天河区2018届高三理科数学普通高中毕业班综合测试二(二模)试卷参考答案

2018届天河区普通高中毕业班综合测试（二）理科数学参考答案
二、填空题 13. 1a = ； 14. 3
ϕ=-
； 15. 3k ≥ ； 16. ②④ 17.解：（1）∵1
63n n S k +=+，
∴当1n =时，11669S a k ==+，
当2n ≥时，166()23n
n n n a S S -=-=∙，即13n n a -=， -------------------------------------2分
∵{}n a 是等比数列，∴11a =，则96k +=，得3k =-，-------------------------------------4分 ∴数列{}n a 的通项公式为13()n n a n N -*=∈. -------------------------------------6分 （2）由（1）得2
31(1)log ()(32)(31)n n n b kn a a n n +=-∙=-+，--------------------------7分 ∴12111111 (144)
7(32)(31)
n n T b b b n n =+++=+++
⨯⨯-+
111111(1...)344
73231n n =-+-++--+ ------------------------------------10分 31
n n =+
------------------------------------12分
18.解：（1）根据表中数据计算=×（90+85+74+68+63）=76，
=×（130+125+110+95+90）=110，
------------------------------------2分
=1302+1252+1102+952+902=61750，
x
i y i =90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595，
1
2
2
21
42595576110
ˆ0.64617505110
n
i i i n
i
i x y nxy
b
x
nx
==--⨯⨯==
≈-⨯-∑∑，
------------------------------------4分 =﹣=76﹣0.64×110=5.6；
∴x 、y 的线性回归方程是=0.64x+5.6， ------------------------------------5分
当x=100时，=64+5.6=69.6，
即某位同学的数学成绩为100分，预测他的物理成绩是
69.6分；---------------------------6分 （2）抽取的五位学生中数学成绩高于100分的有3人，
X 表示选中的同学中高于100分的人数，可以取1，2，3，
-------------------------------7分
P （X=1）=
=
，P （X=2）=
=，P （X=3）=
=
； -------10分
1 2 3
X 的数学期望值为E （X ）=1×
+2×+3×
=1.8．------------------------------------12分
19.解： (I)证法一：连接,DG CD ，设CD GF O =I ，连接OH ， ------------------1分 在三棱台DEF ABC -中，
2AC DF =,G AC 为的中点,可得//,DF GC DF GC = -----------------------------------2
分 所以四边形DFCG 为平行四边形,则O 为CD 的中点,
又H 为BC 的中点，所以//OH BD ----------------------------3分
又,OH FGH BD FGH ⊂⊄平面平面所以//BD FGH 平面------5分 证法二：
在三棱台DEF ABC -中，由2EF BC =, H 为BC 的中点， 可得//,BH EF BH EF =,
所以四边形BHFE 为平行四边形，可得//BE HF
-------2分
在ABC V 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以//GH AB 又GH HF H =I ，所以平面FGH //平面ABED 因为 BD ⊂平面 ABED ,所以 //BD 平面FGH
------------------------------------5分 （II ）解法一：设2AB = ，则1CF = ,在三棱台DEF ABC -中，G 为AC 的中点
由1
2
DF AC GC == ，可得四边形DGCF 为平行四边形，因此//DG CF
又FC ⊥平面ABC 所以DG ⊥平面ABC
在ABC ∆中，由,45AB BC BAC ⊥∠= ，G 是AC 中点， 所以,AB BC GB GC =⊥ 因此,,GB GC GD 两两垂直,
------7分 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -
所以()
)()
()
0,0,0,,
,0,0,1G B C D
可得()
,
H F
⎫⎪⎪⎝⎭
,故()
,GH GF ⎫==⎪⎪⎝⎭uuu r uu u r 设(),,n x y z =r 是平面FGH 的一个法向量，则由0,0,
n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r
可得
00x y z +=⎧⎪+= 可得平面FGH 的一个法向量(1,
n =-r
------------------------------------9分
因为GB uu u r 是平面ACFD
的一个法向量，)
GB =
--------------------------------10分 所以1
cos ,2
||||GB n GB n GB n ⋅<>===⋅uu u r r
uu u r r uu u r r
所以平面FGH 与平面ACFD 所成的解(锐角)的大小为60 -------------------------------12分 解法二：作HM AC ⊥ 于点M ，作MN GF ⊥ 于点N ，连接NH 由FC ⊥ 平面ABC ，得HM FC ⊥ 又FC AC C =
所以HM ⊥平面ACFD
因此GF NH ⊥
所以MNH ∠ 即为所求的角
在MNH 中，,tan 2MH MH MN MNH MN
=
=∠==所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60 .
