高一数学必修四测试卷(含答案)

高一数学必修四测试卷
一、选择题 ：
1．若角600°的终边上有一点（﹣4，a ），则a 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】
A
2．若sin α＜0且tan α＞0，则α是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
【答案】
C
3．函数
的最小正周期是（ ）
A ．
B ．
C ．2π
D ．5π
【答案】
D
4．要得到函数y=cos2x 的图象，可以将函数
的图象（ ）
A ．向右平移个单位得到
B ．向左平移个单位得到
C ．向右平移
个单位得到
D ．向左平移
个单位得到
【答案】
B
5．函数f (x)sin(2x )4
p
=-
在区间上的最小值是（ ） A ．﹣1
B ．
C ．
D ． 0
【答案】
B
6．函数y ＝2cos(2x －π2
)是( )
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为2π的奇函数
D ．周期为2π的偶函数
【答案】
A
7．图是函数y=Asin （ωx+φ）（x ∈R ）在区间
上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx （x ∈R ）
的图象上所有的点（ ）
A ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D ．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】
A
8．函数f （x ）=sinx ﹣cosx 的最大值为（ ）
A ． 1
B ．
C ．
D ．2
【答案】
B
9．函数()f x sin x cos x 2x 2
=+
的最小正周期和振幅分别是（ ） A ．π，1
B ．π，2
C ． 2π，1
D ． 2π，2
【答案】
A
10．已知sin2α=，则cos 2
（α+
）=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】
A
11．已知
cos （π－2α）sin （α－π4
）
＝－2
2
，则cos α＋sin α等于( ) A ．－
72
B.72
C.12
D ．－12
【答案】
D
12．已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭
⎫π
4，π，若a·b ＝2
5
，则 tan ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4的值为( )
A.13
B.27
C.17
D.23
【答案】
C
13．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a ＋b|＝7，则a 与b 的夹角为( )
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
【答案】
B
14．已知a,b r r 满足：a =3r ，b =2r ，a+b =4r r ，则a-b r r
=（ ）
A ．
B ．
C ． 3
D ．
【答案】 D
15．若| a r |=1，| b r |=2，c=a+b r r ，且c a ⊥r r ，则c b r r
与的夹角为（ ）
A ． 30°
B ． 60°
C ． 120°
D ． 150°
【答案】
C
16．已知函数2
f (x)=2cos 2x+a （a 为常数）的定义域为0,
2p ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，f （x ）的最大值为6，则a 等于（ ） A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ． 6
【答案】
A ．
二、解答题 ： 17．化简：
（1）
（2）sin120°•cos330°+sin （﹣690°）cos （﹣660°）+tan675°+cot765°．
【答案】
（1）原式===﹣1；
（2）原式=sin120°cos （360°﹣30°）﹣sin （720°﹣30°）cos （﹣720°+60°）+tan （720°﹣45°）
+=×+×﹣1+1=1．
18．设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2
x ＋a .
(Ⅰ)写出函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；
(Ⅱ)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为3
2，求f (x )的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成
图形的面积．
【答案】
(Ⅰ)f (x )＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12
， ∴T ＝π.
由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，得π6＋k π≤x ≤2π
3＋k π. 故函数f (x )的单调递减区间是[π6＋k π，2π
3＋k π](k ∈Z )．
(Ⅱ)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6.∴－12≤sin(2x ＋π
6
)≤1.
当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，原函数的最大值与最小值的和(1＋a ＋12)＋(－12＋a ＋12)＝3
2，∴a ＝0. ∴f (x )＝sin(2x ＋π6)＋1
2
.
f (x )的图象与x 轴正半轴的第一个交点为(π
2
，0)
所以f (x )的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积 S ＝∫π
20[sin(2x ＋π6) ＋1
2
]d x
＝ [－12cos(2x ＋π6) ＋x 2]|π
2′0＝2 3 ＋ π4.
