人教版八年级下册数学《勾股定理的逆定理》勾股定理研讨复习说课教学课件

A
问题2：求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
c=5
c=6.5
③ a＝4，b＝7.5.
c=8.5
思考 ：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，
可不可以通过边来确定直角三角形呢？
知识讲解
★ 勾股定理的逆定理
据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
归纳总结
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个
叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能
不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是
一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理
的逆定理为互逆定理.
② 7,24,25满足72+242=252,
a2+b2=c2
③ 8,15,17满足82+152=172.
猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么
这个三角形是直角三角形.
证一证:
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
∠C是直角
B.2 = ( + )( − )
C.∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3
D.a : b : c=5 : 4 : 3
3.下列定理中，有逆定理的个数是（ B ）
①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边
长a，b，c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形;③全等
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们
都是直角三角形吗？
都是直角三角形
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c.
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
问题：这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
而c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a，b，c是勾股数．
m＝2时，勾股数为4，3，5；m＝3时，勾股数为6，8，10；m＝4
时，勾股数为8，15，17.
名
校
讲
坛
【跟踪训练2】 下列各组数据是勾股数的是( A )
A．5，12，13
B．6，9，12
C．12，15，18
D．12，35，36
名
校
讲
坛
例3 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC
都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．
(1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？
(2)求这个零件的面积．
名
校
讲
坛
【解答】 (1)∵AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝13，BC＝12，
∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2.
①两个锐角互余的三角形是直角三角形；
②有一个角是90°的三角形是直角三角形；
（2）用边判断：如果已知条件与边有关，则可通过
勾股定理的逆定理进行判断.
★ 勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三
角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，
那么这个三角形是直角三角形.
B
b
a
C
特别说明：
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形
的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即
可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,
那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木
桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
（13）
（1）
（12）
（11）
（2）
（10）
（3）
（9）
（4）
（5）（6）（7）（8）
思考：如果一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为
直角三角形.你认为这个结论正确吗?
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
（1）在△ABC 中，∠A ＝ 20°，∠B ＝ 70°；
（2）在△ABC 中，AC＝7，AB＝24，BC＝25 ；
（3）一个三角形的三边长a，b，c 满足（a+b)(a-b）＝ c2.
解：（1）在△ABC 中，∵ ∠A+ ∠B＝20°+70°＝90°，
即△ABC是直角三角形.
（2）∵ 2 + 2 ＝ 72 + 242 ＝ 625， 2 ＝ 252 ＝ 625，
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那
么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个
三角形是直角三角形.
问题1：两个命题的条件和结论分别是什么？
题设
结论
命题1： 直角三角形
a2+b2=c2
命题2： a2+b2=c2
直角三角形
问题2：两个命题的条件和结论有何联系？
在角平分线上的点到角的两边距离相等. 成立
随堂训练
1.下列各组数是勾股数的是
( A )
A.6，8，10
B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5
D.52，122，132
2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，
c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（ C ）
A.∠B=∠C-∠A
它的逆命题．
预
习
反
馈
3．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，
这两个定理为互逆定理．
4．勾股定理是：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，
那么a2＋b2＝c2.
它的逆定理是：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这
个三角形是直角三角形．
5．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数(或勾股
△ABC的形状为( A )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
巩
固
训
练
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝0°，求∠DAB的度数．
解：连接AC.
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
根据勾股定理，得AC＝2 2 ，∠BAC＝45°，
∵CD＝3，DA＝1，
∴△ABD、△BDC是直角三角形，
∴∠A＝90°，∠DBC＝90°.
故这个零件符合要求．
(2)这个零件的面积＝S△ABD＋S△BDC＝3×4÷2＋5×12÷2＝6＋30＝
36.
答：这个零件的面积是36.
名
校
讲
【跟踪训练3】
坛
如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，
BC＝24，求该图形的面积．
所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形．
【点拨】
根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，
只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方．大边对的是
大角，即大边对的角是直角．
名
校
讲
坛
【跟踪训练1】 如图，D是BC边上的一点，若AB＝10，AD＝
8，AC＝17，BD＝6，求BC的长．
例4 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
内错角相等，两条直线平行.
成立
(2)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方相等；
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值相等. 成立
(3) 对顶角相等；
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角. 不成立
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
巩
固
训
练
1．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( C )
A．5，6，7
B．10，8，4
C．7，25，24
D．9，17，15
2．下列各命题的逆命题成立的是( B )
A．对顶角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．若a＝b，则|a|＝|b|
D．全等三角形的对应角相等
巩
固
训
练
3．如图，正方形网格中有△ABC，若小正方形的面积为1，则
弦数)．
名
校
讲
坛
例1 (教材P32例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不
是直角三角形．
(1)a＝15，b＝8，c＝17；
(2)a＝13，b＝14，c＝15.
名
校
讲
坛
【解答】 (1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，
所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．
(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，
A
？
△ABC是直角三角形
构造两直角边分别为
a,b的Rt△A′B′C′
△ABC≌ △ A′B′C′
c
B
b
a
C
A
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
则 AB 2 BC 2 AC 2 a 2 b2 .
a 2 b2 c2，
AB c ， AB c.
1．古埃及人画直角的方法是：在一根绳子上打上等距离的13个结，然
后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，然后用木桩钉成一个三角形，
其中一个角是直角．
2．互逆命题：在一对命题中，第一个命题的题设恰好为第二个命题的
结论，而第一个命题的结论恰好是第二个命题的题设，像这样的两个
命题叫做互逆命题．我们把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做
2
2
b
c
B
a
A
在ABC和ABC 中
AC AC，

