数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质(1) 同步练习(解析版)

数学沪科版九年级上册21
一、选择题
1.点〔－1，2〕在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是〔〕
A.1
B.2
C.
D.－
2.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，那么a的值为〔〕
A.±2
B.－2
C.2
D.3
3.抛物线y= x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，启齿最大的是〔〕
A. y= x2
B. y=4x2
C. y=－2x2
D. 无法确定
4.如图，四个二次函数的图象中，区分对应的是：①；②；③；④，那么的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.抛物线y=3x2的顶点坐标是〔〕
A. 〔3，0〕
B. 〔0，3〕
C. 〔0，0〕
D. 〔1，3〕
6.假定抛物线经过点P〔1，－3〕，那么此抛物线也经过点〔〕
A.P
B.P
C.P (1，3)
D.P
7.在同一坐标系中，抛物线，，的共同特点是〔〕
A. 关于y轴对称，启齿向上
B. 关于y轴对称，y随x增大而减小
C. 关于y轴对称，y随x增大而增大
D. 关于y轴对称，顶点在原点
8.点〔-2，〕，〔0，〕，〔1，〕都在函数的图象上，那么( )
A.＞＞
B.＞＞
C.＞＞
D.＞＞
9.a<－1，点〔a－1，y1〕，〔a，y2〕，〔a+1，y3〕都在函数y=x2的图象上，那么〔〕
A.y1<y2<y3
B.y1<y3<y2
C.y3<y2<y1
D.y2<y1<y3
10.以下说法中错误的选项是〔 〕 A.在函数 中，当 0=x 时 y 有最大值 0 B.在函数 中，当 0>x 时 y 随 x 的增大而增大 C.抛物线 ，
，
中，抛物线
的启齿最小，抛物线
的
启齿最大
D.不论 a 是正数还是正数，抛物线
的顶点都是坐标原点
11.如图，在平面直角坐标系中，A 〔1，2〕，B 〔1，－1〕，C 〔2，2〕，抛物线y=ax 2〔a≠0〕经过△ABC 区域〔包括边界〕，那么a 的取值范围是〔 〕
A. a≤－1或a≥2
B. ≤a≤2
C. －1≤a ＜0或1＜a≤
D. －1≤a ＜0或0＜a≤2
二、填空题
12.二次函数
的图象启齿向下，那么m 的取值范围是________ ．
13.写出一个启齿向上，顶点是坐标原点的二次函数的解析式：________.
14.某抛物线有以下性质：①启齿向下；②对称轴是y 轴；③与x 轴不相交；④最高点是原点．其中y=﹣2x 2具有的性质是________．〔填序号〕
15.抛物线y ＝2x 2的顶点，坐标为________，对称轴是________．当x________时，y 随x 增大而减小；当x________时，y 随x 增大而增大；当x ＝________时，y 有最________值是________． 16.如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点树立平面直角坐标系，作出函数y= x 2与y=–
x 2
的图象，那么阴影局部的面积是________．
17.假定抛物线y=ax 2经过点A (
，－9)，那么其解析式为________。

18.二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对恣意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的选项是________(填序号).①m<n<0 ②m>0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0
19.如图，A1，A2，A3，…，A n是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n－1A n＝1，区分过点A1，A2，A3，…，A n作x轴的垂线交二次函数y＝x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，P n，假定记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次停止下去，那么S3＝________，最后记△P n－1B n－1P n(n＞1)的面积为S n，那么S n＝________．
三、解答题
20. 是二次函数，且函数图象有最高点．
〔1〕求k的值；
〔2〕求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而增加．
21.点A〔2，a〕在抛物线y=x2上
〔1〕求A点的坐标；
〔2〕在x轴上能否存在点P，使△OAP是等腰三角形？假定存在写出P点坐标；假定不存在，说明理由．
22.函数y=ax2〔a≠0〕与直线y=2x-3的图象交于点〔1，b〕．
求：
〔1〕a和b的值；
〔2〕求抛物线y=ax2的启齿方向、对称轴、顶点坐标；
〔3〕作y=ax2的草图．
23.在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．
〔1〕区分指出它们的启齿方向、对称轴以及顶点坐标；
〔2〕抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？
24.抛物线y＝ax2经过点(1，3)．
〔1〕求a的值；
〔2〕当x＝3时，求y的值；
〔3〕说出此二次函数的三条性质．
25.如图，直线AB过x轴上一点A〔2，0〕，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为〔1，1〕．
〔1〕求直线AB的解析式及抛物线y=ax2的解析式；
〔2〕求点C的坐标；
〔3〕求S△COB．
答案解析局部
一、选择题
1.【答案】B
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵点〔-1，2〕在二次函数的图象上，
∴，解得：.
故答案为：B.
【剖析】将点的坐标代入函数解析式，树立关于a的方程，求出的值即可。