19．
设向量a x,sin x)=r ，b (cos x,sin x),x 0,2p ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
r ． （1）若|a ||b |=r r
，求x 的值；
（2）设函数f (x)a b =∙r r
，求f （x ）的最大值．
【答案】
（1）由题意可得 =
+sin 2x=4sin 2x ，=cos 2x+sin 2x=1，
由，可得 4sin 2x=1，即sin 2x=． ∵x ∈[0，]，∴sinx=，即x=
．
（2）∵函数=（
sinx ，sinx ）•（cosx ，sinx ）=
sinxcosx+sin 2x=
sin2x+
=sin （2x ﹣
）
+． x ∈[0，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，
∴当2x ﹣=
，sin （2x ﹣）+取得最大值为 1+=．
20．已知函数f (x )＝2cos 2
x ＋23sin x cos x .求
(Ⅰ)函数f (x )的周期； (Ⅱ)函数f (x )的单调递减区间； (Ⅲ)函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π
2上的最值． 【答案】
f (x )＝cos2x ＋1＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6＋1. (Ⅰ)最小正周期T ＝2π
2＝π.
(Ⅱ)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π
2
，
即k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3，k ∈Z 时，函数f (x )单调递减，
所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π
3，k ∈Z . (Ⅲ)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π
6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1
2，1， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，f (x )min
＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝0.
21．已知函数f （x ）=sin （π﹣ωx ）cos ωx+cos 2
ωx （ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象，求函数y=g （x ）在区间
上的最小值．
【答案】
（Ⅰ）∵f （x ）=sin （π﹣ωx ）cosωx+cos 2ωx ， ∴f （x ）=sinωxcosωx+
=sin2ωx+cos2ωx+ =
sin （2ωx+
）+
由于ω＞0，依题意得，
所以ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）=sin （2x+
）+，
∴g （x ）=f （2x ）=sin （4x+）+
∵0≤x≤时，
≤4x+
≤
，
∴
≤sin （4x+）≤1， ∴1≤g （x ）≤
，
g （x ）在此区间内的最小值为1．
22．已知函数f (x )＝23sin(x －π6)cos(x －π6
)－1＋2cos 2
(x －π6
)
(Ⅰ)求f (x )的最大值及相应的x 的取值集合； (Ⅱ)求f (x )的单调递增区间．
【答案】
(Ⅰ)f (x )＝3sin(2x －π3)＋cos(2x －π3)＝2sin(2x －π
6
)，
当2x －π6＝π2＋2k π(k ∈z)，即x ＝k π＋π
3时，f (x )取得最大值2.所以f (x )的最大值为2.
相应的x 的取值集合为{x |x ＝π
3＋k π，k ∈Z }．
(Ⅱ)解不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π
2
，(k ∈Z )，
得k π－π6≤x ≤k π＋π
3
(k ∈Z )．
所以f (x )的递增区间为[k π－π6，k π＋π
3](k ∈Z )．
23．若点O 为坐标原点，OA →
＝(2a sin 2
x ，a )，OB →＝(1，－23sin x cos x ＋1)，f (x )＝OA →·OB →
＋b (a <b ，a ≠0)．
(Ⅰ)求f (x )的单调递增区间；
(Ⅱ)若f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤
π2，π，值域为[2，5]，求a ，b 的值．
【答案】
(Ⅰ)f (x )＝OA →·OB →＋b
＝2a sin 2x －23a sin x ·cos x ＋a ＋b ＝－2a sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6＋2a ＋b . 当a >0时，递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2
3π，k ∈Z ； 当a <0时，递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π
6，k ∈Z . (Ⅱ)f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤π
2，π， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤7π6，13π6， ∴sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，1
2. 当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2a ＋b ＝5，－2a ·1
2＋2a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1； (舍去)
当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2a ＋b ＝2，－2a ·1
2＋2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝6. ∴a ＝－1，b ＝6.
三、填空题 ：
24．函数f (x )＝3sin x cos x －33cos 2
x ＋
33
2
的图象为C ，给出以下四个结论： ①由y ＝3sin2x 的图象向右平移π
3个单位长度可以得到图象C ；
②函数f (x )在区间⎝⎛⎭
⎫－π12，5π
12内是增函数；
③图象C 关于直线x ＝11π
12对称；
④图象C 关于点⎝⎛⎭⎫
2π3，0对称． 其中正确结论的编号是________．
【答案】
②③④
25．已知向量()2,1,10,2a a b a b =∙=+= b
= ．
【答案】
26．tan(2α－β)＝12，tan(β－α)＝14
，tan α＝__________. 【答案】
67
27．tan20°cos10°＋3sin10°tan20°＋2cos40°＝________. 【答案】
2。