B C BC，
AB AB，

c
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90°
，
即△ABC是直角三角形.
C
B
a
b
C
归纳总结
A
勾股定理的逆定理:
c
如果三角形的三边长a ，b ，c满足 a2+b2=c2
第一课时
课件
学习目标
1 能掌握勾股定理的逆定理的，并了解互逆命题、定理的概念、
关系及勾股数. （重点）
2 能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. (难点）
新课导入
复习引入
B
问题1：勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为
a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
a
C
c
b
∴ 2 + 2 ＝ 2 .
根据勾股定理的逆定理可知△ ABC 是直角三角形.
（3）∵（a+b)(a-b）＝ 2 ， ∴ 2 - 2 ＝ 2 ，即2 ＝ 2 + 2 .
根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形.
方法技巧：
判定三角形为直角三角形的方法
（1）用角判断：
名
例2
校
讲
坛
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，
a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．你认为
对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
名
校
讲
坛
【解答】 对．
因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝
(m2＋1)2，
∴AC2＋DA2＝8＋1＝9，CD2＝9. ∴AC2＋DA2＝CD2.
∴△ACD是直角三角形．∴∠CAD＝90°.
∴∠DAB＝45°＋90°＝135°. ∴∠DAB的度数为135°.
课
堂
小
结
1．什么是勾股定理的逆定理？如何表述？
2．什么是命题？什么是原命题？什么是逆命题？
第 十七章 勾股定理
勾股定理的逆定理
17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新
数，这组数同样是勾股数.
例3 下列几组数为勾股数的是（ B ）
A.4，5，6
B.12，16，20
C.-10，24，26
D.2.4，4.5，5.1
解析：
★ 互逆命题与互逆定理
前面我们学习了两个命题，分别为：
勾股定理的逆定理
课件
学
习
目
标
1．理解勾股定理逆定理的具体内容及原命题、逆命题、勾股数的
概念．
2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形．
3．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从
实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力．
预
习
反
馈
阅读教材P31～33，体会例1、例2的解答过程，并完成下列预习内容：
方法技巧：
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
（1）找：确定三角形的最长边；
（2）算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；
（3）比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是
否相等；
（4）判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角
形，否则不是直角三角形.
例2
判断满足下列条件的三角形是否为直角三角形.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.