2.【答案】C
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】把点(a,8)代λ:yax得:a'=8,解得:a=2故答案为：C
【剖析】将点的坐标代入函数解析式，解方程即求出a的值。

3.【答案】A
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是〔1，〕〔1，4〕，〔1，-2〕，
由于| |＜|-2|＜|4|，
所以抛物线y= x2启齿最大．
故答案为：A．
【剖析】比拟三个函数的a的值的大小，a的相对值越大，启齿越小；a的相对值越小，启齿越大。

可得出答案。

4.【答案】A
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由二次函数中，〝当二次项系数为正时，图象启齿向上，当二次项系数为负时，图象启齿向下〞结合〝二次项系数的相对值越大，图象的启齿越大〞剖析可得：
.
故答案为：A.
【剖析】图中函数均以原点为顶点，y轴为对称轴，依据启齿宽窄和方向解答即可。

5.【答案】C
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=3x2，∴抛物线y=3x2的顶点坐标是：〔0，0〕，
应选C．
【剖析】依据二次函数的性质，应用顶点式即可得出顶点坐标．
6.【答案】D
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点P〔1，-3〕代入y=ax2得a=-3，
∴y=-3x2，
将四个点坐标区分代入解析式可知，当x=-1时，y=-3，即D不契合题意，其他三个选项均不成立．故答案为：D．
【剖析】将点P的坐标代入函数解析式，求出函数解析式，再区分将各选项的点的坐标代入验证，即可解答。

7.【答案】D
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵函数y=2x2，y= x2，y= x2中，a取值范围区分为：a＞0，a＞0，a ＜0，∴抛物线的启齿方向区分为：向上、向上、向下，即启齿方向不同；
由函数y=2x2，y= x2，y= x2的解析式可知：顶点坐标都为〔0，0〕；
∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．
故答案为：D．
【剖析】应用y=ax2的性质：顶点坐标是〔0,0〕，对称轴为y轴；a＞0，启齿向上，当x＜0时，y 随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；a＜0，启齿向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，对各选项逐一判别可得答案。

8.【答案】A
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由于|-2|＞1＞0，所以y1＞y3＞y2.
故答案为：A.
【剖析】函数y = x 2的图象的对称轴是y轴，顶点是原点，启齿向上，所以离原点越远，函数值就越大，可解答。

9.【答案】C
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由a<－1可得a－1＜a＜a+1＜0，
又因点〔a－1，y1〕，〔a，y2〕，〔a+1，y3〕都在函数y=x2的图象上，
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以y3<y2<y1，
故答案为：C.
【剖析】由a<－1可得a－1＜a＜a+1＜0，再依据二次函数的增减性，可解答。

10.【答案】C
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：A．在函数y=-x2中，当x=0时y有最大值0，正确，
由于：此抛物线顶点坐标在原点，启齿方向向下，故当x=0时y有最大值0；
B．在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大，正确；
由于此抛物线对称轴为y轴，启齿方向向上，那么x＞0时y随x的增大而增大；
C．抛物线y=2x2，y=-x2，y=- x2中，抛物线y=2x2的启齿最小，抛物线y=-x2的启齿最大；错误；
依据相对值越大启齿越小，可得抛物线y=2x2的启齿最小，抛物线y=- x2的启齿最大；
D．不论a是正数还是正数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点，正确，
由于y=ax2〔a≠0〕的顶点一直为原点．
【剖析】依据二次函数y=ax2的性质，对各选项逐一判别，可解答。