20.解：（1）因为抛物线上的点M 到直线1x =-
的距离等于
MF ，
所以抛物线的方程为2
4y x
=------------------------------------2分
53
,,
22
Q Q
QF y
=∴==
由抛物线定义可知x则
代入
22
22
1(0),1
2
x y p
a b
a b
+=>>=
又c=
，
22
9,8
a b
==
所以椭圆方程为
22
1
98
x y
+=------------------------------------5分（2）显然当P与原点重合时，00
x=
;------------------------------------6分当点P不在原点时，设切线方程为y kx m
=+，与24
y x
=联立得
222
(24)0
k x km x m
+-+=，由0
∆=，得
1
1,
km m
k
==
联立
2
1
4
y kx
k
y x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=
⎩
，得切点
2
12
(,)
P
k
k
，----------------------------------8分
设
1122
(,),(,)
A x y
B x y，其中点
00
(,)
C x y故
22
11
22
22
1
98
1
98
x y
x y
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，两式相减得，12121212
()()()()
98
x x x x y y y y
+-+-
=-，即0
12
120
8
9
x
y y
k
x x y
-
-
==
-
①
又0
02
2
1
y
k
k
x
k
-
=
-
②，由①②得
02
9
98
x
k
-
=
+
，------------------------------------10分22
1
8972
y kx
k
x y
⎧
=+
⎪
⎨
⎪+=
⎩
，得22
2
9
(89)18720
k x x
k
+++-=
由2
1
0,
9
k
∆>>
得所以综上所述有：(]
1,0
x∈-
.
------------------------------------12分21.解：(1)()()ln ln.
u x v x a x x x x
≥⇒≥-+令()ln ln
m x x x x x
=-+
()
1
()ln,1,
m x x x
x
'=-∈+∞.易知
1
()ln
m x x
x
'=-在(1,)
+∞上递减，
()(1)1
m x m
''
∴<=…………2分
存在
(1,)
x∈+∞，使得
()0
m x
'=，
函数()
m x在()0
1,
x x
∈递增，在()
+
x x
∈∞
，递减
所以有
max()
a x
≥. 由
()0
m x
'=得
1
ln x
x
=------------------------------------4分
0000
000
111
()11
m x x x x
x x x
=-⋅+=+->由{}0
m a x()
B a a x
=≥
1
a
∴>, 故B A
⊆……………………6分(2)
()
()()()ln ln,()(),(1,)
22
a w x a
f x u x w x x x x
g x v x x a x
x x
=-=--=-=--∈+∞令.
2
1
()ln10,(1,)
a
f x x x
x x
'=+-+>∈+∞，由于()
,1,(1)0,
a m a f a
∈+∞⇒>=-<
,()0a a a
a
x e f x ae a e ==-
->， 由零点存在性定理可知：()1,,a a e ∀∈函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点……8分 ‚2()10,(1,)2a g x x x
'=+>∈+∞，3(1)10,2a g =-<12,()4x a g x a ==-， 同理可知()1,2,a a ∀∈函数()g x 在定义域内有且仅有一个零点……………………9分 ƒ假设存在0x 使得()()000f x g x ==，
20000
0ln ln 2a x x x x a x a x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩
消a 得002002ln 021x x x x -=-- 令22()ln 21x h x x x x =--- 222
142()0
(21)x h x x x x +'=+>-- ()h x ∴递增
4
4132
(2)ln 2ln 01)0.8814055h h e =-
=<=>
(
)
021x ∴∈+
此时2
00001181,21125422x a x x x ⎛⎫=
=++-∈ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝
⎭ 所以满足条件的最小整数2m = ……………………12分
22．解：（I ）由曲线2222
:cos 21(cos sin )1C ρθρθθ=⇒-=，
将cos ,sin x y ρθρθ==
代入可得C 的普通方程是2
2
1x y -=． ……2分
由直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα
=+⎧⎨=⎩（t 为参数），可得直线l 的普通方程是 sin cos 3sin 0x y ααα⋅-⋅-= ……5分
（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得
222(cos sin )6cos 80t t ααα-++=，……7分
则2
1222288(1tan )||||||||||cos sin 1tan PA PB t t αααα
+⋅===--，……9分 由已知得tan 2α=，故40||||3
PA PB ⋅=．……10分
23.解：（1）当4a =时，2(4)
()|4|2|1|36(14)2(1)x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩
．．．2分
当1x ≤时，()23f x x =+≤，函数)(x f 的最大值为3；
当14,63636()3x x f x <<-<-+<⇒-<<；当4,()26x f x x ≥=--≤-； 综上述：有函数)(x f 的最大值为3 ．．．．．．．．．5分
（2）由0)(≥x f ，得12-≥-x a x ，两边平方得：2
2)1(4)(-≥-x a x ，
即04)4(232
2≤-+-+a x a x ， ．．．．．6分 得0))2(3))(2((≤+---a x a x ， ．．．．．．．．7分 所以①当1>a 时，不等式的解集为]3
2,2[a a +-； ②当1=a 时，不等式的解集为{}
1=x x ；
③当1<a 时，不等式的解集为]2,3
2[
a a
-+． ．．．．．．．．．10分。