y x y x ⎧'=⎪⎨⎪==⎩⎰ (2.3.1)(2.3.2) 来说明Ritz 法的解题步骤。

在此边条是两端固定的特殊情况，不失一般性，当边条是非齐次的，即：
()()0011,y x y y x y ==
而二者不同时为零时，作函数代换：01101010
()x x x x
z y x y y x x x x --=----
便有：()()010z x z x == 解题步骤：
(1) 取定一相对完备函数列 ()()()12,,
,,
k u x u x u x
并使其中每一个都满足边条(2.3.2)。

该序列选取对下一步计算复杂程度有很大影响。

(2) 将线性组合：()()()()1122k k k y x C u x C u x C u x =++
+ (2.3.3)
视作(2.3.1)的近似解，将(2.3.3) 式代入(2.3.1) 得关于12,,
,k C C C 的函数，
[]()()1
1211,,
,,,k k
x k i i i i x i i J C C C F x C u x C u x dx ==⎡⎤
'=⎢⎥⎣⎦
∑∑⎰
(2.3.4)
(3) 求(2.3.4) 的极值，由方程组：。