11.【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：假定a<0，那么抛物线启齿向下，启齿最小过点B〔1，-1〕
∴-1=a×12
∴a=-1
∴-1≤a<0
假定a>0，那么抛物线启齿向上，启齿最小过点A〔1，2〕
∴2=a×12
∴a=2
∴0<a≤2
∴a的取值范围是-1≤a<0或0<a≤2
故答案为：B.
【剖析】分两种状况讨论：假定a<0，那么抛物线启齿向下，启齿最小过点B〔1，-1〕，将点B的坐标代入求解，可得出a的取值范围；假定a>0，那么抛物线启齿向上，启齿最小过点A〔1，2〕，将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，可得出a的取值范围，综上所述，可得出答案。

二、填空题
12.【答案】m＜2
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象启齿向下，
∴m-2<0，解得：m<2.
故答案为：m<2
【剖析】由二次函数y = ( m − 2 ) x 2的图象启齿向下，可得出m-2<0，解不等式即可。

13.【答案】y=2x2
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：图象的顶点在原点，启齿向上的二次函数很多，如：
【剖析】依据题意可知写出的函数是形如y=ax2〔a＞0〕的方式。

此题答案不独一。

14.【答案】①②④
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：y=－2x2启齿向下，对称轴是y轴，与x轴有一个交点，最高点是原点.
故答案为：①②④
【剖析】依据二次函数y=ax2〔a＜0〕的性质，可解答。

15.【答案】(0，0)；y轴；≤0；＞0；0；小；0
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点，坐标为〔0，0〕，对称轴是y轴．当x≤0时，y随x 增大而减小；当x＞0时，y随x增大而增大；当x＝0时，y有最小值是0．
故答案为：〔0，0〕；y轴；≤0 ；＞0 ；0 ；小；0．
【剖析】应用二次函数y=ax2〔a＞0〕的性质，解答此题。

16.【答案】8
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：函数y= x2与y=–x2的图象关于x轴对称，又因正方形的边长为4，以正方形中心为原点树立平面直角坐标系，所以阴影局部的面积为正方形面积的一半，即4×4× =8 【剖析】依据题意，观察图形可得图中的阴影局部的面积是图中正方形面积的一半，由此可以求出阴影局部的面积。

17.【答案】y=-3x2
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把点A 代入：得，，解得：，
∴该抛物线的解析式为：y=-3x2
【剖析】应用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式，求解可得出函数解析式。

18.【答案】②④
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵x2一定不小于0，那么由条件〝对应恣意给定的x的值，都有y甲y乙〞可知：存在以下3种状况：〔1 〕假定y甲和y乙都为正数，那么m＞0，n＞0且m＞n，即m>n>0；〔2 〕假定y甲为正数，y乙为正数，那么m＞0，n＜0；
〔3 〕假定都为正数时，那么n＜m＜0；
∴关于m，n的关系正确的选项是②、④
【剖析】依据偶次方的非负性得出x2一定不小于0，又对恣意给定一个x值都有y甲≥y乙，故有①y甲和y乙都为正数，②假定y甲为正数，y乙为正数，③假定y甲为正数，y乙为正数，三种状况，从而得出答案。

19.【答案】；
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当x=1时，y= x2= ，那么P1〔1，〕，所以S1= ×1× = ；
当x=2时，y= x2=2，那么P2〔2，2〕，所以S2= ×1×〔2- 〕= ；
当x=3时，y= x2= ，那么P3〔3，〕，所以S3= ×1×〔-2〕= ，
异样方法可得S4= ，
所以S n= ．
故答案是：，
【剖析】依据题意区分将x=1、2、3代入函数解析式，求出对应的y的值，就可得出三角形的边长，再应用三角形的面积公式区分求出S1、S2、S3，寻觅规律，可得出S n与n的关系式。

三、解答题
20.【答案】〔1〕解：∵是二次函数，
∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．
∵函数有最高点，
∴抛物线的启齿向下，
∴k+2＜0，
解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
〔2〕解：当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为〔0，0〕，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增加．
【考点】二次函数的定义，二次函数y=ax^2的性质
【解析】【剖析】〔1〕依据二次函数的定义，可得出k2+k﹣4=2且k+2≠0，再依据函数图象有最高点．得出k+2＜0，求解即可得出k的值。

〔2〕应用y=ax2的性质，可直接写出抛物线的对称轴、顶点坐标y随x的增大而增加时，x的取值范围。

21.【答案】〔1〕解：∵点A〔2，a〕在抛物线y=x2上，∴a=22=4，
∴A点的坐标为：〔2，4〕
〔2〕解：如下图：
以O为顶点时，AO=P1O=2 或AO=AP2=2
∴点P坐标：〔2 ，0〕，〔﹣2 ，0〕，
以A为顶点时，AO=OP，
∴点P坐标：〔4，0〕；
以P为顶点时，OP′=AP′，
∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x那么42+〔x﹣2〕2=x2，解得：x=5，
∴点P坐标：〔5，0〕，
综上所述使△OAP是等腰三角形那么P点坐标为：〔2 ，0〕，〔﹣2 ，0〕，〔4，0〕，〔5，0〕．
【考点】等腰三角形的判定，二次函数的实践运用-几何效果
【解析】【剖析】〔1〕将点A的坐标代入函数解析式求出a的值，就可得出答案。

〔2〕分状况讨论：以O为顶点时；以A为顶点时；以P为顶点时，区分应用有两边相等的三角形是等腰三角形，区分求出点P的坐标。

22.【答案】〔1〕解：把〔1，b〕代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点〔1，-1〕代入y=ax2中，得a=-1
〔2〕解：∵在y=-x2中，a=-1<0，
∴抛物线启齿向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为〔0，0〕
〔3〕解：作函数y=ax2的草图如下：
【考点】二次函数与一次函数的综合运用，二次函数y=ax^2的图像，二次函数y=ax^2的性质
【解析】【剖析】〔1〕将点〔1，b〕代入一次函数解析式，求出b的值，再应用待定系数法求出a 的值。

〔2〕依据二次函数的性质，可得出抛物线的启齿方向、对称轴、顶点坐标。

〔3〕应用函数解析式画出函数的图像。

23.【答案】〔1〕解：如下图：
抛物线y＝x2启齿向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝x2－1启齿向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)
〔2〕解：抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度失掉
【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数y=ax^2的性质
【解析】【剖析】〔1〕应用描点法画出两个函数的图像，再结合图像及二次函数的性质，求出两函数的启齿方向、顶点坐标及对称轴。

〔2〕由两函数的a的值相等，可得出它们是经过平移失掉的。

24.【答案】〔1〕解：∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，
∴a·1＝3.∴a＝3
〔2〕解：把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.
〔3〕解：答案不独一，如：抛物线的启齿向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x 的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等
【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式
【解析】【剖析】〔1〕应用待定系数法将点的坐标代入函数解析式，可求出答案。

〔2〕将x=3代入函数解析式，可得出对应的函数值。

〔3〕依据y＝ax2的性质，可得出答案。

25.【答案】〔1〕解：设直线表达式为y=kx+b．
∵A〔2，0〕，B〔1，1〕都在y=kx+b的图象上，
∴，解得，
∴直线AB的表达式为y=﹣x+2；
∵点B〔1，1〕在y=ax2的图象上，
∴a=1，其表达式为y=x2
〔2〕解：由，解得或，
∴点C坐标为〔﹣2，4〕
〔3〕解：S△COB=S△AOC﹣S△OAB= ×2×4﹣×2×1=3
【考点】二次函数与一次函数的综合运用
【解析】【剖析】〔1〕应用待定系数法区分求出两函数的解析式。

〔2〕将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，就可得出点C的坐标。

〔3〕应用点A、B、C、O的坐标，依据S△COB=S△AOC﹣S△OAB，应用三角形的面积公式可得出答案。